大庆实验中学2015-2016高三上学期期末数学试题(理)

大庆实验中学2015-2016学年度上学期期末高三年级数学试题（文）说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =（ ）A ．{}3B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ．{}42．在复平面内,复数54,12i i +-+对应的点分别为A,B ．若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数的模是( )A ．13B C ．D ．3．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠ C. 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b+≠4. 已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+，则5a 的值为（ ）A ．80B ．40C ．20D ．105．已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ）A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若αβ⊥，m αβ=，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥6．在右侧的程序框图中，若0()xf x x e =，则输出的是（ ）A.2014x x e xe +B.2012x x e xe +C.2013x x e xe +D.2013xe x +7. 在A B C ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22,s in in a b c C B-==，则角A 为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A ．12B ．35C．2D ．09．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A．2B．2C．2D ．310.)所示，若将()y f x =的图象向右平移(0)m m >个单位后，得到的图象关于原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．24πB ．12πC ．6πD ．3π11．在等腰梯形A B C D 中，，其中(0,1)x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意(0,1)x ∈都有不等式恒成立，则t 的最大值为（ ）12.则实数a 的取值范围是（ ）A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

大庆实验中学2015—2016学年度上学期高三期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集,集合，，则集合A．B．C．D．2、复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A．B．C．D．3、函数的反函数为A．B．C．D．4、在等差数列中，若，则的值为A．20 B．40 C．60 D．805、函数的值域是A．B．C．D．6、是定义域为的偶函数，为的导函数，当时，恒有，设，则满足的实数的取值范围是A．B．C．D．7、已知定义在上的函数是奇函数，且，则值为A．3 B．2 C．1 D．08、已知，，夹角为，向量满足，则的最大值为A．B．C．4 D．9、若，，则A．B．C．D．10、已知，的图像与的图像关于轴对称，将图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为A．B．C．D．11、给出下列4个命题：①在△中，“”是“”的充要条件；②是，，成等比数列的充要条件；③若，则；④若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；其中真命题的个数为A．1 B．2 C.3 D．412、已知为偶函数，且，在区间上，，则函数零点的个数为A．4 B．5 C.6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知等比数列中，，若，则= .14、如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝6，＝3，·＝4，则·的值是________．15、已知函数则= ．16、已知，，若对任意实数，都有，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知等差数列中，且，。

（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前项和的最大值。

18、（本小题满分12分）三角形中，三内角，，成等差数列，，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求，.19、（本小题满分12分）已知，其中.（Ⅰ）求函数的最值；（Ⅱ）若在区间上为增函数，求的取值范围。

2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷 命题学校：东北育才一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）1.已知集和{}0232=+-=x x x A ，{}24log ==x x B ，则=B A ( ) A.{}2,1,2- B.{}2,1 C.{}2,2- D.{}22.若复数()()i a a a z 3322++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A.3-B.13或-C. 1-3或D. 13．已知向量()31,=a ，()m ,2-=b ，若a 与2b a +垂直，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.21-D.21 4.直线()0112=+++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,432,4 5.若数列{}n a 的通项公式是()()231--=n a n n ，则=+⋯++1021a a a （ ）A.15B.12C.12-D.15-6.已知四棱锥ABCD P -的三视图如图所示，则四棱锥ABCD P -的四个侧面中面积最大的值是（ ）A.3B.52C.6D.87.右图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（ ）A.2>nB.3>nC.4>nD.5>n8.已知集合{}4,3,2,1=A ,{}7,6,5=B ,{}9,8=C .现在从三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成（ ）个集合A.24B.36C.26D.279.已知点()02，P ，正方形ABCD 内接于⊙O :222=+y x ，N M 、分别为边BC AB 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，ON PM ⋅的取值范围为（ ）A.[]11-，B.[]22-， C.[]22-， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222-， 10.设双曲线13422=-y x 的左，右焦点分别为21,F F ,过1F 的直线交双曲线左支于B A ,两点，则22AF BF +的最小值为（ ） A.219 B.11 C.12 D.16 11.已知球O 半径为5，设C B A S 、、、是球面上四个点，其中︒=∠120ABC ,2==BC AB ,平面⊥SAC 平面ABC ，则棱锥ABC S -的体积的最大值为（ ） A.33 B.23 C.3 D.33 12．已知函数()1323+-=x x x f ，()⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,860,412x x x x x x x g ，则方程()[]0=-a x fg（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A.个3B.个4C.个5D.个6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设0,0>>b a ，3是a 3与b 3的等比中项，其中b a 11+的最小值为 14.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的二项展开式中，x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 15.设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上，满足[][]5022=+y x 的点()y x P ,所形成的图形的面积为16.定义区间()(][)[]d c d c d c d c ,,,,、、、的长度均为()c d c d >-，已知事数0>p ，则满足不等式111≥+-xp x 的x 构成的区间长度之和为 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知函数()()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 232 (1) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 的最小值和最大值 (2) 设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3=c ，()0=C f ，若向量()A ,sin 1=m 与向量()B ,sin 2=n 共线，求b a ,的值18.（本小题满分12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是31每次测试通过与否互相独立.规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.（1） 求该学生考上大学的概率；（2） 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望ξE .19.（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，E 为DC 的中点，现将DAE ∆沿AE 折起，使平面⊥DAE 平面ABCE ，连BE DC DB ,,（1） 求证：ADE BE 平面⊥（2） 求二面角C BD E --的余弦值20．（本小题满分12分） 已知21F F 、分别为椭圆()01:22221>>=+b a bx a y C 的上、下焦点，其中1F 也是抛物线ADEy x C 4:22=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且351=MF (1) 求椭圆1C 的方程； (2) 当过点()3,1P 的动直线l 与椭圆1C 相交于两个不同点B A ,时，在线段AB 上取点Q ，满=证明：点Q 总在某定直线上.21.（本小题满分12分）设函数()x x xa x f ln +=，()323--=x x x g 其中R a ∈. （1） 当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f P 处的切线方程；（2） 若存在[]2,0,21∈x x ，使得()()M x g x g ≥-21成立，求整数M 的最大值；（3） 若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t s 、都有()()t g s f ≥，求a 的取值范围.选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且ABC PAC ∠=∠(1) 求证：PA 是⊙O 的切线； (2) 如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求BCE ∠sin23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线l的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x ，()0>r 为参数，θ (1) 求圆心C 的一个极坐标；(2) 当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为324.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()R x x x x f ∈-+-=3212(1) 解不等式()5≤x f ；(2) 若()()mx f x g +=1的定义域为R ，求实数m 的取值范围.。

2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合M={x|lg（1﹣x）＜1}，N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（﹣9，1）B．（﹣9，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）2．复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则|z+2|=（）A．3 B．1 C．D．3．等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．364．圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值为（）A．3+2B．9 C．16 D．185．己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）6．下列说法中正确的个数是（）（1）从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；（2）已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的充要条件；（3）若命题p：∃x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：∀x∈（0，），x﹣sinx ≥0．A．0 B．1 C．2 D．37．将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有（）A．24 B．28 C．32 D．368．设n为正整数，（x﹣）n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为（）A．8 B．6 C．5 D．29．一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．510．已知实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F做圆x2+y2=a2的切线，切点为M，切线交y轴于点P，且=2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）=2x2﹣f （﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x．若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）13．在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=．14．已知θ是第四象限角，且，则cosθ=．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为．16．已知函数，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知数列{a n}中，a1=2，，数列{b n}中，，其中n∈N*；（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）若S n是数列{b n}的前n项和，求的值．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；（2）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=6，且g（B）=0，求b的取值范围．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是，生产乙产品为正品的概率是；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响．生产一件甲产品，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件乙产品，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．计算以下问题：（Ⅰ）记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率．20．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B为边长为2的正方形，四边形BB1C1C为菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，点E、F分别是B1C，AA1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．22．已知函数f（x）=alnx++1，曲线y=f（x）在点（1，2）处切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，不等式（x﹣1）f（x）＞（x﹣k）lnx恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合M={x|lg（1﹣x）＜1}，N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（﹣9，1）B．（﹣9，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M，N，由此利用交集定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|lg（1﹣x）＜1}=x|﹣9＜x＜1}，N={x|﹣1≤x≤1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：D．2．复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则|z+2|=（）A．3 B．1 C．D．【考点】复数求模．【分析】化简z（1﹣i）=﹣1﹣i，z=﹣i，从而解得．【解答】解：∵z（1﹣i）=﹣1﹣i，∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，∴2z=﹣2i，∴z=﹣i，∴z+2=2﹣i，∴|z+2|=，故选：D，3．等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36【考点】等差数列的前n项和．【分析】由韦达定理得a3+a7=4，从而{a n}的前9项和S9==，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{a n}的前9项和S9===．故选：C．4．圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值为（）A．3+2B．9 C．16 D．18【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax﹣2by+1=0必过圆心（﹣2，1），所以a+b=．所以+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，当且仅当=，即2a=b时取等号，故选D．5．己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的图象．【分析】由极值点可求得φ的值，再求2kπ+＜2x﹣＜2kπ+中x的取值范围，可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项求出答案．【解答】解：x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，∴sin[2×（﹣）+φ]=﹣1，∴﹣+φ=2kπ﹣，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，）．故选：A．6．下列说法中正确的个数是（）（1）从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；（2）已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的充要条件；（3）若命题p：∃x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：∀x∈（0，），x﹣sinx ≥0．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由互斥事件的概念判断（1）；举例说明（2）错误；写出全程命题的否定判断（3）．【解答】解：（1）事件C=“三件产品不全是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，B⊂C，故B，C不互斥，（1）错误；（2）当a=1，b=0时，有＞此时lnb无意义，故（2）错误；（3）若命题p：∃x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：∀x∈（0，），x﹣sinx ≥0，故（3）正确．∴正确的说法只有（3）．故选：B．7．将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有（）A．24 B．28 C．32 D．36【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由敌意分为3类，第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的3人各得一本，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余3人各一本书，第三类，先选1人得到两本数学书，剩下的3人各得一本根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的3人各得一本，有C41C31=12种，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余3人各一本书，有C41C31=12种，第三类，先选1人得到两本数学书，剩下的3人各得一本，有C41=4种，根据分类计数原理可得，12+12+4种，故选：B．8．设n为正整数，（x﹣）n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为（）A．8 B．6 C．5 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得n与r 的关系，从而确定n的取值．【解答】解：∵（x﹣）n展开式的通项公式为T r+1=C2n﹣r（﹣1）r，令n﹣r=0，即n=r，故n应该是5的倍数，故选：C．9．一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为=2剪去的三棱锥体积V2为：=所以几何体的体积为：2﹣=，故选：A．10．已知实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：则z==3﹣，则z的几何意义是区域内的点到定点M（﹣1，﹣1）的斜率的最小值的相反数与3的和，由图象可知区域边界点A（1.5，2）连接的直线斜率最小为，所以z的最大值为3﹣=；故选：A．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F做圆x2+y2=a2的切线，切点为M，切线交y轴于点P，且=2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出M的坐标，代入圆的方程求得离心率．【解答】解：设P（0，3y），则M（c，2y），则∵OM⊥PF，∴=﹣1，取y=，M的坐标代入圆x2+y2=a2，即圆c2+=a2，∴，故选：B．12．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）=2x2﹣f （﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x．若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】解：∵f（x）=2x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x，g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则f（m+2）﹣（m+2）2≤f（﹣m）﹣m2，即g（m+2）＜g（﹣m），∴m+2≥﹣m，解得：m≥﹣1，故选：C．二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）13．在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=﹣6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性表示与数量积运算性质，即可求出的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（+）•（+）=（﹣+）•（+）=﹣﹣•+=﹣×42﹣×0+×22=﹣6．故答案为：﹣6．14．已知θ是第四象限角，且，则cosθ=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由两角和的正弦函数化简已知的等式，由平方关系列出方程，结合题意和三角函数值的符号判断出：sinθ＜0、cosθ＞0，联立方程后求出cosθ的值．【解答】解：由得，则，①又sin2θ+cos2θ=1，②因为θ是第四象限角，sinθ＜0、cosθ＞0，③由①②③解得，cosθ=，故答案为：．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为y2=2x．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】判断F为A，B的中点，设出B，求出A，C坐标，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，可知F（）是AB的中点，设B（，﹣n）n＞0，则A（），C（﹣，n），=（2p，2n，=（0，2n），，可得：4n2=12，解得n=，|BC|=2|AF|=|AC|=2p==2．所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．16．已知函数，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1≤x＜0时，f′（x）≤0．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）单调递减．∴函数f（x）=﹣xe x在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=，作出函数f（x）的草图如图：设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解，当m=时，方程m=f（x）有2个解，当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解，当m=0时，方程m=f（x），有1个解，当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，则方程f2（x）+tf（x）+1=0等价为m2+tm+1=0，要使关于x的方程f2（x）+tf（x）+1=0恰好有4个不相等的实数根，等价为方程m2+tm+1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，设g（m）=m2+tm+1，则，即t＜﹣e﹣，∴实数t的取值范围为：．故答案为：．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知数列{a n}中，a1=2，，数列{b n}中，，其中n∈N*；（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）若S n是数列{b n}的前n项和，求的值．【考点】数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）由已知可得：b1=1，b n+1===．作差b n+1﹣b n=1=常数，即可证明．（2）b n=1+n﹣1=n，S n=，==2（），即可得出．【解答】（1）证明：数列{a n}中，a1=2，a n+1=2﹣，数列{b n}中，b n=，其中n∈N*．∴b1=1，∵b n+1===．﹣b n═﹣=1=常数，∴b n+1∴数列{b n}是等差数列，首项为1，等差为1．（2）解：b n=1+n﹣1=n，S n=（1+2+3+4+…n）=，∴==2（），∴=++…+=2=．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；（2）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=6，且g（B）=0，求b的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出f（x）的对称轴与最小正周期；（2）根据三角函数图象平移法则，得出函数g（x）的解析式，利用g（B）=0求出B的值，再利用余弦定理和基本不等式求出b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin（2x﹣）﹣1，令2x﹣=kπ+，k∈Z，解得x=+，k∈Z，所以函数f（x）的对称轴为，k∈Z，周期为π；（2）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得函数y=sin（x﹣）﹣1的图象，再向左平移个单位，得函数y=sin（x+﹣）﹣1的图象，所以函数g（x）=sin（x+）﹣1；又△ABC中，a+c=6，g（B）=0，所以sin（B+）﹣1=0，所以B+=2kπ+，k∈Z，则B=；由余弦定理可知，b2=a2+c2﹣2ac•cos=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac≥36﹣3•=9，当且仅当a=c=3时取“=”，所以b≥3；又b＜a+c=6，所以b的取值范围是[3，6）．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是，生产乙产品为正品的概率是；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响．生产一件甲产品，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件乙产品，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．计算以下问题：（Ⅰ）记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据随机变量X的所有取值，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望EX；（Ⅱ）计算“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”的概率值即可．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15；P（X=90）=×=；P（X=45）=×=；P（X=30）=×=；P（X=﹣15）=×=．所以，随机变量X的分布列为：EX=90×+45×+30×+（﹣15）×=66；（Ⅱ）设“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”为事件A，则．…20．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B为边长为2的正方形，四边形BB1C1C为菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，点E、F分别是B1C，AA1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BB1的中点H，连结EH，FH，推导出平面ABC∥平面EHF，由此能证明EF∥平面ABC．（2）以B为坐标原点，分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）取BB1的中点H，连结EH，FH，∵点E、F分别是B1C，AA1的中点，∴EH∥BC，FH∥AB，∵AB∩BC=B，EH∩FH=H，AB，BC⊂平面ABC，EH，FH⊂平面EHF，∴平面ABC∥平面EHF，∵EF⊂平面EHF，∴EF∥平面ABC．解：（2）以B为坐标原点，分别为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意知A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，﹣1，），C1（0，1，），=（2，0，0），=（0，1，），=（﹣2，1，），=（﹣2，﹣1，），设平面BAC1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=，设平面AC1C的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=，设二面角B﹣AC1﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角B﹣AC1﹣C的余弦值为．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），c=1，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程由韦达定理，求得E点坐标，由AE⊥AF，及中点坐标公式求得P坐标及直线AP的方程，当k≠0时，t=，利用换元法及基本不等式的性质，即可求得直线AP斜率的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：抛物线y2=4x的焦点（1，0）与椭圆C有相同的焦点，即c=1，a2=b2+c2=b2+1，由椭圆C过点，代入椭圆方程：，解得：a=2，b=，则椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），则，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+x E=，可得x E=，y E=k（x E﹣2）=﹣，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F=，y F=，由P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；综上可得直线AP的斜率的最大值为．22．已知函数f（x）=alnx++1，曲线y=f（x）在点（1，2）处切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，不等式（x﹣1）f（x）＞（x﹣k）lnx恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，从而求出k的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），∴，即解得a=1，b=1．（Ⅱ）当x＞1时，不等式．令，令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，①当，即k≥﹣1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，所以当x＞1时g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（1）=0．即恒成立．②当，即k＜﹣1时，m（x）在上单调递减，且m（1）＜0，故当时，m（x）＜0即g′（x）＜0，所以函数g（x）在单调递减，当时，g（x）＜0，与题设矛盾，综上可得k的取值范围为[﹣1，+∞）．2017年2月22日。

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零3．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项4．若两个正数a，b满足2a+b＜4，则的取值范围是（）A．{z|﹣1≤z≤1}B．{z|﹣1≥z或z≥1} C．{z|﹣1＜z＜1}D．{z|﹣1＞z或z＞1}5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]6．a，b，c∈R+，设S=，则下列判断中正确的是（）A．0＜S＜1 B．1＜S＜2 C．2＜S＜3 D．3＜S＜47．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．8．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．410．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b12．函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知与的夹角为60°，且，求．14．在等式++=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是．15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M，N两点，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②直线AC∥平面MENF始终成立；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是．16．关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．18．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，BD⊥CF，且FA⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a．（Ⅰ）求证：平面ADEF垂直于平面ABCD；（Ⅱ）若P、Q分别为棱BF和DE的中点，求证：PQ∥平面ABCD；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．21．函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．22．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}【考点】交集及其运算．【分析】利用特殊角的三角函数值确定出A中的元素，求出B中方程的解得到x的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={cos0°，sin270°}={1，﹣1}，B={x|x2+x=0}={x|x（x+1）=0}={﹣1，0}，∴A∩B={﹣1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，由此得出结论．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，故应假设的内容是：a、b、c三个实数中至少有两个小于零．故选：C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．3．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n ＞2）”时的过程中，由n=k 到n=k +1时，不等式的左边（ ）A ．增加了一项B ．增加了两项C ．增加了两项，又减少了一项D ．增加了一项，又减少了一项【考点】数学归纳法．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n ＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n 项，当由n=k 到n=k +1时，项数也由k 变到k +1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．【解答】解：，=故选C【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设P （n ）是关于自然数n 的命题，若1）（奠基） P （n ）在n=1时成立；2）（归纳） 在P （k ）（k 为任意自然数）成立的假设下可以推出P （k +1）成立，则P （n ）对一切自然数n 都成立．4．若两个正数a ，b 满足2a +b ＜4，则的取值范围是（ ）A ．{z |﹣1≤z ≤1}B ．{z |﹣1≥z 或z ≥1}C ．{z |﹣1＜z ＜1}D ．{z |﹣1＞z 或z ＞1}【考点】基本不等式．【分析】如图所示，画出可行域即为2z=表示可行域内的点P （a ，b ）与Q（1，﹣2）所在直线的斜率的2倍．分别求出直线OQ ，BQ 的斜率即可．【解答】解：由，即为2z=表示可行域内的点P（a，b）与Q（1，﹣2）所在直线的斜率的2倍，∵k OQ=﹣2，k QB==2，∴z＜﹣1或z＞1，故选：D．【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的能力，属于中档题．5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，由题意知，则T=π，∴ω=，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．6．a，b，c∈R+，设S=，则下列判断中正确的是（）A．0＜S＜1 B．1＜S＜2 C．2＜S＜3 D．3＜S＜4【考点】反证法与放缩法．【分析】要判断所给的式子的范围，观察式子的特点，分母是一个利用四个字母中的三个做分母的题目，采用放缩法把三个字母的和变化为这四个字母的和，在把所得的结果相加，得到结论，同时以两个为一组，进行放缩，得到式子小于2，得到结果．【解答】解：＞=即S＞1，，，，得，即，得S＜2，所以1＜S＜2．故选B．【点评】本题考查放缩法求解一个式子的取值范围，是一个典型的放缩法，两端都可以变化，可大可小，这种问题经常出现在高考卷中的大型综合题目中．7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】根据图象的规律可得出通项公式a n，根据数列{}的特点可用列项法求出=，将n=2014代入可得答案．【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即a n=3n﹣3，令S n==++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴=，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和求和问题．属基础题．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4【考点】棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．【分析】本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．【解答】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．【点评】本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．10．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确．【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查了空间想象能力．11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+xf′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．【点评】本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．12．函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①因为函数不是奇函数，所以错误．②利用函数对称性的定义进行判断．③利用两点之间线段最短证明．④利用函数的值域进行判断．【解答】解：①因为f（﹣x）=+≠﹣f（x），所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误．②因为f（3﹣x）=+=+，所以f（x）的图象关于x=对称，所以②正确．③由题意值f（x）≥f（），而f（）=+=，所以f（x）≥，即函数f（x）的值域为[，+∞），正确．④设f（x）=t，则方程f[f（x）]=1+，等价为f（t）=1+，即t=0，或t=3．因为函数f（x）≥，所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以④错误．故正确的说法为：②③故选：C【点评】本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的分析能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知与的夹角为60°，且，求0或2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把两边平方，代入已知化为关于||d 的一元二次方程求解．【解答】解：由与的夹角为60°，且，得，即，∴，得，解得||=0或||=2．故答案为：0或2．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础题．14．在等式++=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是 64 ．【考点】基本不等式．【分析】设依次填入的三个数分别为x 、y 、z ，根据柯西不等式，即可得到（x +y +z ）（++）≥（1+3+4）2=64，问题得以解决．【解答】解：设依次填入的三个数分别为x 、y 、z ，则根据柯西不等式，得 （x +y +z ）（++）≥（1+3+4）2=64．∴x=8，y=24，z=32时，所求最小值为64．故答案为：64．【点评】本题考察了柯西不等式，掌握柯西不等式是关键，属于基础题．15．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′分别交于M ，N 两点，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′； ②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断①的正误；直线与平行判断②的正误；分析说明函数的单调性判断③的正误；求出几何体的体积即可判断④的正误．【解答】解：对于①：显然，EF⊥BD，又EF⊥DD′，∴EF⊥平面BDD′B′，∴平面MENF⊥平面BDD′B′；∴①正确；对于②：由已知条件，E、F是所在棱的中点，则EF∥ac，且EF⊂平面MENF，AC⊄平面MENF，∴直线AC∥平面MENF始终成立，故②正确；对于③：M在A时，N在D′，MENF的周长最大，MN在所在棱的中点时，MENF的周长最小，M在B′，N在B时，MENF的周长最大，四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]不是单调函数．故③不正确；对于④：连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常函数，所以④正确．综上，正确的有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题重点考查了空间中平行和垂直关系的判断和性质等知识，命题真假的判定，属于中档题16．关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是a≤﹣或a=e．【考点】函数恒成立问题．【分析】分类讨论，将不等式转化，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：a＜0，则lnx+ax≤0，令y=lnx+ax，则y′=+a，∴0＜x＜﹣时，y′＞0，x＞﹣时，y′＜0∴x=﹣时，函数取得最大值ln（﹣）﹣1，∵lnx+ax≤0，∴ln（﹣）﹣1≤0，∴a≤﹣；a=0时，则lnx≤0，在（0，+∞）上不恒成立，不合题意；a＞0时，或，a=e，综上，a≤﹣或a=e．【点评】本题考查求实数a的取值范围，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x﹣）∴f（A）=sin（2A﹣）∵＜A＜，∴0＜2A﹣＜∴0＜sin（2A﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．△＞0，可得f（﹣2）f（2）≤0，解得a范围．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，可得a≤．由命题“p且q”是假命题，可得p与q都是假命题．即可得出．【解答】解：命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．△=a2+8＞0，∴f（﹣2）f（2）=（2﹣2a）（2+2a）≤0，解得a≥1，或a≤﹣1．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，∴a≤=﹣3．∵命题“p且q”是假命题，∴p与q都是假命题．∴，解得﹣1＜a＜1．∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b n．（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，所以T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②②﹣①得：，=2（3n+1+1），b n+1故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…∴数列{c n }的前n 项和…【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．20．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，BD ⊥CF ，且FA ⊥AD ，EF ∥AD ，EF=AF=a ．（Ⅰ）求证：平面ADEF 垂直于平面ABCD ；（Ⅱ）若P 、Q 分别为棱BF 和DE 的中点，求证：PQ ∥平面ABCD ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC ，推导出BD ⊥AC ，从而FA ⊥平面ADEF ，由此能证明平面ADEF 垂直于平面ABCD ．（Ⅱ）作PS ⊥AB ，QT ⊥AD ，EM ⊥AD ，S ，T ，M 是垂足，推导出四边形PSTQ 是平行四边形，从而PQ ∥ST ，由此能证明PQ ∥平面ABCD ．（Ⅲ）多面体ABCDEF 的体积V 多面体ABCDEF =V F ﹣ABCD +V C ﹣DEF ，由此能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF ⊥AD ，平面ABCD ∩平面ADEF=AD ，∴FA ⊥平面ADEF ，∴平面ADEF 垂直于平面ABCD ． （Ⅱ）作PS ⊥AB ，QT ⊥AD ，EM ⊥AD ，S ，T ，M 是垂足，在△ABF 中，PS ：AF=BP ：BF=1：2，PS=AF ，在直角梯形ADEF 中，QT=EM=AF ，∴PSQT ，∴四边形PSTQ 是平行四边形，∴PQ ∥ST ， ∵ST ⊂平面ABCD ，∴PQ ∥平面ABCD ． 解：（Ⅲ）多面体ABCDEF 的体积： V 多面体ABCDEF =V F ﹣ABCD +V C ﹣DEF==．【点评】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．函数f （x ）=x 2+mln （x +1）．（1）若函数f （x ）是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若m=﹣1，试比较当x ∈（0，+∞）时，f （x ）与x 3的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式e 0+e ﹣1×4+e ﹣2×9+…+e ＜成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【分析】（1）分f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立两种情况；（2）令m=﹣1，通过求导，得g（x）=f（x）﹣x3在（0，+∞）上单调递减，从而得证；（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），变形为（x ∈（0，+∞）），相加计算即可．【解答】解：（1）根据题意，由=，可知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．下面分两种情况讨论：①当f′（x）=≥0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≥在（﹣1，+∞）上恒成立，故m≥；②当f′（x）=≤0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≤在（﹣1，+∞）上恒成立．∵在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数m使f′（x）＜0在（﹣1，+∞）上恒成立．综上所述，实数m的取值范围是[）；（2）当m=﹣1时，即函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令g（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则=，显然，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＜g（0）=0，即f（x）﹣x3＜0恒成立，故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），所以，即（x∈（0，+∞）），当x取自然数时，有（n∈N*），所以e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）=1×n+1+2+3+4+…+n==．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．22．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直，列出方程，即可求解a的值．（2）求出g'（x），列出求解函数的极值点的方程，利用韦达定理，化简g（x1）﹣g（x2），构造新函数，通过新函数的导数求解函数的最值．【解答】解：（1）直线x+2y=0的斜率为﹣；故在x=1处的切线的斜率为2；f′（x）=1+，故f′（1）=1+a=2；解得，a=1．（2）=x+lnx+x2﹣bx，x＞0∴g′（x）=1++x﹣b=令g′（x）=0，得x2﹣（b﹣1）x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴g（x1）﹣g（x2）=（x1+lnx1+x12﹣bx1）﹣（x2+lnx2+x22﹣bx2）=ln+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln+（﹣），∵0＜x1＜x2，设t=，（0＜t＜1）设h（x）=lnt﹣（t﹣），则h′（x）=﹣（1+）=﹣＜0∴（x1+x2）2==t++2≥∵0＜t＜1，∴9t2﹣82t+9≥0解0＜≤t，∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣9）=﹣ln9∴g（x1）﹣g（x2）的最小值﹣ln9【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法韦达定理以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。

大庆实验中学2016-2017学年度上学期期末考试高三数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合(){}{}lg 11,11M x x N x x =-<=-≤≤，则=⋂N M ( )A ．()19，-B ．(]19，-C ．[]11，- D ．[)11，- 2．复数z 满足(1)1z i i -=--，则=+2z ( ) A ．3 B ．1 C ．D ．53．等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数2(x)43f x x =-+的两个零点，则{}n a 的前9项和等于( ) A ．﹣18 B ．9 C ．18 D ．364．圆224210x y x y ++--=上存在两点关于直线210ax by -+=()00a b >>，对称，则ba 41+的最小值为( ) A ．3+2B ．9C ．16D ．185．己知60π-=x 是函数()sin(2)f x x ϕ=+的一个极小值点，则()f x 的一个单调递减区间是( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛653ππ， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛326ππ， C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2 D ．⎪⎭⎫⎝⎛ππ，32 6．下列说法中正确的个数是( )（1）从一批产品取出三件产品，设事件A =“三件产品全是次品”，事件B =“三件产品全是正品”，事件C =“三件产品不全是次品”，,,A B C 中任何两个均互斥； （2）已知a ，b 都是实数，那么“b a >”是“b a ln ln >”的充要条件；（3）若命题p ：)2,0(π∈∃x ，0sin <-x x ，则p ⌝：)2,0(π∈∀x ，0sin ≥-x x ；A ．0B ．1C ．2D ．37.将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有 ( )A ．24B ．28C ．32D ．368. 设n 为正整数，nx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1展开式中存在常数项，则n 的一个可能取值为( )A ．8B ．6C ．5D ．29. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是( ) A ．B ．C ．D ．10. 已知实数x ，y 满足约束条件+104312020x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则123++-=x y x z 的最大值为( )A ．59B ．23C ．1625D ．4911. 过双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的右焦点F 做圆222a y x =+的切线，切点为M ,切线交y 轴于点P ,且2=，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．512.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有)(2)(2x f x x f --=，当(),0x ∈-∞时，x x f 21)(<+'.若44)()2(++-≤+m m f m f ，则实数m 的取值范围是( )A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分)13. 在ABC ∆中，90=∠A ，42==AC AB ，，F E ,分别为BC AB ,的中点，则=⋅ ．14. 已知θ是第四象限角，且3sin()=45πθ+，则=θcos ． 15. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若FB AF =,12=⋅BC BA ，则抛物线的方程为 ．16. 已知函数⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(x xe x x x f x，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=++有四个不同的实数根，则实数t 的取值范围为 ．三. 解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，21=a ，n n a a 121-=+，数列{}n b 中，11-=n n a b ，其中*N n ∈；（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若n S 是数列{}n b 的前n 项和，求nS S S 11121+++ 的值．18. （本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴；（2）将函数()f x 的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数g()x 的图象．若c b a ,,分别是ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，6c =+a ，且g()0B =，求b 的取值范围．19.（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是45，生产乙产品为正品的概率是34；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响。

2015-2016学年黑龙江省某校高三（上）期末数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1. 设集合U ={0, 1, 2, 4, 8}，A ={1, 2, 8}，B ={2, 4, 8}，则∁U (A ∩B)=( ) A {0, 2} B {4, 8} C {0, 1, 4} D {1, 8}2. 设复数z 满足zi =−3+i （i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A −3 B −3i C 3i D 33. 命题“∀x ∈R ，2x−1>0”的否定是（ ）A ∀x ∈R ，2x−1≤0B ∃x ∈R ，2x−1≤0C ∃x ∈R ，2x−1>0D ∀x ∈R ，2x−1<04. 已知向量a →与向量b →满足|a →|=1，|b →|=2，a →⊥(b →−a →)，则a →与b →的夹角是（ ） A π6 B π4 C π2 D π35. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（ ）A 7B 8C 9D 106. 若{a n }是等差数列，公差d ≠0，a 2，a 3，a 6成等比数列，则该等比数列的公比为（ ） A 1 B 2 C 3 D 47. 如果方程x 2m+2+y 2m+1=1表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A (−2, −1) B (−∞, −2)∪(−1, +∞) C (−1, −1) D (−3, −2)8. 已知函数f(x)=asinx −bcosx 在x =π4时取得极值，则函数y =f(3π4−x)是（ ） A 奇函数且图象关于点(π, 0)对称 B 偶函数且图象关于点(3π2, 0)对称 C 奇函数且图象关于点(3π2, 0)对称 D 偶函数且图象关于点(−π, 0)对称9. 设(1−x)5(3+2x)9=a 0(x +1)14+a 1(x +1)13+...+a 13(x +1)+a 14，则a 0+a 1+a 2+...+a 13=( )A 39B 25−39C 25D 39−2510. 已知函数f(x)={1−|x −1|(x ≤2)−14x 2+2x −3(x >2)，如在区间(1, +∞)上存在n(n ≥2)个不同的数x 1，x 2，x 3，…，x n ，使得比值f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=...=f(x n )x n成立，则n 的取值集合是（ ）A {2, 3, 4, 5}B {2, 3}C {2, 3, 5}D {2, 3, 4}11. 沿边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 进行折叠，使折后两部分所在的平面互相垂直，则折后形成的空间四边形ABCD 的内切球的半径为（ ） A √2−√62B 1−√62C 1−√22D 1 12. 设函数f(x)是连续函数，且在x =1处存在导数．如函数f(x)及其导函数f′(x)满足f′(x)⋅lnx =x −f(x)x，则函数f(x)( )A 既有极大值，又有极小值B 有极大值，无极小值C 有极小值，无极大值D 既没有极大值，又没有极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为________．14. 某校从6名教师中派3名教师同时去3个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不同去．甲和丙只能同去或同不去则不同的选派方案有________种．15. 过抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点作斜率为√3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为10√3，则p ＝________． 16. 已知数列{________．三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知α为锐角，且tanα=√2−1，函数f(x)=2xtan2a +sin(2a +π4)，数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=f(a n )． (1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n ．18. 已知函数f(x)=sin 2x +√3sinx ⋅cosx +2cos 2x(x ∈R)．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f(A)=2．（1）求函数f(x)的单调增区间及对称中心； （2）若a =√3，求△ABC 面积的最大值．19. 如图，四棱锥P −ABCD ，∠DAB =90∘，BC ⊥CD ，∠CDB =30∘，且PA =PB =PD =AB =AD =√2． （1）求证：面PBD ⊥面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆C 1:y 2a x +x 2b 2=1(a >b >0)的短轴长为4，离心率为√22，其一个焦点在抛物线C 2:x 2=2py(p >0)的准线上，过点M(0, 1)的直线交C 1于C 、D 两点，交C 2于A 、B 两点，分别过点A 、B 作C 2的切线，两切线交于点Q ． （1）求C 1、C 2的方程；（2）求△QCD 面积的最小值．21. 已知函数f(x)=lnx +12ax 2−(a +1)x(a ∈R)．（1）当a =1时，求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； （2）当a >0时，若f(x)在区间[1, e]上的最小值为−2，求a 的值；（3）若对任意x 1，x 2∈(0, +∞)，x 1<x 2，且f(x 1)+x 1<f(x 2)+x 2恒成立，求a 的取值范围．22. 如图，已知PE 是⊙O 的切线，切点为E ，PAB ，PCD 都是⊙O 的割线，且PAB 经过圆心O ，过点P 直线与直线BC ，BD 分别交于点M ，N ，且PE 2=PM ⋅PN ． （1）求证D ，C ，M ，N 四点共圆； （2）求证PB ⊥PN ．23. 已知直线l 的参数方程为{x =−1−√32t ，y =√3+12t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π6)． (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P(x, y)是直线l 与圆面ρ≤4sin(θ−π6)的公共点，求√3x +y 的取值范围． 24. 已知函数f(x)＝|2x −a|+a ．（1）若不等式f(x)≤6的解集为[−2, 3]，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n ，使得f(n)≤m −f(−n)成立，求实数m 的取值范围．2015-2016学年黑龙江省某校高三（上）期末数学模拟试卷（理科）答案1. C2. D3. B4. D5. D6. C7. A8. A9. D10. B11. A12. D13. 16+8π314. 4215. 316. a n}满足：a1＝2，a n+1＝a n2−na n+1，令b n=1a n⋅a n+1，则数列{b n}的前n项和S n＝12−1n+217. 解：(1)∵ tanα=√2−1，∴ tan2α=2tanα1−tan2α=√2−1)1−(√2−1)2=1，又α为锐角，∴ 2α=π4，∴ sin(2α+π4)=1，∴ f(x)=2x+1；(2)∵ a n+1=f(a n)=2a n+1，∴ a n+1+1=2(a n+1)，∵ a1=1，∴ 数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ a n+1=2⋅2n−1=2n，∴ a n=2n−1，∴ na n=n⋅2n−n，下面先求{n⋅2n}的前n项和T n：T n=1×2+2×22+3×23+...+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+...+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，两式相减得：−T n =2+22+23+...+2n −n ⋅2n+1 =2−2n+11−2−n ⋅2n+1=2n+1−2−n ⋅2n+1， ∴ T n =2+(n −1)⋅2n+1， ∴ S n =2+(n −1)⋅2n+1−(1+n)n 2．18. 解：（1）f(x)=1−cos2x2+√32sin2x +1+cos2x =sin(2x +π6)+32，当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6时，k ∈Z ，函数单调增， ∴ 函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3, kπ+π6](k ∈Z)，由2x +π6=kπ，解得函数的对称中心：(kπ2−π12, 32)(k ∈Z) （2）由f(A)=2， ∴ sin(2A +π6)+32=2，∴ sin(2A +π6)=12， ∴ 2A +π6=5π6，∴ A =π3，又a =√3，由余弦定理： a 2=b 2+c 2−2bccosA ，∴ a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∴ b 2+c 2−2bc =3， ∵ b 2+c 2≥2bc ， ∴ bc ≤3， ∴ S =12bcsinA =√34bc ≤3√34，当且仅当b =c 时取等．19. （1）证明：取BD 中点O ，连PO 、AO由PB =PD =√2，BD =2可知△DPB 为等腰直角三角形，则PO =AO =1，而PA =√2，故PO ⊥AO ，------- 又PO ⊥BD ，则PO ⊥平面ABCD ，故面PBD ⊥面ABCD −−−−−−−−−−−−（2）解：如图，建立坐标系，则A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)， ∴ PA →=(1, 0, −1)，PB →=(0, 1, −1)，设面PAB 的法向量为m →=(x, y, z)，则{x −z =0y −z =0，令z =1，则m →=(1, 1, 1)−−−−−−− 同理可得平面PBC 的法向量为n →=(−√33, 1, 1)．-------- 则m →⋅n →=2−√33，∴ cos <m →，n →>=6√7−√2121． 故平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为6√7−√2121−−−−20. 解：（1）∵ 椭圆C 1:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的短轴长为4，离心率为√22，∴ {2b =4e =c a=√22a 2=b 2+c 2，解得a 2=8，b =2，c =2，∴ C 1的方程为：y 28+x 24=1．∵ C 1的焦点为(0, 2)，(0, −2)，其一个焦点在抛物线C 2:x 2=2py(p >0)的准线上， ∴ p =4，∴ C 2的方程：x 2=8y ．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)，Q(x 0, y 0)． 由（1）知C 2:y =x 28，∴ y ′=x4， ∴ 过A 点C 2的切线方程为y −y 1=x 14(x −x 1)，即y =xx 14−y 1．过B 点C 2的切线方程为y =xx 24−y 2．又∵ 这两条直线均过点Q ， ∴ y 0=x 0x 14−y 1，y 0=x 0x 24−y 2， ∴ 点A ，B 均在直线y 0=x 0x 4−y 上．∴ 直线AB 的方程为y =x 0y 4−y 0，又∵ 直线AB 过点M(0, 1)，∴ y 0=−1． ∴ 直线AB 的方程为y =14x 0x +1，联立方程组{y 28+x 24=1y =14x 0x +1，得(x 02+32)x 2+8x 0x −7×16=0， x 3+x 4=−8x 0x 02+32，x 3x 4=−7×16x 02+32．|CD|=√1+x 0216|x 3−x 4|=√1+x 021616√2√x 02+28x 02+32=4√2√(x 02+28)(x 02+16)x 02+32，点Q 到直线AB 的距离为2√x 0+16．∴ △QCD 面积：S =x 02+32˙⋅|x 2+8|√x 02+16=2√2(x 02+8)√x 02+28x 02+32．设√x 02+28=t ，∴ t ≥2√7．∴ S(t)=2√2(t 2−20)tt 2+4=2√2(t −24t+4t)，∴ 当t ∈[2√7, +∞)时，S(t)为单调递增函数． ∴ S min =√14．21. 解：（1）当a =1时，f(x)=lnx +12x 2−2x ，f′(x)=1x+x −2．∵ f′(1)=0，f(1)=−32．∴ 切线方程是y =−32．（2）函数f(x)=lnx +12ax 2−(a +1)x(a ∈R)的定义域是(0, +∞)．当a >0时，f′(x)=1x +ax −(a +1)=ax 2−(a+1)x+1x=(x−1)(ax−1)x．令f′(x)=0，解得x =1或x =1a ． 当0<1a≤1，即a ≥1时，f(x)在[1, e]上单调递增，∴ f(x)在[1, e]上的最小值是f(1)=−12a −1=−2，解得a =2；当1<1a <e 时，f(x)在[1, e]上的最小值是f(1a )，∴ −lna −12a −1=−2，即lna +12a =1． 令ℎ(a)=lna +12a ，ℎ′(a)=1a −12a 2=2a−12a 2=0，可得a ∈(1e ，12)函数ℎ(a)单调递减，a ∈(12，1)函数ℎ(a)单调递增． 而ℎ(1e)=−1+e2<1，不合题意．当1a≥e 时，f(x)在[1, e]上单调递减，∴ f(x)在[1, e]上的最小值是f(e)=1+12ae 2−(a +1)e =−2，解得a =6−2e2e−e 2<0，不合题意．综上可得：a =2．（3）设g(x)=f(x)+x ，则g(x)=lnx +12ax 2−ax ，∵ 对任意x 1，x 2∈(0, +∞)，x 1<x 2，且f(x 1)+x 1<f(x 2)+x 2恒成立， ∴ 只要g(x)在(0, +∞)上单调递增即可． 而g′(x)=ax −a +1x =ax 2−ax+1x．当a =0时，g ′(x)=1x >0，此时g(x)在(0, +∞)上单调递增；当a ≠0时，只需g′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，只要ax 2−ax +1≥0， 则需要{a >0△=a 2−4a ≤0，解得0<a ≤4．综上a 的取值范围是：0≤a ≤4． 22. 证明：（1）∵ PE 是⊙O 的切线，∴ PE 2=PC ⋅PD ， 又∵ PE 2=PM ⋅PN ， ∴ PCPM =PNPD ，又∵ ∠CPM =∠NPD ， ∴ △PCM ∽△PND ， ∴ ∠PCM =∠PND ，∴ ∠DCM +∠PND =180∘，∴ D ，C ，M ，N 四点共圆．--------- （2）由（1）知∠BCD =∠PND ，由圆周角定理得∠BCD +∠NBP =90∘，∠PND +∠NBP =90∘， ∴ ∠BPN =90∘，∴ PB ⊥PN ．-------------23. 解:(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π6)，所以ρ2=4ρ(√32sinθ−12cosθ)，所以圆C 的直角坐标方程为：x 2+y 2+2x −2√3y =0.(2)设z =√3x +y ，由圆C 的方程x 2+y 2+2x −2√3y =0，可得(x +1)2+(y −√3)2=4. 所以圆C 的圆心是(−1, √3)，半径是2.将{x =−1−√32t ，y =√3+12t ，代入z =√3x +y ，得z =−t . 又直线l 过C(−1, √3)，圆C 的半径是2， 由题意有：−2≤t ≤2， 所以−2≤−t ≤2，即√3x +y 的取值范围是[−2, 2]．24. 原不等式可化为|2x −a|≤6−a ， ∴ {6−a ≥0a −6≤2x −a ≤6−a，解得a −3≤x ≤3．再根据不等式f(x)≤6的解集为[−2, 3]，可得a −3＝−2， ∴ a ＝1．∵ f(x)＝|2x−1|+1，f(n)≤m−f(−n)，∴ |2n−1|+1≤m−(|−2n−1|+1)，∴ |2n−1|+|2n+1|+2≤m，∵ y＝|2n−1|+|2n+1|+2={4n+2,n≥12 4,−12<n<122−4n,n≤−12，∴ y min＝4，由存在实数n，使得f(n)≤m−f(−n)成立，∴ m≥4，即m的范围是[4, +∞)．。

大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）期末考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则AB 等于（ ）A ．RB ．{}0C ．{},0x x R x ∈≠ D ．∅2. 化简224(1)ii ++的结果是（ ） A.2i + B.2i -+ C.2i - D.2i -- 3. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） A ．32 B.323C.48D. 1634. 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A. 2133b c -B.5233c b -C. 2133b c + D.1233b c +5. 若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率（ ）A.2B.3C.22D.23 6.函数f (x )＝sin()x ω(ω>0)在区间[0,]4π上单调递增，在区间[,]43ππ上单调递减，则ω为( )A.1B.2 C ．32D ．237.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在2[2,3]a a --上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( ) A ．3B. －1C. －1或3D ．18. 已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A. {}23x x << B. {}23x x x ≤≥或C. 1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或9. 已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A.1[,)2+∞ B. 1[,)3+∞ C.1(,)3+∞ D. 1(,)2+∞10. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（ ） A. 16π B. 12π C. 8π D. 4π11. 已知数列{}n c 的前n 项和为n T ，若数列{}n c 满足各项均为正项，并且以(,)n n c T (n ∈N *)为坐标的点都在曲线2,022a aay x x b a =++（为非常数）上运动，则称数列{}n c 为“抛物数列”.已知数列{}n b 为“抛物数列”，则（ ）A. {}n b 一定为等比数列B. {}n b 一定为等差数列C.{}n b 只从第二项起为等比数列D. {}n b 只从第二项起为等差数列12. 已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[()()]tan ()0f x f x x f x '--<，则（ ）．A.33(ln )sin(ln )22f 一定小于550.6(ln )sin(ln )22fB. 33(ln )sin(ln )22f 一定大于550.6(ln )sin(ln )22fC. 33(ln )sin(ln )22f 可能大于550.6(ln )sin(ln )22fD. 33(ln )sin(ln )22f 可能等于550.6(ln )sin(ln )22f第Ⅰ卷(非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13. 圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 . 14. 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2),则tan （α＋β）= .15. 已知函数2()20f x x ax =++ (a ∈R )，若对于任意0x >，f (x )≥4恒成立，则a 的取值范围是________.16.在平面直角坐标系中，设,,M N T 是圆C :22(1)4x y -+=上不同三点，若存在正实数,a b ，使得CT aCM bCN =+，则3221a ab ab b a++++的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.) 17.（本小题满分10分） 在ABC ∆中，tan 2tan A AB ACB AC-=.(1)求tan A ；(2)若1BC =，求A C A B ⋅的最大值，并求此时角B 的大小.18. （本小题满分12分）已知直线:(3)(1)40l t x t y +-+-=（t 为参数）和圆22:68160C x y x y +--+=； （1）t R ∈时，证明直线l 与圆C 总相交；（2）直线l 被圆C 截得弦长最短，求此弦长并求此时t 的值.19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，1AA AC ⊥，M 、N 分别为棱1AA 、1CC 的中点.（1）求证：直线MN ⊥平面1B BD ；（2）已知1AA AB =，1AA AB ⊥，取线段11C D 的中点Q ，求二面角Q MD N --的余弦值. 20．（本小题满分12分）设数列{a n }满足12n a a a +++＋2n ＝11(1)2n a ++，n ∈N *，且a 1＝1．(1)求证数列{}2nn a +是等比数列；(2)求数列{a n}的前n 项和nS.21．（本小题满分12分）已知椭圆C 与椭圆E ：22175x y +=共焦点，并且经过点6(1,)2A ， (1)求椭圆C 的标准方程；(2)在椭圆C 上任取两点P Q 、，设PQ 所在直线与x 轴交于点(,0)M m ，点1P 为点P 关于轴x 的对称点，1QP 所在直线与x 轴交于点(,0)N n ，探求mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()xxf x e be -=+，（b R ∈），函数()2sing x a x =，（a R ∈）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1b =-，()(),(0,)f x g x x π>∈，求a 取值范围.参考答案一、选择题BCBCA BABDC BA二、填空题 13. 22(1)1x y ++= 14.1 15. [-8，＋∞) 16. (2,)+∞ 三、解答题17. 由正弦定理知sin cos 2sin sin ,sin cos sin A B C BB A B-= 即sin cos sin cos 2sin ,sin cos sin B A A B CB A B += sin()2sin 1,cos ,sin cos sin 2A B C A B A B +∴=∴=0,,tanA 33A A ππ<<∴==（2)在ABC ∆中，2222cos ,BC AC AB AC AB A =+-⋅且1,BC =221,AC AB AC AB ∴=+-⋅222,12,AC AB AC AB AC AB AC AB +≥⋅∴≥⋅-⋅即1AC AB ⋅≤，当且仅当1AC AB ==时，AC AB ⋅取得最大值1， 此时3B π=18. 解：（1）直线总过定点(2,2)，该点在圆内，所以直线l 与圆C 总相交.（2）73t =-，最短弦长为4. 19. （1）证明：关键步骤：1,MN BD MN BB ⊥⊥,则1MN BB D ⊥.（2）由已知可得四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面MDN 的一个法向量为11(,,1)22n =-，(0,1,2)Q ，则面QMD 的一个法向量为1(,2,1)2m =-，则314cos ,14n m <>=，所以二面角Q MD N --的余弦值为31414. 20. (1) 解 由条件可得25a =.∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n，则1123(2)n nn n a a +++=+，又2a ＋4＝9，知11232n n nn a a +++=+（2n ≥），经计算当1n =时，221232a a +=+也成立，所以{}2n na+是首项为3，公比为3的等比数列，(2)法一：由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1直接可得11113222n n n S ++=⋅-+ 法二：直接求和公式.21. 解：（1）22142x y +=（2）当PQ 斜率不存在时，不合题意.故设PQ 为y kx b =+，(0,0k b ≠≠),则(,0)bM k-，设点11(,)P x y ，则111(,)P x y -，设22Q(,)x y ，则1PQ 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则121211221121212112121212()()()2()()2()2y x x x y x y x kx b x kx b kx x b x x n x y y y y k x x b k x x b-++++++=+===++++++由22142x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4240k x kbx b +++-=，则 2121222424,1212kb b x x x x k k -+=-=++.则22121222122()4844()2424kx x b x x kb k kb kk x x b k b b k b b++--==-++-++， 故4(,0)kN b-，所以 4.mn =所以mn 是定值，定值为4. 22. 解：（1）2()()x xxxe bf x e bee--'=-= ①当0b ≤时，()0f x '≥，所以()f x 的增区间为(,)-∞+∞； ②当0b >时，减区间为1(,lnb),2-∞增区间为1(lnb,)2+∞.（2）由题意得2sin 0,(0,)x xe ea x x π--->∈恒成立， 构造函数()2sin xxh x e e a x -=--，(0,)x π∈显然0a ≤时，2sin 0,(0,)xxe ea x x π--->∈恒成立，下面考虑0a >时的情况.(0)0h =，()2cos x x h x e e a x -'=+-，(0)22h a '=-当01a <≤时，()0h x '≥，所以()2sin xxh x e ea x -=--在(0,)π为增函数，所以()(0)0h x h >=，即01a <≤满足题意；当1a >时，(0)220h a '=-<，又()02h π'>，所以一定存在0(0,)2x π∈，0()0h x '=，且0()0,(0,)h x x x '<∈，所以()h x 在0(0,)x 单调递减，所以()(0)0h x h <=，0(0,)x x ∈，不满足题意.综上，a 取值范围为(,1]-∞.。

某某市实验中学2016年高三得分训练（一）数学试题（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求.1. 设全集I R =，集合{}3log ,3A y y x x ==>，{B x y == ，则( )(A)A B ⊆(B)AB A = (C)A B =Φ (D)()IAB ≠Φ2.设i 为虚数单位，则复数34ii-=( ) (A)43i -- (B)43i -+(C)43i +(D)43i -3.在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c，且c =，4B π= ，面积2S = ，则b 等于()(A)2(B)525 4. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有( ) (A)36种(B)30种(C)24种(D)6种5. 已知,,αβγ 为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥ ，βγ⊥ ，则α∥γ ；命题:q 若α上不共线的三点到β 的距离相等，则α∥β .对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) (A)命题“p q ∧”为真 (B)命题“p q ∨⌝”为假 (C)命题“p q ∨”为假(D)命题“p q ⌝∧”为真6.如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值X 围是( )(A).⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1(C).⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12(D).⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()(A)22(B)21(C)42(D)41 9.如图，在由x ＝0，y ＝0，x ＝2π及y ＝x cos 围成区 域内任取一点，则该点落在x ＝0，y ＝sinx 及y ＝cosx 围成的区 域内（阴影部分）的概率为( )(A)1－22 (B)2－1 (C)212-(D)3－22 10. 设,,A B C 是圆221x y += 上不同的三个点，且0OA OB ⋅=，若存在实数,λμ 使得OC OA OB λμ=+，则实数,λμ 的关系为( )(A)221λμ+= (B)111λμ+= (C)1λμ⋅= (D)1λμ+=11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( ) (A).n2n －1(B).n ＋12n －1＋1(C).2n －12n －1(D).n ＋12n ＋112.定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ） (A)233(B)-3 (C)1 (D)3 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: : 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是________．14.已知向量()(),1,4,2a m b n ==- ，0,0m n >>，若a ∥b ，则18m n+的最小值________． 15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别 交于A 、B 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离 心率为________．16．在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=，则满足1212n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,2sin sin sin 2A BA B -+224+=（1）求角C 的大小；（2）若b ＝4，△ABC 的面积为6，求边c 的值．18. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率;（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．20（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．21． （本题满分12分）已知函数()ln 1(0).f x a x a =+> （1）当1a =且1x >时，证明：4()31f x x >-+；（2）若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，某某数a 的取值X 围；（3）当12a =时，证明：12()2(11)n i f i n n +=>+-+∑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N,过N 点的切线交CA 的延长线于P 。

2015-2016学年黑龙江省大庆一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．2．函数的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称3．已知M={x|x=a2+2a+2，a∈N}，N={y|y=b2﹣4b+5，b∈N}，则M，N之间的关系是（）A．M⊆N B．N⊆MC．M=N D．M与N之间没有包含关系4．设函数，则下列结论正确的是（）①f（x）的图象关于直线对称②f（x）的图象关于点对称③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．A．③B．①③C．②④D．①③④5．已知等差数列{a n}的前，且满足条件=（）A．B．2016 C．D．20156．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos ∠F1PF2=（）A．B．C．D．7．已知实数x，y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，] B．（﹣∞，0]∪[，+∞）C．[2，] D．（﹣∞，2]∪[，+∞）8．对于下列四个命题p1：∃x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0p2：∃x0∈（0，1），log x0＞log x0p3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log xp4：∀x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p49．已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π210．若曲线C1：x2+y2﹣4x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣x）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）11．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C． D．12．已知，平面区域D由所有满足（1≤λ≤a，1≤μ≤b）的点P构成，其面积为8，则4a+b的最小值为（）A．13 B．12 C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A、B两点，则弦长AB的长为．14．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则a6=； +++…+=．15．设非直角△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．①“sinA＞sinB”是“a＞b”的充分必要条件；②“cosA＜cosB”是“a＞b”的充分必要条件；③“tanA＞tanB是“a＞b”的充分必要条件；④“sin2A＞sin2B”是“a＞b”的充分必要条件；⑤“cos2A＜cos2B”是“a＞b”的充分必要条件．16．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，切圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间内的最大值为．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2，．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．19．已知数列{a n}中，的对称轴为．（1）试证明{2n•a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的前n项和为S n，求S n．20．已知D为圆O：x2+y2=8上的动点，过点D向x轴作垂线DN，垂足为N，T在线段DN上且满足．（1）求动点T的轨迹方程；（2）若M是直线l：x=﹣4上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（3）若（2）中直线PQ与动点T的轨迹交于G，H两点，且，求此时弦PQ的长度．21．已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．24．选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位．且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．2015-2016学年黑龙江省大庆一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．D ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a +bi 的形式，利用复数的基本概念，列出方程求解即可．【解答】解：依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得m=2． 故选：A ． 2．函数的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．直线y=﹣x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y=x 对称【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】根据函数f （x ）的奇偶性即可得到答案．【解答】解：∵f （﹣x ）=﹣+x=﹣f （x ）∴是奇函数，所以f （x ）的图象关于原点对称故选C ． 3．已知M={x |x=a 2+2a +2，a ∈N }，N={y |y=b 2﹣4b +5，b ∈N }，则M ，N 之间的关系是（ ） A ．M ⊆N B ．N ⊆MC ．M=ND ．M 与N 之间没有包含关系 【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．【解答】解：M={x |x=a 2+2a +2=（a +1）2+1，a ∈N }={2，5，10，…}， N={y |y=b 2﹣4b +5=（b ﹣2）2+1，b ∈N }={1，2，5，10，…}， 所以M ⊊N ． 故选：A ．4．设函数，则下列结论正确的是（）①f（x）的图象关于直线对称②f（x）的图象关于点对称③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．A．③B．①③C．②④D．①③④【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【分析】研究函数的性质，可利用代入法，将2x+看做整体，若它的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标，则其对应的x值即为所研究函数的对称轴或对称中心横坐标，同理2x+所在区间为正弦函数的单调增区间，则其对应的x所在区间为所研究函数的单调增区间，由此判断①②④的正误，利用函数图象的平移变换理论和诱导公式、偶函数的定义可证明③正确【解答】解：①∵2×+=π，x=π不是正弦函数的对称轴，故①错误；②∵2×+=，（，0）不是正弦函数的对称中心，故②错误；③f（x）的图象向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，y=cos2x为偶函数，故③正确；④由x∈，得2x+∈[，]，∵[，]不是正弦函数的单调递增区间，故④错误；故选A5．已知等差数列{a n}的前，且满足条件=（）A．B．2016 C．D．2015【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得a1+a2015=1，由此能求出等差数列{a n}的前2015项和．【解答】解：∵，且，∴a1+a2015=1，∵等差数列{a n}，∴=．故选：C．6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos ∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选C．7．已知实数x，y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，] B．（﹣∞，0]∪[，+∞）C．[2，] D．（﹣∞，2]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：z==2+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到D（0，﹣2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由解得，即A（3，2），则AD的斜率k=，CD的斜率k=，则k的取值范围是k≥或k≤﹣2，则k+2≥或k+2≤0，即z≥或z≤0，故选：B8．对于下列四个命题p1：∃x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0p2：∃x0∈（0，1），log x0＞log x0p3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log xp4：∀x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据幂函数的单调性，我们可以判断p1的真假，根据对数函数的单调性，及指数函数的单调性，我们可以判断p2，p3，p4的真假，进而得到答案【解答】解：p1：∃x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0，是假命题，原因是当x0∈（0，+∞），幂函数在第一象限为增函数；p2：∃x0∈（0，1），log x0＞log x0，是真命题，如；p3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log x，是假命题，如x=时，；p4：∀x∈（0，），＜＜1，，是真命题．故选：D．9．已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π2【考点】等比数列的性质；定积分．【分析】求定积分可得a2013+a2015=π，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014•a2012+2a2014•a2014+a2014•a2016=+2a2013•a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A10．若曲线C1：x2+y2﹣4x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣x）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】曲线C1表示以C1：（2，0）为圆心、半径等于2的圆；①当m≠0时，曲线C2表示x轴及过点（﹣1，0）且斜率为m的直线，要使两条曲线有四个不同交点，需y=m（x+1）和圆（x﹣4）2+y2=16 相交，根据圆心到此直线的距离小于半径，求得m的范围．②当m=0时，检验不满足条件．综合可得m的范围．【解答】解：曲线C1：x2+y2﹣4x=0 即（x﹣2）2+y2=4，表示以C1：（2，0）为圆心、半径等于2的圆．对于曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0，①当m≠0时，曲线C2即y=0，或y=m（x+1），表示x轴及过点（﹣1，0）且斜率为m的直线，要使两条曲线有四个不同交点，需y=m（x+1）和圆（x﹣2）2+y2=4相交，故有＜2，求得﹣＜m＜，且m≠0．②当m=0时，曲线C2：即y2=0，即y=0，表示一条直线，此时曲线C2和曲线C1只有一个交点，不满足条件．综上可得，实数m的取值范围是（﹣，0）∪（0，），故选：B．11．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．【解答】解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A12．已知，平面区域D由所有满足（1≤λ≤a，1≤μ≤b）的点P构成，其面积为8，则4a+b的最小值为（）A．13 B．12 C． D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】先求出sin∠BAC==，上平面区域D的面积S=2（a﹣1）×2（b﹣1）×sin∠BAC=2[ab﹣（a+b）+1]=8，得到ab﹣（a+b）=3，由此能求出4a+b的最小值．【解答】解：∵，∴cos∠BAC===，∴sin∠BAC==，设P（x，y），∵平面区域D由所有满足（1≤λ≤a，1≤μ≤b）的点P构成，∴平面区域D的面积S=2（a﹣1）×2（b﹣1）×sin∠BAC=2[ab﹣（a+b）+1]=8，∴ab﹣（a+b）=3，∴，解得a+b≥6或a+b≤﹣2（舍），∴ab=3+（a+b）≥9，∴4ab≥36，4a+b=12．故4a+b的最小值为12．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A、B两点，则弦长AB的长为16．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），设直线AB的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为y=2﹣x，代入抛物线的方程，可得x2﹣12x+4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=12，由抛物线的定义可得，|AB|=x1+x2+p=12+4=16．故答案为：16．14．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则a6=15； +++…+．【考点】归纳推理．【分析】根据图象的规律可得出通项公式a n，根据数列的特点可用列项法求其前n项和的公式，而+++…+是前2011项的和，代入前n项和公式即可得到答案．【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即a n=3n﹣3，∴a6=15；令S n=+++…+=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=故答案为：15，．15．设非直角△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是①②⑤（写出所有正确结论的编号）．①“sinA＞sinB”是“a＞b”的充分必要条件；②“cosA＜cosB”是“a＞b”的充分必要条件；③“tanA＞tanB是“a＞b”的充分必要条件；④“sin2A＞sin2B”是“a＞b”的充分必要条件；⑤“cos2A＜cos2B”是“a＞b”的充分必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①根据正弦定理判断，②利用函数y=cosx在（0，π）上单调递减得A＞B，结合三角形的边角关系判断即可．③特殊值判断：如A为锐角，B为钝角，④如A=45°，B=60°时不符合，⑤利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，再结合正弦定理判断即可．【解答】解：由①sinA＞sinB，利用正弦定理得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，等价于a＞b，①正确；由②cosA＜cosB，利用函数y=cosx在（0，π）上单调递减得A＞B，等价于a＞b，②正确；由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A为锐角，B为钝角，虽然有tanA＞tanB，但由大角对大边得a＜b，③错误；由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b，④错误；由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，∴sinA＞sinB，故等价于a＞b，⑤正确．故答案为：①②⑤16．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，切圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】讨论：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．【解答】解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=，∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间内的最大值为．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）先利用两角和公式和对函数解析式化简整理，根据图象的平移确定g（x）的解析式，根据x的范围和三角函数的图象与性质确定g（x）的最大值的解析式，求得m．（Ⅱ）根据第一问中函数的解析式确定B的值，进而利用余弦定理和基本不等式确定b的范围，最后确定周长的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，∴，因为当时，，所以由已知得，即时，，所以m=1；（Ⅱ）由已知，因为三角形中，所以，所以，即，又因为a+c=2，由余弦定理得：，当且仅当a=c=1时等号成立，又∵b＜a+c=2，∴1≤b＜2，所以△ABC的周长l=a+b+c∈[3，4），故△ABC的周长l的取值范围是[3，4）．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2，．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．（2）AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A﹣PC ﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结PO、CO，∵PA=PD=，AB=2，∴△PAD为等腰直角三角形，∴PO=1，PO⊥AD，∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴，又PC=2，∴PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，又AB∩CO=O，AB⊂平面ABCD，CO⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ACD，又PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（2）建立以O为坐标原点，OC，OD，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，﹣1，0），C（，0，0），P（0，0，1），B（，﹣2，0），设平面APC的法向量=（x，y，z），由，令z=，则x=1，y=﹣．即=（1，﹣，）设平面PCB的法向量=（x，y，z），由，令z=，则x=1，y=0，即=（1，0，）cos＜，＞==，∵二面角A﹣PC﹣B的是锐二面角，∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值是．19．已知数列{a n}中，的对称轴为．（1）试证明{2n•a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的前n项和为S n，求S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由于的对称轴为．可得a n≠0，=，化简整理即可证明．（2）由（1）可得：a n=．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵的对称轴为．∴a n≠0，=，化为：2n+1a n+1﹣2n a n=2，∴{2n•a n}是等差数列，首项为2，公差为2．∴2n a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）解：由（1）可得：a n=．∴S n=1+++…+，=+…++，∴=1+++…+﹣=﹣=2﹣，∴S n=4﹣．20．已知D为圆O：x2+y2=8上的动点，过点D向x轴作垂线DN，垂足为N，T在线段DN上且满足．（1）求动点T的轨迹方程；（2）若M是直线l：x=﹣4上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（3）若（2）中直线PQ与动点T的轨迹交于G，H两点，且，求此时弦PQ的长度．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）利用代入法，求动点T的轨迹方程；（2）设M（﹣4，m），则圆K方程为x（x+4）+y（y﹣m）=0与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2得PQ的方程为4x﹣my+8=0，能够证明直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（3）设G（x1，y1），H（x2，y2），则，①，知（x1+2，y1）=3（﹣2﹣x2，﹣y2），结合向量求出PQ的方程，由此入手能够求出弦PQ的长．【解答】解：（1）设T（x，y），则|DN|=|TN|，∵D为圆O：x2+y2=8上的动点，∴x2+（y）2=8，∵|DN|≠0，∴y≠0，∴动点T的轨迹方程为=1；（2）设M（﹣4，m），则圆K方程为x（x+4）+y（y﹣m）=0与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2得PQ的方程为4x﹣my+8=0，令y=0，可得x=﹣2，得直线PQ过定点E（﹣2，0）．（3）设G（x1，y1），H（x2，y2），则，①∵，∴（x1+2，y1）=3（﹣2﹣x2，﹣y2），即：x1=﹣8﹣3x2，y1=﹣3y2，代入①解得：x2=﹣，y2=±（舍去正值），∴k PQ=1，所以PQ：x﹣y+2=0，从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离d=，∴PQ=2=2．21．已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即由此即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用换元法令t=e x，则t∈[1，2]，则h（t）=t3﹣3at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；（Ⅲ）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，由题意知，g′（x）≥0，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即又∵x＞0，，当且仅当时等号成立∴，可得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令t=e x，则t∈[1，2]，则h（t）=t3﹣3at，由h′（t）=0，得或（舍去），∵，∴若，则h′（t）＜0，h（t）单调递减；若，则h′（t）＞0，h（t）单调递增∴当时，h（t）取得极小值，极小值为（Ⅲ）设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx结合题意，有①﹣②得所以，由④得所以设，⑤式变为设，所以函数在（0，1）上单调递增，因此，y＜y|u=1=0，即，也就是此式与⑤矛盾所以F（x）在（x0，F（x0））的切线不能平行于x轴请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】圆的切线的判定定理的证明；弦切角．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．23．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【考点】不等关系与不等式．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为424．选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位．且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1，2），求|PA|+|PB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式；圆的标准方程．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|==．所以|PA|+|PB|的最小值为．2016年8月1日。

大庆实验中学2015-2016学年度上学期期末高三年级数学试题（文）说明：１.本卷满分150分，考试时刻为2小时。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =（ ）A ．{}3B ．{}3,4C ．{}2,3,4D ．{}42．在复平面内,复数54,12i i +-+对应的点别离为A,B ．若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数的模是( ) A ．13B ．13C ．213D ．2103．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C. 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠4. 已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+，则5a 的值为（ ）A ．80B ．40C ．20D ．105．已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若αβ⊥，m αβ=，且n m ⊥，则n α⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥6．在右边的程序框图中，若0()xf x xe =，则输出的是（ ）A.2014xxe xe + B.2012xxe xe + C.2013xxe xe + D.2013xe x +7. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边别离是,,a b c ，若223,sin 23sin a b bc C B -==， 则角A 为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向那个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．35C ．32 D ．09．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．2B ．52C ．62 D ．310. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部份图象如右图所示，若将()y f x =的图象向右平移(0)m m >个单位后，取得的图象关于原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．24πB ．12πC ．6πD ．3π11．在等腰梯形ABCD 中，//,2,1,2AB CD AB AD CD x ===且，其中(0,1)x ∈，以,A B 为核心且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为核心且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意(0,1)x ∈都有不等式212()8e e t +<恒成立，则t 的最大值为（ ） A.74 B.38 C.58 D.5412.设函数 1 (20),() 1 (02),x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩1()() ,[2,2]2g x f x x x =-∈-，yxO1π611π12则实数a 的取值范围是（ ） A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）开学考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．42.若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π4.如图，若依次输入的x 分别为5π6、π6，相应输出的y 分别为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定5.已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5D.526．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( )A.45B.35C.25D.157.若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈)是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3 C.3π2D.5π38. 若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2内恒有()0,f x >则()f x 的单调增区间为（ ） A.B.C.D.9.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC1D．210.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）1(,)2-∞-11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋1212. 已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++, R λ∈, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心第Ⅰ卷(非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13. 圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________.14. 设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值 ．15. 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.2006(,,,_____.x x S x S ==16.在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.) 17.（本小题满分12分）已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．18. （本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中任取3所学校做进一步数据分析，①求取出的3所学校中没有小学的概率；②设取出的小学个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在点P ，P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2都与圆C 相切.若存在，求P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）函数1()ln ,x e f x x-=数列{}n a 满足111,()n n a a f a +==. （1）试求()f x 的单调区间；（2）求证：数列{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零3．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项4．若两个正数a，b满足2a+b＜4，则的取值范围是（）A．{z|﹣1≤z≤1}B．{z|﹣1≥z或z≥1} C．{z|﹣1＜z＜1}D．{z|﹣1＞z或z＞1}5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]6．a，b，c∈R+，设S=，则下列判断中正确的是（）A．0＜S＜1 B．1＜S＜2 C．2＜S＜3 D．3＜S＜47．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n 项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．8．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．410．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b12．函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知与的夹角为60°，且，求．14．在等式++=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是．15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M，N两点，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②直线AC∥平面MENF始终成立；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是．16．关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．18．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，BD⊥CF，且FA⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a．（Ⅰ）求证：平面ADEF垂直于平面ABCD；（Ⅱ）若P、Q分别为棱BF和DE的中点，求证：PQ∥平面ABCD；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．21．函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．22．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（）A．{0，﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1}D．{0}【考点】交集及其运算．【分析】利用特殊角的三角函数值确定出A中的元素，求出B中方程的解得到x的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={cos0°，sin270°}={1，﹣1}，B={x|x2+x=0}={x|x（x+1）=0}={﹣1，0}，∴A∩B={﹣1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A．a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B．a、b、c三个实数中最多有两个小于零C．a、b、c三个实数中至少有两个小于零D．a、b、c三个实数中至少有一个不大于零【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，由此得出结论．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，故应假设的内容是：a、b、c三个实数中至少有两个小于零．故选：C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．3．用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项【考点】数学归纳法．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“++…+＞（n＞2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由n=k到n=k+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．【解答】解：，=故选C【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k 为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．4．若两个正数a，b满足2a+b＜4，则的取值范围是（）A．{z|﹣1≤z≤1}B．{z|﹣1≥z或z≥1} C．{z|﹣1＜z＜1}D．{z|﹣1＞z或z＞1}【考点】基本不等式．【分析】如图所示，画出可行域即为2z=表示可行域内的点P（a，b）与Q （1，﹣2）所在直线的斜率的2倍．分别求出直线OQ，BQ的斜率即可．【解答】解：由，即为2z=表示可行域内的点P（a，b）与Q（1，﹣2）所在直线的斜率的2倍，∵k OQ=﹣2，k QB==2，∴z＜﹣1或z＞1，故选：D．【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的能力，属于中档题．5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，由题意知，则T=π，∴ω=，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．6．a，b，c∈R+，设S=，则下列判断中正确的是（）A．0＜S＜1 B．1＜S＜2 C．2＜S＜3 D．3＜S＜4【考点】反证法与放缩法．【分析】要判断所给的式子的范围，观察式子的特点，分母是一个利用四个字母中的三个做分母的题目，采用放缩法把三个字母的和变化为这四个字母的和，在把所得的结果相加，得到结论，同时以两个为一组，进行放缩，得到式子小于2，得到结果．【解答】解：＞=即S＞1，，，，得，即，得S＜2，所以1＜S＜2．故选B．【点评】本题考查放缩法求解一个式子的取值范围，是一个典型的放缩法，两端都可以变化，可大可小，这种问题经常出现在高考卷中的大型综合题目中．7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n 项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】根据图象的规律可得出通项公式a n，根据数列{}的特点可用列项法求出=，将n=2014代入可得答案．【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即a n=3n﹣3，令S n==++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴=，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和求和问题．属基础题．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4【考点】棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．【分析】本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．【解答】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．【点评】本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．10．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面ACDEC．三棱锥′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确．【解答】解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查了空间想象能力．11．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+xf′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．【点评】本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．12．函数f（x）=+的性质：①f（x）的图象是中心对称图形；②f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）的值域为[，+∞）；④方程f（f（x））=1+有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（）A．①③B．③④C．②③D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①因为函数不是奇函数，所以错误．②利用函数对称性的定义进行判断．③利用两点之间线段最短证明．④利用函数的值域进行判断．【解答】解：①因为f（﹣x）=+≠﹣f（x），所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误．②因为f（3﹣x）=+=+，所以f（x）的图象关于x=对称，所以②正确．③由题意值f（x）≥f（），而f（）=+=，所以f（x）≥，即函数f（x）的值域为[，+∞），正确．④设f（x）=t，则方程f[f（x）]=1+，等价为f（t）=1+，即t=0，或t=3．因为函数f（x）≥，所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以④错误．故正确的说法为：②③故选：C【点评】本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的分析能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知与的夹角为60°，且，求0或2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把两边平方，代入已知化为关于||d的一元二次方程求解．【解答】解：由与的夹角为60°，且，得，即，∴，得，解得||=0或||=2．故答案为：0或2．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础题．14．在等式++=1的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是64．【考点】基本不等式．【分析】设依次填入的三个数分别为x、y、z，根据柯西不等式，即可得到（x+y+z）（++）≥（1+3+4）2=64，问题得以解决．【解答】解：设依次填入的三个数分别为x、y、z，则根据柯西不等式，得（x+y+z）（++）≥（1+3+4）2=64．∴x=8，y=24，z=32时，所求最小值为64．故答案为：64．【点评】本题考察了柯西不等式，掌握柯西不等式是关键，属于基础题．15．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M，N两点，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②直线AC∥平面MENF始终成立；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断①的正误；直线与平行判断②的正误；分析说明函数的单调性判断③的正误；求出几何体的体积即可判断④的正误．【解答】解：对于①：显然，EF⊥BD，又EF⊥DD′，∴EF⊥平面BDD′B′，∴平面MENF⊥平面BDD′B′；∴①正确；对于②：由已知条件，E、F是所在棱的中点，则EF∥ac，且EF⊂平面MENF，AC⊄平面MENF，∴直线AC∥平面MENF始终成立，故②正确；对于③：M在A时，N在D′，MENF的周长最大，MN在所在棱的中点时，MENF的周长最小，M在B′，N在B时，MENF的周长最大，四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]不是单调函数．故③不正确；对于④：连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常函数，所以④正确．综上，正确的有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题重点考查了空间中平行和垂直关系的判断和性质等知识，命题真假的判定，属于中档题16．关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是a≤﹣或a=e．【考点】函数恒成立问题．【分析】分类讨论，将不等式转化，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：a＜0，则lnx+ax≤0，令y=lnx+ax，则y′=+a，∴0＜x＜﹣时，y′＞0，x＞﹣时，y′＜0∴x=﹣时，函数取得最大值ln（﹣）﹣1，∵lnx+ax≤0，∴ln（﹣）﹣1≤0，∴a≤﹣；a=0时，则lnx≤0，在（0，+∞）上不恒成立，不合题意；a＞0时，或，a=e，综上，a≤﹣或a=e．【点评】本题考查求实数a的取值范围，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x﹣）∴f（A）=sin（2A﹣）∵＜A＜，∴0＜2A﹣＜∴0＜sin（2A﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．△＞0，可得f（﹣2）f（2）≤0，解得a范围．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，可得a≤．由命题“p且q”是假命题，可得p与q都是假命题．即可得出．【解答】解：命题p：函数f（x）=x2+ax﹣2在[﹣2，2]内有且仅有一个零点．△=a2+8＞0，∴f（﹣2）f（2）=（2﹣2a）（2+2a）≤0，解得a≥1，或a≤﹣1．命题q：x2+ax+2≤0在区间[1，2]内有解，∴a≤=﹣3．∵命题“p且q”是假命题，∴p与q都是假命题．∴，解得﹣1＜a＜1．∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b n．（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，所以T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②②﹣①得：，=2（3n+1+1），b n+1故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（Ⅲ）=n（3n+1）=n3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…∴数列{c n }的前n 项和…【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．20．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，BD ⊥CF ，且FA ⊥AD ，EF ∥AD ，EF=AF=a ．（Ⅰ）求证：平面ADEF 垂直于平面ABCD ；（Ⅱ）若P 、Q 分别为棱BF 和DE 的中点，求证：PQ ∥平面ABCD ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC ，推导出BD ⊥AC ，从而FA ⊥平面ADEF ，由此能证明平面ADEF 垂直于平面ABCD ．（Ⅱ）作PS ⊥AB ，QT ⊥AD ，EM ⊥AD ，S ，T ，M 是垂足，推导出四边形PSTQ 是平行四边形，从而PQ ∥ST ，由此能证明PQ ∥平面ABCD ．（Ⅲ）多面体ABCDEF 的体积V 多面体ABCDEF =V F ﹣ABCD +V C ﹣DEF ，由此能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF ⊥AD ，平面ABCD ∩平面ADEF=AD ，∴FA ⊥平面ADEF ，∴平面ADEF 垂直于平面ABCD ． （Ⅱ）作PS ⊥AB ，QT ⊥AD ，EM ⊥AD ，S ，T ，M 是垂足， 在△ABF 中，PS ：AF=BP ：BF=1：2，PS=AF ，在直角梯形ADEF 中，QT=EM=AF ，∴PSQT ，∴四边形PSTQ 是平行四边形，∴PQ ∥ST ， ∵ST ⊂平面ABCD ，∴PQ ∥平面ABCD ． 解：（Ⅲ）多面体ABCDEF 的体积： V 多面体ABCDEF =V F ﹣ABCD +V C ﹣DEF ==．【点评】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．函数f （x ）=x 2+mln （x +1）．（1）若函数f （x ）是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若m=﹣1，试比较当x ∈（0，+∞）时，f （x ）与x 3的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式e 0+e ﹣1×4+e ﹣2×9+…+e ＜成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【分析】（1）分f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立两种情况；（2）令m=﹣1，通过求导，得g（x）=f（x）﹣x3在（0，+∞）上单调递减，从而得证；（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），变形为（x ∈（0，+∞）），相加计算即可．【解答】解：（1）根据题意，由=，可知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．下面分两种情况讨论：①当f′（x）=≥0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≥在（﹣1，+∞）上恒成立，故m≥；②当f′（x）=≤0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≤在（﹣1，+∞）上恒成立．∵在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数m使f′（x）＜0在（﹣1，+∞）上恒成立．综上所述，实数m的取值范围是[）；（2）当m=﹣1时，即函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令g（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则=，显然，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＜g（0）=0，即f（x）﹣x3＜0恒成立，故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），所以，即（x∈（0，+∞）），当x取自然数时，有（n∈N*），所以e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）=1×n+1+2+3+4+…+n==．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．22．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直，列出方程，即可求解a的值．（2）求出g'（x），列出求解函数的极值点的方程，利用韦达定理，化简g（x1）﹣g（x2），构造新函数，通过新函数的导数求解函数的最值．【解答】解：（1）直线x+2y=0的斜率为﹣；故在x=1处的切线的斜率为2；f′（x）=1+，故f′（1）=1+a=2；解得，a=1．（2）=x+lnx+x2﹣bx，x＞0∴g′（x）=1++x﹣b=令g′（x）=0，得x2﹣（b﹣1）x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴g（x1）﹣g（x2）=（x1+lnx1+x12﹣bx1）﹣（x2+lnx2+x22﹣bx2）=ln+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln+（﹣），∵0＜x1＜x2，设t=，（0＜t＜1）设h（x）=lnt﹣（t﹣），则h′（x）=﹣（1+）=﹣＜0∴（x1+x2）2==t++2≥∵0＜t＜1，∴9t2﹣82t+9≥0解0＜≤t，∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣9）=﹣ln9∴g（x1）﹣g（x2）的最小值﹣ln9【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法韦达定理以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．。