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明目标、知重点 1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．1．仰角和俯角：与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角：一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．4．坡角：坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝hl＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．[情境导学]学习数学知识的目的是为了解决现实生活中的问题，事实上现实生活中，也确有很多问题需要应用正、余弦定理来解决，今天我们就来共同探讨这方面的问题． 探究点一 测量距离问题例1 自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC 与水平线夹角)，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95 m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1.40 m ，计算BC 的长度(结果精确到0.01 m)．思考 例1中涉及一个怎样的三角形？在△ABC 中已知什么，要求什么？使用什么定理来求？(写出例题的解题过程)答 这个问题就是在△ABC 中，已知AB ＝1.95 m ，AC ＝1.40 m ，∠BAC ＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC 的长．由于已知两边和它们的夹角，所以可根据余弦定理求出BC . 解 如图所示，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40×cos 66°20′≈3.571. ∴BC ≈1.89(m)． 答 顶杠BC 约长1.89 m.反思与感悟 解决本例题的关键是读懂题意，并能用数学中的几何图形表示实际问题的模型，本问题由于已知量与未知量都集中在一个三角形中，所以可用余弦定理直接求解． 跟踪训练1 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°， 由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．探究点二 测量高度问题例2 如下图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．思考1 通过观察图形，你认为哪些量能够测量出？ 答 能够测量出的分别是α、β，CD ＝a ，测角仪器的高h . 思考2 你能说出求AB 长的一个解题思路吗？答 求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长． 思考3 写出例题的解题过程．解 选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是β、α，CD ＝a ，测角仪器的高是h . 那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得AC ＝a sin βsin (α－β)，AB ＝AE ＋h ＝AC sin α＋h ＝a sin αsin βsin (α－β)＋h .反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练2 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为______ m ．(精确到1 m)答案 811解析 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°，所以∠ADE ＝160°， 于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理， AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈811(m)． 答 山的高度约为811 m.探究点三 与方位角有关的实际问题例3 如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处，某时刻，检测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离．(结果精确到0.01 km)解 (1)依题意知P A －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km)， 因此PB ＝(x －12) km ，PC ＝(18＋x ) km ， 在△P AB 中，AB ＝20 km ，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x .同理，在△P AC 中，cos ∠P AC ＝72－x3x .由于cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，即3x ＋325x ＝72－x3x，解得x ＝1327(km)．(2)作PD ⊥a ，垂足为D ，在Rt △PDA 中， PD ＝P A cos ∠APD ＝P A cos ∠P AB ＝x ·3x ＋325x＝3×1327＋325≈17.71(km)．答 静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 km.反思与感悟 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．跟踪训练3 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距53(3＋1)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．1．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋33) m答案 A解析 在△P AB 中，由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PB sin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303) (m)．2．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米 答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ， ∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (米)．3．甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则 在△ABC 中，BC ＝at (海里)，AC ＝3at (海里)， B ＝90°＋30°＝120°， 由BC sin ∠CAB ＝ACsin B得：sin ∠CAB ＝BC sin BAC＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 4．我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求我炮兵阵地到目标的距离．解 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，∠ACD ＝45°， 根据正弦定理，有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD ， 同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，∠BCD ＝30°， 根据正弦定理，有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD .在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°， 根据勾股定理，有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)，所以我炮兵阵地到目标的距离为42 km. [呈重点、现规律]1．解生活实际问题的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 2．应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题等．一、基础过关1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( ) A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析 在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得BC sin A ＝ABsin C ，∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6 (n mile)．2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是( ) A ．100 2 m B ．400 m C ．200 3 m D ．500 m答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ， 在Rt △ABD 中， 由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得， 3h 2＝h 2＋5002＋h ·500， 解之得h ＝500(m)．故选D.3．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( ) A ．10 m B ．10 2 m C ．10 3 m D ．10 6 m答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 4．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15 m B ．5 m C ．10 m D ．12 m答案 C解析 如图，设塔高为h ， 在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°， 则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°， 则OD ＝3h .在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ， 即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．即塔高为10 m.5．某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12 6 n mile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，则A 处与D 处之间的距离为________ n mile ；灯塔C 与D 处之间的距离为________ n mile.答案 24 83解析 在△ABD 中，由已知得∠ADB ＝60°，B ＝45°；由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24.在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°，解得CD ＝8 3. 所以A 处与D 处之间的距离为24 n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为8 3 n mile. 6．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 4037．要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离． 解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)． 在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)．△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km. 二、能力提升8．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里每小时 B ．346海里每小时 C.1722海里每小时 D ．342海里每小时答案 A解析 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°， ∴MN ＝68×32＝346， ∴v ＝MN 4＝1726(海里每小时)． 故选A.9．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟D ．2.15分钟答案 A解析 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142－257＋100. ∴当x ＝514小时＝1507分钟时，y 2有最小值． ∴y 最小．10．要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10 km ，AB ＝14 km ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则两景点B 与C 的距离为________(精确到0.1 km)．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236.答案 11.3 km解析 在△ABD 中，设BD ＝x km ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得，x 2－10x －96＝0，解得，x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，故BD ＝16 km ，又∵∠BDA ＝60°，AD ⊥CD ，∴∠CDB ＝30°. 由正弦定理，得：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝82≈11.3(km)． ∴两景点B 与C 的距离约为11.3 km.11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β)， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β). 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β). 答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β). 12．在海岸A 处，发现北偏东45°的方向，距离A (3－1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解 如图所示，设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos 120°＝6，∴BC ＝ 6 (n mile)，且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26×32＝22. ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．三、探究与拓展13．如图所示，A、B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．解如图，行驶t h后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处．时，C在线段AB上，此时BC＝(21－9t)海里，当9t<21，即t<73在△BCD中，BC＝(21－9t)海里，BD＝6t海里，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理知CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·(－12)＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.当t＝2时，CD取得最小值189＝321.时，C与B重合，当t＝73＝14(海里)>321(海里)．此时CD＝6×73时，BC＝(9t－21)(海里)，当t>73则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t·cos 60°＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189.综上可知t＝2时，CD取得最小值321，∴行驶2 h后，甲、乙两船相距最近为321海里．。
《解三角形的实际应用举例》本节主要是正弦定理、余弦定理的进一步应用，利用正弦定理、余弦定理解决高度、距离、角度以及三角形的综合应用。
通过运用正弦定、余弦定理解决工业、农业等方面的实际问题，使学生进一步体会数学在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。
【知识与能力目标】通过回顾正弦定理、余弦定理的表达式及文字语言的叙述，进一步熟悉正、余弦定理的内容、作用及所解三角形的类型，能够联系勾股定理、三角形面积定理及三角形内角和公式等有关三角形问题灵活地解三角形。
【过程与方法目标】善于利用分类讨论的思想，先易后难、逐层推进的思想解决一些繁、难三角形问题，把对学生的思维训练贯穿整节课的始终。
【情感态度价值观目标】通过本节课的探究，培养学生勇于探索、勇于创新、善于分析以及具体问题具体分析的科学精神和良好的学习习惯，并对正弦定理、余弦定理的反射美产生愉悦感，从而激发学生热爱数学，热爱科学的追求精神。
【教学重点】灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算。
【教学难点】利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、 新课导入1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C=== 2、余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 二、研探新知，建构概念1.解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。
2.3.4解三角形应用举例(第四课时)教学目标：(a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用(b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。
另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。
只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点，。
(c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题学法：正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。
同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。
直角板、投影仪教学设想：设置情境：师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
在∆ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=21bcsinA, S=21acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解1、 新课讲授例1、在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5︒;（2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解三角形的实际应用举例-北师大版必修5教案三角形是我们数学学习中最基础的概念之一。
在高中数学学习中，我们学习了如何求解各种各样的三角形问题，如计算三角形面积、周长、角度等。
然而，解三角形的实际应用远远不止于此。
本文将以北师大版必修5教案为例，介绍解三角形的实际应用。
教案概述北师大版必修5教案是高中数学课程中非常重要的一本教材，包含了从三角函数的基础概念到解决实际问题的深入内容。
其中，“解三角形”的部分是北师大版必修5教案中的重点内容之一。
该部分的主要内容包括：1.已知两边和夹角，求第三边和另外两个角度；2.已知两角和一边，求解三角形的另外两个角度和第三边；3.已知所有三边，求解三角形三个角度；4.利用三角函数计算角度或边的长度；这些内容为解决实际问题提供了基础。
接下来将通过实例来介绍解三角形的实际应用。
实例介绍实例一：给火箭升空指明方向假设有一台火箭，需垂直升空，现在需要设计一个控制系统，通过计算当前位置和目标位置的角度，来控制火箭升空的方向。
已知火箭需要在东经90度的位置升空，假设火箭所在的位置为A点（北经30度，东经60度），目标位置为B点（北纬50度，东经90度），如图所示：B(50,90)||||A(30,60)-------------控制系统需要计算出火箭当前位置与目标位置的角度，再使火箭向该方向垂直升空。
解决该问题可以使用三角函数中的正切函数来计算。
我们可以通过如下式子来计算出火箭所在位置与目标位置连线的斜率：k = tan((90-60)°) = tan(30°)其中，60度是A点所在的东经度数，90度是目标位置B点的东经度数。
那么，在A点，火箭需要垂直升空的角度即为：tan(θ) = k = tan(30°)θ = 30°所以，火箭需要向东北方向垂直升空。
实例二：计算山体高度有一个五角山，现在需要计算出山体的高度。
如图所示，A点表示测量点位置，B点表示山脚，C点表示山顶：C/ \\/ \\/ \\/ h \\/ \\B-------A---为了方便计算，我们可以先将三角形ABC投影到水平面，得到一个直角三角形ABC’。
北师大版高中必修5-3解三角形的实际应用举例课程设计背景和目的三角形作为几何图形中最基础的一类，其在各种实际应用中都有着广泛的应用。
在高中数学课程中，解三角形一直是一项重要的内容，也是可以联系到实际应用的数学知识点之一。
本次课程设计旨在通过实例和案例的分析，加深学生对解三角形的理解，同时也展示出其在实际生活中的应用。
教学内容一、解三角形的基本原理回顾在开始案例介绍前，先对解三角形思路进行回顾，阐明需要进行三角函数运用的前提。
具体内容为： - 角度的概念和计算方法 - 正弦、余弦、正切三角函数 - 三角函数运算基本规则二、设计案例一：测量建筑物高度针对案例一，学生需要分组来完成以下任务： - 通过实地测量手段获得建筑物周围的所有数据 - 计算并确定三角形的三个角度度数 - 运用三角函数算出建筑物的高度注意事项： - 测量数据需要精确，建议学生在实践前进行模拟算法，在老师的指导下完成实地测量 - 小组合作完成测量和计算，要求结果准确无误三、设计案例二：天线高度计算针对案例二，学生需要独立完成以下任务： - 根据问题提供的相关信息，计算天线的高度和检测仪离天线的水平距离 - 给出计算高度和水平距离的步骤和方法，并概括解决此类实际问题的基本思路 - 思考什么因素会影响计算结果以及实际应用中如何避免和解决这些因素的影响注意事项： - 学生需要理解并能独立运用所学三角函数知识，确定三角形的各个角度度数 - 给出详细的计算步骤和公式实施方法一、教学方式采用讲解导入，案例分析和讨论，小组合作演练和个人独立思考结合的教学方式，强调理论和实践相结合的教学方法。
二、评价方法针对不同案例，采用不同的评价方式。
测量建筑物高度的实例，可通过实地测量准确度进行评价；天线高度计算的实例，可通过学生独立完成计算并给出详细计算步骤和方法的准确度进行评价。
同时，需要注重学生的思维能力、创新思维和解决实际问题的能力。
教学反思通过课程设计的实施，学生深入理解了解三角形的基本思路和三角函数运用的基本规则，同时也加深了对解三角形在实际生活中的应用的理解和认识，培养了学生解决实际问题的能力。
《解三角形的实际应用举例》教学设计一、教材依据本节教材选自《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(北师大版)，第58页第二章《解三角形》：第3小节《解三角形的实际应用举例》的第一课时。
二、设计思想【设计理念】理念之一是让学生体验应用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题的历程。
首先，分析、探讨一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离如何测量，初步感受两个定理的应用；然后，分组探讨怎样测量两个不可到达的点之间的距离，体验合作、交流、成功的快乐。
理念之二是倡导学生自主探索、合作交流等学习数学的方式，培养学生分析问题、解决问题的能力以及交流合作的能力。
总之，本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变。
【教材分析】“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，也是培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力非常好的载体，教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。
【学情分析】学生学习《解三角形的实际应用举例》之前，已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法，具备一定的分析问题的能力；但学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此，小组讨论时学生必须在老师的指导下进行。
根据《普通高中数学课程标准(实验)》的指导思想，针对教材内容重难点和学生实际情况的分析，本节教学应该帮助学生解决好的问题是，将距离测量问题合理、正确的转化为解三角形问题。
三、教学目标（一）课标要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
（二）三维教学目标【知识与技能】通过对实例的解决，能够运用两个定理等解决两种类型的距离测量问题：一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离；两个不可到达的点之间的距离。
【过程与方法】经历将距离测量问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析——建模——求解——检验。
1.3.3解三角形应用举例(第三课时)教学目标:（a ）知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题（b ）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。
课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
（c ）情感与价值：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题学法:能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。
借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。
教学设想: 1、 设置情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。
然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
2、 新课讲授例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考讲述解题思路；教师根据学生回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB 。
北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
解三角形应用举例各位评委各位同学，大家好！我说课的题目是“解三角形应用举例”，选自高中数学必修五第一章第二节。
我以新课标的理念为指导，时刻牢记教什么、怎样教，为什么这样教。
本次说课分为：教材与学情分析、教法与学法、教学过程、评价与反思四个方面。
一、教材与学情分析正弦定理和余弦定理是解决三角形的理论基础，让学生掌握建立“数学模型”的基本思想是本节课的重中之重。
通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题已可以转化为抽象的数学问题以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要的作用。
同时培养学生数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力，提高学生解决实际问题的能力。
激发学生学习数学的兴趣，并让学生体会数学的应用价值。
根据教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，我制定如下三个教学目标：知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题。
思想与方法首先通过情境引入，顺利地导入新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于开放性题目鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。
情感和态度价值观激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
教学重点：探索解三角形的条件，得到实际问题的解。
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。
二、教法与学法1、教法选择：根据本节课的教学目标、教材内容及学生的认知特点，我选择创设情境教学法、探究教学法和引导发现法相结合。
以学生自主探究、合作交流为主，教师启发引导为辅。
2、教学组织形式：师生互动、生生互动。
3、学法指导：巴甫洛夫曾指出：“方法是最主要和最基本的东西”，因此学之有法，才能学之有效，学之有趣。
课题: 2.3.1解三角形的实际应用举例编制人：徐海军 审核： 领导签字：【使用说明】1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，并熟记基础知识，用红颜色笔做好疑难标记。
2.联系课本知识和学过的知识，利用自习时间认真限时完成此训练学案，要特别注意解题的方法和规范性。
3. 根据自身特点选择提升自身能力的侧重点。
4.小组长在课堂上讨论环节发挥引领作用，确保人人达到目标。
【学习目标】知识与技能：了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的应用；能选择正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题。
过程与方法：在解三角形的实际问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。
. 情感态度价值观：体会数学知识来源于实际生活，体会正弦定理、余弦定理在实际生活中的广泛应用.重 点：构建数学模型，解决实际问题。
难 点：数学建模的过程及解三角形的运算。
一、问题导学 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R ABC===2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ； 变形：bcac b A 2cos 222-+==2b=2c3、面积公式： 在ABC Rt ∆中=S 在一般三角形中=S二、课内探究1、从地平面A ，B ，C 三点测得某山顶的仰角均为 15，设 30=∠BAC ，而BC=200m 。
求山高（结果精确到0.1m ）2、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。
已知AB=50m,BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。
解：作DM//AC 交BE 于N ，交CF 于M 。
29810170302222=+=+=DM MF DF 130120502222=+=+=ENDNDE.15012090)(2222=+=+-=BCFC BE EF在DEF ∆中，由余弦定理，EFDE DFEFDEDEF ⨯-+=∠2cos 222.6516150130229810150130222=⨯⨯⨯-+=.3、某观测站C 在A 城的南偏西20°的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31千米正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？ 解： 设∠ACD=α，∠CDB=β. 在△BCD 中，由余弦定理得 cos β=CDBD CBCDBD⋅-+2222=21202312120222⨯⨯-+=-71，则sin β=734,而sin α=sin(β-60°)=sin βcos60°-cos βsin60°=734×21+23×71=1435,在△ACD 中，由正弦定理得︒60sin 21=αsin AD ,∴AD=︒60sin sin 21α=23143521⨯=15(千米).4、如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C 在AB 的延长线上，BC=1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值. 解：POC 中，由余弦定理得PC 2=OP 2+OC 2-2OP ·OCcos θ=5-4cos θ. ∴y=S △OPC +S △PCD =21×1×2sin θ+43(5-4cos θ)=2sin(θ-3π)+435.∴当θ-3π=2π，即θ=65π时，y max =2+435. 所以四边形OPDC 面积的最大值为2+435.三、当堂检测1、在△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，则角B 为（ ） (A) 30°(B) 60°(C) 90° (D) 120°2、在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C=（ ）(A) 60° (B) 90°(C) 150°(D) 120°3、在△ABC 中，若sin cos cos sin A B A B =，则△ABC 为（ ）(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4、如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C 点，求P 、C 间的距离。
解三角形的应用举例一、教材分析《解三角形应用举例》是高中数学必修五第一章《解三角形》第2节的内容，是学完了正弦定理和余弦定理后对定理的应用，共两课时，本节课为第一课时。
本节课重点是创设问题情境，通过对不可到达桥头的桥长、不可到达底部的塔高的测量方法的探究，运用正余弦定理来解决解三角形相关的问题，让学生亲身经历和体验运用三角函数来解决实际问题的过程，培养学生抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识二、学情分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的：⑴学生高一年级学生；⑵学生已经熟练掌握利用正、余弦定理解三角形的解法；⑶学生对生活中的数学问题兴趣浓厚，有多次小组合作解决实习作业的体验；⑷学生数学建模的能力还不强三、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）③将实际问题转化为解三角形问题。
掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形,能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力四、教学重点1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；五、教学难点1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；六、学法与教学用具让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。
1.3.1解三角形应用举例(第一课时)教学目标:知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图学法:让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。
生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。
解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。
教学设想:1、复习旧知:正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境:请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
