高二数学人教A版选修4-1课件：2.4 弦切角的性质

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高中数学 [重点校]河南师大附中高中数学选修4-1：24弦切角的性质

学案

【学习目标】

理解弦切角的概念；掌握弦切角定理，并会运用它解决有关问题。

【自主学习】

1.弦切角的定义：_________________________________________________.

2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_________________________.

【自主检测】

1. 右面各图形中的角是弦切角的是

（填写正确的序号），并说明理由：

2.AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角BAC_______.

3.如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若20D，

则DBE的大小为( ) A. 20 B. 40 C. 60 D. 70

【典例分析】

例1.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O

切于点C， ADCE，垂足为D，求证：AC平分BAD.

例2.如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P. 求证：AD∥EC.

【目标检测】

1.如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，A是切点，

过B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于 E点，若 AE平分∠BAD，

则∠BAD=（ ） AEBCODC

B D E O A 打印版

高中数学 A. 300 B. 450 C. 500 D. 600

2. 如图所示，AB是直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，若CD切⊙O于C点，试分别求∠CAB、∠DCB、∠ECA的度数.

3.如图所示，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，30BD．

求证：AD是⊙O的切线.

四 弦切角的性质

．掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．(重点)

．体会分类思想，运动变化思想和化归思想．(难点)

[基础·初探]

教材整理 弦切角定理

阅读教材～，完成下列问题．

．弦切角

顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．

．弦切角定理

()文字语言叙述：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

()图形语言叙述：

如图--，与⊙切于点，则∠＝∠.

图--

．在⊙外，切⊙于，交⊙于，，则( )

．∠＝∠ ．∠＝∠ ．∠＝∠ ．∠＝∠

【解析】由弦切角定理知∠＝∠.

【答案】

．如图--所示，与⊙相切于点，和是⊙上两点，∠＝°，则∠等于(

)

图--

．° ．°

．° ．°

【解析】根据弦切角定理：∠＝∠＝°.

【答案】

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问：

解惑：

疑问：

解惑：

疑问：

解惑：

[小组合作型]

利用弦切角定理解决与角

有关的问题

如图--，是半圆的直径，是圆周上一点(异于，)，过作圆的切线，过作直线的垂线，垂足为，交半圆于点，求证：＝.

》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 四 弦切角的性质

课后篇巩固探究

一、A组

1.如图,MN与☉O相切于点M,Q和P是☉O上两点,∠PQM=70°,则∠NMP等于(

)

A.20°

B.70° C.110° D.160°

解析:∵∠NMP是弦切角,∴∠NMP=∠PQM=70°.

答案:B

2.如图,已知AB和AC分别是☉O的弦和切线,点A为切点,AD为∠BAC的平分线,且交☉O于点D,BD的延长线与AC交于点C,AC=6,AD=5,则CD的长度等于 ( )

A.3 B.4

C.5 D.6

解析:由题意,得∠CAD=∠ABC.因为AD为∠BAC的平分线,所以∠CAD=∠DAB,从而∠CBA=∠DAB,所以DB=AD=5,且△ACD∽△BCA,于是,即,解得CD=4(负值舍去).

答案:B

3.如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,切点为C.若∠BCM=38°,则∠B= ( )

A.32° B.42°

C.52° D.48°

解析:如图,连接AC.

∵∠BCM=38°,MN是☉O的切线,

∴∠BAC=38°.

∵AB为☉O的直径,

∴∠BCA=90°.

∴∠B=90°-38°=52°. 》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 答案:C

4.如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为( )

A.2 B.3 C.2 D.4

解析:如图,连接BC.

∵EF是☉O的切线,

∴∠ACD=∠ABC.

又AB是☉O的直径,

∴∠ACB=90°.

又AD⊥EF,

∴∠ACB=∠ADC.

∴△ADC∽△ACB.∴.

∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=2.

答案:C

5.

如图,若AB切☉O于A,AC,AD为☉O的弦,且,则∠C与∠CAB的关系是 .

第十一章 几何证明选讲(选修4－1)

第一节

相似三角形的判定及有关性质

1．平行线的截割定理

(1)平行线等分线段定理

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

(2)平行线分线段成比例定理

定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

2．相似三角形的判定定理

(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．

(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．

3．相似三角形的性质定理

(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．

(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．

4．直角三角形相似的判定定理

(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．

(2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．

(3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

5．直角三角形射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

[小题体验] 1.(教材习题改编)如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm，则BC的长为________ cm.

解析：由 AB∥EM∥DCAE＝ED⇒E为AD中点，M为BC的中点，

又EF∥BC⇒EF＝MC＝12 cm.