人教版九年级上册课本基础知识

第二十一章 二次根式1.二次根式的意义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。

如：)0(2),1(1,2≥-≥+a ax x 等都是二次根式。

2.最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

3.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

4.二次根式的主要性质（1）（a 2)=a )0(≥a 。

（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a(3) ).0,0(≥≥⋅=b a b a ab （4）ab ab = )0,0(≥≥a b5.二次根式的运算 （1）因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

（2）有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（3）二次根式的加、减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

（4）二次根式的乘、除法二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。

（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

1、根式)0,0(>≥a b ab的化简方法 （1）把a b 化为,ab然后分母有理化为.a ab （2）利用商的算术平方根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即a b =.2aab a ab = （2）运用积的算术平方根的性质[)0,0(,ab ≥≥⋅=b a b a ],二次根式的性质[)0(2≥=a a a ]及因式分解等知识化简二次根式K （K 的值为大于或等于零的整式）。

注意：K 是多项式时要先分解因式，K 为整数时要先分解质因数（4）利用（a ）a =2给多项式在实数范围内分解因式。

如：))((2b a b a b a -+=-（b 为大于零的常数） 2、分母有理化的方法与技巧分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：①根据（a ）a =2)0(≥a 可知a的有理化因式是;a ±②根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a μ，y b x a ±的有理化因式是y b x a μ分母有理化有时可通过约分来解决，如：()()().0y 0x y x y x yx yx yx y -x 〉〉=±-+=±，（μ()() 0,0x yx yx y 2x 2〉〉±=+±=±+±y x y x yx y等。

第二十二章 一元二次方程 一元二次方程的概念只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为)0()(2≥=+p p n mx 的形式>步骤：移（移常数项到方程的右边）变（变二次项系数为1）配（两边同加系数ba的一半的平方）写（左边写成完全平方的形式，右边进行计算）开（.如果右边的常数是非负数,那么就开平方）解（分别求出两个一元一次方程的解即可）②公式法 aacb b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）根与系数的关系：当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2-4ac<0时，方程无实数根。

如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：ac x x ab x x =⋅-=+2121。

一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式： ①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。

（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(21221=++-x x x x x x（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根一元二次方程根与系数的关系：当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2-4ac<0时，方程无实数根。

如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：ac x x ab x x =⋅-=+2121。

一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式： ①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。

（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(21221=++-x x x x x x （4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根一元二次方程实际应用问题归纳（1。

（2）关于销售问题：①进价，成本价，售价，定价，标价的意义；②单件利润=售价-进价，总利润=销量×单件利润； ③利润率=利润进价×100%。

（3）关于储蓄中的一些概念：本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金； 本息：本金与利息的和； 期数：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息=本金×利率×期数；本息=本金+利息.（4）“翻几番”→ 2n倍（n=0 不翻；n=1 翻一番；n=2 翻两番；…）（5）“连续变化”问题→特征:始量a经过两次连续增加（或降低）且百分率是相同（x）.（第一阶段）→开始量a（第二阶段）→变化第一次为：a±a.x或a(1±x)（第三阶段）→变化第二次为：a(1±x)+a(1±x).x 或a(1±x)2.→如果告诉第三阶段的量b ,则得方程：a(1±x)2=b（6）面积问题：在一个图形中切除另外一个图形注意在切除过程中的面积变化及每个图形的面积表达式。

总结：做题时必须把题读懂：（1）弄清哪些量是已知的、哪些量是未知的；（2）找出各量之间的等量关系，能作合理选择；（3）设好未知数，建立方程；（4）准确求解，最后合理作答。

第二十三章旋转旋转在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

旋转的特点图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

旋转对称中心把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

中心对称和中心对称图形中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念．它们的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．也就是说：①中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

中心对称图形：正（2N）边形（N为大于1的正整数），线段，矩形，菱形，圆只是中心对称图形：平行四边形等．既不是轴对称图形又不是中心对称图形：不等边三角形，非等腰梯形等．中心对称的性质①关于中心对称的两个图形是全等形。

②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。

中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点.第二十四章圆圆定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。