同角三角函数的两个基本关系

同角三角函数基本关系式与诱导公式

1. 同角三角函数的基本关系

⑴ 平方关系 sin2ɑ＋cos2ɑ＝1

tan2ɑ+1=sec2ɑ

cot2ɑ+1=csc2ɑ

⑵ 倒数关系 tanβ · cotβ=1

sinβ · cscβ=1

cosβ · secβ=1

⑶ 商数关系

2. 三角函数的诱导公式

公式 一 二 三 四 五 六 七

角 2kπ＋β(k∈Z) π＋β －β π－β 2π－β π2－β π2＋β

正弦 sinβ －sinβ －sinβ sinβ －sinβ cosβ cosβ

余弦 cosβ －cosβ cosβ －cosβ cosβ sinβ －sinβ

正切 tanβ tanβ －tanβ －tanβ －tanβ

余切 cotβ cotβ －cotβ －cotβ －cotβ

口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 cosθsinθtanθsinθcosθcotθ[常用结论]

1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.

2.同角三角函数基本关系式的常用变形：

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

同角三角函数的两个基本关系式

同角三角函数是指在一个角度上的正弦、余弦和正切的比值关系。这三个函数在数学中有很重要的应用，特别是在三角学和几何学中。

第一个基本关系式是正弦函数的定义：在一个角度上，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。用数学符号表示，正弦函数可以表示为sin(θ)

= opposite/hypotenuse，其中θ代表角度，opposite代表对边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。

第二个基本关系式是余弦函数的定义：在一个角度上，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。用数学符号表示，余弦函数可以表示为cos(θ) = adjacent/hypotenuse，其中θ代表角度，adjacent代表邻边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。

这两个基本关系式可以帮助我们计算任意给定角度上的正弦和余弦值。它们是通过比较三角形的不同边的长度与斜边的长度来定义的。这些定义为我们提供了一种准确计算角度上三角函数值的方法，在解决各种问题时非常有用。

同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点

[归纳·知识整合]

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝sin αcos α.

[探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？

提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2α3＋cos2α3＝1，tan

4α＝sin 4αcos 4α等都是成立的，而sin2θ＋cos2φ＝1就不成立．

2．诱导公式

组数 一 二 三 四 五 六

角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α

余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α

正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α

口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限

即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

[探究] 2.有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈Z)，你认为正确吗？

提示：不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sin α；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.

3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？

提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角．

[自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝12，则sin α的值为( )

1．2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．

知识点 同角三角函数的基本关系式

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tan α＝sin

αcos

α

α≠kπ＋π2，k∈Z.

2．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式

sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.

(2)tan α＝sin αcos αα≠kπ＋π2，k∈Z的变形公式

sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.

1．sin2α＋cos2β＝1.( × )

提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.

2．sin2θ2＋cos2θ2＝1.( √ )

提示 在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝θ2可得sin2θ2＋cos2θ2＝1.

3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × )

提示 当α＝π2＋kπ，k∈Z时就不成立．

4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × )

题型一 利用同角三角函数的关系式求值

命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值

例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )

A.125 B．－125 C.512 D．－512

考点 运用基本关系式求三角函数值

题点 运用基本关系式求三角函数值

答案 D

解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，

∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.

(2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝ .