2013年全国高考理科数学试题分类汇编：圆锥曲线(解析版)
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2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线
一、选择题
1 ．（2013年江西（理））过点(2,0)引直线l与曲线21yx相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于 （ ）
A．yEBBCCD33 B．33 C．33 D．3
【答案】B
2 ．（2013年福建（理））双曲线2214xy的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）
A．25 B．45 C．255 D．455
【答案】C
3 ．（2013年广东省（理））已知中心在原点的双曲线C的右焦点为3,0F,离心率等于32,在双曲线C的方程是 （ ）
A．22145xy B．22145xy C．22125xy D．22125xy
【答案】B
4 ．（2013年新课标1（理））已知双曲线C:22221xyab(0,0ab)的离心率为52,则C的渐近线方程为 （ ）
A．14yx B．13yx C．12yx D．yx
【答案】C
5 ．（2013年四川（理））抛物线24yx的焦点到双曲线2213yx的渐近线的距离是 （ ）
A．12 B．32 C．1 D．3
【答案】B
7 ．（2013年浙江（理））如图,21,FF是椭圆14:221yxC与双曲线2C的公共焦点,BA,分别是1C,2C在第二、四象限的公共点.若四边形21BFAF为矩形,则2C的离心率是
（ ）
A．2 B．3 C．23 D．26
【答案】D
8 ．（2013年天津（理））已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线与抛物线22(0)pxpy的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为3, 则p = （ ）
A．1 B．32 C．2 D．3
【答案】C
9 ．（2013年大纲版数学（理））椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为12,AA,点P在C上且直线2PA的斜率的取值范围是2,1,那么直线1PA斜率的取值范围是 （ ）
A．1324， B．3384， C．112， D．314，
【答案】B
10．（2013年大纲版数学（理））已知抛物线2:8Cyx与点2,2M,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于,AB两点,若0MAMB,则k（ ）
A．12 B．22 C．2 D．2
【答案】D
11．（2013年北京卷（理））若双曲线22221xyab的离心率为3,则其渐近线方程为（ ）
A．y=±2x B．y=2x C．12yx D．22yx
【答案】B O x y
A
B F1 F2
（第9题图）
12．（2013年山东（理））已知抛物线1C:212yxp(0)p的焦点与双曲线2C:2213xy的右焦点的连线交1C于第一象限的点M.若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线,则p （ ）
A．316 B．38 C．233 D．433
【答案】D
13．（2013年新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为(3,0)F,过点F的直线交椭圆于,AB两点.若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为 （ ）
A．2214536xy B．2213627xy C．2212718xy D．221189xy
【答案】D
14．（2013年新课标Ⅱ卷（理））设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F,点M在C上,5MF,若以MF为直径的圆过点)2,0(,则C的方程为 （ ）
A．24yx或28yx B．22yx或28yx
C．24yx或216yx D．22yx或216yx
【答案】C
15．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆221:231Cxy,圆222:349Cxy,,MN分别是圆12,CC上的动点,P为x轴上的动点,则PMPN的最小值为 （ ）
A．524 B．171 C．622 D．17
【答案】A
二、填空题
16．（2013年江苏卷）双曲线191622yx的两条渐近线的方程为_____________.
【答案】xy43
17．（2013年江西卷（理））抛物线22(0)xpyp的焦点为F,其准线与双曲线22133xy相交于,AB两
点,若ABF为等边三角形,则P_____________
【答案】6
18．（2013年湖南卷（理））设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点,P是C上一点,若216,PFPFa且12PFF的最小内角为30,则C的离心率为___.
【答案】3
19．（2013年安徽（理））已知直线ya交抛物线2yx于,AB两点.若该抛物线上存在点C,使得ABC为直角,则a的取值范围为___ _____.
【答案】),1[
20．（2013年江苏）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax,右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为1d,F到l的距离为2d,若126dd,则椭圆C的离心率为_______.
【答案】33
21．（2013年福建（理））椭圆2222:1(0)xyabab的左.右焦点分别为12,FF,焦距为2c,若直线3()yxc与椭圆的一个交点M满足12212MFFMFF,则该椭圆的离心率等于__________
【答案】31
22．（2013年陕西卷（理））双曲线22116xym的离心率为54, 则m等于___9_____.
【答案】9
23．（2013年辽宁（理））已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,FC与过原点的直线相交于,AB两点,连接,AFBF,若410,6,cosABF5ABAF,则C的离心率e=______.
【答案】57
24．（2013年浙江（理））设F为抛物线xyC4:2的焦点,过点)0,1(P的直线l交抛物线C于两点BA,,点Q为线段AB的中点,若2||FQ,则直线的斜率等于________.
【答案】1
三、解答题
25．（2013年上海高考）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.
已知椭圆C的两个焦点分别为1(1 0)F，、2(1 0)F，,短轴的两个端点分别为12 BB、
(1)若112FBB为等边三角形,求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点2F的直线l与椭圆C相交于 PQ、两点,且11FPFQ,求直线l的方程.
【答案】[解](1)设椭圆C的方程为22221(0)xyabab.
根据题意知2221abab, 解得243a,213b
故椭圆C的方程为2214133xy.
(2)容易求得椭圆C的方程为2212xy.
当直线l的斜率不存在时,其方程为1x,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线l的方程为(1)ykx.
由22(1)12ykxxy 得2222(21)42(1)0kxkxk.
设1122( ) ( )PxyQxy，，，,则
2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121kkxxxxFPxyFQxykk，，，，，
因为11FPFQ,所以110FPFQ,即
21212121212(1)(1)()1(1)(1)xxyyxxxxkxx
2221212(1)(1)()1kxxkxxk
2271021kk,
解得217k,即77k.
故直线l的方程为710xy或710xy.
26．（2013年山东（理））椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别是12,FF,离心率为32,过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接12,PFPF,设12FPF的角平分线PM交C 的长轴于点(,0)Mm,求m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线12,PFPF的斜率分别为12,kk,若0k,试证明1211kkkk为定值,并求出这个定值.
【答案】解:(Ⅰ)由于222cab,将xc代入椭圆方程22221xyab得2bya
由题意知221ba,即22ab 又cea32
所以2a,1b 所以椭圆方程为2214xy
(Ⅱ)由题意可知:11||||PFPMPFPM=22||||PFPMPFPM,11||PFPMPF=22||PFPMPF,设00(,)Pxy其中204x,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312xxx,因为204x,
所以034mx,而0(2,2)x,所以33(,)22m
(Ⅲ)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:
0014xxyy,所以004xky,而0012,33yykkxx,代入1211kkkk中得
00120033114()8xxkkkkxx为定值.
27．（2013年浙江（理））如图,点)1,0(P是椭圆)0(1:22221babyaxC的一个顶点,1C的长轴是圆
