一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．
(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；
(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA
=，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；
(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2
3
DG，PO=5，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；
（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出
EH∥DG，求出OM=1
2
AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=
2
3
DG，DG=3a，
求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝
1
2
MO
BM
=，tanP=
1
2
CO
PO
=,设
OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠PAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠PAC；
（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，
∵FG∥AD，
∴∠FGD+∠D=180°，
∵∠D=90°，
∴∠FGD=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA=90°，
∴∠BED=90°，
∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，
∴四边形HGDE是矩形，
∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，
∵BF AF
=，
∴∠HEF=∠FEA=1
2
∠BEA=190
2
o
?=45°，
∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，
∴∠HEF=∠HFE，
∴FH=EH，
∴FG=FH+GH=DE+DG；
（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，
∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，
∴△FHO≌△EHO，
∴∠FHO=∠EHO=45°，
∵四边形GHED是矩形，
∴EH∥DG，
∴∠OMH=∠OCP=90°，
∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，∴∠HOM=∠OHM，
∴HM=MO，
∵OM⊥BE，
∴BM=ME，
∴OM=1
2 AE，
设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=2
3
DG，DG=3a，
∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，∴四边形GHMC是矩形，
∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，∵DG=HE，GC=HM，
∴ME=CD=2a，BM=2a，
在Rt△BOM中，tan∠MBO=
1
22 MO a
BM a
==，
∵EH∥DP，
∴∠P=∠MBO，
tanP=
1
2 CO
PO
=，
设OC=k，则PC=2k，
在Rt△POC中，OP=5k=5，
解得：k=5，OE=OC=5，
在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，
a=1，
∴HE=3a=3，
在Rt△HFE中，∠HEF=45°，
∴EF=2HE=32．
【点睛】
考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
2．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.
（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；
（3）求DE
BE
的值.
【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 -
【解析】
试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；
（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得
BE=AF=2AD；
（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，
DH=21
-, 然后根据相似三角形的性质可求解.
试题解析：（1）∵D是的中点
∴AD=DC
∴∠CBD=∠ABD
∴BD平分∠ABC
（2）提示：延长BC与AD相交于点F,
证明△BCE≌△ACF,
BE=AF=2AD
（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：
设OH为1，则BC为2，2，
21, DE
BE
=
DH
BC
DE BE 21 -
3．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O 与直线AB的距离为5．
（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？
【答案】（1）52
-
；（2）52
-；（3）
2042
-
【解析】
分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；
（2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果；
（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离．
详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，
如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F，
设⊙O与直线l切于点D，连接OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l，
由切线长定理可知C′E=C′D，
设C′D=x，则C′E=x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，
∴△EFC′是等腰直角三角形，
∴C′F=2x ，∠OFD=45°， ∴△OFD 也是等腰直角三角形， ∴OD=DF ， ∴
2x+x=1，则x=2-1，
∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2， ∴点C 运动的时间为52
-； 则经过
52
2
-秒，△ABC 的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切，△ABC 移至△A′B′C′处，⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处，
A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ， ∵CC′=2t ，DD′=t ，
∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ， 由（1）得：2-1， 解得：2，
答：经过2秒△ABC 的边与圆第一次相切； （3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t ，DD′=t ， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ， 由（1）得：2-1， 解得：1022
-， ∴点B 运动的距离为2×
10223-=2042
3
-．
点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．
4．如图，Rt ABC ?内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与
BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .
(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明; (2)求证:AE BF =;
(3)若3(22)OG DE =-，求⊙O 的面积.
【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π 【解析】
试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可； （2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解． 试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：
如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．
（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．
（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =1
2
AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ?CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴
BD DE
AD DB
=，即BD 2=AD ?DE ，
∴22622BD AD DE OG DE =?=?=-（）
．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==-（）①，设AC =x ，则BC =x ，AB =2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB =2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC =221x x x -=-（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：
222222[21]222BF BC CF x x x =+=+-=-（）（）②，由①、②，得
22222422x -=-（）（），∴x 2=12，解得：23x =或23-（舍去），∴222326AB x =
=?=，∴⊙O 的半径长为6，∴S ⊙O =π?（6）2=6π．
点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．
5．如图，AB 是圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点D 在AM 上，连接OD 交圆O 于点E ，过点D 作DC=DA 交圆O 于点C （A 、C 不重合），连接O C 、BC 、CE ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若圆O 的直径等于2，填空： ①当AD= 时，四边形OADC 是正方形； ②当AD= 时，四边形OECB 是菱形．
【答案】(1)见解析；（2）①1；②3． 【解析】
试题分析：（1）依据SSS 证明△OAD ≌△OCD ，从而得到∠OCD=∠OAD=90°； （2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA ；
②依据菱形的性质得到OE=CE ，则△EOC 为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD 的长． 试题解析：解：∵AM ⊥AB ， ∴∠OAD=90°．
∵OA=OC ，OD=OD ，AD=DC ，
∴△OAD≌△OCD，
∴∠OCD=∠OAD=90°．
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）①∵当四边形OADC是正方形，
∴AO=AD=1．
故答案为：1．
②∵四边形OECB是菱形，
∴OE=CE．
又∵OC=OE，
∴OC=OE=CE．
∴∠CEO=60°．
∵CE∥AB，
∴∠AOD=60°．
在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，
∴AD=．
故答案为：．
点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．如图1，四边形ABCD为⊙O内接四边形，连接AC、CO、BO，点C为弧BD的中点．（1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO；
（2）如图2，点E在OC上，连接EB，延长CO交AB于点F，若∠DAB=∠OBA+∠EBA．求证：EF=EB；
（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7．
【解析】
试题分析：（1）如图1中，连接OA，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，由点C是 ，推出∠BAC=∠DAC，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO；
BD中点，推出CD CB
（2）想办法证明∠EFB=∠EBF即可；
（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF 于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．首先证明△EFB是等边三角形，再证明△ACK≌△ACT，Rt△DKC≌Rt△BTC，延长即可解决问题；
试题解析：（1）如图1中，连接OA ， ∵OA=OC ，∴∠1=∠ACO ，
∵OA=OB ，∴∠2=∠ABO ，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO ， ∵点C 是BD 中点，∴CD CB =，∴∠BAC=∠DAC ， ∴∠DAC=∠ACO+∠ABO ．
（2）如图2中，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB ，∠COB=2∠BAC ，∴∠BAD=∠BOC ， ∵∠DAB=∠OBA+∠EBA ，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA ， ∴∠EFB=∠EBF ，∴EF=EB ．
（3）如图3中，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长BE 交HO 的延长线于G ，作BN ⊥CF 于N ，作CK ⊥AD 于K ，连接OA ．作CT ∠⊥AB 于T ．
∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°， ∵∠EFB=∠EBF ，∴∠G=∠HOF ，
∵∠HOF=∠EOG ，∴∠G=∠EOG ，∴EG=EO ， ∵OH ⊥AB ，∴AB=2HB ，
∵OE+EB=AB ，∴GE+EB=2HB ，∴GB=2HB ，
∴cos ∠GBA=
1
2
HB GB = ，∴∠GBA=60°， ∴△EFB 是等边三角形，设HF=a ， ∵∠FOH=30°，∴OF=2FH=2a ，
∵AB=13，∴EF=EB=FB=FH+BH=a+13
2
，
∴OE=EF﹣OF=FB﹣OF=13
2﹣a，OB=OC=OE+EC=
13
2
﹣a+2=
17
2
﹣a，
∵NE=1
2EF=
1
2
a+
13
4
，
∴ON=OE=EN=（13
2﹣a）﹣（
1
2
a+
13
4
）=
13
4
﹣
3
2
a，
∵BO2﹣ON2=EB2﹣EN2，
∴（17
2﹣a）2﹣（
13
4
﹣
3
2
a）2=（a+
13
2
）2﹣（
1
2
a+
13
4
）2，
解得a=3
2
或﹣10（舍弃），
∴OE=5，EB=8，OB=7，
∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC，AC=AC，∴△ACK≌△ACT，∴CK=CT，AK=AT，
∵CD CB
，∴DC=BC，∴Rt△DKC≌Rt△BTC，∴DK=BT，
∵FT=1
2
FC=5，∴DK=TB=FB﹣FT=3，∴AK=AT=AB﹣TB=10，∴AD=AK﹣DK=10﹣3=7．
7．定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.
理解：
⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；
⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（
22
3
，
1
3
），（
22
3
，
1
3
）．
【解析】
试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．
试题解析：
（1）如图1所示：
（2）△AEF是否为“智慧三角形”，
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE=2a，
∵BC：FC=4：1，
∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，
在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，
在Rt △ECF 中，EF 2=（2a ）2+a 2=5a 2， 在Rt △ABF 中，AF 2=（4a ）2+（3a ）2=25a 2， ∴AE 2+EF 2=AF 2， ∴△AEF 是直角三角形，
∵斜边AF 上的中线等于AF 的一半， ∴△AEF 为“智慧三角形”； （3）如图3所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ 为直角三角形，
根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为3， 由勾股定理可得PQ=，
PM=1×2
÷3=
，
由勾股定理可求得OM=
， 故点P 的坐标（﹣，），（，）．
考点：圆的综合题．
8．如图，AB 为
O 的直径，C 、D 为O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作
CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .
（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=?. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是
O 的切线.
②当6BD =，3
tan 4
F =
时，求CF 的长.
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203
CF =. 【解析】 【分析】
（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；
（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；
②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=4
3
BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =3
4
，即可求出CF ． 【详解】 解：（1）AB 是
O 的直径，且D 为O 上一点，
90ADB ∴∠=?， CE DB ⊥， 90DEC ∴∠=?， //CF AD ∴，
180DAC ACF ∴∠+∠=?. （2）①如图，连接OC . OA OC =，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠， 321∴∠=∠.
42BDC ∠=∠，1BDC ∠=∠， 421∴∠=∠， 43∴∠=∠， //OC DB ∴. CE DB ⊥， OC CF ∴⊥.
又OC 为O 的半径， CF ∴为O 的切线.
②由（1）知//CF AD ，
BAD F ∴∠=∠，
3tan tan 4
BAD F ∴∠==， 3
4
BD AD ∴
=. 6BD =
4
83
AD BD ∴=
=， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.
OC CF ⊥， 90OCF ∴∠=?，
3
tan 4OC F CF ∴==，
解得203
CF =. 【点睛】
本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．
9．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ
k CQ
+=
，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =
（或2BQ
CQ
）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当2r =
①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值． ②A 22，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．
②当3k =时，求r 的取值范围．
（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．
【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）
333b -<．
【解析】 【分析】
（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ
k CQ
=计算即可解决问题；
②根据定义求出k 的值即可判断；
（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在
x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；
②如图3中，若直线QM 与
C 不相切，设直线QM 与C 的另一个交点为N （不妨设
QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ ，推出
2MQ NQ DQ
k DQ CQ CQ
+=
==，可得当3k =3DQ =221CD CQ DQ -=，
假设
C 经过点Q ，此时2r ，因为点Q 早C 外，推出r 的取值范围是12r <；
（3）如图4中，由（2）可知：当3k =
12r <．当2r 时，C 经过点
(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =3y x b
=-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<． 【详解】
（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．
由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=?，即
11CA QA ⊥，1QA ∴是C 的切线，1222
22
QA k QC ∴=
==． ②
2(12,0)A +在
C 上，22121
22
k -+++∴=
=，2A ∴是C 的“2相关依附
点”．
故答案为：2，是；
（2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与
C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M
在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．
(1,0)Q -，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时
23MQ
k CQ
=
=； ②如图3中，若直线QM 与C 不相切，设直线QM 与C 的另一个交点为N （不妨设
QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，
()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =，∴2MQ NQ DQ
k DQ CQ CQ
+=
==，∴当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，
假设
C 经过点Q ，此时2r ，点Q 早C 外，r ∴的取值范围是12r <．
（3）如图4中，由（2）可知：当3k =
12r <．
当2r
时，C 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，
3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为
333b -<<．
【点睛】
本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点
)B 是C 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
10．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠DAB ＝120°，BC ＝CD ，AD ＝4，AC ＝7，求AB 的长度．
【答案】AB ＝3． 【解析】 【分析】
作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD =，进而得到∠DAC ＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝3AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可. 【详解】
作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，
∵BC ＝CD ， ∴BC CD =， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°， ∵DE ⊥AC ，
∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°， ∴sin60°＝
4DE ，cos60°＝4
AE
， ∴DE ＝3AE ＝2， ∵AC ＝7， ∴CE ＝5， ∴DC ()
2
223537+=
∴BC 37， ∵BF ⊥AC ，
∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°， ∴tan60°＝
BF
AF
，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF 3， ∴
()2
2
2
3737AF +-=
，
∴AF ＝2或AF ＝32
， ∵cos60°＝
AF
AB
， ∴AB ＝2AF ，
当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4， ∴AB ＝AD ， ∵DC ＝BC ，AC ＝AC ， ∴△ADC ≌△ABC （SSS ）， ∴∠ADC ＝∠ABC ，
∵ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
但AC2＝49，
2
222
453 AD DC
+=+=，
AC2≠AD2+DC2，
∴AB＝4（不合题意，舍去），
当AF＝3
2
时，AB＝2AF＝3，
∴AB＝3．
【点睛】
此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.