高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）

（一）复习式导入：（1）基本公式

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

tantan1tantan)tan( tantan1tantan)tan(

（2）练习：教材P132面第6题。

思考：怎样求cossinba类型？

（二）新课讲授

例1、化简2cos6sinxx

解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？

132cos6sin22cossin22sin30coscos30sin22sin3022xxxxxxx思考：22是怎么得到的？

222226，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和32的.

归纳：bababatan)sin(cossin22

例2、已知：函数Rxxxxf,cos32sin2)(

（1） 求)(xf的最值。（2）求)(xf的周期、单调性。

例3．已知A、B、C为△ABC的三內角，向量)3,1(m，)sin,(cosAAn，且1nm，

（1） 求角A。（2）若3sincoscossin2122BBBB，求tanC的值。

练习：（1）教材P132面7题

（2）在△ABC中，BABAcoscossinsin，则△ABC为（ ）

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

（2） 的值为12sin12cos3（ ）

教学准备

1. 教学目标

两角和、差的正弦、余弦、正切

2. 教学重点/难点

两角和、差的正弦、余弦、正切

3. 教学用具

4. 标签

教学过程

一、知识回顾

（一）两角和与差公式

注：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。

注：（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。

（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。

三、小结

在运用公式时，要注意公式成立的条件，熟练掌握公式的顺用、逆用、变形用，还要注意各种的做题技巧。

1 3.1.2 两角和与差的正弦

整体设计

教学分析

1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如：比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．

2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了对数学公式的推导和证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．

3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．

三维目标

1．在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．

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1 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

重点：公式的应用.

难点：公式的推导及变形应用.

六个公式的特征

两角和（差）的余弦：余余、正正、符号异（即公式右端分别是α与β的余弦之积，以及正弦之积，中间的符号与左边相反）；两角和（差）的正弦：正余、余正、符号同；两角和（差）的正切：分子同、分母异.它们的内在联系如下：

一、和（差）角的余弦公式

cos(α-β)与cos（α+β）的公式中所用“量”是相同的，只是运算符号“+”与“-”不同，两者是相对的.

例1 已知：cos(α＋β)＝45 ，cos(α－β)＝－45，3π2＜α＋β〈2π，π2〈α－β〈π，求cos2α与 cos2β.

【思路点拨】 本题运用角的转化关系“2α＝(α＋β)＋(α－β),2β＝(α＋β)－(α－β)”，及两角和与差的余弦公式求解

【解】 ∵3π2〈α＋β〈2π，cos(α＋β)＝45，

∴sin(α＋β)＝－35.∵π2〈α－β〈π，cos(α－β)＝－45，∴sin(α－β)＝35.∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝45×(－45)－(－35)×35＝－725.

cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝45×(－45)＋(－35)×35＝－1.

【思维总结】解题关键是利用已知角构造所求的角.

二、和(差)角的正弦公式

S（α±β）的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的函数值计算.

S(α±β)的逆向应用是在符合公式的特征形式下，把多项式的三角函数计算转化为一个角（α+β）或（α-β）的函数值计算. 百度文库 - 让每个人平等地提升自我

2 例2 化简求值：

（1）sin14°cos16°+sin76°cos74°;