同角三角函数的基本关系式
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同角三角函数的基本关系式
倒数关系: 商的关系： 平方关系：
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1
1＋tan2α＝sec2α
1＋cot2α＝csc2α
诱导公式
sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
(其中k∈Z)
两角和与差的三角函数公式 万能公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan2(α/2)
1－tan2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan2(α/2)
半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
2tanα
tan2α＝—————
1－tan2α sin3α＝3sinα－4sin3α
cos3α＝4cos3α－3cosα
3tanα－tan3α
tan3α＝——————
1－3tan2α
三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—
2 2 1
sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
2
1
cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]
2
1
cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
2
1
sinα ·sinβ＝－ -[cos（α＋β）－cos（α－β）]
2
化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）
三角函数与三角变换
2001新资料 (第2页，共5页)
例4 求证：
分析：三角恒等式的证明其方法和要领，与三角函数式化简
基本上是一样的，证明此化简应该更有方向性，更容
易把握，细心分析等式两边形式上的差异，就可实施
异到同的转化完成证明。
在证明时要注意以下两点：一是尽量由繁到简；二是不
要盲目乱碰，先通过观察、分析等式两边的差异，力求做到
有方向，有目的的变换。
本例左繁右简，选择"左 → 右"
证法一：（从角入手，把 ）
原式得证。
证法二：（从函数名称入手，化切为弦）
原式得证。
证法三：（从函数名称入手，左右两边统一弦化切，可用万
能公式）
② 由sin A + sin C = 2 sin B 知
而 A + C = π - B
（2）解：化边法
∵ a, b, c成等差数列，不妨设a=b-m，c=b+m，由余弦定
理知
本例还可通过化角法，即利用正弦定理来解决，请读者试自解。
例6 如图，已知扇形OAB的中心角为450，半径为R，矩形PQMN
内接于这个扇形，求矩形的对角线长λ的最小值，及其矩形
面积S的最大值。
分析：可以考虑设角为自变量，列出函数式，再用三角函数的性
质来求最值。
∵左边=右边 ∴原式得证。
例5（1）在△ABC中，已知
① 求证sinA +sinC=2sinB：
② 求的取值范围
（2）在△ABC，三边a, b, c成等差数列。
求5cosA - 4cosA·cosC + 5cosC的值。
分析：三角部分的另一种重要题型：三角函数的基本应用，
其中最重要的一个方面就是处理有关三角形问题。
近年来高考出题率也颇高，解答这类问题常用的理
论工具有：三角公式、代数公式、三角形的边、角
的有关定理（其中最重要的有正、余弦定理），常
用的思维途经有：化角法、化边法。
（1）解：①
解：连结OM，在Rt△OMQ中，令∠QOM=α，
则OM = Rsinα，OQ = Rcosα，
OP = PN = QM = Rsinα
于是 λ2 = PQ2 + QM2
= R2(cosα- sinα)2 + R2sin2α
其中令 ，则
∴当 α= 22.50 时，
说明：在列函数式时，应抓住图形特征，充分利用直角三角形及
有关三角形的边角关系。
（四）能力训练
一、选择题：
（1）已知函数y = cos(π-χ)，在下列各函数中，和已知
函数在区间[ ，]上的图象相同的是（ ）
（A）y = cos(-x-) (B) y = cos(-x-4π)
（2）函数y = sin (x + ) + sin ( - x)是（ ）
（12）函数 的值域是（ ）
(A)[0,1] (B)[0, ] (C) [0, ] (D)[0, ]
（13）若sinαcosβ=，则cosαsinβ的取值范围是（ ）
(A) [ ，] （B）[ ，1]
（C）[ ，] （D）[-1，] （A）奇函数且最大值是
（B）偶函数且最大值是
（C）奇函数且最大值是2
（D）偶函数且最大值是2
（3）设T1 ，T2 ，T3分别是函数 ，
y=2sinxsin(x-),y = |cos22χ-sin22x|的
最小正周期，则有（ ）
（A）T1 = T2 = T3 （B）T1 < T2 < T3
（C）T3 < T1 < T2 （D）T3 < T2 < T1
（4）在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形
（C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形
（5）若α、β均为锐角，且tg2α·tgβ=1，则sinα等
于（ ）
（6）将函数y =∫(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图像
上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲
线与y=sinχ的图象相同，则y =∫(x) 是（ ）
(A) y = sin (2χ+) (B) y = sin(2π-)
（7）若 ，则实数m的取值范围
是（ ）
(A) -1≤m≤ (B) m ≤
(C) m ≥ 1 (D) m ≤ -1 或 m ≥
（8）如果函数y=sin2χ+acos2χ的图象关于直线
对称，那么a =（ ） （14）已知∫(x)是实数集R上的奇函数，且在区间（0，+∞）上
单调递增，若∫（）=0，三角形的内角A满足
∫（cosA）< 0，则角A的取值范围是（ ）
二、填空题
（15）函数∫(x)= π-sin2x的单调递增区间是___________
（16） ______________
（17）已知 则 _________
（18）在△ABC中，∠A = 600 ，AB ：AC = 8 ：5，若三角
形面积为10，则此三角形的周长为____________
（19）给出下列命题：
① 存在实数χ，使 ；
② 若α，β是第二象限角，sinα>sinβ则 cosα>cosβ
③ 若cosαcosβ=1，则 sin(α+β)=0
④ 若α，β∈(,π)，且 tgα
其中正确的命题的序号是_____________
三、解答题
（20）计算求值：
②已知 ，
求tgα·tgβ的值。
（21）已知函数
① 讨论它的奇偶性；
② 讨论它的周期性；
③ 讨论它的单调性和最值；
④ 在[0，2π]间作出图象。
（22）设△ABC的三边a,b, c成等差数列，a,b,c所对的角分
