人教A版高中数学必修4习题课件：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3. 1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

三维目标

1.通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.

2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力.

3.通过本节学习，引导领悟寻找数学规律的方法，培养的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.

重点难点

教学重点：二倍角公式推导及其应用.

教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.

教学过程

(问题导入) 1、 若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.并总结思想方法。

2、①请试着用sinα 或cosα,表示sin2α，cos2α。

②请试着用tanα表示tan2α。

（新知讲解）

这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系. 公式说明：

(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；

(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；

(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；

(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠21kπ+4和α≠kπ+2(k∈Z)时才成立，但是当α=kπ+2,k∈Z时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.

（Ⅴ）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a是4a的二倍,3α是23a的二倍,3a是6a的二倍，2-α是4-2a的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌

握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；

教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，



sincoscossin)sin(



sincoscossin)sin(



sinsincoscos)cos(



sinsincoscos)cos(





tantan1tantan

)tan(









tantan1tantan

)tan(





练习：（1）在△ABC中，BABAcoscossinsin

，则△ABC为（ ）

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

（2） 的值为

12sin

12cos3



（ ）

A． 0 B．2 C

．2

D

．2

思考：已知

43

2



，

1312

)cos(，

53

)sin(

，求

2sin

我们由此能否得到sin2,cos2,tan2

的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中

看成

即可），

（二）公式推导：



sin2sinsincoscossin2sincos



；



22

cos2coscoscossinsincossin



；

思考：把上述关于cos2

的式子能否变成只含有sin

或cos

形式的式子呢？

22222

cos2cossin1sinsin12sin



；

22222

cos2cossincos(1cos)2cos1



． 

2tantan2tan

tan2tan

1tantan1tan

313《二倍角的正弦、余弦和正切公式》导案

【习目标】

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用

【重点难点】

教重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；

教难点：二倍角的理解及其灵活运用

【法指导】

复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式，为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺垫

【知识链接】

请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式：

；

；

我们由此能否得到sin2,cos2,tan2的公式呢？（生自己动手，把上述公式中看成即可）[]

【习过程】

一、公式推导：

sin2sinsincoscossin2sincos；[]

22cos2coscoscossinsincossin； 思考：把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢？22222cos2cossin1sinsin12sin；

22222cos2cossincos(1cos)2cos1．

2tantan2tantan2tan1tantan1tan．

注意：2,22kk kz

二、例题讲解

例1、已知5sin2,,1342求sin4,cos4,tan4的值．

例２、已知1tan2,3求tan的值．

[&&]

【基础达标】

1．sin2230’cs2230’=__________________;

2．18cos22_________________;

第三章 三角恒等变换

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

一、选择题

1．已知sinα–cosα=43，则sin2α=

A．–79 B．–29

C．29 D．79

【答案】A

【解析】将sinα–cosα=43的两边进行平方，得sin2α–2sinαcosα+cos2α=169，即sin2α=–79．

2．（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=

A．12 B．22

C．32 D．1

【答案】C

【解析】因为sin75°=sin（90°–15°）=cos15°，cos75°=cos（90°–15°）=sin15°，

所以（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=（cos15°–sin15°）（cos15°+sin15°）

=cos215°–sin215°=cos30°=32，故选C．

3．cos2π182的值为

A．1 B．12

C．22 D．24

【答案】D

【解析】2π1cos82=π1cos1422=1πcos24=24，故选D．

4．已知2是第四象限角，且cos2=1xx，则sinθ的值为

A．–21xx B．21xx

C．–21xx D．21xx

【答案】D

【解析】∵2是第四象限角，且cos2=1xx，∴sin2=–21cos2=–1x，

因此，sinθ=2sin2cos2=2×（–1x）×1xx=2×（21xx），

∵x≤–1，∴sinθ=21xx．故选D．

5．已知cos（π4）•cos（π4）=34，θ∈（3π4，π），则sinθ+cosθ的值是

A．62 B．–62

C．22 D．22

【答案】C

【解析】ππcoscos44=ππsincos44=1πsin222=13cos224，