高中数学第二讲四弦切角的性质预习导学案新人教A版选修

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 第二讲四 弦切角的性质课时作业（含解析）新人教A版选修4-1

1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则( )

A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠P

C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA

解析：选C.由弦切角定理知∠PCA＝∠B.

2．已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C等于( )

A．45° B．40°

C．35° D．30°

解析：选B.如图，连接BD，∵∠BDA＝90°.又∵CD为⊙O的切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.

∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.

3．如图，已知AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是(

)

A．65° B．115°

C．65°或115° D．130°或50°

4．如图，在圆内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是( )

A．4 B．5

C．6 D．7

解析：选B.∵EF切⊙O于点C，

∴∠DCF＝∠CAD＝∠CBD，∠BCE＝∠BAC＝∠BDC.

∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD.

∴∠DCF＝∠CAD＝∠CBD＝∠BCE＝∠BAC＝∠BDC.

∴图中与∠DCF相等的角有5个．

5．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(

)

A．2 B．3

C．23 D．4

解析：选C.连接BC，则∠ACB＝90°.

∵AD⊥EF，∴∠ADC＝90°.

∵EF为⊙O的切线，∴∠B＝∠ACD.

∴△ADC∽△ACB.

∴ADAC＝ACAB，

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高中数学 [重点校]河南师大附中高中数学选修4-1：24弦切角的性质

学案

【学习目标】

理解弦切角的概念；掌握弦切角定理，并会运用它解决有关问题。

【自主学习】

1.弦切角的定义：_________________________________________________.

2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_________________________.

【自主检测】

1. 右面各图形中的角是弦切角的是

（填写正确的序号），并说明理由：

2.AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角BAC_______.

3.如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若20D，

则DBE的大小为( ) A. 20 B. 40 C. 60 D. 70

【典例分析】

例1.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O

切于点C， ADCE，垂足为D，求证：AC平分BAD.

例2.如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P. 求证：AD∥EC.

【目标检测】

1.如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，A是切点，

过B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于 E点，若 AE平分∠BAD，

则∠BAD=（ ） AEBCODC

B D E O A 打印版

高中数学 A. 300 B. 450 C. 500 D. 600

2. 如图所示，AB是直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，若CD切⊙O于C点，试分别求∠CAB、∠DCB、∠ECA的度数.

3.如图所示，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，30BD．

求证：AD是⊙O的切线.

四 弦切角的性质

预习导航

课程目标 学习脉络

1．理解弦切角的概念，会判断弦切角．

2．掌握弦切角定理的内容，并能利用它解决有关问题.

1．弦切角

顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．

弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③.

思考1 你对弦切角是怎样理解的？

提示：弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)另一边与圆相切．

弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图①②③④中的角都不是弦切角．图①中，缺少“顶点在圆上”的条件；图②中，缺少“一边和圆相交”的条件；图③中，缺少“一边和圆相切”的条件；图④中，缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件．

2．弦切角定理

文字语言 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角

符号语言 AB与⊙O相切于点A，AC与⊙O相交于点A，C，点D在⊙O上，但不在弦切角∠BAC所夹的弧上，则∠BAC＝∠ADC

图形语言

作用 证明两个角相等

思考2 和弦切角有关的结论有哪些？

提示：(1)由弦切角定理及圆周角定理可以得到：

①弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半；

②弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．

(2)由弦切角定理可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据．如图，DE切⊙O于点A，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAE.

温馨提示 (1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．

(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础．

(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.

圆心角 圆周角 弦切角

定义 顶点在圆心的角 顶点在圆上，两边和圆相交 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切

》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 四 弦切角的性质

课后篇巩固探究

一、A组

1.如图,MN与☉O相切于点M,Q和P是☉O上两点,∠PQM=70°,则∠NMP等于(

)

A.20°

B.70° C.110° D.160°

解析:∵∠NMP是弦切角,∴∠NMP=∠PQM=70°.

答案:B

2.如图,已知AB和AC分别是☉O的弦和切线,点A为切点,AD为∠BAC的平分线,且交☉O于点D,BD的延长线与AC交于点C,AC=6,AD=5,则CD的长度等于 ( )

A.3 B.4

C.5 D.6

解析:由题意,得∠CAD=∠ABC.因为AD为∠BAC的平分线,所以∠CAD=∠DAB,从而∠CBA=∠DAB,所以DB=AD=5,且△ACD∽△BCA,于是,即,解得CD=4(负值舍去).

答案:B

3.如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,切点为C.若∠BCM=38°,则∠B= ( )

A.32° B.42°

C.52° D.48°

解析:如图,连接AC.

∵∠BCM=38°,MN是☉O的切线,

∴∠BAC=38°.

∵AB为☉O的直径,

∴∠BCA=90°.

∴∠B=90°-38°=52°. 》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理 答案:C

4.如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为( )

A.2 B.3 C.2 D.4

解析:如图,连接BC.

∵EF是☉O的切线,

∴∠ACD=∠ABC.

又AB是☉O的直径,

∴∠ACB=90°.

又AD⊥EF,

∴∠ACB=∠ADC.

∴△ADC∽△ACB.∴.

∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=2.

答案:C

5.

如图,若AB切☉O于A,AC,AD为☉O的弦,且,则∠C与∠CAB的关系是 .