同角三角函数的基本关系

第十一节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．

(2)商数关系：tan α＝sin αcos αα≠kπ＋π2，k∈Z.

2．六组诱导公式

角

函数

2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α

余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α

正切 tan_α tan_α －tan_α

－tan_α

对于角“kπ2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

课前检测

1．sin 585°的值为( )

A．－22

B.22

C．－32

D.32

解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.

2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|

A．－π6 B．－π3 C.π6 D.π3

解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，

∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|

3．已知tan θ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝( )

A．2 B．－2 C．0 D.23

解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 4．如果sin(π＋A)＝12，那么cos3π2－A的值是____12____．

解析：∵sin(π＋A)＝12，∴－sin A＝12.∴cos32π－A＝－sin A＝12.

5．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝___－255_____.

解析：由题意知cos α<0，又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255.

应用诱导公式时应注意的问题

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．

(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．

一、同角三角函数的基本关系式

[例1] (1)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )

A.15 B.14 C.13 D.12

(2)已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，则sin α－4cos

α5sin α＋2cos α＝________.

[自主解答] (1)∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，

∴sin2θ＋cos2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.

(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α得tan α＝2.原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.

法二：由已知得sin α＝2cos α.原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.

[答案] (1)D (2)－16

在(2)的条件下，sin2α＋sin 2α＝________.

解析：原式＝sin2α＋2sin αcos α＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tan

αtan2α＋1＝85.

答案：85

由题悟法

1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．

2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．

3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

以题试法

1．(1)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α的值为( )

A．3 B．－3 C．1 D．－1

(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.

解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos

α<0，

故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.

(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，

∴sin2α＝4sin2β，①

tan2α＝9tan2β，②

由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③

①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，

∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝38，即cos α＝±64.

答案：(1)B (2)±64

二、三角函数的诱导公式

[例2] (1)tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝________.

(2)已知A＝sinkπ＋αsin α＋coskπ＋αcos α(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )

A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}

C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}

[自主解答] (1)原式

＝tan αcos αsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tan αcos αsinπ2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin

α

＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. (2)当k为偶数时，A＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；

k为奇数时，A＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.

[答案] (1)－1 (2)C

由题悟法

利用诱导公式化简求值时的原则

(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．

(2)“大化小”，利用k·360°＋α(k∈Z)的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．

(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．

(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．

以题试法

2．(1) sin 600°＋tan 240°的值等于( )

A．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12

(2)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α，β，a，b均为非零实数，若f(2 012)＝－1，则f(2 013)等于________．

解析：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32.

(2)由诱导公式知f(2 012)＝asin α＋bcos β＝－1，

∴f(2 013)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.

答案：(1)B (2)1

三、诱导公式在三角形中的应用

[例3] 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos (π－B)，求△ABC的三个内角．

[自主解答] 由已知得sin A＝2sin B，3cos A＝2cos B两式平方相加得2cos2A＝1，

即cos A＝22或cos A＝－22.

(1)当cos A＝22时，cos B＝32，又角A、B是三角形的内角，

∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝7π12.

(2)当cos A＝－22时，cos B＝－32， 又角A、B是三角形的内角，∴A＝3π4，B＝5π6，不合题意．

综上知，A＝π4，B＝π6，C＝7π12.

由题悟法

1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，A2＋B2＋C2＝π2等，于是可得sin(A＋B)＝sin C，cosA＋B2＝sin C2等；

2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．

以题试法

3．在三角形ABC中，

(1)求证：cos2A＋B2＋cos2C2＝1；

(2)若cosπ2＋Asin32π＋Btan (C－π)<0，求证：三角形ABC为钝角三角形．

证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，则A＋B2＝π2－C2，

所以cosA＋B2＝cosπ2－C2＝sinC2，故cos2A＋B2＋cos2C2＝1.

(2)若cosπ2＋Asin32π＋Btan (C－π)<0，

则(－sin A)(－cos B)tan C<0，即sin Acos Btan C<0，

∵在△ABC中，0

∴sin A>0， cos B<0，tan C>0或 tan C<0，cos B>0，

∴B为钝角或C为钝角，故△ABC为钝角三角形．

课堂练习

1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )

A．sin θ<0，cos θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0

C．sin θ>0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0

解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.

∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.

2．已知tan x＝2，则sin2x＋1＝( )

A．0 B.95 C.43 D.53

解析：选B sin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.