同角三角函数的基本关系

1．2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．

知识点 同角三角函数的基本关系式

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tan α＝sin

αcos

α

α≠kπ＋π2，k∈Z.

2．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式

sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.

(2)tan α＝sin αcos αα≠kπ＋π2，k∈Z的变形公式

sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.

1．sin2α＋cos2β＝1.( × )

提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.

2．sin2θ2＋cos2θ2＝1.( √ )

提示 在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝θ2可得sin2θ2＋cos2θ2＝1.

3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × )

提示 当α＝π2＋kπ，k∈Z时就不成立．

4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × )

题型一 利用同角三角函数的关系式求值

命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值

例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )

A.125 B．－125 C.512 D．－512

考点 运用基本关系式求三角函数值

题点 运用基本关系式求三角函数值

答案 D

解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，

∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.

(2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝ .

考点 运用基本关系式求三角函数值

题点 运用基本关系式求三角函数值

答案 －125

解析 ∵sin α＋cos α＝713，

∴(sin α＋cos α)2＝49169，

即2sin αcos α＝－120169<0，

又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，

∴α∈π2，π，

故sin α－cos α＝sin α＋cos α2－4sin αcos α＝1713，

可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125.

反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．

(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题的突破口．

跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．

考点 运用基本关系式求三角函数值

题点 运用基本关系式求三角函数值

解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①

又sin2α＋cos2α＝1，②

由①②得169cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝925.

又α是第三象限角，

∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.

命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值

例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．

考点 运用基本关系式求三角函数值

题点 运用基本关系式求三角函数值

解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，

∴α是第二或第三象限角．

(1)当α是第二象限角时，则

sin α＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，

tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.

(2)当α是第三象限角时，则

sin α＝－1－cos2α＝－1517，tan α＝158.

反思感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．

跟踪训练2 已知cos α＝－45，求sin α和tan α.

考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值

解 sin2α＝1－cos2α＝1－－452＝925，

因为cos α＝－45<0，

所以α是第二或第三象限角，

当α是第二象限角时，sin α＝35，

tan α＝sin αcos α＝－34；

当α是第三象限角时，sin α＝－35，

tan α＝sin αcos α＝34.

题型二 齐次式求值问题

例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．

(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin2α＋13sin αcos α＋12cos2α.

考点 运用基本关系式化简和证明

题点 运用基本关系式化简、求值

解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.

(2)原式＝14sin2α＋13sin αcos α＋12cos2αsin2α＋cos2α

＝14tan2α＋13tan α＋12tan2α＋1

＝14×4＋13×2＋125＝1330.

反思感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值．

(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式． 跟踪训练3 已知sin

α＋cos

αsin

α－cos α＝2，计算下列各式的值．

(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α；

(2)sin2α－2sin αcos α＋1.

考点 运用基本关系式化简和证明

题点 运用基本关系式化简、求三角函数值

解 由sin α＋cos

αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，

所以tan α＝3.

(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.

(2)原式＝sin2α－2sin αcos αsin2α＋cos2α＋1

＝tan2α－2tan αtan2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.

三角函数式的化简与证明

典例 (1)化简：sin2αtan α＋cos2αtan α＋2sin αcos α.

考点 运用基本关系式化简和证明

题点 运用基本关系式化简

解 原式＝sin2α·sin αcos α＋cos2α·cos αsin α＋2sin αcos α

＝sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2αsin αcos α

＝sin2α＋cos2α2sin αcos α＝1sin αcos α.

(2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.

考点 运用基本关系式化简和证明

题点 运用基本关系式证明

证明 ∵右边＝tan2α－sin2αtan α－sin αtan αsin α ＝tan2α－tan2αcos2αtan α－sin αtan αsin α

＝tan2α1－cos2αtan α－sin αtan

αsin α

＝tan2αsin2αtan α－sin αtan αsin α

＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，

∴原等式成立．

[素养评析] (1)三角函数式的化简技巧

①化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：

①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．

②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．

③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0)．

④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．

(3)掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.

1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值为( )

A．－43 B.34 C．±34 D．±43

考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值

答案 A

解析 ∵α为第二象限角，sin α＝45，

∴cos α＝－35，tan α＝－43.

2．已知sin α＝55，则sin4α－cos4α的值为( )

A．－35 B．－15 C.15 D.35

考点 运用基本关系式求三角函数值

题点 运用基本关系式化简、求三角函数值

答案 A

解析 sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)

＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1

＝2×552－1＝－35.

3．(2018·江西上高第二中学高二期末)若α为第三象限角，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α的值为( )

A．3 B．－3 C．1 D．－1

考点 运用基本关系式化简和证明

题点 运用基本关系式化简

答案 B

解析 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin

α<0，

∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin

α＝－3.

4．已知tan x＝－12，则sin2x＋3sin xcos x－1的值为( )

A.13 B．2

C．－2或2 D．－2

考点 运用基本关系式求三角函数值

题点 运用基本关系式求三角函数值

答案 D