北师大版高二数学必修五课件：解三角形的实际应用

的应用
我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。
60° 75°
B C
BC=10sin60 °/sin45°
答：
A
5 6 海里
基本概念和公式
练习1.如图,一艘船以32海里/时 的速度向正北航行,在A处看灯塔 S在船的北偏东200, 30分钟后航行 到B处,在B处看灯塔S在船的北偏 东650方向上,求灯塔S和B处的距 离.（保留到0.1）
解：AB=16，由正弦定理知：
余弦定理先求出A,或先求 （1）a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ； 出B 余弦定理先求出a （2）b=1，c= 2 ，A=105º ； _________________________________ 正弦定理先求出b （3）A=45º ，B =60º ， a=10； ________________________________
学习目标：
1、会运用解三角形的理论解决简单的实 际应用问题； 2、培养将实际问题化归为纯数学问题 的能力。
复习1、请回答下列问题：
（1）解斜三角形的主要理论依据 是什么？ （2）关于解斜三角形，你掌握了 哪几种类型？

3．解决实际问题的一般步骤
分析、建模、求解、检验
即：
知新益能
1.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角．目标视线 上方 时叫仰角， 在水平视线_____ 下方 目标视线在水平视线_____ 时叫俯角，如图所示．
2．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 , 如B点的方位角为α(如图1所示)． 3．方位角的其他表示——方向角 (1)正南方向：指从原点O出发的经过目标的射 线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向
间距离相等，然后求 B、D 的距离(计算结果精 确到 0.01 km， 2≈1.414， 6≈2.449.)
【思路点拨】 根据图中的已知条件求出一
些点与点之间的距离，结合图形和计算出的 距离作出判断，然后把B、D间距离的计算转 化为找到的与B、D间距离相等的另外两点之 间的距离．
【解】 在△ACD 中，∠DAC＝30° ，∠ADC＝60° －∠DAC＝30° ， 所以 CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180° －60° －60° ＝ 60° ， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线， 所以 BD＝BA. AB AC 在△ABC 中， ＝ ， sin∠BCA sin∠ABC ACsin60° 3 2＋ 6 即 AB＝ ＝ ， sin15° 20 3 2＋ 6 因此，BD＝ ≈0.33 (km)． 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km.
解：由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里， ∠DBA＝90° －60° ＝30° ，∠DAB＝90° －45° ＝ 45° ， ∴∠ADB＝180° －(45° ＋30° )＝105° . DB 在 △ DAB 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ＝ sin∠DAB AB ， sin∠ADB AB· sin∠DAB 53＋ 3· sin45° ∴DB＝ ＝ sin105° sin∠ADB

§3 解三角形的实际应用举例
学课前预习学案
[问题 1]
在应用正、余弦定理解决实际问题时，至少要测
量几个距离和几个角度？为什么？
[提示] 由于在解三角形中至少要知道三角形的 3 个元素(其 中至少一个元素是边)．所以，我们在测量距离、高度、角度等实 际问题中， 要力争在一个三角形中找到至少 3 个元素(其中至少一 个元素是边)．通常边易求，角需要结合图形、已知条件探索．
实际应用中用到的有关名称 1．基线
测量 需要适当确定的线段叫做基 (1)定义：在测量上，根据______
线． (2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的
基线长度 ，使测量具有较高的__________ 精确度 ．一般来说，基线 ____________ 高 ． 越长，测量的精确度越_____
3．正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广，主要学习
距离 、_______ 角度 等问题中的一些应用． 高度 、_______ 它们在测量_______
解与三角形有关的应用题的基本思路和步骤 1．解三角形应用题的基本思路 画图 解三角形 实际问题――――→数学问题――――→数学问题的解 检验 ――――→实际问题的解．
由∠CBD＝120° ，∠BCD＝30° ，得∠D＝30° ， 6 ∴BD＝BC，即 10t＝ 6，∴t＝ 小时． 10 答：缉私船沿北偏东 60° 的方向行驶，才能最快截获走私船， 6 需 小时． 10
讲课堂互动讲义
测量距离问题 一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即 发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在 A 处获悉后，即测出该商船在方位角为 45° 距离 10 海里的 C 处，并 沿方位角为 105° 的方向，以 9 海里/时的速度航行．“黄山”舰 立即以 21 海里 /时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需 要的最少时间及所经过的路程．

中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两
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课堂典例讲练
第二章
§3
第1课时
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测量高度问题 某人在塔 AB 的正东 C 处沿着南偏西 60°的方向
2
3 )2 ＋ (200sin75° )2 － 2×100
3
∴AB＝100 5. 答：A、B 两地间的距离为 100 5米．
第二章
§3
第1课时
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[方法总结]
(1)求解三角形中的基本元素，应由确定三角
形的条件个数 ， 选择合适的三角形求解 ，如本题选择的是 △BCD和△ABC． (2)本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中 应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中AB可视为基线．
滑冰是一项集力量、耐力和速度于一身的运动项目．在第
21届温哥华冬奥会上，有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两 点， A 与 B 相距 100m. 如果甲从 A 出发，以 8m/s 速度沿着一条与
AB成60°角的直线滑行，同时乙从B出发，以7m/s的速度沿着
与甲相遇的最短直线滑行． 那么相遇时，甲滑行了多远呢？
第二章
§3
第1课时
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1．如图所示，D、C、B 在地平面同一直 线上，DC＝10m，从 D、C 两地测得 A 点的仰 角分别为 30° 和 45° ， 则 A 点离地面的高 AB 等 于( ) A．10m C．5( 3－1)m

2 x 1202＋ － x2 3
＝ .① 3 2×120× x 3 BC2＋ CE2－ BE2 在△ BCE 中， cos∠ BCE＝ 2BC· CE
2 2 x x 602＋ － 2 3 tan 54.2° ＝ .② 3 2×60× x 3
7 200 由①②得 x ＝ ， 4 2 － 3 tan254.2°
1．在某一山顶观测山下两村庄A、B，测得A的俯角为
30°，B的俯角为40°，观测A、B两村庄的视角为50°，
已知A、B在同一海平面上且相距1 000 m，求山的高度． (精确到1 m)
解：设山顶为 C，山高 CD＝ x，由题意∠ CAD＝ 30°， ∠ CBD＝ 40°，∠ ACB＝ 50° . CD 在 Rt△ ADC 中， AC＝ ＝ 2x， sin 30° CD x 在 Rt△ BDC 中， BC＝ ＝ . sin 40° sin 40° 在△ ABC 中，由余弦定理，知 AB2＝ AC2＋ BC2－ 2AC· BCcos∠ ACB.
[解 ] ∵∠ ADC＝∠ ADB＋∠ CDB＝60°，∠ ACD＝ 60°， ∴∠ DAC＝60°， ∴ AC＝ DC＝ 3 km. 2
在 △ BCD 中 ， ∠ DBC ＝ 45 ° ， 由 正 弦 定 理 ， 得 BC ＝ 3 2 DC 6 · sin∠ BDC＝ · sin 30°＝ (km)． 4 sin∠ DBC sin 45°
A． 50 2m C． 25 2m
B．50 3m 25 2 D. m 2
AB AC 解析：由正弦定理得 ＝ ，又 B＝ 30°， sin∠ ACB sin B 2 50× AC· sin∠ACB 2 ∴ AB＝ ＝ ＝50 2(m)． 1 sin B 2
2．有一长为 10 m 的斜坡，它的倾斜角为 75°，在不改变坡 高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30°，则坡底要延伸( C ) A． 5 m C． 10 2 m

例题讲解
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC AB AC sin ACB
sin ABC 55sin ACB
sin ABC

55sin 75
55sin 75 66(m)
sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为66米。
解三角形 1.2 应用举例
第一章 引言
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高 悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 遥 不可及的月亮离地球有多远呢?
1671年,两个法国天文学家测出了地球与月球 之间的距离大约为385 400km,他们是怎样测 出两者之间距离的呢？
正余弦定理应用一 测量距离
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径） B
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b2 c2 a2 2bc
（3）当 与 满足什么条件时，该船没 有触礁危险
小结：
1、解决应用题的思想方法是什么？
把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。
2、解决应用题的步骤是什么？
分析转化
实际问题
数学问题（画出图形）
检 验
数学结论
解三角形问题
小结：求解三角形应用题的一般步骤：
1、审题（分析题意，弄清已知和所求， 根据提意，画出示意图； 2.建模（将实际问题转化为解斜三角形 的数学问题） 3.求模（正确运用正、余弦定理求解） 4，还原。
探究载客游轮能否触礁

≈3.571，
∴BC≈1.89(m)．
答：顶杆BC约长 1.89m．
C
D A
B
例2 如图，两点Ｃ，Ｄ与烟囱底部在同一水平直线上，在
点Ｃ1 ，Ｄ1，利用高为1.5ｍ的测角仪器，测得烟囱的仰 角分别是 ＝45°和 ＝60°, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.
计算烟囱的高AB(结果精确到0.01m).
B
C1
D1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
❖
12、人乱于心，不宽余请。19:58:0219:58:0219:58M onday, May 10, 2021
❖
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21.5.1021.5.1019:58:0219:58:02May 10, 2021
❖
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年5月10日 星期一 下午7时58分2秒19:58:0221.5.10
数学结论
解三角形问题
1.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从
A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°
的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛
间的距离，请你算算看.
C
60°
A
75°
B
2.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北
航行,在A处看灯塔S在船的北偏东20°, 30
❖
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.5.1021.5.10Monday, May 10, 2021
❖
10、低头要有勇气，抬头要有低气。19:58:0219:58:0219:585/10/2021 7:58:02 PM
❖
11、人总是珍惜为得到。21.5.1019:58:0219:58May-2110-M ay-21

马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿

(1) 方向角顺时针转到目标方向线的水平角。
(2)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角。目标视线在水平线上方时叫仰角。目标视线在水平 线下方时叫俯角。(如下图所示)
例题解析
例 1 如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长 度（如图）；已知车厢的最大仰角为 60°，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的 距离为 1.95m，AB 与水平线之间的夹角为 6020 ' ，AC 长为 1.40m，计算 BC
实际问题
数学模型
实际问题的解
数学模型的解
作业：
课本 59 页：练习 1、2
变式训练 1：
如图,一艘船以 32 海里/时的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 200 , 30 分钟后 航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东 650 方向上,求灯 塔 S 和 B 处的距离（ 。保留到 0.1）
解： AB 16
由正弦定理知 AB BS sin 450 sin 200
方法小结：
1． 本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2．在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定 理和余弦定理解题。 3．在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：
的长（保留三个有效数字）。
C
解：由余弦定理，得
BC2 AB2 AC2 2AB ACcos A
1.40m
1.952 1.402 21.951.40 cos6620'
3.571 BC 1.89(m)
600
A
6020/

新课学习
（2）当 l 340mm ， r 85mm ， 800 时，利用计算器得： A0 A 340 85 85cos800 3402 852 sin 2 800 81(mm) 答：此时活塞移动的距离约为 81mm
新课学习
例2：a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测 点，另两个监测点B,C分别在A的正东方20km和54km处，某时刻，监测点B收 到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一 信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s （1）设A到P的距离为xkm，用x表示B,C到P的距离，并求x的值 （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）
1200 A2
10 2
B2
B1 乙
1050 A1
甲 20
新课学习
解：如图，连结 A1B2 ，由已知 A2 B2 10
2 ， A1 A2 30
2 20 10 60
2，
∴ A1 A2 A2 B2 ，又∠ A1 A2 B2 180 0 120 0 60 0 ，
∴ A1 A2 B2 是等边三角形， ∴ A1B2 A1 A2 10 2 ． 由已知， A1B1 20 ，∠ B1 A1B2 105 0 60 0 = 450 在 A1B2B1 中， 由余弦定理， B1B2 2 A1B12 A1B2 2 2 A1B1 A1B2 cos 45 0
c2 a2 b2 2abcosC ， cosC a 2 b2 c 2 2ab
例题讲解
新课学习
引例： （课本P62题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平 面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为189km/h,飞行员先 看到山顶的俯角为18°30′,经过960s（秒）后又看到山顶的俯 角为81°, 求山顶的海拔高度（精确到1m）.

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思考：(1)方位角的范围是什么？ [提示] [0°，360°) (2)若点 B 在点 A 的北偏东 60°，那么点 A 在点 B 的哪个方向？ [提示] 南偏西 60°.
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1．在某测量中，设 A 在 B 的南偏东 34°27′，则 B 在 A 的( )
A．北偏西 34°27′
B．北偏东 55°33′
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求距离问题时应注意的三点 (1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解； 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计 算的定理． (3)测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的 两点 A，B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然 后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．
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2．如图所示，A、B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点 测得山顶 C 的仰角为 45°，∠BAD＝120°，又在 B 点测得∠ABD＝45°，
其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD．
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[解] 由于 CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45°，
所以 CD＝AD.
因此只需在△ABD 中求出 AD 即可，
即sin 11200°＝sin∠3－AD1 B，解得 sin∠ADB＝
3－1 20
30 .
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2．(变条件)把例 3 中条件“走私船正以 10 海里/时的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜” 改为“ 走私船正以 15 海里/时的速度，从 B 处向正北方向逃窜”，则例 3 的结果应是什么？
[解] 由例 3 的解答可知 BC＝ 6，设缉私船 沿 CD 方向，才能最快截获(在 D 点)走私船(如图 所示)，

解：如图所示，在△ABC 中，∠A＝45° ， ∠ABC＝90° ＋30° ＝120° ， ∴∠ACB＝180° －45° －120° ＝15° . AB＝30×0.5＝15(n mile)． AC AB 由正弦定理，得 ＝ ， sin∠ABC sin∠ACB ABsin∠ABC 15×sin 120° ∴AC＝ ＝ sin 15° sin∠ACB 153 2＋ 6 ＝ (n mile)． 2
[自主解答]在△BDC中，CD＝40，∠BCD＝30° ， ∠DBC＝135° ， 由正弦定理，得 BD ， sin∠DCB 40sin 30° ∴BD＝ ＝20 2. sin 135° 设E是CD上一点 在Rt△BED中，∠BDE＝180° －135° －30° ＝15° . CD sin∠DBC ＝
此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30° 方向逃 窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出 所需时间．
[提示]
画出示意图，将问题转化为解三角形，应用正、
余弦定理求解．
[自主解答] 设缉私船应沿CD方向行
驶t小时，才能最快(在D点)截获走私船， 则CD＝10 3t n mile，BD＝10t n mile. 在△ABC中， ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB· cos A AC· ＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)· 2cos 120° ＝6， ∴BC＝ 6.
2．解决高度计算问题的一般步骤是
(1)根据已知条件画出示意图； (2)分析与问题有关的三角形； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解； (4)要综合运用立体几何知识与平面几何知识；
(5)注意方程思想的运用．
[通一类] 2.如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它 的高度h，在地面上选一基线AB＝20 m， 在A点处测得P点的仰角∠OAP＝30°，

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又∠ADC＝180° －4θ， ∴在△ACD 中，由正弦定理得， CD AC ＝ ， sin ∠DAC sin ∠ADC 10 3 30 即sin 2θ＝ . sin180° －4θ
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又 sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ， 3 ∴cos 2θ＝ 2 ，∴2θ＝30° ，∴θ＝15° ， ∴在 Rt△ADE 中， AE＝ADsin 4θ＝10 3sin 60° ＝15 m. 即所求角 θ 为 15° ，建筑物的高度为 15 m.
定义 在视线和水平线所成角 仰角 中， 视线在水平线上方的 与俯角 角叫仰角， 在水平线下方 的角叫俯角，如图 名称 图示
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从指北方向顺时针转到 如 方位角 目标方向线所成的角， 图，B 点的方位角为 α 从指定方向线到目标方 向线所成的小于 90° 的水 平角，如南偏西 60° ，指 方向角 以正南方向为始边， 顺时 针方向向西旋转 60° .如 图， ∠ABC 为北偏东 60° 或东偏北 30°
图 232
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【精彩点拨】 很明显 BC＝AC＝30 m，因此可以解△ACD，利用正弦定理 建立方程求出 θ，再求 AE.
【尝试解答】
∵∠ABC＝θ，∠ACD＝2θ，∠ADE＝4θ，
∴∠CAB＝θ，∠DAC＝2θ， ∴在△ABC 中，AC＝BC＝30 m， 在△ACD 中，AD＝DC＝10 3 m.
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
π (1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围是0，2.(
) )
π (2)方位角大小的范围是[0,2π]，方向角大小的范围一般是0，2.(