中考数学专题复习圆的综合的综合题附答案

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出 ，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得 ，由此即可解决问题；
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：∠G=∠CEF；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG = ，AH=3 ，求EM的值．
②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；
（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．
【详解】
（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．
∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；
【答案】(1)AF与⊙O相切理由见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；
（2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式 ，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论．
试题解析：解：（1）AF与⊙O相切．理由如下：
∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO= ∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．
连接AC，∴∠DAC= ∠BAD=15°．
∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．
过点C作CH⊥OB于H．
连接OC．如图所示．∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCF=90°．∵OF∥BC，∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AOF=∠COF．在△OAF和△OCF中，∵OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF与⊙O相切；
作直径AP，连接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P= ，∴ ，∴⊙O的半径是 ．
4．如图，在 中， ，垂足为 ，过 的⊙O分别与 交于点 ，连接 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）当 与⊙O相切时，求⊙O的面积．
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD=CD、∠1=∠C=45°，由∠EAF=90°知EF是⊙O的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；
（2）①连接BD．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A= ，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．
由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；
②若∠ADC=60°时．
∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．
∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形ABCD=3S△AOB=3× ×52= ．
Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．
（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径，根据∠C=45°、AC= 可得AD=1，利用圆的面积公式可得答案．
详解：（1）如图，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°．
又∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠1= ∠BAC=45°，BD=CD，∠ADC=90°．
又∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=CD．
【详解】
解：(1)∵BC＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠CDB＝ ∠COB＝30°，
∵OC＝OD，点E为CD中点，
∴OE⊥CD，
∴∠GED＝90°，
∴∠DGE＝60°；
(2)过点F作FH⊥AB于点H
设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G= = ，∵AH= ，∴HC= ，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣ ，HC= ，∴ ，∴r= ，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴ ，∴ ，∴EM= ．
点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．
（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．
2．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；
（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．
①若AD为直径，且sinA= ，求BC的长；
②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；
(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；
(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=5 ,tan∠ADF=4 ,求⊙O的半径。
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．
（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．
【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，② 或 ；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；
（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；
试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴ ，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．
（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE．
∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF= ，DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等边三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等边三角形，BE=GE= ．∵tan∠AEB= tan∠ADF= ，设HE=x，则AH= ．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，∴4x+x= ，解得：x= ，∴AB=8 ，HB=4 ，AH=12，EC=DE=AB= ，∴HC=HE+EC= = ．在Rt△AHC中，AC= = ．
又∵∠EAF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠EDF=90°，∴∠2+∠4=90°．
又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE和△CDF中．
∵ ，∴△ADE≌△CDF（ASA）．
（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径．在Rt△ADC中，∠C=45°，AC= ，∴sin∠C= ，∴AD=ACsin∠C=1，∴⊙O的半径为 ，∴⊙O的面积为 ．
在Rt△OCH中，CH= OC= ，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣S△AOD=S△BOC+S△AOB= ×5+ ×5×5= ．
故答案为： 或 ；
（3）延Biblioteka BaiduDC，AB交于点E．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCE=∠A= ∠ABC．
∵∠ABC=∠BCE+∠A，∴∠E=∠BCE=∠A，∴BE=BC=b，DE=DA=b，∴CE=d﹣c．
（2）∵△OAF≌△OCF，∴∠OAE=∠COE，∴OE⊥AC，AE= AC=12，∴EF= ．∵∠OAF=90°，∴△OAE∽△AFE，∴ ，即 ，∴OA=20，∴AB=40，sinB= ．
点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．
∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．
Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．
∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB= ∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；
（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得△FGO∽△FCB，进而求得 的值；
（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出 的值．
作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．
试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．
（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF= CN，∴AE=2DF．
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF．
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若AC＝24，AF＝15，求sinB．
∵∠BCE=∠A，∠E=∠E，∴△EBC∽△EDA，∴ ，∴ ，∴d2﹣b2=ab+cd．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
3．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．
(1)如图(1),求证:AD∥BC；
6．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是 上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G．
（1）求∠DGE的度数；
（2）若 ＝ ，求 的值；
（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若 ＝k，求 的值．（用含k的式子表示）
【答案】(1)∠DGE＝60°；(2) ；(3) = .