高一数学期中考试知识点

必修二《第四章 圆与方程》
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的
半径。

2
★（1课本P118-120，例3
点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：
当2200()()x a y b -+->2
r ，点在圆外，即点到圆心的距离大于半径； 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上，即点到圆心的距离等于半径； 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内，即点到圆心的距离小于半径。

★（2课本当042
2
>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛
--2,2
E D ，半径为
F E D r 42
122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当042
2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

★（3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离
； 相切与C l r d ⇔=；
★ 相交与C l r d ⇔<【直线与圆相交常常抓住：那个直角三角形，弦长=2根号R 2-d 2】 课本P127，例2
★（2：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方
程k ，得到方程【一定两解】
圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-
d ）之间的大小比较来确定。

当R d -=
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
5、空间直角坐标系：（1）空间点的对称点；课本P138（2）空间距离。

必修四《第一章 三角函数》
1、角的定义：
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α
为第几象限角。

【会判断某个角在第几象限，从而知道它的三角函数的正负情况】 3、与角α终边相同的角的集合为{
}2,k k ββπα=+∈Z
4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应
的标号即为
n
α
终边所落在的区域。

课本P10,5（1）（2）
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r
α=。

7、弧度制与角度制的换算公式：180********.3180π
ππ⎛⎫
===≈ ⎪⎝⎭
，， ★8、若扇形的圆心角为()α
α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则
l r α=，2C r l =+
，21
1
2
2
S lr r α==。

★9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是(
)
0r r =
>，则sin y
r
α=
，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠。

特殊角的三角函数值课本P15，表格
★10、三角函数在各象限的符号：（看看正余弦、正切跟什么坐标有关系）第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 。

（如图） 12、同角三角函数的基本关系：课本P18，例6
()2
2
2
2
2
2
(1)sin cos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-
sin sin tan sin tan cos ,cos cos tan ααααααααα⎛⎫=== ⎪
⎝
⎭(2)
±整数π的，三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三
角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限。

三角函数值等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限。

★图像变换课本P49-52，例1（五点作图）
14、(1)函数s i n y x =的图象上所有点向左（右）平移
ϕ个单位长度，得到函数
()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到
原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()
sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数
()sin y A x ωϕ=+的图象。

(2)函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），
得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移
ϕ
ω
个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。

★(3)函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的性质：课本P54 ①振幅：A ；②周期：2T π
ω
=
；③频率：12f T ωπ
=
=；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ。

(4)函数()sin y A x B ωϕ=++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则★()max min 12A y y =-，★()max min 12B y y =+，★()21122
T
x x x x =-<。

★15、正弦、余弦函数和正切函数的图象与性质：【根据图像，掌握性质！知图知一切！】
R
R
,2x x k k ππ⎧⎫
≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
必修四《第三章 三角恒等变换》
1、同角关系： ⑴商的关系：sin tan cos y x θθθ
=
= ⑵平方关系：22sin cos 1θθ+= ★2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：课本P127，例2；P129，例3； ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）
3、二倍角的正弦、余弦和正切公式：课本P133，例5
sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒
⑵2
222cos2cos
sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
⇒升幂公式2
1cos 2cos 2α
α+=，2
1cos 2sin
2α
α-=
⇒★降幂公式2cos 21cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-= ⑶22tan tan 21tan α
αα
=
-
★4、辅助角公式：课本P140，例3（化一公式）)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a
（其中辅助角ϕ与点(,)a b 在同一象限，且tan b
a
ϕ=
）。