人教A版必修五1.3解三角形应用举例实习作业说课稿

一、教材分析：数学是一门来源于生活，又应用于生活的学科。

生活实际中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。

人教版教材将解直角三角形的学习安排在了九年级下册第二十八章中。

首先从测量入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际中提出的：如测量、航海、工程技术和物理学中的有关距离、高度、角度的计算等问题。

在呈现方式上更突出了实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际。

同时还有利于数形结合，即把图形语言、文字语言与数学符号语言有机地结合起来。

而解直角三角形是继锐角三角函数后本章的第2节，一共4个课时。

主要研究了如何利用角直角三角形的有关知识解决与直角三角形有关的实际问题。

掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实际问题的最终目的。

二、教学目标：由于本课为第一课时，主要使学生理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形，同时解决与之相关的实际问题。

所以三维目标的知识与技能目标主要体现在：（一）知识与技能目标：1、弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

2、利用构造直角三角形的方法解决与之相关的实际问题。

3、通巡变式题的训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用数学的乐趣。

（二）：过程与方法目标：主要体现在让学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决的能力，要求学生善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生用数学的意识。

（三）情感目标：通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，通过选式的诀窍，可简便计算，从而体会探索、发现科学的奥秘和意义。

（四）教学重点、难点：使学生学会将简单的实际问题转化为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式解决，提高他们分析和解决实际问题的能力是本课的重点。

（新课标）高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师本章我们共学习了哪些内容？生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和一边类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有解、一解和无R CcB b A a 2sin sin sin === （4）已知两边及其中一边的对角解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C(5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan12tan2tan2-=-=-=CCC．师思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？生正弦定理、余弦定理与三角形面积公式．生还有余切的二倍角公式．师你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口．师对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】将一块圆心角为120°，半径为20 c m的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论.解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P在OA上，顶点M在圆弧上，设∠M OA=θ，则|MP|=20sinθ,|OP|=20co sθ,从而S=400sinθco sθ=200sin2θ，即当4πθ=时，S m a x=200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ与弦AB平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin2340120sinsin20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．C ．D ． 3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） ＞d 2=d 2 ＜d 2 D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。

《解三角形的实际应用》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的题目是《解三角形的实际应用》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析本节课是高中数学必修 5 第一章《解三角形》中的内容。

解三角形是高中数学的重要组成部分，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。

通过本节课的学习，学生将进一步掌握解三角形的方法，并能够运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。

在教材的编排上，本节课先介绍了正弦定理和余弦定理，然后通过实例引导学生将这些定理应用到实际问题中。

这样的编排符合学生的认知规律，有助于学生逐步掌握解三角形的方法和应用。

二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了三角形的基本性质、三角函数的定义和基本公式等知识，具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。

但是，对于将数学知识应用到实际问题中，学生可能会感到困难，需要教师在教学中给予引导和启发。

此外，学生在解决实际问题时，可能会出现对问题的理解不准确、数学模型的建立不恰当、计算错误等问题。

因此，在教学过程中，要注重培养学生的阅读理解能力、数学建模能力和计算能力。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够熟练运用正弦定理和余弦定理解决与测量、航海、几何等相关的实际问题。

（2）培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

2、过程与方法目标（1）通过实际问题的引入，让学生经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，体会数学与实际生活的紧密联系。

（2）在解决问题的过程中，引导学生运用转化、化归等数学思想方法，提高学生的数学思维能力。

3、情感态度与价值观目标（1）通过解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心。

（2）培养学生的团队合作精神和创新意识，提高学生的综合素质。

四、教学重难点1、教学重点（1）运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。

人教A版高中数学必修五全册说课稿第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理说课稿教材地位与作用：本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。

因此，正弦定理的知识非常重要。

学情分析：作为高一学生，同学们已经掌握了基本的三角函数，特别是在一些特殊三角形中，而学生们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

（根据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标）教学目标分析：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

教法学法分析：教法：采用探究式课堂教学模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。

学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。

让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，动手尝试相结合，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，锲而不舍的求学精神。

教学过程（一）创设情境，布疑激趣“兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB 长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。

第一章解三角形§1.2应用举例（第四课时）【创设情景引入新知】杭州一避暑山庄占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为18亩、20亩和26亩.你知道这个整个避暑山庄占地面积是多少吗？怎么计算呢？请同学们开动脑筋，想想办法吧！【探索问题形成概念】前面我们已知知道三角形的面积公式1,2ABCS ah∆=其中a为底面边长，h为底面上的高.三角形的面积公式除上式之外还有其它的表达形式吗？这节课我们首先将给出三角形面积公式的另一种表达形式.1、三角形的面积公式如右图，△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc根据直角三角形中锐角三角函数的定义，容易证明：sin sinsin sinsin sinabch b C c Bh c A a Ch a B b A======将以上三式应用在三角形的面积公式12S ah=中，可以推导出下面的三角形面积公式；AB Ch ahbhc121212sin sin sin S ab C S ac B S bc A===已知三角形的任意两边及夹角便可求出三角形的面积.【例题】在 △ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°; （2）已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm. 【思路】（1）中已知两边及夹角，可直接应用公式求解；（2）中已知两角和一角的对边，先根据正弦定理求出另一角的对边，再根据三角形内角和定理求出剩余的一角，便可应用面积公式求解；（3）中已知三角形的三边，可根据余弦定理求出其中任意一角，从而应用面积公式求解.【解答】（1）应用S=21acsinB ，得 S=21⨯14.8⨯23.5⨯sin148.5︒≈90.9(cm 2) (2)根据正弦定理，B b sin = Cc sin ，c = BC b sin sinS = 21bcsinA = 21b 2BA C sin sin sin A = 180︒-(B + C)= 180︒-(62.7︒+ 65.8︒)=51.5︒要求三角形的面积需要知道什么条件？思考S = 21⨯3.162⨯︒︒︒7.62sin 5.51sin 8.65sin ≈4.0(cm 2) (3)根据余弦定理的推论，得cosB =ca b a c 2222-+=4.417.3823.274.417.38222⨯⨯-+≈0.7697sinB = B 2cos 1-≈27697.01-≈0.6384应用S=21acsinB ，得 S ≈21⨯41.4⨯38.7⨯0.6384≈511.4(cm 2)【反思】在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，从而求出三角形的面积.【例题】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？【思路】把这一实际问题化归为一道数学题目，本题已知三角形的三边，先根据余弦定理求角，再利用三角形的面积公式求解。

必修五第一章解三角形的说教材文稿各位专家、评委老师，大家好！我说教材的题目是人教版高中数学《解三角形》专题。

下面我将从三个方面九个视角来进行说明.一、说课标高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

（一）课程目标：1.知识与技能：学生初中已学过解直角三角形和锐角三角函数，我们通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.过程与方法：（1）通过推导定理的过程，培养学生观察、比较、分析、概括的能力，体会数形结合的思想.（2）通过解三角形在实际中的一些应用，培养学生提出问题、分析和解决问题能力.（3）通过学习提高学生数据处理能力和获取知识能力.3. 情感态度与价值观：（1）鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生乐于探究、敢于创新的精神.（2）认识数学应用价值和文化价值，发展数学应用意识，体会数学的美学意义，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.（二）内容标准：1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

本专题的主要内容是两个重要定理，即正弦定理和余弦定理，以及这两个定理在解任意三角形中的应用．这两个定理是学习有关三角形知识的继续和发展，它进一步揭示了三角形的边角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用．新课改要求我们进行课程开发和整合，这就需要我们走出教材，要想走出教材我们就要先走入教材，吃透教材。

第二方面说教材二、说教材（一）教材编写特点（以必修5第一章为例）总概括：突出学习数学的实用价值，突出对学生能力的培养，重视学生的主体地位，引导学生形成基本的数学思维.除了主干知识外，还有如下特点：1.提倡自主探究：无论是正文的“思考”“探究”还是课后“探究与发现”栏目，提出对学生思维有适度启发的问题，引导学生积极的思考和探究，切实改进学生的学习方式.2.关注数学情境：合理的数学情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，兴趣盎然地投入学习.3.强调数学应用：无论教材的章节数学情境问题引入还是课后的“阅读与思考” “信息技术应用”等材料，都具有思想性、实践性、挑战性的，拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识.4.重视数学文化：海伦公式作为习题的出现不是为了掌握名题本身；而是作为正余弦定理的一个直接应用；体验数学文化的同时关注数学历史.（二）教材体例目的（以必修5第一章为例）1、章首：本章的引言以“地月距离”的数学情境一个测量问题引入，这个问题是一个不可及物体的测量问题，而此问题则是人人都面临并会加以思考的，容易引起学生的兴趣和学习的愿望.2、各节由正文和课后材料组成，正文中公式填空、疑问框、探究、观察、思考这些系列化、多样化的探究活动为学生提供思维发展空间.课后材料有探究与发现、阅读与思考、信息技术应用为学生学习提供更大的自主性，同时建立科学的学习观、价值观.3、习题：课后练习（容易）课上使用使重点内容再次得到强化；节习题和章习题则分A、B组，既能巩固综合知识、加强知识迁移。

1.3 实习作业第1题 如图，一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20 的方向，30 min 后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？1.答案：在ABS △中，32.20.516.1AB =⨯=n mile ，115ABS ∠=þ， 根据正弦定理，()sin sin 6520AS ABABS =∠-， ()sin sin 16.1sin115sin 6520AB BAS AB ABS ⨯==⨯∠=⨯-S 到直线AB 的距离是南sin 2016.1sin115sin 207.06d AS =⨯=⨯≈ （cm ）．所以这艘船可以继续沿正北方向航行．第2题. 如图，在山脚A 测得出山顶P 的仰角为a ，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高()()sin sin sin -a a h a γβγ-=．2.答案：在ABP △中，180+ABP γβ∠=-，()()()180- 180-180+ =-BPA ABPαβαβγβγα∠=--∠=--- ．在ABP △中，根据正弦定理，()()()()sin sin sin -sin 180+αsin -sin -AP ABABP APBAP AP αγαγβγβγα=∠∠=-⨯=所以山高为()()sin sin -sin sin -h AP ααγβαγα==．第3题. 测山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得65.3AC =m ，塔顶B 的仰角α是2525' ．已知山坡的倾斜角是1738'，求井架的高BC ．3.答案：在ABC △中，65.3AC =m ，=25251738747BAC αβ'''∠=--= ，90=9017387222ABC β''∠=--= ，根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠ＡβαDＢＣ()sin 65.3sin 7479.3m sin sin 7222AC BAC BC ABC '∠==≈'∠井架的高约为9.3m ．第4题. 如图，货轮在海上以35n mile / h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148的方向航行．为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是126，航行半小时后到达Ｃ点，观察灯塔A 的方位角是78．求货轮到达Ｃ点时与灯塔A 的距离（精确到１ n mile ）．4.答案：在ABC △中，BC ＝350.517.5⨯=n mile ，14812612ABC ∠=-=，()78180148110ACB ∠=+-= ，1801101258BAC ∠=--= ，根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠，sin 17.5sin12 4.29sin sin 58BC ABC AC BAC ∠==≈∠（nmile ）．货轮到达Ｃ点时与灯塔的距离是约4.29n mile ．第5题. 轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120 ，轮船A 的航行速度是25 n mile/h ，轮船B 的航行速度是15 n mile/h ，下午2时两船之间的距离是多少？5.答案：70 n mile ．C第6题. 如图，已知一艘船从30 n mile/h 的速度往北偏东10的A 岛行驶，计划到达A 岛后停留10 min 后继续驶往B 岛，B 岛在A 岛的北偏西60的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B 岛在北偏西30的方向，经过20 min 到达Ｄ处，测得B 岛在北偏西45 的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B 岛？6.答案：在BCD △中，301040,BCD ∠=+=1801804510125BDC ADB ∠=-∠=--= ， 130103CD =⨯=（n mile ），根据正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD =∠∠，()10sin 40sin 18040125BD=∠--， 10sin 40sin15BD ⨯=． 在ABD △中，451055ADB ∠=+= ，1806010110BAD ∠=--= ，3045 60BCA20 min1801105515ABD ∠=--= ．根据正弦定理， sin sin sin AD BD ABABD BAD ADB==∠∠∠，就是sin15sin110sin 55AD BD AB==，sin1510sin 40 6.84sin 70sin110BD AD ==≈（n mile ）． sin 5510sin 40sin 5521.65sin110sin15sin 70BD AB ==≈(n mile)． 如果这一切正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030AD AB +++⨯+≈+⨯≈（min ） 即约１小时26分59秒．所以此船约在11时27分到达Ｂ岛．第7题. 一架飞机在海拔8000m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是2739和，计算这个海岛的宽度．7.答案：约5821.71m ．P第8题. 一架飞机从A 地飞到B 到，两地相距700km ．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km 远了多少？8.答案：在ABC △中，700AB =km ，1802135124ACB ∠=--=， 根据正弦定理，700sin124sin 35sin 21AC BC==，700sin 35sin124AC =，700sin 21sin124BC =， 700sin 35700sin 21786.89sin124sin124AC BC +=+≈（km ），所以路程比原来远了约86.89km ．第9题. 为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．B9.答案：在21.418.6 2.8ABT ATB ∠=-= △中，，9018.6ABT ∠=+，15AB =（m ）．根据正弦定理，sin 2.8cos18.6AB AT = ，15cos18.6sin 2.8AT ⨯=． 塔的高度为15cos18.6tan 21.4tan 21.4114.05sin 2.8AT =≈（m ）．第10题. A ，B 两地相距2558m ，从A ，B 两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离 两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？10.答案：飞机离A 处控照灯的距离是4801.53m ， 飞机离B 处探照灯的距离是4704.21m ， 飞机的高度是约4574.23m ．第11题. 一架飞以326km/h 的速度，沿北偏东75的航向从城市A 出发向城市B 飞行，18min 以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C ，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？11.答案：AE =3261897.860⨯=km ， 在ACD △中，根据余弦定理：AC =101.235=根据正弦定理：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，sin 57sin 66sin 0.5144101.235AD ADC ACD AC ∠∠==≈，30.96ACD ∠≈ ，13330.96102.04ACB ∠≈-= ．在ABC △中，根据余弦定理：AB245.93≈，222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=222245.93101.2352042245.93101.235+-=⨯⨯0.5847≈，54.21BAC ∠= ．在ACE △中，根据余弦定理：CE =90.75≈，222cos 2AE EC AC AEC AE EC+-∠= ．22297.890.75101.2350.4254297.890.75+-≈≈⨯⨯， 64.82AEC ∠= ，()180180757564.8210.18AEC -∠--=-= ．所以，飞机应该以南偏西10.18的方向飞行，飞行距离约90.75km ．第12题. 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为1830'，经过150s 后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m ）．CDBAE12.答案：飞行在150秒内飞行的距离是150100010003600d =⨯⨯m ， 根据正弦定理，()sin18.5sin 8118.5d x =- ，这里x 是飞机看到山顶的俯角为81 时飞机与山顶的距离．飞机与山顶的海拔的差是：()sin18.5tan 81tan 8114721.64sin 8118.5d x =≈-(m)， 山顶的海拔是2025014721.645528-≈m ．第13题. 一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶的仰角是α，这个人再从A 点向南走到B 点，再测得建筑物顶的仰角是β，设A ，B 间的距离是a ．13.答案：设建筑物的同度是h ，建筑物的底部是C ，则tan tan h h AC BC αβ==，． ABC △是直角三角形，BC 是斜边，所以222tan tan b h a αβ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222211tan tan a h βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， α A BDC β a h222222tan tan tan tan a h αβαβ=- 2222222sin sin sin cos cos sin a αβαβαβ=- ()()222sin sin sin sin a αβαβαβ=--． 所以，h =。

正弦定理解三角形（说课稿）各位评委、老师：大家好，今天我说课的题目是《正弦定理解三角形》。

下面从以下几个方面介绍这堂课的教学设计：一课题分析1、教材分析本节课节选自人教A版必修五第一章第一节《解三角形》的内容，本节共需4课时，本节为第二课时。

解三角形的知识与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系，也体现了向量的应用。

它是解决一些与测量和几何运算有关的实际应用问题的有力手段，有效地将几何问题与代数运算联系到一起。

在天文、地理、航海、航空领域都有着广泛的应用，是理工类学生的有力工具，在历年的高考中常作为重点考查。

2、学情分析我授课的对象是理科精英班，已经学习了正弦定理及其推导，了解三角形的边角关系。

学生基本情况是：思维缓慢且难有广度，运算能力极差，记忆能力弱。

表现为：对不含参数的常规一元二次不等式的求解问题，有40%的同学不限时的情况下能解对，只有不到15%的学生能在规定时间内解对。

3、教学内容与目标知识与技能：练习掌握用正弦定理解三角形的两类问题：①、已知两角与任一边求解三角形；已知两边与其中一边对角求解三角形。

②、学会不解三角形判断三角形解的个数。

过程与方法：从具体问题入手，通过分析、练习掌握正弦定理解三角形；从实验中观察、总结判断三角形解的个数的方法。

情感态度与价值观：在练习与总结中体会理论知识从实践中来到实践中去的普遍真理，发现数学的理性与严谨。

4、教学重难点本节的重点是应用正弦定理求解三角形并判断出三角形解的个数；本节的难点是知识的归纳与升华。

二教法分析针对学生的现有水平和能力，我对课本的知识进行了适当的改变与整合。

学生已经预习了课本的例题，我把课本例题中的数字进行了改变，换成学生能马上理解的特殊角和易计算的边长，方便运算的同时，也能达到教学目的。

课本的探究与发现是正弦定理联系紧密，放在本节来讨论比较合适。

三学法分析教学中通过类比的练习方式教给学生如何独立的学习知识，通过指导学生合作动手实践与讨论，增加学生主动参与的意识，增加学生获取思维方法的途径，有利于教给学生应对未知时的解决办法。