高二数学人教A版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的简单几何性质

抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义

知识讲解1．抛物线的定义

【概念】

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，

比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥

曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换

下，也可看成二次函数图象．

【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．

【性质】

我们以y2＝2px（p＞0）为例：

①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂

直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．

【实例解析】

例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为

解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，

∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），

∴|PQ|＝＝＝，

∴当x＝，即P（）时，

|PQ|取最小值．故答案为：．

这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最

值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．

例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线

的准线的距离之和的最小值是．

解：如图所示，

设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．

过点P作PM⊥l，垂足为M．

则|PM|＝|PF|．

设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．

∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．

即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．

这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，

然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了

学必求其心得，业必贵于专精

2020秋高中数学人教A版选修2-1课堂达标：2.4.2.1 抛物线的简单几何性质含解析

第二章 2。4 2.4。2 第1课时

1．(河南洛阳市2019－2020学年高二期末)抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是( C ）

A．4 B．2

C．错误! D．错误!

[解析] 抛物线y＝4x2,即x2＝错误!y的焦点到准线的距离为:p＝错误!。

2．若动点M（x，y)到点F(4,0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( D ）

A．x＋4＝0 B．x－4＝0

C．y2＝8x D．y2＝16x

[解析] 依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，

∴其方程为y2＝16x,故答案是D．

3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A到焦点F距离为4，若在y轴上存点B（0,2）使得错误!·错误!＝0，则该抛物线的方程为（ A )

A．y2＝8x B．y2＝6x

C．y2＝4x D．y2＝2x

［解析］ 由题意可得：F(错误!，0)，xA＋错误!＝4，解得xA＝4学必求其心得，业必贵于专精

－错误!，取yA＝错误!＝错误! 。

∴A（4－p2，错误!）．

∵错误!·错误!＝0，∴错误!（4－错误!）－2(错误!－2)＝0,

∴（8p－p2－4)2＝0，解得p＝4。经过检验满足条件．

∴该抛物线的方程为y2＝8x。故选A．

4．抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于__0。5__。

[解析] 抛物线y2＝x中2p＝1，∴p＝0。5，∴抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于0.5。

5．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3,则｜AB|的值为__10__。

[解析］ 由抛物线y2＝8x知，p＝4。

设A(x1，y1)、B(x2,y2)，根据抛物线定义知:

word 1 / 15 高二数学选修2-1抛物线的简单几何性质

【基础知识精讲】

抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：

图形

标准

方程 y2=2px(p＞0) y2=-2px(p＞0) x2=2py(p＞0) x2=-2py(p＞0)

焦点

坐标 (2p,0) (-2p,0) (0,2p) (0，-2p)

准线

方程 x=-2p x=2p y=-2p y=2p

X围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0

对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴

顶点 (0，0) (0，0) (0，0) (0，0)

离心率 e=1 e=1 e=1 e=1

焦半径 ｜PF｜=x0+2p ｜PF｜=2p-x0 ｜PF｜=2p+y0 ｜PF｜=2p-y0

参数p的几何

意义

参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.

本节学习要求：

1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.

2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.

3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.

通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.

【重点难点解析】 word

2 / 15 1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.

应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.

例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点(x0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.

分析 设方程为y2=2px(p＞0)或y2=-2px(p＞0)

数学视野:抛物线的产生

公元前4世纪后半期，由于战争，希腊的文化中心从雅典东移到古老埃及的亚历山大城，希腊、埃及两方文化结合，更使希腊人的文学、艺术、哲学、自然科学取得了卓越的成就，关于数学中圆锥曲线的研究也是在这个时期开始.希腊人最先研究圆锥曲线，据传首先是为了解决当时的几何学与神学提出的所谓“德里问题”或“立方倍积问题”，并在逐步探索认识和解决问题的过程中，发展和深化了对圆锥曲线的了解.所谓“德里问题”或“立方倍积问题”，是传说很久以前，一次希腊德里群岛中一个名叫杰罗西岛的地方发生了瘟疫.岛上部落问自己的酋长怎样祈祷上帝，才能免除这场灾难.酋长说，要把祭祀上帝的立方体形祭坛重新砌造成一个更大的，要求新砌的祭坛仍是立方体，但体积要为原来祭坛体积的2倍.即原立方体棱长为a，新立方体棱长x.问题的实质就是如何根据a求作x .不少的古希腊学者研究过这个问题，开始大多是企图通过尺规作图的方法来解决的，也形成了多种方法（这些方法都不是严格意义上的“尺规作图”）.古希腊几何学家、天文学家梅内克缪斯(Menaechmus 前375-前325年)的方法是：用一个平面垂直于顶角分别是锐角、直角和钝角的圆锥的母线，得到三种不同截线，他把这三种截线分别叫做“锐角的”、“直角的”和“钝角的”圆锥截线，即后来的椭圆、抛物线和一支等轴双曲线.那么在“立方倍积问题”中，如何作出x这一线段呢？用现在的直角坐标方程的知识可知，它实际是两条抛物线和两交点中非原点的那个交点的横坐标，而这两条抛物线梅内克缪斯在当时就是从圆锥截线得到.所以梅内克缪斯是系统研究圆锥曲线的第一人，他最早给圆锥曲线以命名，并利用抛物线满意地解决了“立方倍积问题”.圆锥曲线就这样神奇地仿佛是无中生有地产生在圆锥曲面上.