1.1利用函数性质判定方程解的存在

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x ③
代数法求函数零点
要求下列函数的零点 （1）f (x) 2 x 1 （2）f (x) x2 2x 3
（3）f (x) x2 2x 3
进一步探究
函数零点的个数 函数零点的存在性
函数零点的个数
1. 确定二次函数 y x2 2x 2的零点个数
数的角度： 方程x2 2x 2 0
2.判定方程x2 2x 1 0有两个不相等的实数根 ，且一个根大于 2，另一个根小于 0
巩固练习 1 求下列函数的零点个数.
① f (x) lg x x ② f (x) x 1
x
③ f (x) log2 x x 2
思考题 请判定方程 2x x 0是否存在实数解， 若存在，请给出一个实数解的存在区间.
但是，由f
(
x)
x, 1,
1
x2 x2
的图象可知，f (x)在区间1,2上没有零点
定理理解：判断正误
1 若f (a) f (b) 0,则函数y f (x)在区间 a,b内有零点.
2函数y f (x)在区间 a,b内有零点，则 f (a) f (b) 0.
3函数f (x)在区间a,b 上连续，且f (a) f (b) 0,
f (a) 0, f (b) 0
函数不间断
函数不间断（连续）， f (a) f (b) 0
函数f (x)在区间（a,b） 上存在零点
零点存在定理
若函数y f (x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线，且f (a) f (b) 0
则函数y f (x)在区间（a,b）上至少有一个零点 .
的根的个数
形的角度： 函数y x2 2x 2
的图象与x轴交点的个数 y
0
x1 0

精 品 教 学 设 计1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。

二、教学重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

三、教学程序设计(一)设问激疑，创设情景问题1一元一次方程10x -=的根和相应的一次函数()1f x x =-的图象与x 轴交点坐标有何关系？问题2一元二次方程2320x x -+=的根和相应的二次函数2()32f x x x =-+的图像与x 轴交点坐标有何关系？(二)启发引导，形成概念函数零点的概念：我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点 例如：判断函数12y x =--零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出 函数图像。

函数12y x =--的图像与x 轴有两个交点，所以函数有两个零点。

练习：求下列函数的零点：2(1).()56f x x x =-+(2).()21x f x =-(三)讨论探究，揭示定理思考：函数()y f x =在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()y f x =一定有零点？观察函数()1f x x =-的图像，此函数在区间[]0,2上有没有零点？计算函数()1f x x =-在区间[]0,2的两个端点对应的函数值(0)f 和(2)f 的乘积，你能发现这个乘积有何特点？观察函数2()32f x x x =-+的图像，此函数在区间[]0,1.5上有没有零点？ 计算函数2()32f x x x =-+在区间[]0,1.5的两个端点对应的函数值(0)f 和(1.5)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？此函数在区间[]1.5,3上是否也具有这样的特点？结论：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b <, 那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈ , 使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。

C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1)
(1)函数的零点是一个点.( × )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( × )
1
2.函数y=1+ 的零点是( B )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出
f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)
的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)
的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
1
;

(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直

②采用“启发――探究――讨论”的教学模式; ③教学中巧妙地融入人文、数学史教育，对学 生进行数学文化和人文熏陶，提高课堂教学的 品味; ④理论依据：维果茨基“最近发展区”理论；新
课程理论；APOS理论、课堂教学金字塔理论.
• 我们将用两个课时来学习高次方程和任意 方程的近似解的求法,本节课重点解决方程 解的存在性问题,即函数的零点存在性问题.
零点存在性的探索
1、如图: X轴两侧有两点P、Q，现你用一条 不间断的曲线在[a,b]上将P、Q两点连起来， 观察曲线与x轴的交点情况及P、Q两点对应 的y值的乘积情况.
Q
a
y f x
( a, b)
x 2 3 x =0 在区间[-1，0]内有没有实数解， 解法3：方程
方程 3 =x 在区间[-1，0]内有没有实数解，
x 2

x 2 函数 和 y 3 y =x 的图像在区间[-1，0]内有没有交 点
运用几何画板分别在同一个坐标系中作出函数 y 3x 和 2 y =x 的图像，如下：
• “函数零点”这个名称非常妙，点出了事物的本质。 同学们能否给出函数零点的定义？
函数的零点：
f x) 的图像 我们把 函数 y （ 与横轴的交点的横坐标称为这个 函数的零点
思考1：函数零点是一个点？
思考2：函数零点有哪些等价关系？
数根
x0 是方程f(x)=0的实
数
函数y=f(x)的图像与x轴有 交点（ x0 ，0 ）
P
b
零点存在性的探索
思考 4：函数 y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x)一定有零点？ 探究: （Ⅰ）观察二次函数 f ( x) x 2 2x 3 的图象： 1 在区间 (-2,1) 上有零点 ______ ； f (2) _______ ， ○