2013年全国各地高考数学分类汇编-12 圆锥曲线与方程

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（12圆锥曲线与方程）

一、选择题：

1．(2013北京理)若双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )．

A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±12x D．y＝±22x

答案 B

解析 由e＝3，知c＝3a，得b＝2a.

∴渐近线方程y＝±bax，y＝±2x.

2．(2013北京理)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )．

A.43 B．2 C.83 D.1623

答案 C

解析 由C：x2＝4y，知焦点P(0,1)．∴直线l的方程为y＝1.∴所求面积S＝4－2－2x24 dx＝4－ x3122－2＝83.

3．(2013北京文)双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．

A．m>12 B．m≥1 C．m>1 D．m>2

答案 C

解析 由x2－y2m＝1知，a＝1，b＝m，∴c2＝a2＋b2＝1＋m，e2＝c2a2＝1＋m，由e>2，得1＋m>2，∴m>1.

4．(2013福建文) 双曲线122yx的顶点到其渐近线的距离等于（

）

A．21 B．22 C．1 D．2

【答案】B

【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为)0,1(，取一条渐近线为xy，所以点)0,1(到直线xy的距离为22．

5．(2013福建理) 双曲线2214xy的顶点到其渐近线的距离等于（

）

A．25 B．45 C．255 D．455

【答案】C

【解析】 2214xy的顶点坐标为(2,0)，渐近线为2204xy，即20xy．带入点到直线

距离公式0022AxBxCdAB=2222551(2)．

6．(2013广东文) 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)F，离心率等于21，则C的方程是

A．14322yx B．13422yx C．12422yx D．13422yx

【解析】基础题，1,2,3cab，选D.

7．(2013广东理) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为3,0F,离心率等于32,在双曲线C的方程是( )

A . 22145xy B．22145xy C．22125xy D．22125xy

【解析】B；依题意3c,32e,所以2a,从而24a,2225bca,故选B．

8．(2013湖北文) 已知π04，则双曲线1C：22221sincosxy与2C：22221cossinyx的

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

解析 双曲线C1、C2的焦距均为sin2θ＋cos2θ＝1. 答案

D

9、(2013湖北理) 已知04，则双曲线22122:1cossinxyC与222222:1sinsintanyxC的（ ）

A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等

【解析与答案】双曲线1C的离心率是11cose，双曲线2C的离心率是222sin1tan1sincose，故选D

【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形

10. (2013江西文) 已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=

A.2:错误！未找到引用源。

B.1:2 C. 1:错误！未找到引用源。 D. 1:3

[答案]：C

[解析]：依题意可得AF所在直线方程为12xy代入x2=4y得352y，又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1:错误！未找到引用源。

11．(2013辽宁文)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为( )

A.35 B.57 C.45 D.67

答案 B

解析 在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，

∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.

∴c＝|OF|＝12|AB|＝5，

利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6，

∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.

因此椭圆的离心率e＝ca＝57.

12．(2013全国大纲文)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )．

A．22x＋y2＝1 B．22132xy C．22143xy D．22154xy

答案：C

解析：如图，|AF2|＝12|AB|＝32，|F1F2|＝2，

由椭圆定义得|AF1|＝2a－32.①

在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝232＋22.②

由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.

∴椭圆C的方程为22143xy，应选C．

13．(2013全国大纲理) 椭圆C：22=143xy的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )．

A．13,24 B．33,84 C．1,12 D．3,14

答案：B

解析：设P点坐标为(x0，y0)，则2200=143xy，

2002PAykx，1002PAykx，于是122200222003334244PAPAxykkxx.故12314PAPAkk＝－.

∵2PAk∈[－2，－1]，

∴133,84PAk.故选B.

14．(2013全国大纲文、理) 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝( )．

A．12 B．22 C．2 D．2

答案：D

解析：设AB：y＝k(x－2)，代入y2＝8x得：

k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴x1＋x2＝2248kk，

x1x2＝4.(*)

∵MA·MB＝0，

∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0，

即(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0.

∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.①

∵11222,2,ykxykx∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)，②

y1·y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]．③

由(*)及①②③得k＝2.故选D．

15．(2013全国新课标Ⅱ理)设抛物线C：y2＝2px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

答案 C

解析 由题意知：Fp2，0，抛物线的准线方程为x＝－p2，则由抛物线的定义知，xM＝5－p2，设以MF为直径的圆的圆心为52，yM2，所以圆的方程为x－522＋y－yM22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p5－p2，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.

16、(2013全国新课标Ⅱ文) 设抛物线2:4Cyx的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点。若||3||AFBF，则l的方程为（ ）

（A）1yx或!yx （B）3(1)3yx或3(1)3yx

（C）3(1)yx或3(1)yx （D）2(1)2yx或2(1)2yx

【答案】C

【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2

因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=13，当x1=3时，2112y，所以此时11223y，若123y，则123(3,23),(,)33AB,此时3ABk,此时直线方程为3(1)yx。若123y，则123(3,23),(,)33AB,此时3ABk,此时直线方程为3(1)yx。所以l的方程是3(1)yx或3(1)yx，选C.

17、(2013全国新课标Ⅱ文)设椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别为12,FF，P是C上的点，212PFFF，1230PFF，则C的离心率为（ ）

（A）36 （B）13

（C）12 （D）33

【答案】D

【解析】因为21212,30PFFFPFF,所以2123432tan30,33PFccPFc。又126323PFPFca，所以1333ca，即椭圆的离心率为33，选D.

18、(2013全国新课标Ⅰ文、理) 已知双曲线C：22221xyab（0,0ab）的离心率为52，则C的渐近线方程为

A. 14yx

B. 13yx

C. 12yx

D. yx

【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.

【解析】由题知，52ca，即54=22ca=222aba，∴22ba=14，∴ba=12，∴C的渐近线方程为12yx，故选C.

解析2：由e＝ca＝52知，a＝2k，c＝5k(k∈R＋)，

由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.

所以ba＝12.

即渐近线方程为y＝±12x.故选C.

19．(2013全国新课标Ⅰ文) O为坐标原点，F为抛物线2:42Cyx的焦点，P为C上一点，若||42PF，则POF的面积为（ ）

（A）2 （B）22 （C）23

（D）4

答案

C

解析 由y2＝42x知：焦点F(2，0)，准线x＝－2.