湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学习题必修五1-2解三角形应用举例练习题

第一单元：解三角形 单元过关试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC 中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是( )(A)一解 (B)两解(C)一解或两解 (D)无解2.在△ABC 中，若b=2asinB ，则A=( )(A)30°或60° (B)45°或60°(C)120°或60° (D)30°或150°3.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ＝3，b ＝4，C ＝60°，则c 的值等于( )(A)5 (B)134.已知△ABC 内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=3，b=2，A=60°，则cosB=( )(A)3 (B)3 3 (D)±35.在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC=2∶3∶4,则cosA ∶cosB ∶cosC=( )(A)2∶3∶4 (B)14∶11∶(-4)(C)4∶3∶2 (D)7∶11∶(-2)6.如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C 、D 两点.已知△ACD 为正三角形，且DC=3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与目标的距离约为( )(A)1.1 km(B)2.2 km(C)2.9 km(D)3.5 km7.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )(A)北偏东10°(B)北偏西10°(C)南偏东10°(D)南偏西10°8.若a,b,c 是△ABC 的三边，直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=1相离，则△ABC 一定是( )(A)直角三角形 (B)等边三角形(C)锐角三角形 (D)钝角三角形 9.若△ABC 的三边是a,b,c 222，则角C 等于( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°10.(2011·四川高考)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B+sin 2C-sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) (A)(0，π6］ (B)［ππ6，) (C)(0，π3］ (D)［ππ3，) 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确的答案填在题中的横线上)11.已知圆的半径为4，a,b,c 为该圆的内接三角形的三边，若______12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，若b 2+c 2-bc=a 2，且a b C 的值为_______13.在△ABC 中，A=60°，b=1a b c sinA sinB sinC++++=_______. 14.在△ABC 中，若A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC 的面积S=_______.15.在△ABC 中，若tanA=13，C=150°，BC=1，则AB=_______. 三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)在△ABC 中，已知 AC=3，(1)求sinA 的值；(2)若△ABC 的面积S=3，求BC 的值.17.(12分)如图，在四边形ABCD 中，CA=CD=12AB=1，·AC =1，sin ∠BCD=35. (1)求四边形ABCD 的面积；(2)求sinD 的值.18.(12分)△ABC 中，若22tanA a tanB b =，判断△ABC 的形状. 19.(12分)已知△ABC 中，(1)求角A 的大小 ；(2)若BC=3，求△ABC 周长的取值范围.20.(12分)已知A ，B 是海面上位于东西方向(B 在A 东)相距海里的两个观察点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号， 位于B 点南偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？21.(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若bcosC+(2a+c)cosB=0.(1)求内角B 的大小；(2)若b=2，求△ABC 面积的最大值.（备选题）;22．（本小题满分12分） 已知函数π()sin()(0,0,||,)2f x A x A x R ωϕωϕ=+>><∈ 的图象的一部分如下图所示．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值．1 －0 2 3 4 5 6 7 x y答案解析1.【解析】选B.∵bsinA=100×20＜80＜b，即bsinA＜a＜b,∴此三角形有两解.2.【解析】选D.∵b=2asinB，∴b a1sinB2=，由正弦定理知，sinA=12，∴A=30°或150°.3.【解析】选C.由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=9+16-12=13，∴.4.【解析】选C.由正弦定理知32 sin60sinB=︒∴sinB=2sin603︒=，又b＜a，A=60°，所以B为锐角∴3 =5.【解析】选B.由sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4知a∶b∶c=2∶3∶4，∴设a=2x，则b=3x，c=4x.cosA=222b c a72bc8+-=，同理cosB=1116，cosC=14-,cosA∶cosB∶cosC=78∶1116∶(14-)=14∶11∶(-4).6.【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°，在△BCD中，由正弦定理，得BD=CDsin75 sin60︒︒在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°∴ 2.9( km).7.【解析】选B.灯塔A 、B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB=80°，∠CAB=∠CBA=50°，则α=60°-50°=10°，A 在B 的北偏西10°方向上.8.【解析】选D.由直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=11，即a 2+b 2＜c 2 ∴222a b c cosC 02ab+-=＜ ∴角C 是钝角.9.【解析】选A.由题意知12ab ·222222a b c cosC,2ab+-==∴，∴C=30°. 10.【解析】选C.由正弦定理，得a 2≤b 2+c 2-bc ，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bccosA ，则cosA ≥12, ∵0<A<π,∴0<A ≤π3. 二．填空题：11.【解析】选C.∵a b c sinA sinB sinC ===2R=8, ∴sinC=c 8,∴S ΔABC =12absinC=abc 1612.【解析】选C.由b 2+c 2-bc=a 2，得b 2+c 2-a 2=bc ，∴cosA=222b c a 2bc+- =12∴A=60°，又a b sinA sinB∴1sinB 3322===∴B=30°，∴C=180°-A-B=90°.13.【解析】由12bcsin60°c=4， 又a 2=b 2+c 2-2bccos60°，得a b c a sinA sinB sinC sinA ++==++.14.【解析】令AC=b ，由余弦定理得， cosA=2b 2549125b 2+-=-⨯⨯, 则b 2+5b-24=0，∴b=3或b=-8(舍去),∴S=12×5×3=.15.【解析】在△ABC 中，若tanA=13，C=150°，∴A 为锐角，BC=1，则根据正弦定理BC sinC AB sinA ⋅=答案：2三、解答题：16.【解析】(1)由π4得sin(A+π4)=1，又0<A<π，∴π4<A+π4<5π4, ∴A +ππ=42，即A=π4, ∴(2)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,由S=12bc ·sinA=4c=3得a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA=9+8-2×3×2故17.【解析】(1)由条件，得AC=CD=1,AB=2， ∴AB ·AC =2×1×cos ∠BAC=1,则cos ∠BAC=12， ∵∠BAC (0,π)∈,∴∠BAC=π3， ∴BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC=3，∴∴BC 2+AC 2=AB 2,∴∠ACB=π2， sin ∠BCD=sin(π2+∠ACD)=cos ∠ACD=35, ∵sin ∠ACD=45∴四边形ABCD 的面积S=S △ABC +S △ACD =12AC ·BC+12AC ·CD ·sin ∠25. (2)在△ACD 中，AD 2=AC 2+DC 2-2AC ·DC ·cos ∠ACD=1+1-6455=∴∴sinD=AC AD ·sin ∠18.【解析】方法一：由正弦定理得：22sinAcosB sin A sinBcosA sin B=即：cosB sinA cosA sinB =∴sin2A sin2B =， ∴2A=2B 或2A=180°-2B ，即：A=B 或A+B=90°∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.方法二：由题设：2222222222a a c b ·sinAcosB a a 2R 2ac b c a b cosAsinB b b ·2bc 2R+-=⇒=+- 化简：b 2(a 2+c 2-b 2)=a 2(b 2+c 2-a 2)∴(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a=b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.19.【解题提示】由三角形的内角和定理、三角函数知识、正弦定理化简即可.【解析】(1)由A+B+C=π,得sinC=sin(A+B)，代入已知条件得∵sinB ≠0,由此得π3. (2)由上可知：B+C=2π3,∴C=2π3-B ，由正弦定理得：BC 32R==πsinA sin 3， AB+AC=2R(sinB+sinC)sinB+sin(2π3-B)］32cos B)=6sin(B+π6) 由0<B<2π3得12<sin(B+π6)≤1 ∴3<AB+AC ≤6,∴△ABC 周长的取值范围为(6，9］.20.【解析】由题意知，海里，∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△DAB 中，由正弦定理得DB AB sin DAB sin ADB =∠∠， ∴DB=AB sin DAB sin ADB⋅∠∠=(53sin45sin45cos60cos45sin60⋅︒︒︒+︒︒1=海里),又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°在△DBC 中，由余弦定理得：CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos ∠DBC=300+1 200-2×12=900, ∴CD=30(海里)， 则需要的时间t=3030=1(小时) 答：救援船到达D 点需要1小时.21.【解析】(1)方法一：∵bcosC+(2a+c)cosB=0，由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosB ，即sin(B+C)=-2sinAcosB.在△ABC 中，B+C=π-A ，∴sinA=-2sinAcosB ，又sinA ≠0∴cosB=-21，∴B=2π3. 方法二：因为bcosC+(2a+c)cosB=0，由余弦定理，222222a b c a c b b (2a c)0,2ab 2ac+-+-++= 化简得a 2+ac+c 2=b 2，结合余弦定理a 2+c 2-2accosB=b 2,所以cosB=12-,又B(0,π)∈,所以B=2π3.(2)由正弦定理知：c b sinC sinB=，c=bsinCsinB=π2sin(A)π3sin(A)2π3sin3⋅-=-.S△ABC=12bcsinAππA)sinA(0A)33-<<,1sinA sinA2-）=2sinAcosA2A(1-cos2A)=sin2A+3cos2A-3π6)-0<A<π3，∴π6<2A+π6<5π6,sin(2A+π6)≤sinπ2=1∴3sin(2A+π6)-3≤3，即△ABC【方法技巧】计算三角形面积时应注意的问题：(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式；(2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式；(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.特别要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数求角时出现增根错误. (备选题)21/.由图象，知A ＝2，2π8ω=． ∴π4ω=，得π()2sin()4f x x ϕ=+．……………………………………………2分当1x =时，有ππ142ϕ⨯+=． ∴π4ϕ=． ………………………………………………………………4分 ∴ππ()2sin()44f x x =+． …………………………………………… 5分 （II ）ππππ2sin()2sin[(2)]4444y x x =++++ππππ2sin()2cos()4444x x =+++ ……………………………7分 ππsin()42x =+π4x = …………………………………………………10分∴max y =min y =- ………………………………………12分。

1.2应用举例一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【题文】已知A，B两地的距离为5 km，B，C两地的距离为10 km，经测量可知，120ABC∠=︒，则A，C两地的距离为( )A. 5 kmB.55 kmC. 75 kmD.57 km2.【题文】如图，一艘轮船以每小时60海里的速度自A沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，轮船在A处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B，C间的距离是( )A.152海里B.153海里C.303海里D.302海里3.【题文】为了测量一建筑物的高度，某人在地面上选取共线的三点A，B，C，分别测得此建筑物的仰角为30︒，45︒，60︒，且AB=BC=30 m，如图所示，则建筑物的高度为( )A.56B. 106C. 156D. 6m4.【题文】如图，巡航艇在海上以60km/h的速度沿南偏东40︒的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A，其方向是南偏东70︒，航行1h2到达C处，观测灯塔A的方向是北偏东65︒，则巡航艇到达C处时，与灯塔A的距离是( )A.10kmB. 102kmC. 15kmD. 152km5.【题文】如图所示，在一条水平直线上选取三点A ，B ，C 进行测量，测得AB =25 m ，BC =60 m ，水深AD =40 m ，BE =100 m ，CF=55 m ，则DEF ∠的余弦值为 ( )A.1665B.1965 C.1657 D. 17576.【题文】一架直升飞机在600 m 的高空中，测得地面上一座塔的塔顶与塔底的俯角分别是30︒和60︒，则塔高为 ( )A.400mB.4003mC.2003mD.200m7．【题文】若锐角△ABC 的面积为34,6AB AC ==，则BC =（ ） A ．4 B ．25．26．78．【题文】△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别是c b a ,,，若sin sin 3sin B A a cC a b-+=+，则角B 的大小为（ ） A ．π6 B ．5π6 C ．π3 D ．2π3二、填空题：本题共3小题.9．【题文】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，b ＝3，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积为 ．10.【题文】两船同时从A 港出发，甲船以每小时20海里的速度向北偏东80︒的方向航行，乙船以每小时12海里的速度向北偏西40︒方向航行，一小时后，两船相距 海里．11.【题文】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若12m AB =，20m AC =，45BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是 ．（仰角θ为AP 与平面ABC 所成角）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12.【题文】如图所示，在山顶上有一座塔，在山底测得塔顶的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得塔顶的仰角∠DSB ＝75°，求塔高BD .13.【题文】如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上，此时到达C 处．（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．14．【题文】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且()2213a b c ab--=-.（1）求角C ； （2）若3,2c b ==，求B 及△ABC 的面积.人教A 版数学 必修五 第一章 1.2应用举例 参考答案与解析1. 【答案】D【解析】在△ABC 中，AB =5 km ，BC =10km ，120ABC ∠=︒，根据余弦定理得，222o 5102510cos 120km AC AC =+-⨯⨯⨯⇒=.故选D.考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易2. 【答案】A【解析】易知在△ABC 中，=30AB 海里，=303570105,45CAB ABC ACB ∠︒∠=︒+︒=︒∴∠=︒，，根据正弦定理得=sin 30sin 45BC AB︒︒，解得BC =（海里）.考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易3. 【答案】C【解析】设建筑物的高度为m h ，由题图知，2m PA h =,m PB =，m 3PC h =,所以在△PBA 和中△PBC中，分别由余弦定理的推论，得222cos PBA ∠2224302cos h h PBC +-∠180PBA PBC ︒∠+∠=，所以cos cos =0PBA PBC ∠+∠③.由①②③，解得h h ==-（舍去），即建筑物的高度为m . 考点：利用余弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】一般4. 【答案】D【解析】在△ABC 中，()1=60=30km 2BC ⨯，o o o =7040=30ABC ∠-，=4065=105ACB ∠︒+︒︒，则()=18030105=45A ︒-︒+︒︒，由正弦定理，得)km AC .考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】一般5. 【答案】 A【解析】 如图所示，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .()222215855298m DF MF DM =+=+=， ()2222256065m DE DN EN =+=+=，()()2222456075m EF BE FC BC =-+=+=，在△DEF 中，根据余弦定理的推论得，2222226575529816cos ==22657565DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠=⨯⨯⨯.考点：利用余弦定理测量角度.【题型】选择题 【难度】一般6. 【答案】A 【解析】如图所示：在Rt△ACD 中可得tan 30CD AC︒=，3tan 306002003CD AC BE =⋅︒===,在△ABE 中，由正弦定理，o o=200sin 30sin 60AB BEAB =⇒，∴()600200400m DE BC ==-=. 考点：利用正弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】较易7. 【答案】D【解析】三角形面积11sin 46sin sin 22S AB AC A A A =⋅⋅=⨯⨯==,由于△ABC 为锐角三角形，所以1cos 2A =，由余弦定理可求得BC =，故选D.考点：三角形面积公式的应用. 【题型】选择题 【难度】一般8. 【答案】B【解析】222sin sin sin B A b a c a b C c --=⇒=⇒+-=2225πcos 0π226c a b B B B ac +-⇒==-<<∴=Q ，，故选B.考点：正、余弦定理综合. 【题型】选择题 【难度】一般9. 【答案】3考点：正、余弦定理及三角形面积公式的应用. 【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】28【解析】如图，△ABC 中，20124080120AB AC CAB ︒︒==∠=+=︒，，， 由余弦定理得222201222012cos 120784BC ︒=+-⨯⨯⋅=，∴28BC =（海里）.考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】53【解析】如图，过P 作PO BC ⊥于点O ，连接AO ，则PAO θ∠=，设OC x =，则OP x =，在直角△ABC 中，由勾股定理，得BC =16，所以4cos 5BCA ∠=.在△AOC 中，由余弦定理，得224400220324005AO x x x x =+-⨯⨯=-+， 从而22tan 324002049525OPAOx x x θ===-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当2045x =，即25x =时，tan θ取得最大值，为53.考点：利用余弦定理测量角度.【题型】填空题【难度】一般12. 【答案】500米【解析】∵∠SAB ＝∠CAB −∠CAS ＝45°−30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC −∠SBC ＝45°−15°＝30°，∴在△ABS 中，sin 15sin 30BS AS =︒︒，∴sin 15500sin 30AS BS ⋅︒==︒(米)． ∴BD ＝BS ·sin 75°＝500500=(米)． 考点：利用正弦定理求高度.【题型】解答题【难度】较易13. 【答案】（1）21海里/小时 （2【解析】（1）依题意得，120BAC ∠=︒，18AB =，15230AC =⨯=，BCA α∠=． 在△ABC 中，由余弦定理，得222222cos 18302BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-1830cos1201764⨯⨯⨯︒=， 所以BC =42，所以渔船甲的速度为212BC =海里/小时． （2）在△ABC 中，18AB =，120BAC ∠=︒，BC =42，BCA α∠=， 由正弦定理，得sin sin 120AB BC α=︒，即18sin 1202sin 42AB BC α⋅︒===考点：利用正、余弦定理求距离、角度.【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】（1）2π3C = （2）π4B =【解析】（1）由已知条件化简可得()223a b c ab --=-，变形可得222a b c ab +-=-， 由余弦定理的推论可得，2221cos 22a b c C ab +-==-， ()2π0,π,3C C ∈∴=Q . （2）2π3c b C ===Q ，∴由正弦定理可得又π,,4b c B C B <∴<∴=Q ，在△ABC 中， ()1sin sin sin cos cos sin 22224A B C B C B C ⎛⎫=+=+=-+= ⎪⎝⎭. 113sin 2244ABC S bc A ∆∴===. 考点：正、余弦定理综合应用.【题型】解答题【难度】一般。

高中数学第一章解三角形1.2 应用举例第1课时距离问题练习（含解析）新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章解三角形1.2 应用举例第1课时距离问题练习（含解析）新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章解三角形1.2 应用举例第1课时距离问题练习（含解析）新人教A版必修5的全部内容。

第一章解三角形1。

2 应用举例第1课时距离问题A级基础巩固一、选择题1．有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为（）A．1 B．2sin 10°C．2cos 10°D．cos 20°解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案：C2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5错误! m，起吊的货物与岸的距离AD为( ）A．30 m B.错误!错误! mC．15 3 m D．45 m解析：在△ABC中，cos ∠ABC＝错误!＝错误!，∠ABC∈（0°，180°），所以sin∠ABC＝错误!＝错误!,所以在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝519×错误!＝错误!错误! (m)．答案：B3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( ）A．6 km B．3 3 km C．3 2 km D．3 km解析：由题意知，AB＝24×错误!＝6 （km），∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°。

人教新课标A版高中数学必修5 第一章解三角形 1.2应用举例同步测试（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2019高一下·佛山月考) 在中，已知三个内角为满足，则（）．A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·新乡期末) 在中，若，则是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 形状不确定3. （2分）在中a=1,b=3,C=60，则c=（）A .B . 7C .D . 134. （2分） (2018高一下·江津期末) 一船以每小时 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（）A . 60kmB . kmC . kmD . 30km5. （2分） (2018高二下·南宁月考) 在中，分别为角的对边长，，则三角形的形状为（）A . 等腰直角三角形B . 等腰三角形或直角三角形C . 正三角形D . 直角三角形6. （2分）在△ABC中，b=4，c=3，BC边上的中线，则a=（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·哈尔滨期中) 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则四边形的面积最小值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·四川期中) 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·惠阳期中) 在△ABC中，∠A= ，AB=2，且△ABC的面积为，则边AC的长为（）A . 1B .C . 2D . 310. （2分）一艘客船上午9:30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 海里，则灯塔S在B处的（）A . 北偏东75°B . 北偏东75°或东偏南75°C . 东偏南75°D . 以上方位都不对11. （2分）蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地和，测得红军的两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·老河口期中) 如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①②③13. （2分）如右图所示，在山脚A处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平坦地面上前进600 m后测得仰角为原来的2倍，继续在平坦地面上前进200 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为（）A . 200 mB . 300 mC . 400 mD . 100 m14. （2分）如图，在高为20m的楼顶A处观察前下方一座横跨河流的桥BC，测得桥两端B，C的俯角分别为60°，45°，则桥的长度为（）A . mB . 10 mC . 20﹣ mD . 20﹣10 m15. （2分） (2019高一下·三水月考) 将一根长为的铁管折成一个的角，然后将、两端用木条封上，从而构成三角形在不同的折法中，面积的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶2小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km．17. （1分） (2017高一下·泰州期末) 若△ABC的面积为，BC=2，则的取值范围是________．18. （1分） (2016高三上·遵义期中) 某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是________ m．19. （1分）(2017·闵行模拟) 地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°西经60°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是________．（飞机的飞行高度忽略不计）20. （1分） (2016高二上·上杭期中) 一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为________海里．三、解答题 (共3题；共15分)21. （5分）一艘海轮从A处出发，以40海里/时的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，求B，C两点间的距离．22. （5分） (2016高二上·福州期中) 某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB=80米，当航模在C 处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号）23. （5分） (2018高一下·雅安期中) 已知a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边长，且.（1）求角C的值；（2）若c=4,a+b=7，求. .的值.四、综合题 (共2题；共20分)24. （10分）(2016·江苏) 在△ABC中，AC=6， ,（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值.25. （10分）如图，有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB选一点D，将△ACD沿CD折起．翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2），设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d，实践证明，遮阳效果y与S，d的乘积Sd成正比，比例系数为k，（k为常数，且k＞0）（1）设∠ACD=θ，试将S表示为θ的函数（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共3题；共15分) 21-1、22-1、23-1、23-2、四、综合题 (共2题；共20分) 24-1、24-2、25-1、25-2、。

人教新课标A版高中数学必修5 第一章解三角形 1.2应用举例同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）(2019·广东模拟) 的内角A,B,C的对边分别为 .已知 ,，且的面积为2，则（）A .B .C .D .2. （2分）的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a=80,b=100,A=30，则此三角形（）A . 一定是锐角三角形B . 一定是直角三角形C . 一定是钝角三角形D . 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形3. （2分）已知△ABC的面积为,则角C的度数为（）A .B .C .D .4. （2分）在O点测量到远处有一物体在作等速直线运动，开始时该物位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过一分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan2∠OPQ 等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·新津期中) 在△ABC中，cos2 = ，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A . 正三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形或直角三角形D . 等腰直角三角形6. （2分） (2017高一下·肇庆期末) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= ，b=3，cosA=，则c=（）A . 3B .C . 2D .7. （2分） (2018高一下·长春期末) 在中,内角所对的边分别为 ,且 ,若为锐角,则的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·湖南模拟) 已知为椭圆上三个不同的点，若坐标原点为的重心，则的面积为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·山东) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A . a=2bB . b=2aC . A=2BD . B=2A10. （2分）(2017·赣州模拟) 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A . 海里B . 海里C . 海里D . 40海里11. （2分）如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高三上·翔安期中) 一只船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船航行的速度（单位：海里/小时）（）A .B .C .D .13. （2分） (2016高一下·湖北期中) 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为（）A . （30+30 ） mB . （30+15 ） mC . （15+30 ） mD . （15+15 ） m14. （2分）有一长为的斜坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长（）m（精确到m）.A . 53B . 52C . 51D . 4915. （2分）如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则∠AOB的度数等于（）A . 60°B . 90°C . 120°D . 150°二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）如图，为测量山高l，选择A和另一座山的山顶|PA|为测量观测点．从MB=MC点测得△ABC点的仰角60°，C点的仰角45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=________m．17. （1分）在△ABC中，AB=cos，边AC上的中线BD=，则sinA=________18. （1分） (2016高一下·赣州期中) 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000 m，速度为1000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________km．19. （1分）在一座20m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________ m．20. （1分） (2015高二上·潮州期末) 如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔60海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东偏南45°的N处，则该船航行的速度为________海里/小时．三、解答题 (共3题；共15分)21. （5分） (2016高一下·齐河期中) 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．22. （5分）(2017·扬州模拟) 一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈ ，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．23. （5分） (2018高二上·凌源期末) 已知顶点在单位圆上的中，角的对边分别为，且 .（1）求的值；（2）若，求的面积.四、综合题 (共2题；共20分)24. （10分）(2018·榆林模拟) 如图，在平面四边形中，为上一点，，，，，，．（1）求的值及的长；（2）求四边形的面积．25. （10分） (2017高一下·湖北期中) 如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，∠DAB=θ，种草的面积为S1 ，种花的面积为S2 ，比值称为“规划和谐度”．（1）试用a，θ表示S1，S2；（2）若a为定值，BC足够长，当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少？参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共3题；共15分) 21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、四、综合题 (共2题；共20分) 24-1、答案：略24-2、答案：略25-1、25-2、。

高中数学人教版必修 5 第一章 解三角形 1.2 应用举例 同步练习 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 16 题；共 32 分)1. （2 分） 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若,则△ABC 的形状是（ ）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形2. （2 分） 在△ABC 中，角所对应的边分别为， 若 a=9，b=6，A= ， 则（）A.B.C.D.3. （ 2 分 ） (2019 高 二 上 · 郑 州 期 中 ) 在中，则的值等于（ ）A.B.C. D.第 1 页 共 16 页4. （2 分） 在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 A.， 则 的值为（ ）B.C.D.5. （2 分） (2016 高一下·内江期末) 若△ABC 的三个内角满足 sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（ ）A . 一定是锐角三角形B . 一定是直角三角形C . 一定是钝角三角形D . 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6. （2 分） 在中，角所对边长分别为，若， 则角 的最大值为（ ）A.B.C.D.7. （2 分） 若△ABC 的边角满足 A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 等腰直角三角形第 2 页 共 16 页，则△ABC 的形状是（ ）D . 等腰或直角三角形 8. （2 分） (2018 高二上·阜阳月考) 满足 值范围（ ）A.的△ABC 恰有一个，那么 的取B.C.D.9. （ 2 分 ） (2018 高 二 上 · 嘉 兴 期 末 ) 在 平 行 六 面 体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A. B.C.D.10. （2 分） 在中，若A . 直角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形11. （2 分） (2018 高一下·平原期末)且 中，， 则该三角形的形状是（ ），则（）第 3 页 共 16 页A. B. C. D. 12. （2 分） 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A. B. C. D.13. （2 分） (2019 高一上·永嘉月考) 若角 的终边落在直线 等于（ ）A.2 B . ﹣2 C . ﹣2 或 2 D.0上，则14. （2 分） (2018·雅安模拟) 已知 、 、 是球 的球面上三点，，，且棱锥 A. B. C.的体积为，则球 的表面积为（ ）第 4 页 共 16 页的值 ，D.15. （2 分） 在△ABC 中，若 A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°， 则 B 的值为（ ）16. （2 分） 在△ABC 中，若 A . 钝角三角形 B . 直角三角形 C . 锐角三角形 D . 不能确定二、 填空题 (共 7 题；共 8 分)，则△ABC 的形状为（ ）17. （1 分） (2019 高二上·长沙期中) 设是双曲线且，则的面积等于________．的两个焦点， 是该双曲线上一点，18. （2 分） (2018 高一下·金华期末) 在，且，则角________，中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 的最大值是________．19. （1 分） (2016 高一下·长春期中) 在△ABC 中，B=60°，AC= ，则 AB+2BC 的最大值为________．20. （1 分） (2017 高三上·珠海期末) 某校学生小王在学习完解三角形的相关知识后，用所学知识测量高为 AB 的烟囱的高度．先取与烟囱底部 B 在同一水平面内的两个观测点 C，D，测得∠BDC=60°，∠BCD=75°，CD=40 米，并在点 C 处的正上方 E 处观测顶部 A 的仰角为 30°，且 CE=1 米，则烟囱高 AB=________米．21. （1 分） (2018·杭州模拟) 在中，角所对的边分别为第 5 页 共 16 页若对任意,不等式恒成立，则的最大值为________.22. （1 分） (2017 高二上·桂林月考) 在△ABC 中，∠ABC=90°，延长 AC 到 D，连接 BD ， 若∠CBD=30°， 且 AB=CD=1，则 AC=________．23. （1 分） (2018·杨浦模拟) 在中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，，.若 为钝角，，则三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)的面积为________24. （5 分） (2018·荆州模拟) 已知向量，且函数的图象关于直线对称.（Ⅰ）求函数的解析式，并求的单调递减区间；，若，（Ⅱ）在中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若求外接圆的面积.，且，，25. （10 分） (2018 高二上·西安月考) 在△ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c. 已知 b+c=2a cos B ．（1） 证明：A=2B；（2） 若△ABC 的面积，求角 A 的大小.26. （10 分） (2020·杨浦期末) 东西向的铁路上有两个道口 、 ,铁路两侧的公路分布如图, 位于的南偏西 ,且位于 的南偏东 方向, 位于 的正北方向,, 处一辆救护车欲通过道口前往 处的医院送病人,发现北偏东 方向的 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要 分钟,救护车和火车的速度均为.第 6 页 共 16 页（1） 判断救护车通过道口 是否会受火车影响,并说明理由;（2） 为了尽快将病人送到医院,救护车应选择 、 中的哪个道口？通过计算说明.27. （10 分） (2019 高三上·上海月考) 如图所示，某城市有一条从正西方 AO 通过市中心 O 后向东北 OB 的 公路，现要修一条地铁 L，在 OA，OB 上各设一站 A，B，地铁在 AB 部分为直线段，现要求市中心 O 与 AB 的距离为，设地铁在 AB 部分的总长度为．（1） 按下列要求建立关系式：（i）设，将 y 表示成 的函数；(ii)设，用 m，n 表示 y．（2）把 A，B 两站分别设在公路上离中心 O 多远处，才能使 AB 最短？并求出最短距离．28. （10 分）(2018 高一下·汕头期末) 如图，在中，点 在 边上，，，，．第 7 页 共 16 页（1） 求的值；（2） 若的面积是，求 的长．29. （10 分） (2019 高一下·上海月考) 已知海岛 B 在海岛 A 北偏东 45°，A，B 相距 海里，物体甲从海 岛 B 以 2 海里/小时的速度沿直线向海岛 A 移动，同时物体乙从海岛 A 沿着海岛 A 北偏西 15°方向以 4 海里/小时的 速度移动．（1） 问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向； （2） 求甲从海岛 B 到达海岛 A 的过程中，甲、乙两物体的最短距离．第 8 页 共 16 页一、 选择题 (共 16 题；共 32 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 9 页 共 16 页16-1、二、 填空题 (共 7 题；共 8 分)17-1、 18-1、 19-1、 20-1、 21-1、 22-1、 23-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)第 10 页 共 16 页24-1、25-1、25-2、26-1、26-2、27-1、27-2、28-1、28-2、29-1、29-2、。

课时训练3解三角形的实际应用举例一、测量中的距离问题1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是()A.5B.5√3C.10√3D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.∴AB=5√3,BC=5,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.∴CD=BD-BC=10.2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30√2解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,在△ABC中,根据正弦定理得,ACsinB =BCsin∠BAC,即22=BC12,∴BC=30√2 km,即此时船与灯塔的距离为30√2 km.3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A 城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD 中,由余弦定理得cos ∠BDC=212+202-3122×21×20=-17. 设∠ADC=α,则cos α=17,sin α=4√37. 在△ACD 中,由正弦定理,得AC=21sinαsin60°=24.二、测量中的高度与角度问题4.如图,D ,C ,B 三点在地面同一直线上,DC=a ,从C ,D 两点测得A 点的仰角分别是β,α(α<β),则A 点距离地面的高度AB 等于( )A.asinαsinβsin(β-α) B.asinαsinβcos(α-β) C.asinαcosβsin(β-α) D.acosαsinβcos(α-β)答案:A解析:在△ACD 中,∠DAC=β-α,DC=a ,∠ADC=α,由正弦定理得AC=asinαsin(β-α), ∴在Rt △ACB 中,AB=AC sin β=asinαsinβsin(β-α).5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10√6 m(如图所示),则旗杆的高度为( ) A.10 m B.30 mC.10√3 mD.10√6 m答案:B解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知CE sin ∠EAC=AC sin ∠CEA,∴AC=CE·sin∠CEAsin∠EAC=20√3(m),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m).∴旗杆的高度为30 m.6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sin θ的值等于()A.√217B.√22C.√32D.5√714答案:D解析:根据题目条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700,∴BC=10√7.再由正弦定理得ABsin∠ACB =BCsin∠CAB,∴sin∠ACB=AB·sin∠CAB=20×sin120°10√7=√217.又0°<∠ACB<90°,∴cos∠ACB=2√7,∴sin θ=sin(30°+∠ACB)=sin 30°cos∠ACB+cos 30°sin∠ACB=1×2√7+√3×√21=5√7.7.某海岛周围38 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船触礁的危险(填“有”或“无”).答案:无解析:由题意在△ABC中,AB=30 n mile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,∴∠ACB=15°. 由正弦定理,得BC=AB sin ∠ACB·sin ∠BAC=30sin15°·sin 30°=6-24=15(√6+√2).在Rt △BDC 中,CD=√22BC=15(√3+1)>38.∴无触礁的危险.8.如图,在一个特定时段内,以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距40√2海里的位置B ,经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ(其中sinθ=√2626,0°<θ<90°)且与点A 相距10√13海里的位置C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)因为AB=40√2,AC=10√13,∠BAC=θ,sin θ=√26,0°<θ<90°,所以cos θ=√1-(√2626)2=5√2626.由余弦定理得BC=√AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cosθ=10√5,所以该船的行驶速度为v=10√523=15√5(海里/小时).(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos ∠ABC=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=√2)2√5)2√13)22×402×105=3√1010,所以sin ∠ABC=√1-cos 2∠ABC =√1-910=√1010. 在△ABQ 中,由正弦定理得AQ=ABsin∠ABCsin(45°-∠ABC)=40√2×√101022×21010=40.因为AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×√55=3√5<7.故该船会进入警戒水域.(建议用时:30分钟)1.如图,已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B 在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()的位置.A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°答案:B解析:由图可知,∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.又∵AC=BC,∴∠A=∠CBA=12(180°-80°)=50°.∵CE∥BD,∴∠CBD=∠BCE=60°,∴∠ABD=60°-50°=10°.∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°的位置.2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()A.(30+30√3) mB.(30+15√3) mC.(15+30√3) mD.(15+3√3) m答案:A解析:设树高为h,则由题意得√3h-h=60,∴h=√3-1=30(√3+1)=(30√3+30)(m).3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8√2 n mile,则灯塔S在B处的()A.北偏东75°B.东偏南75°C.北偏东75°或东偏南75°D.以上方位都不对答案:C解析:根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32×12=16,BS=8√2,∠A=30°.在△ABS中,由正弦定理得ABsinS =BSsinA,sin S=ABsinABS=16sin30°8√2=√22,∴S=45°或135°,∴B=105°或15°,即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.103(√6+√2) n mile/hB.103(√6−√2) n mile/hC.103(√6+√3) n mile/hD.103(√6−√3) n mile/h答案:B解析:如图,设货轮的时速为v,则在△AMS中,∠AMS=45°,∠SAM=105°,∠ASM=30°,SM=20,AM=3v.由正弦定理得3vsin30°=20sin105°,即v=206sin105°=103(√6−√2)(n mile/h).5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A.d1>d2B.d1=d2C.d1<d2D.不能确定大小答案:C解析:如图,B,C,D分别是第一、二、三辆车所在的位置,由题意可知α=β.在△PBC中,d1sinα=PBsin∠PCB,在△PCD中,d2sinβ=PDsin∠PCD,∵sin α=sin β,sin∠PCB=sin∠PCD,∴d1d2=PBPD.∵PB<PD,∴d1<d2.6.如图,某人于地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°,过1 min后到B再测得仰角为45°,如果该飞机以450 km/h的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为 km.答案:15(√3+1)4解析:如图,∠DCA=60°,∠DCB=45°,设飞机高为h,则BD=h,AD=√3h.又AB=450×160=7.5,由AD-BD=AB得√3h-h=7.5.∴h=√3-1=15(√3+1)4.7.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是 km.答案:3√2解析:如图,由条件知,AB=24×1560=6(km).在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°.由正弦定理,得BSsin30°=ABsin45°,∴BS=6sin30°sin45°=3√2.8.海上一观测站测得方位角为240°的方向上有一艘停止待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为90 n mile/h.此时海盗船距观测站10√7 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mile,再过min,海盗船到达商船.答案:403解析:如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A,B,C处,20 min后,海盗船到达D处,在△ADC 中,AC=10√7,AD=20,CD=30,由余弦定理,得cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD =400+900-7002×20×30=12.∴∠ADC=60°,在△ABD中,由已知,得∠ABD=30°,∠BAD=60°-30°=30°,∴BD=AD=20,2090×60=403(min).9.如图,某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°方向,距离为12√6 km,在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°方向,距离为8√3 km,货轮由A 处向正北航行到D 处时,再看灯塔B 在北偏东120°方向,求:(1)A 处与D 处的距离; (2)灯塔C 与D 处的距离.解:(1)在△ABD 中,∠ADB=60°,∠B=45°,由正弦定理得AD=AB ·sinB sin ∠ADB=12√6×√2232=24(km).∴A 处与D 处的距离为24 km .(2)在△ACD 中,由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos 30°,解得CD=8√3(km).∴灯塔C 与D 处的距离为8√3 km .。

必修5解三角形知识点和练习题(含答案)(word版可编辑修改)
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（必修5解三角形知识点和练习题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为必修5解三角形知识点和练习题(含答案)(word版可编辑修改)的全部内容。

的海面上有一走私船正以
20．
21．。

高中数学人教版必修 5 第一章 解三角形 1.2 应用举例 同步练习 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 16 题；共 32 分)1. （2 分） (2018·益阳模拟) 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若，，且的面积为，则的周长为（ ）A.B.C. D. 2. （2 分） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，则 C=（ ）A. 或 B.C. 或D.3. （2 分） (2018 高三上·凌源期末) 在中，角，且，则 （ ）的对边分别为，且的面积A.B.C.第 1 页 共 15 页D.4. （2 分） (2018 高一下·黑龙江期末) 在若，则的形状是中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形5. （ 2 分 ） (2019 高二 上 · 河 南 期 中 ) 在 ，则 a=（ ）中，角 , , 的对边分别为 , , ，若A.B. C.1 D.6. （2 分） 已知 的取值范围是为椭圆 （）的两个焦点，P 为椭圆上， 则此椭圆离心率A. B.C.第 2 页 共 15 页D.7. （2 分） 在△ABC 中，已知 A . 6∶5∶4 B . 7∶5∶3 C . 3∶5∶7 D . 4∶5∶6，则等于（ ）8. （2 分） 若△ABC 的边角满足 A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 等腰直角三角形 D . 等腰或直角三角形，则△ABC 的形状是（ ）9. （2 分） 定义平面向量的正弦积为 ， 则此三角形一定是（ ）A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 锐角三角形 D . 钝角三角形， （其中 为 、 的夹角），已知△ABC 中，10. （2 分） 钝角三角形 ABC 的面积是 1，AB=2，BC= ， 则 AC=（ ） A.2第 3 页 共 15 页B. C . 10 D.11. （2 分） 在中，，，，则 （ ）A.B.C. D. 12. （2 分） (2016 高一下·辽源期中) 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等 比数列，且 a2+ac=c2+ab，则∠C=（ ）A.B.C.D.13. （2 分） (2016 高一下·吉林期中) 已知 tanθ=2，则 A.2 B . ﹣2 C.0=（ ）第 4 页 共 15 页D. 14. （2 分） (2018 高二上·阜阳月考) 满足 取值范围（ ）A.的△ABC 恰有一个，那么 的B.C.D.15. （2 分） 若 距离为（ ）为双曲线的左、右焦点，点 在双曲线 上，， 则 到 轴的A. B. C. D.16. （2 分） 在中，已知A . 等边三角形B . 等腰直角三角形C . 锐角非等边三角形D . 钝角三角形二、 填空题 (共 7 题；共 8 分),第 5 页 共 15 页则为（ ）17. （1 分） (2017·海淀模拟) 在△ABC 中，a=2，b=3，c=4，则其最大内角的余弦值为________．18. （1 分） (2018·山东模拟)的面积，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，，，的内切圆半径等于________．19.（1 分） (2018 高一下·四川期中) 在中，且，则________．， 是 上一点，，20. （1 分） (2017 高一下·荥经期中) 在△ABC 中，a=3 ，b=2 ，cosC= ，则 S△ABC=________．21. （2 分） (2018·北京) 若 的取值范围是________.的面积为 （ ）,且∠C 为钝角，则∠B=________；22. （1 分） (2016 高一下·湖北期中) 如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25m 的建筑 物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 θ，在山坡的 A 处测得∠DAC=15°，沿山坡前进 50m 到达 B 处，又 测得∠DBC=45°，根据以上数据可得 cosθ=________．23. （ 1 分 ） (2018· 绵 阳 模 拟 ) 在中，角________．， 是 的中点，且，三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)第 6 页 共 15 页所对的边分别为，且，则的最短边的边长为24. （10 分）(2018 高一下·汕头期末) 如图，在中，点 在 边上，，，，．（1） 求 （2） 若的值；的面积是，求 的长．25. （10 分） (2019 高二上·兰州期中) 如图，在平面四边形中，已知，．（1） 若，求 的长；（2） 设，，若，，求面积的最大值．26. （10 分） (2020 高三上·闵行期末) 某地实行垃圾分类后，政府决定为处理站 M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知 在 的正西方向， 在 的北偏东偏西 方向，且在 的北偏西 方向，小区 与 相距与 相距三个小区建造一座垃圾 方向， 在 的北 .第 7 页 共 15 页（1） 求垃圾处理站 与小区 之间的距离；（2） 假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里 元(其中 为满足是内的正整数) .现有两种运输湿垃圾的方案：方案 1:只用一辆大车运输，从 出发，依次经再由 返回到 ；方案 2:先用两辆小车分别从运送到 ，然后并各自返回到到 .试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位，一辆大车从 直接到 再返回27. （10 分） (2019 高三上·上海月考) 如图所示，某城市有一条从正西方 AO 通过市中心 O 后向东北 OB 的 公路，现要修一条地铁 L，在 OA，OB 上各设一站 A，B，地铁在 AB 部分为直线段，现要求市中心 O 与 AB 的距离为，设地铁在 AB 部分的总长度为．（1） 按下列要求建立关系式：（i）设，将 y 表示成 的函数；第 8 页 共 15 页(ii)设，用 m，n 表示 y．（2）把 A，B 两站分别设在公路上离中心 O 多远处，才能使 AB 最短？并求出最短距离．28. （10 分） (2018 高二上·西安月考) 在△ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c. 已知 b+c=2a cos B ．（1） 证明：A=2B；（2） 若△ABC 的面积，求角 A 的大小.29. （10 分） (2017 高一下·龙海期中) 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 acosC﹣ =b． （1） 求角 A 的大小； （2） 若 a=1，求△ABC 的周长的取值范围．第 9 页 共 15 页一、 选择题 (共 16 题；共 32 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 10 页 共 15 页16-1、二、填空题 (共7题；共8分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、三、解答题 (共6题；共60分) 24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、27-1、27-2、28-1、28-2、29-1、29-2、。

一、选择题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，3c =，则S =（ ） A ．34B ．3 C ．16D ．3122．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积222221()22a b c S ab ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为（ ） A ．6B ．23C ．3D ．323．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km4．在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5c =，3b =，23A π=，则sin sin A C=（ ） A ．75 B ．57C ．37D ．735．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22212a b c =+，则tan A 的取值范围是（ ） A ．)3,⎡+∞⎣B ．()3,+∞C ．)2,+∞D ．[)2,+∞6．在ABC 中，π6A =，1,2a b ==B =（ ） A ．4π B ．34π C ．4π或34πD ．6π或56π7．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积3S =A ．3B ．23C ．2D ．48．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知3a =，()23,32b ∈，且223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（ ）． A ．133,244⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．133,244⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（ ）A ．45B ．5C ．52D ．6210．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，若sin 3sin CA=，223b a ac -=，则cos C 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1511．在ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =，3AC =，则ABC 的面积为（ ） A ．322B ．32C ．22D ．3312．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<二、填空题13．某小区拟将如图的一直角三角形ABC 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF ，在其内建造文化景观.已知207m AB =，107m AC =，则DEF 区域面积（单位：2m ）的最小值大约为______2m .（保留到整数，参考数据：7 2.65≈；3 1.73≈）14．在△ABC 中，已知AB ＝9，BC ＝7，cos （C ﹣A ）＝1921，则ABC 的面积为_____. 15．ABC 中，D 是边BC 上的点，满足90BAD ∠=︒，30DAC ∠=︒，4BD CD =.则sin sin BC=______. 16．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里.17．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，b =2ac +的最大值为______．18．在ABC 中，若b =3c =，30B ︒=，则a 等于________.19．在ABC 中，2AB =，4AC =．BC 边上的中线2AD =，则=ABC S △_____． 20．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos cos sin b C c B a A +=，则A =________. 三、解答题21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)cos cos a C c A -=．（1）求角C 的大小；（2）若a =()2cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．22．在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小. 23．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A =（1）若3,a b ==，求c ；（2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.24．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2cos cosA cosC b 0a C c ++=（1）求角C 的大小；（2）求22sin sin A B +的取值范围． 25．在①π2=+A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 26．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判ABC 断的形状.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以1cos ,sin 2C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 2S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．2．C解析：C 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S === 故选：C 【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为S =3．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.4．A解析：A 【分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得7a =， 由正弦定理：sin 7sin 5A a C c ==. 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.5．B解析：B 【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan A B =，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan 0A >，tan 0C >，解不等式可得所求范围． 【详解】因为22212a b c =+，由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，则222212cos 2b c b c bc A +=+-，可得4cos c b A =，由正弦定理可得：sin 4sin cos C B A =，可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=，化为3sin cos sin cos B A A B =， 在锐角ABC 中，cos 0A ≠，cos 0B ≠， 则tan 3tan A B =，又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---，由tan 0A >，tan 0C >，可得211tan 03A -<，解得tan A >， 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】由正弦定理解三角即可求出B . 【详解】在ABC 中，π6A =，1,a b ==, 所以sin sin a b A B=,即11sin 2B =，解得sin B =故4B π=或34π， 故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角中的应用，考查了运算能力，属于中档题.7．C解析：C 【解析】12sin1202S c ==⨯︒ ，解得c =2.∴a 2=22+22−2×2×2×cos 120°=12，解得a =，∴24sin a R A === ， 解得R =2.本题选择C 选项. 8．B解析：B 【分析】由正弦定理进行边角互化可得9c b=，由余弦定理可得22819cos 18b b A +-=，进而可求出cos A 的范围 【详解】因为3a =，223cos cos a b B b A =+，所以22cos cos a ab B b A =+， 所以()22sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin A A B B B A B A B B C =+=+=，即29a bc ==，所以9c b=，则22222819cos 218b bc a b A bc +-+-==．因为(b ∈，所以()212,18b ∈，81y x x=+在()12,18上递增, 所以22817545,42b b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则133cos ,244A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 故选:B 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理.解答本题的关键是用b 表示cos A .9．C解析：C 【解析】11sin 122224ABC S ac B c c ∆==⨯⨯⨯==,c =2222cos 13233825b a c ac B =+-=+-=-= ,5b = ,2sin 2b R B === ，选C. 10．A解析：A 【分析】由已知利用正弦定理可得c =，结合已知22b a -=，可求得2b a =，进而根据余弦定理可求cos C 的值． 【详解】sin sin CA= ∴由正弦定理可得：ca=c =，又22b a -=，2223b a a ∴-=，可得2b a =，222222431cos 2222a b c a a a C ab a a +-+-∴===⨯，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．A解析：A 【分析】先利用已知条件得到22B A π=-，再利用诱导公式和二倍角公式得到21sin 3A =，又0A π<<，可得sin A =；已知AC =BC 的长度，再根据三角形的面积公式in 12s S ab C =，即可得出结果. 【详解】由题意得：A B C π++=，()B A C π∴=-+，又22C A C A ππ-=⇒=+，()2222B A C A A ππππ⎛⎫∴=-+=-+=- ⎪⎝⎭，21sin sin 2cos 212sin 23B A A A π⎛⎫∴=-==-= ⎪⎝⎭，21sin 3A ∴=，0A π<<，sin A ∴=由正弦定理得，sin sin BC ACA B=， 即3BC =，2C A π=+，A ∴为锐角，cos 3A ==，sin sin cos 23C A A π⎛⎫∴=+==⎪⎝⎭，11sin 322ABCSBC AC C ∴=⋅=⨯=故选：A. 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.12．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B ==sin A =，三角形有两解，故sin 12A <=<，解得2a << 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【分析】设那么在中利用正弦定理求出关于的函数并求出其最大值即可求解【详解】在中可得所以设那么在中由正弦定理可得其中所以当时取到最小值最小值为故面积的最小值故答案为：【点睛】本题考解三角形的实际应用考 解析：130【分析】设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=，在BEF 中，利用正弦定理，求出x 关于θ的函数，并求出其最大值，即可求解. 【详解】在Rt ABC △中，AB =，AC =，可得CB =. 所以6ABC π∠=设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=.在BFE △中，由正弦定理，可得cos sinsin 66xx θππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，12(cos )cos 2cos )22x x x θθθθθ++=+=，x ===，其中tan 3α=，所以当sin()1θα+=时，x取到最小值，最小值为故DEF 面积的最小值21sin 75375 1.73129.7513023S x π=⨯=≈⨯=≈. 故答案为：130 【点睛】本题考解三角形的实际应用，考查正弦定理，三角恒等变换，以及三角函数的性质，属于中档题.本题解题的关键在于设CED θ∠=，m DE x =，进而在BFE △中，得1021cos sinsin 66x x θπθ-=+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为求边x 的最小值问题. 14．【分析】设AD ＝CD ＝xBD ＝9﹣x 在中利用余弦定理可得x ＝6再利用余弦定理求出cosB 进而求出sinB 根据三角形的面积公式即可求解【详解】∵AB ＞BC ∴C ＞A 作CD ＝AD 则∠DCA ＝∠A 则∠BCD 解析：125【分析】设AD ＝CD ＝x ，BD ＝9﹣x ，在BDC 中，利用余弦定理可得x ＝6，再利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】 ∵AB ＞BC ， ∴C ＞A ，作CD ＝AD ，则∠DCA ＝∠A ，则∠BCD ＝C ﹣A ，即cos ∠BCD ＝cos （C ﹣A ）＝1921， 设AD ＝CD ＝x ，则BD ＝9﹣x ，在BDC 中，由余弦定理得：BD 2＝CD 2+BC 2﹣2CD ⋅BC ⋅cos ∠BCD ，即（9﹣x ）2＝x 2+49﹣2×7x 1921⋅＝x 2+49﹣283x ，整理解得：x ＝6， ∴AD ＝6，BD ＝3，CD ＝6，在BDC 中，由余弦定理得cos B ＝2222BD BC CD BD BC +-⋅＝222376237+-⨯⨯＝1121. 则sin B ＝21cos B -＝85， 则△ABC 的面积S ＝12×7×9×8521＝125，故答案为：125.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、三角形的面积公式，考查了基本运算能力，属于中档题.15．【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系进一步利用正弦定理的应用求出结果【详解】解：中D是边上的点满足所以又因为则则故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理三角形面积计算公式及其性质考查了推理能力与计算 解析：12【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系，进一步利用正弦定理的应用求出结果． 【详解】解：ABC 中，D 是边BC 上的点，满足90BAD ∠=︒，30DAC ∠=︒，4BD CD =，所以1sin 90221sin 302ABD ACD AB AD S AB S ACAC AD ⋅︒==⋅⋅︒△△， 又因为4ABD ACD S BDS CD ==△△，则24AB BD AC CD==， 则sin 1sin 2B AC C AB ==. 故答案为：12.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上）然后设乙船速度为由此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意 3【分析】由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求． 【详解】解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇， 做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠． 即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=， 所以23x =，3x =/小时）． 3 【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．17．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中 解析：7【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵32sin sin sin sin 3a b c A B C ====，∴2sin ,2sin a A c C ==． ∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 233a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()27A ϕ=+，其中3tan ϕ=．所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为： 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．或【分析】由正弦定理求得得到或分类讨论即可求得的值【详解】由正弦定理可得所以因为所以或当时可得；当时此时综上可得或故答案为：或【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用其中解答中利用正弦定理求得的值得出的解析： 【分析】由正弦定理，求得sin C =，得到60C ︒=或120C ︒=，分类讨论，即可求得a 的值. 【详解】 由正弦定理，可得sin sin b c B C =，所以sin 3sin c B C b ⋅===， 因为(0,180)C ∈，所以60C ︒=或120C ︒=，当60C ︒=时，90A ︒=，可得a =；当120C ︒=时，30A ︒=，此时a b ==综上可得a =a =故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得sin C 的值，得出C 的大小是解答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力.19．【分析】中分别用余弦定理表示再利用解边长再根据余弦定理求角最后根据三角形面积公式求解【详解】设中中解得：中故答案为：【点睛】本题考查解三角形重点考查数形结合分析问题计算能力属于基础题型【分析】ABD △，ADC 中，分别用余弦定理表示cos ADB ∠，cos ADC ∠，再利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=解边长BC ，再根据余弦定理求角BAC ∠，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】设BD DC x ==，ABD △中，22222cos 224x xADB x +-∠==⋅⋅，ADC 中，22222412cos 224x x ADC x x+--∠==⋅⋅ 180ADB ADC ∠+∠=，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=,212044x x x-∴+=，解得：6x =26BC ∴=， ABC 中，(22224261cos 2244BAC +-∠==-⨯⨯,2115sin 144BAC ⎛⎫∴∠=--= ⎪⎝⎭, 115241524ABCS∴=⨯⨯⨯= 15【点睛】本题考查解三角形，重点考查数形结合分析问题，计算能力，属于基础题型.20．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】由于为三角形内角可得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为解析：2π 【分析】 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A ． 【详解】cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠， sin 1A ∴=，∴由于A 为三角形内角，可得2A π=．故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．三、解答题21．（1）4π；（2）12.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到cos 2C =，从而求得C 的大小；（2）利用余弦定理化简()2cos cos c a B b A b -=，得到222a b =，求出b ，再计算面积即可. 【详解】解：（1cos sin cos sin cos B C A C C A -=．∴()cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+．∵πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=． ∴cos sin B C B =．又∵sin 0B ≠，∴cos 2C =． ∵()0,πC ∈，∴π4C =． （2）由已知及余弦定理，得222222222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．222222222a cb bc a b +-+--= 化简，得222a b =．又∵a =∴1b =．∴ABC 的面积111sin 12222ABC ab C S ==⨯=△．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．22．B =30°，90C =，b =c =.【分析】由三角函数值、三角形内角和性质确定B 、C 的大小，应用正弦定理求,b c 即可. 【详解】 由1sin 2B =且60A =︒，即0120B <<︒，可知：30B =︒. ∴90C =︒， 由正弦定理sin sin sin b c aB C A==，∴sin 3sin 30sin sin 60a B b A ︒===︒sin 3sin 90sin sin 60a C c A ︒===︒23．（1）2c =；（2）()1,1-. 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 223a C c A A b π-⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，结合锐角三角形的范围可得解. 【详解】（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=，由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍）， 故2c =符合. （2）由（1）得3B π=，所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===-⎪⎝⎭，ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 2232A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c Ab-∴-<<，故cos cos a C c Ab-的取值范围是()1,1-.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.24．（1）23C π=；（2）13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解. （2）利用二倍角公式以及三角形的内角和性质可得22sin sin A B +11sin 226A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解.【详解】解：（1）由已知及正弦定理得2(sin cos sin cos )cos sin 0A C C A C B ++=， 2sin()cos sin 0A C C B ++=，因为A B C π+=-，所以sin (2cos 1)0B C +=， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =-， 因为0C π<<，所以23C π=． （2）221cos 21cos 21sin sin 1(cos 2cos 2)222A B A B A B --+=+=-+12111cos 2cos 21cos 2cos 2223222A A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-+-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1111cos 221sin 22226A A A π⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为03A π<<，所以52666A πππ<+<，1sin 2126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 111sin 22264A π⎛⎫-≤-+<- ⎪⎝⎭，1131sin 22264A π⎛⎫≤-+< ⎪⎝⎭，所以2213sin sin 24A B ≤+<，即22sin sin A B +的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 25．答案见解析. 【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，3sin 5B =，再结合π2=+A C ，得π22B C =-，故3cos25C =，进而得sin C =最后利用正弦定理求解．选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π22B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==，所以3sin24cos2C C =，再根据π0π2A C <=+<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =，利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=，联立方程解得c =c =．【详解】解：方案一：选条件①②．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=． 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >，所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-， 所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==．因为()0,πC ∈，所以sin C =， 在ABC中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③． 因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-． 在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B C C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3sin cos 2cos2C CC=，即3sin24cos2C C =．因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<，02πC <<， 所以sin20C >，所以cos20C >． 又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25C =， 所以21cos21sin 25C C -==，所以sin C = 在ABC中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b Cb C b Cc BC C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭．方案三：选条件②③．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=， 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ） 在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2225a c +=．（ⅱ）由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =．【点睛】 试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ，则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=，再结合边角互化求解.26．（1）120︒；（2）等腰钝角三角形.【分析】（1）根据2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，利用正弦定理转化为222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解.（2）根据（1）利用两角差的正弦公式和辅助角公式转化为sin sin B C +=()sin 601B +=求解.【详解】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，所以22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222b c a bc +-=-， 所以2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为()0,A π∈，所以120A =.（2）由（1）知()sin sin sin sin 60B C B B +=+-，()1sin sin 6012B B B =+=+=， 因为()0,60B ∈，所以6090B +=，解得30,30B C ==，所以ABC 是等腰三角形.【点睛】方法点睛：有关三角形形状的判断方法：灵活运用正、余弦定理实现边角转化，合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式辅助角公式等，通过边或角进行判断．。

高中数学必修5(人教B版)第一章解三角形1.2知识点总结含同步练习题及答案
高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章解三角形 1.2 应用举例
一、学习任务
能用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
二、知识清单
解三角形的应用
三、知识讲解
1.解三角形的应用
描述：利用正弦定理、余弦定理解决实际测量中的一些问题．
例题：为了测量两山顶 M ， N 间的距离，飞机沿水平方向在 A ， B 两点进行测量， A ，
B ， M ，
N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和
A ，
B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②
用文字和公式写出计算 M ， N 间的距离的步骤．解：
方案一：
①需要测量的数据有：
A 点到 M ，N 点的俯角α1 ，β1 ，
B 点到 M ，N 点的俯角α2 ，β
2 ；
A ，
B 间的距离 d （如图所示）．
②第一步：计算 AM ．由正弦定理，得。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§1.2应用举例—④解三角形一.知识与技能目标1. 能证明三角形中的简单的恒等式．2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；二.课内检测1. 在ABC ∆中，2,3,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）. A. 23 B. 32 C.3 D. 322. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形．A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ．6. 在△ABC 中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.三.课外作业1. 在∆ABC 中（1）若1,3,120a b B ===︒，则A 等于 ．（2）若33a =，2b =，150C =︒，则c = _____．2. 在ABC ∆中 （1） 33a =，2b =，150C =︒，则高BD = ， 三角形面积= ．（2）28a cm =，33c cm =，45B =，则∆ABC 的面积是 ．3. 在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）：（1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5︒；（2）已知B =62.7︒，C =65.8︒，b =3.16cm ；（3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ，c =38.7cm ．4. 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）5. 在∆ABC 中，求证： （1）2a +2b +2c =2（bc cos A +ca cos B +ab cos C ）．（2）222222sin sin sin a b A B c C++=； （3）22(cos cos )c a B b A a b -=-．6. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c =63，求a 及∆ABC 的面积S ．。

高中数学第一章解三角形1.２应用举例同步练习新人教B版必修５编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第一章解三角形１．2 应用举例同步练习新人教Ｂ版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章解三角形 1.２应用举例同步练习新人教B版必修５的全部内容。

1。

２应用举例1．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据,应当测量的数据是（ )A.α、a、bB.α、β,ａＣ.ａ、b、γＤ．α、β，ｂ2．已知两座灯塔Ａ和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔Ａ在观察站C的北偏东20°方向,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为( )Ａ．ａkm B．3a km Ｃ。

2a km Ｄ．2a km3．某人向东走了ｘ km,然后向右转150°，向新方向走了3 km,结果他离出发点错误! km,则x 的值为＿＿_____＿__．4.在高出海平面200 ｍ的小岛顶上A处，测得位于正西和正东的两船的俯角分别为4５°和30°,此时两船的距离为＿＿_＿＿__＿__.答案:1.C 选择易到达、容易测量的长度a、b和∠γ，然后利用余弦定理求ＡＢ的长度.2．B 如图所示,可知∠ACB＝120°,AＣ＝BC=ａ,在△ABC中，过点C作CＤ⊥ＡB,则AＢ=２AD=2acｏs3０°＝＼r(3）a。

3.错误!或2错误!根据余弦定理知(错误!）２=x２＋3２-2·3·ｘ·cos3０°，解得x=错误!或2错误!.4．200(错误!+1) m 如图，BH=AH＝200 ｍ,而CH=AH·tan６０°＝2０0错误! m,∴两船相距2０0（＼ｒ（3)+1） m．课堂巩固1.两座灯塔A和B到海岸观察站Ｏ的距离相等,灯塔A在观察站沿北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( ）A．北偏东10°B．北偏西10° C．南偏东１0°Ｄ．南偏西10°2.如图,Ｄ、C、B三点在地面同一直线上,DC＝a,从Ｃ、D两点测得A点的仰角分别是α、β(α〈β),则点Ａ离地面的高AB等于( )A。

高二数学期末复习专题——解三角形复习要点a b c1．正弦定理: 2sin A sin B sin CR或变形：a : b:c sin A : sin B : sin C .2 2 2a b c 2bc cos A2 2 2b ac 2ac cos B2 2 2c b a 2ba cos C 或cos AcosBcosC2 2 2b c a2bc2 22a c b2ac2 22b a c2ab2．余弦定理：.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形。

5．解题中利用ABC 中A B C ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin( A B) sin C, cos( A B) cosC ,tan( A B) tan C,A B C A B C A B . Cs i n c o s , c o s s i n , t a n c o t2 2 2 2 2 21一．正、余弦定理的直接应用：1、ΔABC 中,a=1,b= 3,∠A=30°,则∠B 等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、在ΔABC 中，角A, B,C 对应的边分别是a,b,c ，若1sin A ,2sin3B ，求2a :b :c3、在ΔABC 中，若SΔABC= 14(a2+b2－c2),那么角∠C=______.2+b2－c2),那么角∠C=______.4．若△ABC 的周长等于20，面积是10 3，A＝60°，则BC 边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．在△ABC 中，C－A＝π 1 ，sinB＝3. 2(1)求sinA 的值；(2)设AC＝6，求△ABC 的面积．6．在△ABC 中，若(a b c)( a b c) 3ac ，且tan A tan C 3 3 ，AB 边上的高为4 3 ，求角A, B,C 的大小与边a,b,c 的长2二．判断三角形的形状7、在锐角三角形ABC 中，有（）A．cosA>sinB 且cosB>sinA B．cosA<sinB 且cosB<sinAC．cosA>sinB 且cosB<sinA D．cosA<sinB 且cosB>sinA8、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9、钝角ΔABC 的三边长分别为x,x+1,x+2，其最大角不超过120°则实数x 的取值范围是：10. 已知a、b、c分别是ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对的边3（1）若ABC 面积S ABC , 2, 60 ,求a、b 的值；c A 2（2）若a ccos B ，且b c s in A ，试判断ABC 的形状．3三．测量问题11．在 200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30°，60°，则塔高为()A. 400 400 3 200 3 200 3 mB. 3 mC. 3 mD. 3 m12．测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A 、B 两点，从 A 、B 两点分别测得树尖的仰角为 30° ，45° ，且 AB=60 米，则树的高度为多少米？ 11.如图，四边形 ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝ CD ＝2，则该四边形的面积等于 ( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 312.一缉私艇发现在北偏东 45 方向, 距离 12 mile 的海面上有一走私船正以 10 mile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 mile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船 , 缉私艇应沿北偏东 45 的方向去追 , 求追北 及所需的时间和 角的正弦值 .C东BA13.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A 、B 、C.景区管委会又开发了风景优美的景点 D.经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30°方向上 8 km 处，位于景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75°方向上，已知 AB ＝5 km. (1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素， 求出这条公路的长； (2)求景点 C 和景点 D 之间的距离．4四．正、余弦定理与三角函数，向量的综合应用16、设A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x 2+(sinA－sinC)x +(sinC －sinB)=0 有等根，那么三边a,b,c的关系是17．在Rt △ABC 中，0C 90 ，则sin A s in B 的最大值是_______________。

1．2．2应用举例（二）一、选择题1、某建筑物上有根长为20m 的旗杆，由地面上一点测得建筑物顶点的仰角为45°，旗杆顶的仰角为60°，则此建筑物的高度最接近于（）（A ）25m（B ）27m（C ）29m（D ）31m2、有一条长m 的斜坡，坡角为45°，现保持坡高不变，将坡角变为30°，则斜坡长变为 （A ）m（B ）2m（C ）3m（D ）2m （）3、某人在点C 测得塔顶A 为南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m 到点D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为（）（A ）15m（B ）5m（C ）10m（D ）12m二、填空题4、如图，某人在点A 测得旗杆顶T 的仰角为30°，朝旗杆方向走10m 至B 测得的仰角为45°，则再走_______到C ，可测得T 的仰角为60°。

5、如图，在一座塔的台阶底部A 处测得塔尖B 的仰角为45°，沿倾斜角为15°的台阶前进250m 到达D 处，测得塔尖B 的仰角为75°，则塔高BC 为_______。

6、某人在塔的正东某处沿着南偏西60°的方向前进40m 后，看见塔在其东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为_______。

三、解答题7、某人要测量一座山的高度，他在山脚所在的水平面上，选取在同一条直线上的三点A 、B 、C 进行测量，在A 、B 、C 三点处分别测得山顶的仰角为45°、60°、30°，若AB=BC=a ，求这座山的高度。

A B C TC8、已知B地在A地正东6km处，且两地高度相同，一架飞机保持一定高度以一定速度向东北方向飞行，从地面上对飞机进行观察，先从A处测得飞机在A的正南方向、仰角30°；1分钟后，在B处测得飞机在B的西北方向、仰角45°。