【附20套高考模拟试题】2020届吉林省长春市双阳区长春一五一中学高考数学模拟试卷含答案

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,3，5，7}，B ={x|x 2−7x +10≤0}，则A ∩B =( )A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 已知a ，b ∈R ，复数z =a −bi ，则|z|2等于( )A. a 2+b 2−2abiB. a 2−b 2−2abiC. a 2−b 2D. a 2+b 23. 下列函数中，值域为R 且在区间(0,+∞)上单调递增的是( )．A. y =x 2+2xB. y =2x+1C. y =x 3+1D. y =(x −1)|x|4. 已知等差数列{a n }满足4a 3=3a 2，则{a n }中一定为零的项是( )A. a 6B. a 8C. a 10D. a 125. 若夹角为120°的向量a ⃗ 与b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|b ⃗ |=2，则|a⃗ |=( ) A. 1 B. 2 C. 2√3 D. 46. 如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是( )A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高7. 已知命题p ：∀x >0，x <tanx ，命题q ：∃x >0使得ax <lnx ，若p ∨(￢q)为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a ≥1eC. a <1D. a <1e8. 函数f(x)={−x 2−2x(x <0)f(x −1)(x ≥0)，则函数y =f(x)−x 的零点个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 无数9. 已知α∈(π2 , π),cosα=−45，则tan (α+π4)=( )A. 17B. 7C. −17D. −710. 若双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√3311. 等比数列{a n }中，a 3=8，a 6=1，则数列{log 2a n }的前n 项和的最大值为( )A. 15B. 10C.1218D. log 2121812. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是A. C 1D 1⊥B 1CB. BD 1⊥ACC. BD 1⊥B 1CD. BD 1⊥B 1D二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,则x +2y 的最大值为__________．14. 设曲线f(x)=sinx +cosx 在x =π2处的切线与直线x −ay +2=0垂直，则实数a =______． 15. 在线段[0,3]上任取一点，其坐标不大于1的概率是______ ．16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1的中点为E,AC 与BD 交于点O ，平面α过点E ，且与直线OC 1垂直，若AB =1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 为三个内角，已知cosA =57，cosB =15，BC =5．(Ⅰ)求AC 的长；(Ⅱ)设D 为AB 的中点，求CD 的长．18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．19.如图所示，在直三棱柱ABC−DEF中，底面ABC的棱AB⊥BC，且AB=BC=2，点G、H在棱CF上，且CH=HG=GF=1．(1)证明：EH⊥平面ABG；(2)求点C到平面ABG的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为12，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点B作x轴的垂线l1，D为l1上异于点B的一点，以BD为直径作圆E.若过点F2的直线l2(异于x轴)与圆E相切于点H，且l2与直线AD相交于点P，试判断|PF1|+|PH|是否为定值，并说明理由．21.已知函数f(x)=[ax2+(a−1)2x+a−(a−1)2]e x，若x=0为f(x)的极值点，求实数a的值．22.已知直角坐标系中，曲线C参数方程为{x=2cosαy=2−2sinα(0≤α≤2π)，则曲线C的普通方程是．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：B ={x|2≤x ≤5}； ∴A ∩B ={3,5}． 故选：B ．可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：D解析：解：因为复数z =a −bi ， 所以|z|=√a 2+b 2， 故|z|2=a 2+b 2， 故选：D ．根据复数z =a −bi ，先求出|z|，然后再求出|z|2．本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对|z|2的正确理解．本题属于基础题．3.答案：C解析：根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题． 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =x 2+2x =(x +1)2−1，其值域为[−1,+∞)，不符合题意； 对于B ，y =2x+1，其值域为(0,+∞)，不符合题意；对于C ，y =x 3+1，值域为R 且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于D ，y =(x −1)|x|={x 2−x,x ≥0−x 2+x,x <0，在区间(0,12)上为减函数，不符合题意．故选C ．4.答案：A解析：本题主要考查等差数列的概念.属于基础题．解：设该等差数列的公差为d．则4a3−3a2=0，∴4(a1+2d)−3(a1+d)=0．∴a1+5d=0．即a6=0．故选A．5.答案：B解析：本题考查向量的模的求法，考查向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力．由|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2利用向量的数量积公式展开，即可求解．解：∵向量a⃗，b⃗ 夹角为120°且|a⃗+b⃗ |=|b⃗ |=2，∴|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗√|a⃗|2+4+2×2cos120°|a⃗|=√|a⃗|2−2|a⃗|+4=2，解得|a⃗|=2，或|a⃗|=0(舍去)，故选B．6.答案：C解析：先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B错，甲企业其他费用开支确实最低，故C正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D错误，故选：C．7.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题， 即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题， 则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数， 则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ． 故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．8.答案：B解析：解：画出函数f(x)={−x 2−2x(x <0)f(x −1)(x ≥0)、y =x 的图象： 由函数的图象可得， 显然有3个交点， 故选B ．函数f(x)={−x 2−2x(x <0)f(x −1)(x ≥0)，可讨论x 去掉函数符号：“f “，得到分段函数，画出图象，然后画出y =x ，观察交点个数．本题考查了函数的零点、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．9.答案：A解析：本题主要考查三角函数和两角和差公式．由题意得：sinα=35，tanα=−34，tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−34+11+34=17，故选A.10.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，属于基础题．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨设为bx+ay=0，圆(x−2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径r=2，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为d=√22−12=√3=√a2+b2，∴b2c =c2−a2c=34，可得e2=4，即e=2．故选A．11.答案：A解析：解：等比数列{a n}的公比设为q，a3=8，a6=1，可得q3=a6a3=18，即q=12，a n=a3q n−3=26−n，log2a n=log226−n=6−n，则1≤n≤6时，数列{log2a n}中的项非负，n≥7时，数列{log2a n}中的项为负值，则数列{log2a n}的前n项和的最大值为1+2+3+4+5=15．故选：A．等比数列{a n}的公比设为q，由等比数列的通项公式可得公比q，可得a n=26−n，log2a n=log226−n= 6−n，再由等差数列的求和公式，可得所求最大值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：D解析：本题考查空间直线与直线的位置关系，同时考查直线与平面垂直的判定定理，题目基础．据题目特点逐项判断求解即可．解：A.因为C1D1⊥平面BCC1B1，所以C1D1⊥B1C，故正确；B.因为AC⊥平面BDD1B1，所以BD1⊥AC，故正确；C.因为B1C⊥平面BC1D1，所以BD1⊥B1C，故正确；D.因为四边形BDD1B1为矩形，所以BD1⊥B1D不正确．故选D．13.答案：5解析：本题考查利用简单线性规划求最值，属于基础题目．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求出最值即可．解：由约束条件{2x−y≤0,x−y+1≥0,y≥0,作出可行域如图：由目标函数z=x+2y可知当目标函数z=x+2y过点B(1,2)取得最大值，其最大值为5．故答案为5．14.答案：1解析：本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的条件：斜率乘积为−1，考查运算能力，属于基础题．求得y=sinx+cosx的导数，可得切线的斜率，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得到所求值．解：y=sinx+cosx的导数为y′=cosx−sinx，则f(x)在x=π2处的切线斜率为k=cosπ2−sinπ2=−1，由切线与直线x−ay+2=0垂直，可得1a=1，即a=1．故答案为：1．15.答案：13解析：解：在线段[0,3]上任取一点，若此点坐标不大于1，则0≤x≤1，则对应的概率P=13，故答案为：13．根据几何概型的概率公式计算对应的长度即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，基本知识的考查．16.答案：√64解析：本题考查平面的基本性质.由条件可知平面α与正方体的截面是过O的截面三角形，不难求出其面积．解：由已知可算出OE=√32,OC1=√62,EC1=32．则OE⊥OC1所以平面α与正方体的截面为△EBD，S△EBD=12×BD×OE=12×√2×√32=√64．故答案为√64．17.答案：(本题13分)文科解：(Ⅰ)∵在△ABC 中，cosA =57，cosB =15，∴sinA =√1−cos 2A =2√67，sinB =√1−cos 2B =2√65.…(2 分) 由正弦定理得AC sinB =BC sinA ，…(4 分)即AC =BC⋅sinB sinA =5×2√652√67=7.…(6 分)(Ⅱ)在△ABC 中，AC =7，BC =5，cosB =15，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB ，…(8 分)即49=AB 2+25−2AB ×5×15，整理得AB 2−2AB −24=0，解得AB =6.…(10分)∵在△BCD 中，BD =12AB =3，BC =5，cosB =15，∴由余弦定理得CD 2=BD 2+BC 2−2BD ⋅BC ⋅cosB ，…(11分)即CD 2=9+25−2×3×5×15=28．∴CD =2√7.…(13分)解析：(Ⅰ)由同角三角函数关系式由cosA =57，cosB =15，可求sin A ，sin B 的值，从而由正弦定理得即可求AC 的值．(Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理可求AB 的值，可求BD =12AB =3，由余弦定理结合已知即可求得CD 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的综合应用，属于基本知识的考查． 18.答案：解：(I)由频率分布直方图得：(2a +3a +7a +6a +2a)×10=1⇒a =0.005； (II)成绩落在[50,60)与[60,70)的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，∴成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数为20×0.25=5(人)．解析：(I)根据所有小矩形的面积之和为1求a 的值；(II)根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50,60)与[60,70)的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=频数样本容量．19.答案：证明：(1)∵三棱柱ABC−DEF是直三棱柱，∴FC⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴FC⊥AB，又∵AB⊥BC，BC∩FC=C，BC，FC⊂平面BCFE，∴AB⊥平面BCFE，又∵EH⊂平面BCFE，∴AB⊥EH，由题设知△EFH与△BCG均为直角三角形，∵EF=2=FH，BC=2=CG，∴∠EHF=45°，∠BGC=45°，设BG∩EH=P，则∠GPH=90°，即EH⊥BG，又AB∩BG=B，AB，BG⊂平面ABG，∴EH⊥平面ABG．解：(2)∵AB=BC=2，AB⊥BC，∴S△ABC=12AB×BC=2，∵CG⊥平面ABC，∴V G−ABC=13S△ABC×CG=43，由(1)知AB⊥BG，CG=2=BC，BG =√BC 2+CG 2=√22+22=2√2，∴S △ABG =12AB ×BG =2√2， 设点C 到平面ABG 的距离为h ，则V C−ABG =13S △ABG ⋅ℎ=23√2ℎ=V G−ABC =43，∴ℎ=√2，即点C 到平面ABG 的距离为√2．解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)证明：AB ⊥平面BCFE ，可得AB ⊥EH ，证明EH ⊥BG ，即可证明EH ⊥平面ABG ；(2)利用等体积转换，求点C 到平面ABG 的距离．20.答案：解：(1)由题意可知{a 2=b 2+c 2c a =12bc =√3，解得a =2,b =√3 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)可知A(−2,0)，B(2,0)，F(1,0)，因为过F 2与圆E 相切的直线分别切于B ，H 两点，所以|F 2H|=|F 2B|=1，所以|PF 1|+|PH|=|PF 1|+|PF 2|−|F 2H|=|PF 1|+|PF 2|−1，设点E(2,t)(t ≠0)，则D(2,2t)，圆E 的半径为|t|则直线AD 的方程为y =t 2(x +2)l 2的方程设为x =ky +1，则√1+k 2=|t| 化简得k =1−t 22t ， 由{y =t 2(x +2)x =1−t 22t y +1，得{y =6t 3+t 2x =6−2t 23+t2， 所以点P(6−2t 23+t 2,6t 3+t 2)(6−2t 23+t 2)24+(6t 3+t 2)23=t 4+6t 2+9(3+t 2)2=1，所以点P 在椭圆C 上，∴|PF 1|+|PF 2|=4，即|PF 1|+|PH|=4−1=3．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C 的方程．(2)设点E(2,t)(t ≠0)，则D(2,2t)，圆E 的半径为|t|，直线AD 的方程为y =t 2(x +2)l 2的方程设为x =ky +1，则√1+k 2=|t|，利用联立直线与椭圆方程，求出P 的坐标转化求解即可．21.答案：解：f′(x)=[2ax +(a −1)2]e x +[ax 2+(a −1)2x +a −(a −1)2]e x =[ax 2+(a 2+1)x +a]e x ．因为x =0为f(x)的极值点，所以由f′(0)=ae 0=0得a =0．经检验，当a =0时，f′(x)=xe x ，则当x <0时，f′(x)<0；当x >0时，f′(x)>0，所以x =0为f(x)的极值点，故所求a =0．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值等知识．利用导数求极值，由x =0为f(x)的极值点得，f′(0)=ae 0=0，即得a 的值；22.答案：x 2+(y −2)2=4解析：本题主要考查了圆的参数方程，利用给出的参数方程直接化简即可．解：由{x =2cosαy =2−2sinα(0≤α≤2π)得x 2+(y −2)2=4． 故答案为x 2+(y −2)2=4．23.答案：解：(1)不等式f(x)−|x|<1，即为|x −2|−|x|<1，当x >2时，x −2−x <1，即x >2；当x <0时，2−x +x <1，即x ∈⌀；当0≤x ≤2时，2−x −x <1，解得x >12，即有12<x ≤2，综上可得不等式的解集为(12,+∞)；(2)∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立，即为|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，由|x−2|+|x+1|≥|x−2−x−1|=3，当且仅当−1≤x≤2时，取得最小值3，可得a2−2a≤3，解得−1≤a≤3．解析：(1)由题意可得|x−2|−|x|<1，讨论x的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；(2)由题意可得|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，解a的不等式，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．。

高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数的点是（ ）A MB NC PD Q 2.已知命题p ：a丨x 丨--1a＞0（a ＞1），命题q ：b 2lg x ＞1（0＜b ＜1），那么q 是p 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3.已知向量a r ·（a r+2b r ）=0，a =b =1r r ，且c a 2b --r r r =1，则c r 的最大值为（ ） A 2 B 4 C 51+ D 31+ 4.已知整数x 、y 满足x 2y 202x y 10⎧++≤⎨-+≥⎩设z=x-3y ，则（ ）A z 的最大值为1B z 的最小值为1C z 的最大值为2D z 的最小值为2 5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．7B ．15C ．31 D. 636.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π7.在△ABC 中，已知12xy =9，sinB=cosAsinC ，ABC S V =6，P 为线段9. 设变量,x y满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）40三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列｛a n ｝，a 1=1，n 2S n =a n 1+-13n²-n-23（1）求a n （2）证明11a +21a +…+n 1a ＜74（n∈N +）18.设不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U ，丨x 丨+丨y 丨≤1确定的平面区域为V（1）定义：横、纵坐标均为整数的点称为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 内的概率。

长春市2020届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B2.C3.C4.C5.D6.A7.D8.A9.C 10.B 11.C 12.C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13.11214.215.20π16.221n n +，1(1)(1)n n n -++三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题.【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos A A B A =⋅，即sin cos B A =，由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<，因此sin()124A π<+<，即2010S <<+.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分）（Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =- ，(2,0,2)CE =- ，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n = ；平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n = ；因此1212||2cos ||||2n n n n θ⋅==⋅ .即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π.（12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=.（4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ，则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=该考生本次测验选择题所得分数为X 的分布列为X 3035404550P 43612361336636136选择题所得分数为X 的数学期望为1153EX =.（12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=.（4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得22(34)30t y +--=，即12234yy t +=+，122334y y t -=+.AOB ∆面积可表示为1211||||22AOB SOQ y y=⋅-=△2216223434t t =⋅=++u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++≤，当且仅当u =，即63t =±时等号成立，因此AOB ∆，此时直线l 的方程为63x y =±-.（12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x '=+-，()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e =-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e =-<，因此当1x e =时，1113(1)2((1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e 上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+.（12分）22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分）（Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22222(1)(2)4(1)30222t -++---=，化简可得220t +-=.则12||||||2PA PB t t ⋅==.（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.【试题解析】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤.当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞-- .（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2.（10分）。

2020-2021学年吉林省长春市市第一五一中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定积分 Ks5uA.5B.6C.7D.8参考答案：D2. 如图，在△ABC中，N、P分别是AC、BN的中点，设，，则=（）A．+ B．﹣+C．﹣﹣D．﹣参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．【解答】解：=+=+，=﹣+（﹣），=﹣+（﹣），=﹣+﹣（+），=﹣+，=﹣+，故选：B【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和三角形法则，属于基础题．3. 设函数在内是增函数，则是的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：，，解得：；，，解得：，，根据两个集合相等，即是的充要条件，故选C.考点：命题4. 若变量满足条件，则的最小值为A. B.0 C. D.参考答案：A5. 设f（x）=，若f（x）=9，则x=（）A．﹣12 B．±3 C．﹣12或±3 D．﹣12或3参考答案：D【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知得当x≤﹣1时，﹣x﹣3=9；当﹣1＜x＜2时，x2=9；当x≥2时，3x=9．由此能求出x．【解答】解：∵f（x）=，f（x）=9，∴当x≤﹣1时，﹣x﹣3=9，解得x=﹣12；当﹣1＜x＜2时，x2=9，解得x=±3，不成立；当x≥2时，3x=9，解得x=3．∴x=﹣12或x=3．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数性质的合理运用．6. 函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】二次函数的图象；对数函数的图象与性质．【分析】可采用反证法做题，假设A和B的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛盾，所以得到A和B错误；同理假设C和D的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出矛盾，得到C错误，D正确．【解答】解：对于A、B两图，||＞1而ax2+bx=0的两根为0和﹣，且两根之和为﹣，由图知0＜﹣＜1得﹣1＜＜0，矛盾，对于C、D两图，0＜||＜1，在C图中两根之和﹣＜﹣1，即＞1矛盾，C错，D正确．故选：D．7. 已知函数，若是从三个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A. B.C. D.参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】A 求导数可得f′（x）=x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，即△=4（a2-b2）＞0，即a＞b，又a，b的取法共3×3=9种，其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P= 故选D【思路点拨】由极值的知识结合二次函数可得a＞b，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得．8. 复数A. B. C. D.参考答案：A9. 如图是一个几何体在网格纸上的三视图，若面积最小网格均是边长为1的小正方形，则该几何体的体积为（）A．6 B．8 C．12 D．16参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥；根据图中数据求出它的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是底面为矩形的四棱锥；根据图中数据，计算它的体积为V=×2×6×3=12．故选：C．10. 某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A、18+8πB、8+8πC、16+16πD、8+16π参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 阅读如下图所示的流程图,运行相应的程序,输出的值等于______参考答案：412. 已知（为锐角），则参考答案：13. 经过点，与向量垂直的直线方程是▲参考答案：；14. 设为等差数列的前n项和，若，则的值为A8 B．7 C.6 D．5参考答案：A15. 曲线在点处的切线方程为参考答案：略16. 已知向量，，则的最大值为 ___参考答案：3略17. 下列结论：①若命题p：x0∈R，tan x0＝2；命题q：x∈R，x2－x＋>0.则命题“p∧(q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；③“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a、b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)参考答案：(1)(3)三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年吉林省示范高中高考数学五模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|log 2x <2}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {1,2，3}C. {0,1，2，3}D. {−2,−1,0，1，2，3}2. 已知i 为虚数单位，则2−2i1+i =( )A. −2B. −2iC. 2D. 2i3. 已知函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，f(52)=f(0)，则实数b =( ) A. 1B. 52C. 3D. 44. 2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A ，B 两种不同口味的果汁饮料．现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶(均是500mL)组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标(毫克/升)的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是( )A. A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B 种果汁饮料添加剂指标的平均值B. A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数C. A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差D. A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值5. 下面是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后而得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π66.公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形(六边形均相同)，设图中前n行晶格点数b n满足b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则b10=()A. 101B. 123C. 141D. 1507.已知函数y=[x]称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如图，则输出的S值为()A. 42B. 43C. 44D. 458.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x)=f(4−x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，则不等式f(x)>2的解集为()A. (2k+1,2k+3)，k∈ZB. (2k−1,2k+1)，k∈RC. (4k+1,4k+3)，k∈ZD. (4k−1,4k+1)，k∈Z9.已知F(−√3,0)是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，P为双曲线C右支上一点，圆x2+y2=a2与y轴的正半轴交点为A，|PA|+|PF|的最小值4，则双曲线C的实轴长为()A. √2B. 2C. 2√2D. 2√310.已知函数f(x)=msinx+ncosx(m,n为常数，m⋅n≠0，x∈R)在x=π4处取得最大值2√2，将f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后得到的图象与函数y=ksinx(k>0)的图象重合，则k+ℎ的最小值为()A. 3π4+2√2 B. 5π4+2√2 C. 7π4+√2 D. 7π4+2√211.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)，P(1,32)为椭圆上一点，过左顶点A作直线l⊥x轴，Q为直线l上一点，AP⊥F2Q，则直线PQ在x轴上的截距为()A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数f(x)=2x+ax2(a>0)在(0,+∞)上的最小值为3，直线l在y轴上的截距为−1，则下列结论正确个数是()①实数a=1；②直线l的斜率为1时，l是曲线y=f(x)的切线；③曲线y=f(x)与直线l有且仅有一个交点．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(1,x−1)，(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗+b⃗ |=______．14.任意写出一个自然数n，并且按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n+1，如果n是个偶数，则下一步变成n2，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列{a n}，则{a n}的前20项和为______．15.2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x(单位：百万元)和收益y(单位：百万元)的数据如下表：若y与x的线性回归方程为ŷ=3x+a，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为______百万元．16.如图，已知直三棱柱ADF−BCE，AD⊥DF，AD=DF=CD=2，M为AB上一点，四棱锥F−AMCD的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF与CM所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C满足(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，△ABC的面积为10√3．(1)求sin2A；(2)sinB+sinC=13√3，求△ABC的周长．1418.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC，平面PAD⊥底面ABCD，PA=PD=AD=2BC=2CD=2，M为PC上一点，PA//平面BDM．(1)求PM：MC的值；(2)求四棱锥P−ABCD外接球的半径．19.搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：(1)依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；(2)如图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由．20.已知抛物线E：y2=2px(p>0)恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，AB//CD，AD的延长线与抛物,0)．线E的准线的交点M(−12(1)求抛物线E的方程；(2)证明：BD经过抛物线E的焦点．21. 已知函数f(x)=x(lnx −a)，F(x)=x 3−x +m ，若f(x)在(e,f(e))处的切线斜率为1．(1)若f(x)<F(x)在(1,+∞)上恒成立，求m 的最小值M ； (2)当m =M ，x ∈(0,1]时，求证：f(x)>e x ⋅F(x)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =12+tcosαy =12+tsinα，(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 2的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R)．(1)设直线l 2与曲线C 1相交于不同的两点A ，B ，求AB 中点的轨迹C 2的方程； (2)设直线l 1与C 2相交于E ，F 两点，求弦长EF 的最小值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|2x −1|的最小值为M ；(1)求函数f(x)<4的解集；(2)若a >0，b >0，a +b =1，求证：4a +14b ≥M 2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|0<x <4}， ∴A ∩B ={1,2，3}． 故选：B ．可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：2−2i1+i =2(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2(12−2i +i 2)12−i2 =2×(−2i)2=−2i ． 故选：B ．利用复数代数形式的运算法则，计算即可． 本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，则f(0)=20−1=0，f(52)=(52−b)2， 若f(52)=f(0)，则(52−b)2=0，解得b =52． 故选：B ．由函数的解析式，可得f(0)与f(52)的值，从而得到(52−b)2=0，然后求出b 的值． 本题考查分段函数的求值，关键是求出f(0)与f(52)的值，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A、B种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的茎上，A种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的茎上，A错误；B、A种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，B种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B错误；C、A种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而B种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，C错误：故D正确．故选：D．根据茎叶图中提供的数据，结合平均数，中位数，方差的计算方法进行判断．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与平均数的应用问题，是基础性题目．5.【答案】C【解析】解：根据题意，半圆柱挖去一个半圆锥，半圆柱的体积为12×2π=π，半圆锥的体积为13×π2×2=π3，所以该几何体的体积为π−π3=2π3．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6.【答案】C【解析】C【解析】∵b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则(b n+2−b n+1)−(b n+1−b n)=2，所以数列{b n+1−b n}是以7为首项，2为公差的等差数列，当n≥2时，b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(b n−b n−1)=6+7+9+⋯+(2n+3)=6+(7+2n+3)(n−1)2=n2+4n+1，所以b10=141．故选：C．由题中已知易发现{b n+1−b n}是一个等差数列，并且b n可以用新数列的前n项和进行表示，进而求解．本题考查新数列的构造及前n项和的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：当0<i<3时，log3i=0；3≤i<9时，log3i=1；9≤i<27时，log3i=2；i=27时，log3i=3，所以S=6×1+18×2+3=45．故选：D．模拟执行程序的运行过程，得出输出的结果是累加计算s的值．本题考查了程序框图的运行过程与累加求和问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且满足f(x)=f(4−x)，则f(x+4)=f(4−x−4)=f(−x)= f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，此时若f(x)>2，则有x2+x>2，解可得x>1或x<−2，则有1<x≤2，又由f(x)满足f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称，则区间[2,4]上，f(x)>2⇒2<x< 3，则在区间[0,4]上，f(x)>2⇒1<x<3，又由f(x)的周期为4，不等式f(x)>2的解集为(4k+1,4k+3)，k∈Z；故选：C．根据题意，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，结合函数的解析式分析不等式f(x)>2的解集，结合函数的周期性，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意，A(0,a)，设F′为双曲线的右焦点，则|PF|=2a+|PF′|，F(−√3,0)，F′(√3,0)．∴|PA|+|PF|=|PA|+2a+|PF′|=2a+(|PA|+|PF′|)≥2a+|AF′|=2a+√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．所以2a+√3+a2=4，解得a=1，故实轴长为2．故选：B．设F′为双曲线的右焦点，得到|PF|=2a+|PF′|，通过|PA|+|PF′|≥|AF′|=√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．求出a，即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．10.【答案】D【解析】解：由函数f(x)=msinx +ncosx =√m 2+n 2 sin(x +φ)，其中，tanφ=nm ， 在x =π4处取得最大值2√2， ∴√22(m +n)=√m 2+n 2，解得m =n =2，∴函数f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +π4).故把f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后， 得到函数解析式为f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +ℎ+π4). 根据得到的图象与函数y =ksinx(k >0)的图象重合， ∴k =2√2，且ℎ+π4=2tπ，t ∈Z ， 求得k =2√2，ℎ=7π4，故k +ℎ的最小值为2√2+7π4，故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，求出m 、n 的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得k 和h 的值，可得k +ℎ的最小值．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，得{1a +94b =1a 2−b 2=1，解得{a 2=4b 2=3，∴A(−2,0)，F 2(1,0)， ∴直线AP 的斜率k AP =321+2=12． 又AP ⊥F 2Q ，∴k AP ⋅k F 2Q =−1，即k F 2Q =−1k AP=−2，∴直线F 2Q 的方程y =−2(x −1)， 联立{y =−2(x −1)x =−2，得交点Q(−2,6)，∴P 、Q 两点连线的斜率k PQ =−32． ∴PQ 的直线方程为y −32=−32(x −1)， 令y =0，得x =2．故直线PQ 在x 轴上的截距为2， 故选：A ．由已知列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 的值，得到A ，F 2的坐标，求得直线F 2Q 的方程，进一步求解Q 的坐标，得到PQ 的方程，则答案可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：因为f(x)=2x +ax 2的导数为f′(x)=2−2a x3=2(x3−a)x 3，当0<x <√a 3，f′(x)<0，f(x)递减；x >√a 3时，f′(x)>0，f(x)递增．可得f(√a 3)为最小值，且为3，即2√a 3+√a3=3，解得a =1，故①正确； 设切点A 为(m,2m +1m 2)，又因为f′(x)=2−2x 3，所以2−2m 3=1，解得m =√23，由切线方程y =x −1可得切点为(√23,√23−1)，代入f(x)=2x +1x 2不成立，所以直线l 不是曲线y =f(x)的切线，故②错误；又设直线l ：y =kx −1，则曲线y =f(x)与直线l 的交点个数等价为方程2x +1x 2=kx −1的根的个数． 由2x +1x 2=kx −1可得k =2+1x +1x 3， 令t =1x ，可得k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，设ℎ(t)=t 3+t +2，t ∈R ，ℎ′(t)=3t 2+1>0，所以ℎ(t)在R 上递增，且ℎ(t)∈R ， 而方程k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，所以当k =ℎ(0)=2时，k =t 3+t +2无实数根；当k ≠2时，k =t 3+t +2有且只有一个根． 故k =2时，曲线y =f(x)与直线l 没有交点；而当k ≠2时，曲线y =f(x)与直线l 有且只有一个交点．故③错误． 故选：B ．求得f(x)的导数，以及单调区间，可得最小值，解方程可得a ，可判断①；设切点A 为(m,2m +1m 2)，可得切线的斜率，解方程可得切点，可判断②；设直线l ：y =kx −1，运用函数与方程的关系，以及构造函数法，求得导数和单调性、值域，讨论可判断③．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及函数方程的关系，考查方程思想和运算能力，以及推理能力，属于中档题．13.【答案】√5【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(1,x −1)，若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x =1，则(a ⃗ +b ⃗ )=(2,−1)，则|a ⃗ +b ⃗ |=√5； 故答案为：√5．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x 的值，即可得(a ⃗ +b ⃗ )的坐标，进而计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的分析计算，属于基础题．14.【答案】70【解析】解：因为a 1=5，a 2=16，a 3=8，a 4=4，a 5=2，a 6=1，a 7=4， 所以从第4项开始，数列{a n }是周期为3的数列， 所以前20项和为5+16+8+7×5+4+2=70． 故答案为：70．按照规律，写出首项为5的数列{a n }的前几项，通过观察找出规律，即可求解．本题主要考查归纳推理的应用，找出数列的规律是解决本题的关键，考查学生的推理能力．15.【答案】56.04【解析】解：由题意得，x −=2+4+8+10+125=7.2，14.21+20.31+31.18+37.83+44.675=29.64，所以a =y −−b ̂x −=29.64−3×7.2=8.04．所以y 关于x 的回归方程为y ̂=3x +8.04．把x =16代入回归方程得y ̂=3×16+8.04=56.04，故预报值为56.04百万元． 故答案为：56.04．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a ，代入x =16，得到预报值即可． 本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.【答案】2√25【解析】【分析】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，异面直线所成角的定义及求法，余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．可设AM=x，根据题意即可得出2(x+2)34=512，解出x=12，然后过点M作MN//BE，交EF于点N，并连接CN，从而得出∠CMN为异面直线AF与CM所成角，然后在△CMN中，根据余弦定理即可求出cos∠CMN的值．【解答】解：设AM=x，因为V F−AMCD=13×12×(x+2)×2×2=2(x+2)3，V ADF−BCE=4，所以2(x+2)34=512，解得x=12，如图，过M作MN//BE，交EF于点N，连接CN，则∠CMN为异面直线AF与CM所成角，因为CM=CN=52，MN=2√2，解三角形可得：cos∠CMN=254+8−2542×52×2√2=2√25．故答案为：2√25．17.【答案】解：(1)设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，可得(a+b)(a−b)=(c−b)c，化简可得，b2+c2−bc=a2，由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3，∴sin2A =√32． (2)因为sinB +sinC =13√314，b sinB =c sinC =asinA =2R ，所以b +c =13√314⋅2R =13a 7．由10√3=12bcsinA ， ∴bc =40，因为b 2+c 2−bc =a 2， ∴(b +c)2−3bc =a 2， ∴(13a 7)2−120=a 2，∴a =7，所以△ABC 的周长为7+13=20．【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−bc =a 2，由余弦定理可得cos A 的值，结合范围0<A <π，可求A ，进而可求sin2A 的值． (2)利用正弦定理化简已知等式可得b +c =13a 7，利用三角形的面积公式可求bc =40，结合余弦定理可求a 的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)如图，连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，因为平面PAC ∩平面BDM =MN ，PA//平BDM ，所以PA//MN ，所以PMMC =ANNC ． 又因为△BCN∽△DAN ， 所以ADBC =ANNC =2，故PM MC =2．(2)根据题意，取AD 的中点O ，连接PO ，因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD ，PO =√3． 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ∩底面ABCD =AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．设△PAD 的重心为G ，则GO 平面ABCD ， AG =DG =PG =2√33．解等腰梯形ABCD，可得O为梯形ABCD外接圆的圆心，所以OD=OA=OB=OC=1，所以GD=GA=GB=GC=2√33，故G为四棱锥P−ABCD外接球球心，半径为2√33．【解析】(1)连接AC交BD于点N，连接MN，由已知线面平行转化线线平行，然后结合平行线分线段成比例即可求解；(2)根据题意，取AD的中点O，连接PO，由已知平面几何知识及线线垂直与线面垂直的相互转化关系可确定球心的位置，进而可求．本题主要考查了平行关系的相互转化，垂直的判断及性质的应用及三棱锥外接球半径的求解，属于中档试题．19.【答案】解：(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A，B，C，等级系数为8的搪瓷水杯为a，b，c，则从中抽取2件的基本事件为(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共15种；其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(a,b)，(a,c)，(b,c)，共3种，所以P=315=15，(2)因为x B−=(4+6+7+8+9)÷5=6.8，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8，标准差为S=1.72，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72，因为x A−=(5+6+6.5+7+8)÷5=6.5，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5，S=1，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为S=1，综上，B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高； A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定．【解析】(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ，列出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出概率即可； (2)分别求出A ，B 的平均数和标准差，判断即可．本题考查了列举法求概率问题，考查平均数以及标准差问题，是一道常规题．20.【答案】(1)解：根据题意，M(−12,0)为抛物线E 的准线与对称轴的交点，∴p 2=12，则p =1，∴抛物线E 的方程为y 2=2x ；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 1,−y 1)，D(x 2,y 2)， 设直线AD 的方程为y =k(x +12)，联立方程组{y =k(x +12)y 2=2x ，得k 2x 2+(k 2−2)x +k 24=0，∴x 1x 2=14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2．设BD 与x 轴的交点坐标为(n,0)(n >0)，直线BD 的方程为y =−y 1x 1−n(x −n)，与方程y 2=2x 联立，得y 12(x1−n)2x 2−(2y 12n (x 1−n)2+2)x +y 12n 2(x 1−n)2=0． 解得x 1x 2=n 2，∴n 2=14，即n =12． 故BD 经过抛物线E 的焦点．【解析】(1)由已知可得M 为抛物线E 的准线与对称轴的交点，从而求得p ，则抛物线方程可求； (2)分别设出A ，B ，D 的坐标，再设出AD 的方程，由抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得A ，D 横坐标的乘积，设BD 的方程，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系可得BD 与x 轴的交点的横坐标，则结论得证．本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意，f′(x)=lnx −a +1，∴f′(e)=lne −a +1=1，∴a =1，.………(1分)所以f(x)=x(lnx −1)，又f(x)<x 3−x +m ⇔m >xlnx −x 3， 令g(x)=xlnx −x 3，则ℎ(x)=g′(x)=1+lnx −3x 2，所以ℎ′(x)=1x−6x =1−6x 2x，.…………………………(3分)∵当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴g(x)<g(1)=−1，∴m 的最小值M =−1.………………………………(5分) (2)由(1)知，函数f(x)=x(lnx −1)，x ∈(0,1)，则f′(x)=lnx ， 当x ∈(0,1)时，f′(x)<0.故函数f(x)在(0,1)上单调递减． 所以f(x)>f(1)=−1.……………………………………(6分) 设函数G(x)=e x ⋅F(x)=(x 3−x −1)e x ， 则G′(x)=(x 3+3x 2−x −2)e x ．设函数p(x)=x 3+3x 2−x −2，则p′(x)=3x 2+6x −1，p′(x)在(0,1)上单调递增．当x ∈(0,1)时，p′(0)⋅p′(1)=−8<0，故存在x 0∈(0,1)，使得p′(x 0)=0，.………………(8分) 从而函数p(x)在(0,x 0)上单调递减；在(x 0,1)上单调递增． 当x ∈(0,x 0)时，p(x 0)<p(0)=−2． 当x ∈(x 0,1)时，p(x 0)<0，p(1)>0，故存在x 1∈(0,1)，使得G′(x 1)=0，.………………………………(10分) 即当x ∈(0,x 1)时，G′(x)<0，当x ∈(x 1,1)时，G′(x)>0， 从而函数G(x)在(0,x 1)上单调递减；在(x 1,1)上单调递增． 因为G(0)=−1，G(1)=−e ， 故当x ∈(0,1)时，G(x)<G(0)=−1，所以f(x)>e x ⋅F(x).…………………………(12分)【解析】(1)根据切线斜率求出a 的值，问题转化为m >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，根据函数的单调性求出M 即可；(2)代入M 的值，根据函数的单调性分别求出f(x)的最小值和G(x)=e x ⋅F(x)的最大值，证明结论即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)将{x =ρcosθy =ρsinθ代入方程ρ=4cosθ，得x 2+y 2−4x =0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，中点M(x 0,y 0)， 则直线l 2普通方程为y =kx(k =tanθ0)， ∴(1+k 2)x 2−4x =0， ∴x 1+x 2=11+k 2，∴x 0=x 1+x 22=21+k 2，y 0=2k1+k 2．消去k ，得C 2的方程为(x −1)2+y 2=1(x ≠0)． (2)根据题意，直线l 1过定点(12,12)，且在C 2的内部． (12+tsinα−1)2+(12+tsinα)2=1， 整理可得t 2+(sinα−cosα)t −12=0，所以|EF|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√3−sin2α≥√2． 当α=π4时等号成立， 故弦长|EF|的最小值为√2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换，再根据条件求出C 2的方程．(2)利用直线和曲线的位置关系，将问题转换为一元二次方程根和系数关系式，再求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：①当x ≥3时，解x −3+2x −1<4，得x <83(无解)，②当12<x <3时，解3−x +2x −1<4，得12<x <2； ③当x ≤12时，解3−x +1−2x <4，得0<x ≤12； 综合①②③得：不等式f(x)<4的解集为(0,2)． (2)证明：由(1)知，当x =12，f(x)min =52=M ， 因为a >0，b >0，a +b =1， 则4a +14b =(a +b)(4a +14b )=4+14+4b a +a 4b ≥174+2√4b a ⋅a 4b =254=M 2，故4a +14b ≥M 2，当且仅当a =45，b =15时，等号成立．【解析】(1)去绝对值，分类讨论可求f(x)<4的解集．(2)由(1)可得f(x)min =52=M ，由a +b =1，可得4a +14b =(a +b)(4a +14b )，利用基本不等式可证得结论． 本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．。

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={xx(x −2)≤0}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−1,0，3}B. {0,1}C. {0,1，2}D. {0,2，3} 2. 若z =1+(1−a)i(a ∈R)，|z|=√2，则a =( )A. 0或2B. 0C. 1或2D. 1 3. 下列与函数y =1√x 定义域和单调性都相同的函数是( )A. y =2log 2xB. y =log 2(12)xC. y =log 21xD. y =x 144. 已知等差数列{a n }中，3a 5=2a 7，则此数列中一定为0的是( ) A. a 1 B. a 3 C. a 8 D. a 105. 若单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 夹角为60°，a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，则|a⃗ |=( ) A. 4 B. 2 C. √3 D. 16. 《高中数学课程标准》(2017版)规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高数二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是(注：雷达图(RadarCℎart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderCℎart)，可用于对研究对象的多维分析)( )A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲7. 命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立：q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x 为奇函数，则下列命题是真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∨(￢q)C. p ∧(￢q)D. (￢p)∧q8. 已知函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，则函数y =f(x)−3的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α=( )A. π12B. π6C. π4D. π310.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−4y=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2√23D. 2√3311.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=n+2nS n (n∈N∗)，则S n=()A. 2n−1+1B. n⋅2nC. 3n−1D. 2n⋅3n−112.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC//ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4.正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约条条件{2x+y≥2y−2≤02x−y≤2，则z=x+y的最大值为______14.曲线f(x)=2sinx在x=π3处的切线与直线ax+y−1=0垂直，则a=______．15.在半径为2的圆上有A，B两点，且AB=2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为______．16.三棱锥A−BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD=2√2，三棱锥A−BCD体积的最大值为______；三棱锥A−BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sinBsin2A=√2cosA，cosB=13．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若AC=2，求AB长．18.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P(K2≥x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1=2AB=4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．(Ⅰ)求证：A1B⊥GM；(Ⅱ)求点A1到平面MNG的距离．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM//AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21. 已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．(Ⅰ)若x 1为f(x)的极值点，且f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，求2x 1+x 2的值； (Ⅱ)求证：当m >0时，f(x)有唯一的零点．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)(Ⅰ)求C 1和C 2的普通方程；(Ⅱ)过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M(M 异于O)，交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．23. 已知函数f(x)=|ax +1|+|x −1|．(Ⅰ)若a =2，解关于x 的不等式f(x)<9；(Ⅱ)若当x >0时，f(x)>1恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|0≤x ≤2}； ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：C ．可解出集合A ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2.答案：A解析：解：因为z =1+(1−a)i(a ∈R)，∴|z|=√12+(1−a)2=√2⇒(1−a)2=1⇒a =0或2； 故选：A ．根据复数求模公式计算即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题． 3.答案：C解析：解：y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =2log 2x =x 在定义域{x|x >0}上单调递增，y =log 2(12)x 的定义域为R ，y =log 21x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =x 14的定义域为{x|x ≥0}． 故选：C ．可看出，y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{x|x >0}上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{x|x >0}，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ． 本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 4.答案：A解析：解：∵等差数列{a n }中，3a 5=2a 7， ∴3(a 1+4d)=2(a 1+6d)， 化为：a 1=0．则此数列中一定为0的是a 1． 故选：A ．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.答案：C解析：解：由a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，得a ⃗ 2=(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )2=4e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=4×1−4×1×1×cos60°+1=3， 所以|a ⃗ |=√3． 故选：C ．根据平面向量的数量积，计算模长即可．本题考查了利用平面向量的数量积求模长问题，是基础题． 6.答案：D解析：解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误， 对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误， 对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确， 故选：D ．先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7.答案：A解析：解：根据题意，命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立， 当x 0=π时，对任意实数x ，使得sin(x +π)=−sinx 恒成立， 故P 为真命题；命题q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x ，有a+xa−x >0，解可得−a <x <a ，函数的定义域为(−a,a)，关于原点对称，有f(−x)=ln a+xa−x =−ln a+xa−x =−f(x)，即函数f(x)为奇函数， 故其为真命题；则p ∧q 为真命题，(￢p)∨(￢q)、P ∧(￢q)、(￢p)∧q 为假命题； 故选：A ．根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数f(x)=ln a+xa−x 在a >0时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题． 8.答案：B解析：解：因为函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，且x ≤0时f(x =−2x(x +2)=−2(x +1)2+2； 所以f(x)的图象如图，由图可得：y =f(x)与y =3只有两个交点； 即函数y =f(x)−3的零点个数是2； 故选：B ．画出f(x)的图象，结合图象求出y =f(x)与y =3的交点个数，即可判断结论．本题考查函数的零点与方程根的关系，作图是难点，属于中档题． 9.答案：C解析：解：由条件已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，将各个选项中的值代入检验，只有α=π4 满足， 故选：C ．由题意可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论． 本题主要考查两角和差的三角公式，属于基础题． 10.答案：D解析：解：圆x 2+y 2−4y =0化为标准方程为：x 2+(y −2)2=4， ∴圆心为(0,2)，半径r =2，∵渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay =0， ∴√a 2+b 2=√3，即2ac =√3∴离心率e =c a=2√33， 故选：D ．先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值． 本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与圆的位置关系，是中档题． 11.答案：B解析：解：法一：排除法：a 2=6，a 3=16，验证知B 对． 法二：∵a n+1=n+2nS n (n ∈N ∗)，∴S n+1−S n =n+2nS n ,化简得：S n+1n+1 =2Sn n， ∴数列{Snn}是以2为首项，2为公比的等比数列， S n n=2n ,S n =n ⋅2n ．故选：B ．根据a n+1=S n+1−S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ． 本题主要考查等比数列的定义与通项公式的求解，a n 与S n 的关系是解决本题的关键． 12.答案：C解析：解：如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，则EG//D 1B 1，而CA 1⊥平面EFG ，所以AC 1⊥EG ；故①正确；对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，∴CM//ED ，因此GC//ED 不正确；③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，∴B 1F 与BC 不垂直，因此B 1F ⊥平面BGC 1不成立．④∵D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.∴EF 和BB 1成角为π4.正确．正确命题的个数是2． 故选：C ． 如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，可得EG//D 1B 1，又CA 1⊥平面EFG ，即可判断出正误．对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误； ③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，可得B 1F 与BC 不垂直，即可判断出正误． ④由于D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.即可判断出正误．本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.答案：4解析：解：由x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2作出可行域如图： 化目标函数z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时，z 取得最大值， 由{y =22x −y =2，解得A(2,2)时， 目标函数有最大值为z =4． 故答案为：4．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：1解析：解：∵f′(x)=2cosx ， ∴f′(π3)=2cos π3=1，∵切线与直线ax +y −1=0垂直， 所以−a =−1 ∴a =1．故答案为：1．根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a 的值．本题考查了利用导数求切线方程的基本思路，利用切点处的导数等于切线斜率是本题的切入点．15.答案：16解析：解：由∠ABQ =90°，∠BAP =90°， 延长BO 到P ，AO 到Q ；当点P 位于劣弧PQ 之间时，△ABP 为锐角三角形，因为AO =OB =AB ；所以：∠AOB =∠POQ =60°； 所以其概率为：P =60°360∘=16．故答案为：16．先找到等于90°的分界点，进而求得结论．本题主要考查几何概型，此题涉及到弧长问题，属于基础题目．16.答案：2√2 4π3解析：解：当BD 过球心，所以∠BAD =∠BCD =90°，所以AO ⊥面BCD ，V A−BCD =13⋅12BC ⋅CD ⋅OA ，当BC =CD 时体积最大， 因为BD =2√2，OA =√2，所以BC =CD =2， 所以最大体积为：13⋅12⋅2⋅2⋅√2=2√23；三棱锥A −BCD 体积最大时，三角形ABC 中，AB =AC =√OC 2+OA 2=2=BC ， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =√32，所以r =√3，所以外接圆的面积为S =πr 2=4π3，故答案分别为：2√23，4π3． 由于BD 过球心，所以可得∠BAD =∠BCD =90°，AO ⊥面BCD ，所以当BC =CD 时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．17.答案：解：(1)∵sinBsin 2A =√2cosA 中，sinB =2√23， ∴2sin 2A =3cosA ，即2(1−cos 2A)=3cosA ， 解得cosA =12，A =π3．(2)∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32⋅13+12⋅2√23=√3+2√26由正弦定理得ABsinC =ACsinB ，∴AB =ACsinB ⋅sinC =√64+1．解析：(1)由已知结合同角平方关系可求cos A ，进而可求A ； (2)由已知结合和差角公式可求sin C ，然后结合正弦定理可求． 本题考查三角恒等变换，应用正余弦定理解决问题．18.答案：解：(Ⅰ)由图可知，(0.005+0.015+0.020+m +0.030+0.005)×10=1， 解得m =0.025；擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 3070 100K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(800−300)250×50×30×70≈4.762<6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．解析：(Ⅰ)由小矩形面积之和为1即可求出m ；(Ⅱ)根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K 2并与6.635比较，从而得出答案．本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题．19.答案：解：(1)证明：AB ⊥BC ，BC ⊥BB 1，可得CB ⊥平面ABB 1A 1， M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，可得MN//BC ， 可得MN ⊥平面ABB 1A 1，又A 1B ⊥NG ， 由三垂线定理可得A 1B ⊥GM ；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，由(Ⅰ)可得A 1B ⊥平面MNG ， 在△BNE 中，AA 1=2AB =4，tan∠EBN =12，则cos∠EBN =√5， 可得BE =4√55，由BA 1=2√5，则A 1E =6√55，可知A 1到平面MNG 的距离为A 1E =6√55．解析：(1)运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，易得A 1B ⊥平面MNG ，即A 1到平面MNG 的距离为A 1E ，由解三角形的知识求得所求距离．本题考查线面垂直的判定和性质的运用，考查点到平面的距离的求法，注意运用转化思想和平面几何的性质，属于中档题．20.答案：解：(1)已知点P 在椭圆上，设P(x 0,y 0)，即有x 02a 2+y 02b 2=1，又k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a =y 02x 02−a 2=−b 2a 2=−34，且2c =2， 可得椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ， 联立直线AP 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0， 由x A =−2，可得x P =6−8k 23+4k 2，联立直线OM 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2−12=0，即x M 2=6−8k 23+4k 2，所以|AP|⋅|AQ||OM|2=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M|2=|x p +2|⋅|0+2||x M |2=2．即|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，且定值为2．解析：(1)由直线PA 和PB 的斜率之积为−34可得−b 2a =−34，又c =1，再结合a 2=b 2+c 2从而求出椭圆C 的方程；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ，分别于椭圆方程联立，求出点P ，点M 的坐标，代入化简得|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．本小题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题等知识．21.答案：解：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得(2x 1+x 2+3)(x 1−x 2)=0．2x 1+x 2=−3.(6’)(2)证明：令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，则13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，可知ℎ(x)在(−∞,−2)和(0,+∞)上单调递增，在[−2,0]上单调递减，又ℎ(−2)=43，ℎ(0)=0；−m(x +1)为过点(−1,0)的直线，又m >0，则−m <0，因此13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．(12分)解析：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得．(2)令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，可得13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，利用单调性可得：13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程为(x −2)2+y 2=4；由{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)，得{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程为x +y =8； (Ⅱ)如图，圆C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=8， 即ρ=8cosθ+sinθ，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)， 则|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|=2|cos 2α+sinαcosα|=4|sin2α+cos2α+1|=4|√2sin(2α+π4)+1|．∵−π4<α<π2，∴−π4<2α+π4<5π4．∴|√2sin(2α+π4)+1|∈[1,1+√2]， 则|ON||OM|的最小值为4√2+1=4(√2−1)．解析：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程；化{x =8+tcos 3π4y =tsin3π4为{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程；(Ⅱ)分别写出圆C 1的极坐标方程与直线C 2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)，可得|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|，整理后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −1|={3x,x >1x +2,−12≤x ≤1−3x,x <−12， 则f(x)<9等价为{x >13x <9或{−12≤x ≤1x +2<9或{x <−12−3x <9，解得1<x <3或−12≤x ≤1或−3<x <−12， 综上可得原不等式的解集为(−3,3)；(Ⅱ)当x >0时，f(x)>1恒成立，即为1<f(x)min，当a=0时，f(x)=|x−1|，其最小值为f(1)=0，不符题意；当a<0，即−a>0时，f(x)=|ax+1|+|x−1|=−a|x+1a |+|x−1|=(−a−1)|x+1a|+(|x−1|+|x+1a|)，当−a−1≥0，f(x)有最小值，且为|1+1a |，又|1+1a|>1不恒成立；当a>0，x>0时，f(x)=ax+1+|x−1的最小值为f(1)=a+1|>1恒成立，综上可得，a的范围是(0,+∞)．解析：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|2x+1|+|x−1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得1<f(x)min，(x>0)，讨论a=0，a<0，a>0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2≤4，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，2}2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（2，4）3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．8πD．16π4．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．485．设z＝x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．06．有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．540B．729C．216D．4207．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2016B．2C．D．﹣18．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3B．4C．5D．69．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（）A．g（x）在[]上是增函数B．g（x）的图象关于直线x＝﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]10．设函数f（x）＝log4x﹣（）x，g（x）＝x﹣（）x的零点分别是x1，x2，则（）A．x1x2＝1B．0＜x1x2＜1C．1＜x1x2＜2D．x1x2＞211．在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S﹣ABC外接球表面积为（）A．6πB．12πC．32πD．36π12．过曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为（）A．B．﹣1C．+1D．二、填空题（共4小题）13．已知＝（1，﹣2），+＝（0，2），则||＝．14．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞m）＝0.3，则P（X＞6﹣m）＝．15．函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．设数列{a n}的n项和为S n，且a1＝a2＝1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n＝．三、解答题（6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知a cos2+c cos2＝b （1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若B＝，S＝4求b．18．如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC＝BC．O为AB的中点，OF⊥EC．（1）求证：OE⊥FC；（2）若＝时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．19．为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如表所示．（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．分组（单位：岁）频数频率[20，25）50.05[25，30）①0.20[30，35）35②[35，40）300.30[40，45]100.10合计100 1.0020．椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．21．函数f（x）＝，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e＝0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．[选修4一4：坐标系与参数方程] 22．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|x2≤4，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，2}解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A＝[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B＝{0，1，2}，故选：C．2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（2，4）解：，∴复数z所对应点的坐标是（3，1）．故选：A．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．8πD．16π解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S＝4π，圆柱和圆锥的高h＝2，故组合体的体积V＝（1﹣）Sh＝，故选：B．4．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．48解：a3a5＝a2a6＝64，∵a3+a5＝20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64＝0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5＝16，a3＝4，∴q＝＝＝2，∴a1＝＝＝1，∴S5＝＝31．故选：A．5．设z＝x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+y，得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大为6．即x+y＝6．经过点B时，直线y＝﹣x+z的截距最小，此时z最小．由得，即A（3，3），∵直线y＝k过A，∴k＝3．由，解得，即B（﹣6，3）．此时z的最小值为z＝﹣6+3＝﹣3，故选：A．6．有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．540B．729C．216D．420解：根据题意，分2步进行分析：①，先将6名优秀毕业生分为3组，若分为1、1、4的三组，有C64＝15种分组方法，若分为1、2、3的三组，有C63C32＝60种分组方法，若分为2、2、2的三组，＝15种分组方法，则有15+60+15＝90种分组方法；②，将分好的三组对应三个班级，有A33＝9种情况，则每个班至少去一名的不同分派方法有90×6＝540种；故选：A．7．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2016B．2C．D．﹣1解：模拟执行程序框图，可得s＝2，k＝0满足条件k＜2016，s＝﹣1，k＝1满足条件k＜2016，s＝，k＝2满足条件k＜2016，s＝2．k＝3满足条件k＜2016，s＝﹣1，k＝4满足条件k＜2016，s＝，k＝5…观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015＝3*671+2，有满足条件k＜2016，s＝2，k＝2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．故选：B．8．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．3B．4C．5D．6解：由题意，（x6）n的展开式的项为T r+1＝∁n r（x6）n﹣r（）r＝∁n r ＝∁n r令6n﹣r＝0，得n＝r，当r＝4时，n取到最小值5故选：C．9．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（）A．g（x）在[]上是增函数B．g（x）的图象关于直线x＝﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]解：∵f（x）＝sinωx+cosωx＝＝，由题意知，则T＝π，∴ω＝，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）＝f（x+）＝2＝2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．10．设函数f（x）＝log4x﹣（）x，g（x）＝x﹣（）x的零点分别是x1，x2，则（）A．x1x2＝1B．0＜x1x2＜1C．1＜x1x2＜2D．x1x2＞2解：由题意可得x1是函数y＝log4x的图象和y＝（）x的图象的交点的横坐标，x2是y＝的图象和函数y＝y＝（）x的图象的交点的横坐标，且x1，x2都是正实数，如图所示：故有x2＞log4x1，故log4x1﹣x2＜0，∴log4x1+log4x2＜0，∴log4（x1•x2）＜0，∴0＜x1•x2＜1，故选：B．11．在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S﹣ABC外接球表面积为（）A．6πB．12πC．32πD．36π解：取AC中点，连接BN、SN∵N为AC中点，SA＝SC∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，∵SN∩BN＝N∴AC⊥平面SBN∵SB⊂平面SBN∴AC⊥SB∵SB⊥AM且AC∩AM＝A∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC∵三棱锥S﹣ABC是正三棱锥∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．∵底面边长AB＝2，∴侧棱SA＝2，∴正三棱锥S﹣ABC的外接球的直径为：2R＝外接球的半径为R＝∴正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是S＝4πR2＝12π故选：B．12．过曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为（）A．B．﹣1C．+1D．解：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0）因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2＝4cx因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥NF2，因为|OM|＝a，所以|NF2|＝2a又NF2⊥NF1，|FF2|＝2c所以|NF1|＝2b设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c＝2a，∴x＝2a﹣c过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2＝4b2，即4c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1＝0，∴e＝．故选：D．二、填空题：（共4小题，每小题5分）13．已知＝（1，﹣2），+＝（0，2），则||＝．解：因为＝（1，﹣2），+＝（0，2），所以＝（﹣1，4），所以；故答案为：14．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞m）＝0.3，则P（X＞6﹣m）＝0.7．解：随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴曲线关于x＝3对称，∵P（X＞m）＝0.3，∴P（X＞6﹣m）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7．15．函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．解：方程f（x）＝mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）＝与函数y＝mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）＝与函数y＝mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC＝，当x＞1时，f（x）＝lnx，f′（x）＝；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则＝；解得，x1＝；故k AC＝；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．设数列{a n}的n项和为S n，且a1＝a2＝1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n＝．解：设b n＝nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝a2＝1，∴b1＝4，b2＝8，∴b n＝b1+（n﹣1）×（8﹣4）＝4n，即b n＝nS n+（n+2）a n＝4n当n≥2时，S n﹣S n﹣1+（1+）a n﹣（1+）a n﹣1＝0∴＝，即2•，∴{}是以为公比，1为首项的等比数列，∴＝，∴．三、解答题（6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知a cos2+c cos2＝b （1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若B＝，S＝4求b．解：（1）由正弦定理得：sin A cos2+sin C cos2＝sin B，即sin A•+sin C•＝sin B，∴sin A+sin C+sin A cos C+cos A sin C＝3sin B，即sin A+sin C+sin（A+C）＝3sin B，∵sin（A+C）＝sin B，∴sin A+sin C＝2sin B，由正弦定理化简得：a+c＝2b，∴a，b，c成等差数列；（2）∵S＝ac sin B＝ac＝4，∴ac＝16，又b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，由（1）得：a+c＝2b，∴b2＝4b2﹣48，即b2＝16，解得：b＝4．18．如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC＝BC．O为AB的中点，OF⊥EC．（1）求证：OE⊥FC；（2）若＝时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结OC，∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，故OC⊥平面ABEF，∴OC⊥OF，又OF⊥EC，∴OF⊥平面OEC，∴OF⊥OE，又OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，∴OE⊥FC．解：（2）设AB＝2，AC＝，取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），C（，0，0），E（0，1，1），F（0，﹣1，1），＝（﹣，﹣1，﹣1），＝（0，﹣2，0），设平面FCE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，），同理，可取平面BEC的一个法向量为＝（1，，0），cos＜＞＝＝＝，∴二面角F﹣CE﹣B的余弦值为．19．为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如表所示．（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．分组（单位：岁）频数频率[20，25）50.05[25，30）①0.20[30，35）35②[35，40）300.30[40，45]100.10合计100 1.00解：（1）由频数分布表和频率分布直方图，得到：①处填20，②处填0.35；补全频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）的人数为500×0.35＝175．（2）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人．由题意知，X的可能取值为0，1，2，且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝＝．∴X的分布列为：X012P∴E（X）＝0×+1×+2×＝．20．椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）F（c，0），A（0，b），由题设可知，得c2﹣c+＝0①…（1分）又点P在椭圆C上，∴⇒a2＝2②b2+c2＝a2＝2③…①③联立解得，c＝1，b2＝1…故所求椭圆的方程为+y2＝1…（2）设动直线l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程，消去y，整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0（﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又2k2+1＞0，所以△＝0，得m2＝2k2+1…假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由＝||＝1对任意的实数k恒成立．所以，解得，或，所以，存在两个定点M1（1，0），M2（﹣1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．…21．函数f（x）＝，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e＝0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．解：（1）∵f′（x）＝，f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，由切线与直线e2x﹣y+e＝0垂直，可得f′（e）＝﹣，即有﹣＝﹣解得得a＝1，∴f（x）＝，f′（x）＝﹣（x＞0）当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴x＝1是函数f（x）的极大值点又f（x）在（m，m+1）上存在极值∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1故实数m的取值范围是（0，1）；（2）不等式＞即为•＞令g（x）＝则g′（x）＝，再令φ（x）＝x﹣lnx，则φ′（x）＝1﹣＝，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）＝1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴x＞1时，g（x）＞g（1）＝2故＞．令h（x）＝，则h′（x）＝，∵x＞1∴1﹣e x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数∴x＞1时，h（x）＜h（1）＝，所以＞h（x），即＞．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：（Ⅰ）当α＝时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为x cosα+y sinα＝0②，联立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．解：（1）由f（x）≤x+2有…解得0≤x≤2，∴所求解集为[0，2]…（2）…当且仅当时取等号，由不等式对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，解得。

长春市2020届高三质量监测（一）理科数学本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，=B A 则A.φB.{|32}x x x >-或≤C.{|30}x x x ><或D.{|31}x x x ><或2.复数252z i i =+的共轭复数z 在复平面上对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.a c b <<4.已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b =A.3- B.1 C.3-或1 D.525.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2 (2018)年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线 13.7433095.7y x =+，其相关指数9817.02=R ，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0 B.1 C.2 D.36.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S的比值为215-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A.(3πB.π)15(-C.π)15(+D.π)25(-7.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是①,,//a b a b αα⊥⊥则；②,,αγβγαβ⊥⊥⊥则；③//,//,//a b a b αα则；④//,//,//αγβγαβ则.A.①②③ B.②③④C.①③D.①④8.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b =，则11S =A.44B.-44C.88D.-889.把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的图象（部分图象如图所示），则)(x f y =的解析式为A.)62sin(2)(π+=x x f B.)6sin(2)(π+=x x f C.)64sin(2)(π+=x x f D.6sin(2)(π-=x x f 10.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为A.8-B.1-C.0D.111.已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22y px =（0p >）的焦点，则过F 做倾斜角为60 的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为B.2 C.3 D.412.已知函数12)2()(--=x e x x x f ，若当1,()10x f x mx m >-++≤时有解，则m 的取值范围为A.1m≤ B.1m <- C.1m >-D.1m ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.381(2)x x -展开式中常数项为___________.14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+ ，则BP BC ⋅= _________.15.平行四边形ABCD 中，ABD △是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠= ，现将ABD △沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为________.16.已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足n n a a a n n 22,21211+=+-=+且（n *∈N ），则2n S =__________，=n a __________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，tan ()a b A a b =>.（Ⅰ）求证：ABC ∆是直角三角形；（Ⅱ）若10=c ，求ABC ∆的周长的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，22AB AD DC ===，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若4PA =，求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.19.（本小题满分12分）某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分；不选或选错得0分.某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知点)0,1(),0,1(N M -若点),(y x P 满足||||4PM PN +=.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点)0,3(-Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于B A ,两点，O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值及此时直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数3()(1)ln ,()ln f x x x g x x x e=-=--（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）令()()()h x mf x g x =+（0m >）两个零点12,x x （12x x <），证明：121x e x e+>+.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21,2222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的C 极坐标方程为3cos 42=-θρρ.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于B A ,两点，点)2,1(P ，求||||PA PB ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数()|3||1|f x x x =+--.（Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥；（Ⅱ）若函数)(x f 的最大值为M ，设0,0>>b a ，且M b a =++)1)(1(，求b a +的最小值.。

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3} 2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|=√2，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．13．下列与函数y=1√x定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2log2x B．y＝log2（12）xC．y＝log21xD．y＝x144．已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a105．若单位向量e1→，e2→夹角为60°，a→=2e1→−e2→，则|a→|＝（）A．4B．2C．√3D．16．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立：q ：∀a ＞0，f （x ）＝ln a+x a−x为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q8．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α＝（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π310．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√3311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（ ） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣112．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为棱A 1D 1，D 1D ，A 1B 1的中点，给出下列命题：①AC 1⊥EG ；②GC ∥ED ；③B 1F ⊥平面BGC 1；④EF 和BB 1成角为π4．正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2，则z ＝x +y 的最大值为 ．14．曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝ ． 15．在半径为2的圆上有A ，B 两点，且AB ＝2，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为 ．16．三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD ＝2√2，三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为 ；三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，sin B sin 2A =√2cos A ，cos B =13． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若AC ＝2，求AB 长．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计100P （K 2≥x ）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AA 1＝2AB ＝4，M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，G 为棱AA 1上一点，若A 1B ⊥NG ． （Ⅰ）求证：A 1B ⊥GM ；（Ⅱ）求点A 1到平面MNG 的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM ∥AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21．已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．（Ⅰ）若x 1为f （x ）的极值点，且f （x 1）＝f （x 2）（x 1≠x 2），求2x 1+x 2的值； （Ⅱ）求证：当m ＞0时，f （x ）有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4（t 为参数）． （Ⅰ）求C 1和C 2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3}【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0≤x≤2}；∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|=√2，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．1【分析】根据复数求模公式计算即可．解：因为z＝1+（1﹣a）i（a∈R），∴|z|=√12+(1−a)2=√2⇒（1﹣a）2＝1⇒a＝0或2；故选：A．3．下列与函数y=x定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2log2x B．y＝log2（12）xC．y＝log21xD．y＝x14【分析】可看出，y=1√x在定义域{x|x＞0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x＞0}上单调递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x＞0}，从而得出选项A，B，D都错误，只能选C．解：y=1√x{x|x＞0}上单调递减，y=2log2x=x在定义域{x|x＞0}上单调递增，y=log2(12)x的定义域为R，y=log21x在定义域{x|x＞0}上单调递减，y=x14的定义域为{x|x≥0}．故选：C．4．已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a10【分析】利用等差数列的通项公式即可得出． 解：∵等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7， ∴3（a 1+4d ）＝2（a 1+6d ）， 化为：a 1＝0．则此数列中一定为0的是a 1． 故选：A ．5．若单位向量e 1→，e 2→夹角为60°，a →=2e 1→−e 2→，则|a →|＝（ ） A ．4B ．2C ．√3D ．1【分析】根据平面向量的数量积，计算模长即可． 解：由a →=2e 1→−e 2→，得a →2=(2e 1→−e 2→)2=4e 1→2−4e 1→•e 2→+e 2→2=4×1﹣4×1×1×cos60°+1＝3， 所以|a →|=√3． 故选：C ．6．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）（注：雷达图（RadarChart ），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart ），可用于对研究对象的多维分析）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确， 故选：D ．7．命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立：q ：∀a ＞0，f （x ）＝ln a+x a−x为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q【分析】根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数f （x ）＝ln a+x a−x在a ＞0时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．解：根据题意，命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立， 当x 0＝π时，对任意实数x ，使得sin （x +π）＝﹣sin x 恒成立， 故P 为真命题； 命题q ：∀a ＞0，f （x ）＝ln a+x a−x，有a+x a−x＞0，解可得﹣a ＜x ＜a ，函数的定义域为（﹣a ，a ），关于原点对称， 有f （﹣x ）＝lna+x a−x=−lna+x a−x=−f （x ），即函数f （x ）为奇函数，故其为真命题；则p ∧q 为真命题，（￢p ）∨（￢q ）、P ∧（￢q ）、（￢p ）∧q 为假命题； 故选：A ． 8．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】画出f （x ）的图象，结合图象求出y ＝f （x ）与y ＝3的交点个数，即可判断结论．解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2； 所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点； 即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2； 故选：B ．9．已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α＝（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【分析】由题意可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论．解：由条件已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，可得sin(α−π3)=cos(α+π3)， 将各个选项中的值代入检验，只有α=π4 满足， 故选：C ． 10．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√33【分析】先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值．解：圆x 2+y 2﹣4y ＝0化为标准方程为：x 2+（y ﹣2）2＝4， ∴圆心为（0，2），半径r ＝2，∵渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay ＝0， ∴√a 22=√3，即2ac=√3∴离心率e =c a =2√33，故选：D ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（ ） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣1【分析】根据a n +1＝S n +1﹣S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ． 解：法一：排除法：a 2＝6，a 3＝16，验证知B 对． 法二：∵a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)， ∴S n+1−S n =n+2n S n ，化简得：S n+1n+1=2Sn n， ∴数列{S n n}是以2为首项，2为公比的等比数列，S n n=2n ，S n =n ⋅2n ．故选：B ．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为棱A 1D 1，D 1D ，A 1B 1的中点，给出下列命题：①AC 1⊥EG ；②GC ∥ED ；③B 1F ⊥平面BGC 1；④EF 和BB 1成角为π4．正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，可得EG ∥D 1B 1，又CA 1⊥平面EFG ，即可判断出正误． 对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误；③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1∥BC ，可得B 1F 与BC 不垂直，即可判断出正误． ④由于D 1D ∥B 1B ，EF 和DD 1所角为π4．即可判断出正误．解：如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，则EG ∥D 1B 1，而CA 1⊥平面EFG ，所以AC 1⊥EG ；故①正确；对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，∴CM ∥ED ，因此GC ∥ED 不正确；③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1∥BC ，∴B 1F 与BC 不垂直，因此B 1F ⊥平面BGC 1不成立．④∵D 1D ∥B 1B ，EF 和DD 1所角为π4．∴EF 和BB 1成角为π4．正确．正确命题的个数是2． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2，则z ＝x +y 的最大值为 4 ．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2作出可行域如图：化目标函数z ＝x +y 为y ＝﹣x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣x +z 过A 时，z 取得最大值， 由{y =22x −y =2，解得A （2，2）时， 目标函数有最大值为z ＝4． 故答案为：4．14．曲线f（x）＝2sin x在x=π3处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝1．【分析】根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a的值．解：∵f′（x）＝2cos x，∴f′(π3)=2cosπ3=1，∵切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，所以﹣a＝﹣1∴a＝1．故答案为：1．15．在半径为2的圆上有A，B两点，且AB＝2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为16．【分析】先找到等于90°的分界点，进而求得结论．解：由∠ABQ＝90°，∠BAP＝90°，延长BO到P，AO到Q；当点P位于劣弧PQ之间时，△ABP为锐角三角形，因为AO＝OB＝AB；所以：∠AOB＝∠POQ＝60°；所以其概率为：P=60°360°=16．故答案为：16．16．三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD ＝2√2，三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为 √23；三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为4π3．【分析】由于BD 过球心，所以可得∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AO ⊥面BCD ，所以当BC ＝CD 时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．解：当BD 过球心，所以∠BAD ＝∠BCD ＝90°， 所以AO ⊥面BCD ，V A ﹣BCD =13⋅12BC ⋅CD ⋅OA ，当BC ＝CD 时体积最大， 因为BD ＝2√2，OA =√2，所以BC ＝CD ＝2， 所以最大体积为：13⋅12⋅2⋅2⋅√2=2√23； 三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，三角形ABC 中，AB ＝AC =√OC 2+OA 2=2＝BC ， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =232，所以r =23，所以外接圆的面积为S ＝πr 2=4π3， 故答案分别为：2√23，4π3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，sin B sin 2A =√2cos A ，cos B =13． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若AC ＝2，求AB 长．【分析】（1）由已知结合同角平方关系可求cos A ，进而可求A ； （2）由已知结合和差角公式可求sin C ，然后结合正弦定理可求．解：（1）∵sinBsin2A=√2cosA中，sinB=2√23，∴2sin2A＝3cos A，即2（1﹣cos2A）＝3cos A，解得cosA=12，A=π3．（2）∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32⋅13+12⋅2√23=√3+2√26由正弦定理得ABsinC =ACsinB，∴AB=ACsinB⋅sinC=√64+1．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100 P（K2≥x）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ． 【分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m ；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K 2并与6.635比较，从而得出答案．解：（Ⅰ）由图可知，（0.005+0.015+0.020+m +0.030+0.005）×10＝1， 解得m ＝0.025； （Ⅱ）擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计3070100K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(800−300)250×50×30×70≈4.762＜6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系． 19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AA 1＝2AB ＝4，M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，G 为棱AA 1上一点，若A 1B ⊥NG ． （Ⅰ）求证：A 1B ⊥GM ；（Ⅱ）求点A 1到平面MNG 的距离．【分析】（1）运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；（Ⅱ）设A 1B 与GN 交于点E ，易得A 1B ⊥平面MNG ，即A 1到平面MNG 的距离为A 1E ，由解三角形的知识求得所求距离．解：（1）证明：AB ⊥BC ，BC ⊥BB 1，可得CB ⊥平面ABB 1A 1， M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，可得MN ∥BC ，可得MN ⊥平面ABB 1A 1，又A 1B ⊥NG ， 由三垂线定理可得A 1B ⊥GM ；（Ⅱ）设A 1B 与GN 交于点E ，由（Ⅰ）可得A 1B ⊥平面MNG ， 在△BNE 中，AA 1＝2AB ＝4，tan ∠EBN =12，则cos ∠EBN =25， 可得BE =4√55，由BA 1＝2√5，则A 1E =6√55，可知A 1到平面MNG 的距离为A 1E =6√55．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM ∥AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|为定值，并求出该定值．【分析】（1）由直线PA 和PB 的斜率之积为−34可得−b 2a 2=−34，又c ＝1，再结合a 2＝b 2+c 2从而求出椭圆C 的方程；（2）设直线AP 的方程为：y ＝k （x +2），则直线OM 的方程为y ＝kx ，分别于椭圆方程联立，求出点P ，点M 的坐标，代入化简得|AP|⋅|AQ||OM|2=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |2=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．解：（1）已知点P 在椭圆上，设P （x 0，y 0），即有x 02a +y 02b =1，又k AP k BP=y 0x 0+a ⋅y 0x 0−a =y 02x 02−a 2=−b 2a2=−34，且2c ＝2， 可得椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）设直线AP 的方程为：y ＝k （x +2），则直线OM 的方程为y ＝kx ， 联立直线AP 与椭圆的方程可得：（3+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣12＝0，由x A ＝﹣2，可得x P =6−8k 23+4k2，联立直线OM 与椭圆的方程可得：（3+4k 2）x 2﹣12＝0，即x M2=6−8k 23+4k2，所以|AP|⋅|AQ||OM|2=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |2=|x p +2|⋅|0+2||x M |2=2．即|AP|⋅|AQ||OM|为定值，且定值为2．21．已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．（Ⅰ）若x 1为f （x ）的极值点，且f （x 1）＝f （x 2）（x 1≠x 2），求2x 1+x 2的值； （Ⅱ）求证：当m ＞0时，f （x ）有唯一的零点．【分析】（1）由题可知f （x 1）＝f （x 2），且f ′（x 1）＝0，又f '（x ）＝x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得．（2）令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，可得13x 3+x 2=−m(x +1)，令h(x)=13x 3+x 2，h '（x ）＝x 2+2x ，利用单调性可得：13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．解：（1）由题可知f （x 1）＝f （x 2），且f ′（x 1）＝0，又f '（x ）＝x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得（2x 1+x 2+3）（x 1﹣x 2）＝0． 2x 1+x 2＝﹣3．（6’）（2）证明：令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，则13x 3+x 2=−m(x +1)，令h(x)=13x 3+x 2，h '（x ）＝x 2+2x ，可知h （x ）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，又h(−2)=43，h （0）＝0；﹣m （x +1）为过点（﹣1，0）的直线，又m ＞0，则﹣m ＜0， 因此13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos3π4y =tsin 3π4（t 为参数）． （Ⅰ）求C 1和C 2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．【分析】（Ⅰ）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），消去参数α，可得C 1的参数方程；化{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4为{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程； （Ⅱ）分别写出圆C 1的极坐标方程与直线C 2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（−π4＜α＜π2），可得|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|，整理后利用三角函数求最值．解：（Ⅰ）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），消去参数α，可得C 1的参数方程为（x ﹣2）2+y 2＝4；由{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4（t 为参数），得{x =8−√22t y =√22t ，消去参数t ，可得C 2的普通方程为x +y ＝8；（Ⅱ）如图，圆C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ＝8， 即ρ=8cosθ+sinθ，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（−π4＜α＜π2）， 则|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|=2|cos α+sinαcosα|=4|sin2α+cos2α+1|=|√2sin(2α+π4)+1|．∵−π4＜α＜π2，∴−π4＜2α+π4＜5π4．∴|√2sin(2α+π4)+1|∈[1，1+√2]， 则|ON||OM|的最小值为√2+1=4(√2−1)．一、选择题23．已知函数f （x ）＝|ax +1|+|x ﹣1|．（Ⅰ）若a ＝2，解关于x 的不等式f （x ）＜9；（Ⅱ）若当x ＞0时，f （x ）＞1恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +1|+|x ﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1＜f （x ）min ，（x ＞0），讨论a ＝0，a ＜0，a ＞0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +1|+|x ﹣1|={3x ，x ＞1x +2，−12≤x ≤1−3x ，x ＜−12， 则f （x ）＜9等价为{x ＞13x ＜9或{−12≤x ≤1x +2＜9或{x ＜−12−3x ＜9， 解得1＜x ＜3或−12≤x ≤1或﹣3＜x ＜−12， 综上可得原不等式的解集为（﹣3，3）； （Ⅱ）当x ＞0时，f （x ）＞1恒成立， 即为1＜f （x ）min ，当a ＝0时，f （x ）＝|x ﹣1|，其最小值为f （1）＝0，不符题意；当a ＜0，即﹣a ＞0时，f （x ）＝|ax +1|+|x ﹣1|＝﹣a |x +1a|+|x ﹣1|＝（﹣a ﹣1）|x +1a|+（|x ﹣1|+|x +1a|），当﹣a ﹣1≥0，f （x ）有最小值，且为|1+1a|，又|1+1a|＞1不恒成立；当a ＞0，x ＞0时，f （x ）＝ax +1+|x ﹣1的最小值为f （1）＝a +1|＞1恒成立， 综上可得，a 的范围是（0，+∞）．。