第3章磁流体力学方程

磁流体力学magnetohydrodynamics磁流体力学magnetohydrodynamics结合流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科。

导电流体在电磁场里运动时，流体中就会产生电流。

此电流与磁场相互作用，产生洛伦兹力，从而改变流体的运动，同时此电流又导致电磁场的改变。

对这类问题进行理论探讨，必须既考虑其力学效应，又考虑其电磁效应。

磁流体力学包括磁流体静力学和磁流体动力学。

磁流体静力学研究导电流体在电磁力作用下的静平衡问题，如太阳黑子理论、受控热核聚变的磁约束机制等。

磁流体动力学研究导电流体与电磁场相互作用时的运动规律，如各种磁流体动力学流动和磁流体动力学波等。

等离子体和液态金属都是导电流体。

前者包括99%以上的宇宙物质，后者包括核动力装置中的携热介质（如钠、钾、钠钾合金）、化学工业中的置换剂（如钠、钾、汞）、冶金铸造工业中的熔融金属等。

地球表面一般不存在自然等离子体，但可因核辐射、气体放电、燃烧、电磁激波、激光等方法产生人工等离子体。

因此，磁流体力学不仅与等离子体物理学有联系，还在天体物理研究（如磁场对日冕、黑子、耀斑的影响）、受控热核聚变和工业新技术（如电磁泵、电弧加热器、磁流体发电、电磁输送、电磁推进等）中得到发展和应用。

基础磁流体力学以流体力学和电动力学为基础﹐把流场方程和电磁场方程联立起来﹐引进了许多新的特徵过程﹐因而内容十分丰富。

宇宙磁流体力学更有其特色。

首先﹐它所研究的对象的特徵长度一般来说是非常大的﹐因而电感的作用远远大于电阻的作用。

其次﹐其有效时间非常久﹐所以由电磁原因引起的某些作用力纵然不大﹐却能产生重大效应。

磁流体力学大体上可以和流体力学平行地进行研究﹐但因磁场的存在也具有自己的特点﹕在磁流体静力学中的平衡方程﹐和流体静力学相比﹐增加了磁应力部分﹐这就是产旁际母荨T硕г诖帕魈辶ρе杏兄煌暮濠o它研究磁场的“运动”﹐即在介质流动下磁场的演变。

与正压流体中的涡旋相似﹐磁场的变化也是由对流和扩散两种作用引起的。

第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。

由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。

实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。

这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。

建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。

与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。

但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。

下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。

§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。

首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。

这样，第α类成份流体的密度(,) n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1）(,)(,)(,,)r r vv r v n t u t d f t ααα=⎰ （3-2） 231(,)(,)()(,,)22r r v v r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰ 下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。

动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r v q E B f t I t t m αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3) 首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分，（1） ()()v v v v f g d g fd g t t t∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰ （2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3） ()()()[]()v v v v v v v v v v vq f qE f g E d g d m m qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。

带Hall项的一类磁流体力学方程组解的性态分析本文研究一类带Hall项的磁流体力学方程组,包括带正常扩散的不可压Hall-MHD方程组、带反常扩散即分数阶耗散的广义Hall-MHD方程组及带分数阶耗散的广义两相流MHD方程组等.Hall项被认为是发生在大型磁剪切中磁重联现象的一个本质特征,能很好地描述地球物理、天体物理、等离子体物理中的物理现象.本文讨论了这类方程的适定性和解的长时间行为,并给出了一些解在有限时间爆破的判别准则.首先,我们研究三维带电阻的粘性不可压Hall-MHD方程组的Cauchy问题:利用Holder不等式,估值空间Hs(R3)(s&gt;3/2)的代数性质,Young不等式,我们证明了该初值问题在低正则Sobolev空间Hs(R3)(3/2&lt;s ≤2/5)中强解的局部适定性.在证明方法中,合理有效的交换子估计和Sobolev嵌入关系对处理该方程组中Hall项的强非线性性和降低正则指标起到了关键作用.进一步,我们证明了该Cauchy问题小初值解的全局存在性.针对三维带电阻的粘性不可压广义Hall-MHD方程组的Cauchy问题:首先,在做磁场的高阶正则估计时,通过分部积分转移掉对流项中的一阶导数,然后利用Kato-Ponce交换子估计和Sobolev嵌入关系,我们证明了小初值解的全局存在性,并将文献中的耗散指标α,β从α = β∈(1,6]扩大到α = β∈(1,3/2).进一步,我们讨论了耗散指标α = β∈[1,5/4)时,相应解的长时间行为.其次,我们考虑三维带电阻的粘性不可压广义Hall-MHD方程组Cauchy问题解的爆破准则.利用Fourier局部化技术,Bony仿积分解,Sobolev嵌入,插值不等式和Young不等式等分析技巧,我们得到了在更一般的函数空间-Besov空间中局部解的爆破准则.最后,我们考虑三维不可压的广义two-fluid MHD方程组的Cauchy问题:首先通过交换子估计,Sobolev嵌入,插值不等式,Young不等式,我们证明了α =β∈(1,3/2)时,初值在低正则Sobolv空间Hm(R3)× Hm+1(R3),m&gt;7/2-2α中系统解的局部存在性.其次,通过Fourier局部化技术和交换子估计,我们获得了局部解在t = T时刻的正则准则.。

AbstractThe main thoughts of this paper is to study high-order accuracy , high resolution and non-oscillatory numerical methods of magneto-hydrodynamics (MHD) equations. Numerical methods of magneto-hydrodynamics equations have a wide range of applications in astrophysics, controlled thermonuclear reaction, the radar system communication, power generation systems, flow control and other fields. The main work of this paper includes two aspects: on the one hand, based on the relationship between magneto-hydrodynamics equations and hyperbolic conservation laws, two kinds of high-order accuracy and high resolution numerical methods of hyperbolic conservation laws are extended to solve magneto-hydrodynamics equations. On the other hand, a kind of the existing staggered central difference schemes for solving magneto-hydrodynamics equations is improved. Its main content include the following several respects :1. The MmB(Maximum and minimum Bounded) difference scheme for hyperbolic conservation laws is applied to solve the magneto-hydrodynamics equations. Based on flux splitting and piecewise linear reconstruction of cell-averaged, by properly selecting the numerical derivative and considering Runge-Kutta TVD time discretization method, a class of two-order accuracy, high resolution and non-oscillatory MmB schemes for solving magneto-hydrodynamics equations is obtained. Furthermore, the extension to two dimensional magneto-hydrodynamics equations is implemented by using dimension-by-dimension method.Finally, a series of typical numerical examples are given to verify the validation of the resulting schemes.2. The third-order semi-discrete CWENO (Central weighted essentially non-oscillatory）method for hyperbolic conservation laws proposed by Kurganov and Levy is applied to solve the magneto-hydrodynamics equations. Based on third-order accurate CWENO reconstruction, a class of third-order accurate semi-discrete CWENO methods for magneto-hydrodynamics equations is obtained. Furthermore, the extension to two dimensional magneto-hydrodynamics equations is implemented by using dimension-by-dimension method.Finally, a series of typical numerical examples are given to verify the validation of the resulting schemes.3. By improving the staggered central difference scheme for solvingmagneto-hydrodynamics equations proposed by Balbas, Tadmor and Wu, a class of second-order and third-order accuracy, non-staggered, high resolution and non-oscillatory methods for one and two dimensional magneto-hydrodynamics equations is obtained. Finally, a series of typical numerical examples are given to verify the validation of the resulting schemes.4. Three classes of schemes in this paper are compared and their advantages and disadvantages are shown. Finally, the further work in future is present .Keywords: magneto-hydrodynamics equations; hyperbolic conservation laws; MmB schemes; CWENO schemes; central difference schemes目 录第一章绪论 (1)1.1 磁流体力学方程的研究背景 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 磁流体力学方程的基本理论 (4)1.4 本文的主要工作 (5)第二章磁流体力学方程的MmB格式 (7)2.1 引言 (7)2.2 一维磁流体力学方程的MmB格式 (8)2.2.1 空间离散 (9)2.2.2 时间离散 (10)2.2.3 一维格式的MmB特性 (10)2.3 二维磁流体力学方程的MmB格式 (12)2.3.1 空间离散 (12)2.3.2 时间离散 (14)2.3.3 二维格式的MmB特性 (14)2.4 数值实验 (15)2.4.1 一维MHD激波管问题 (15)2.4.2 二维MHD问题 (17)2.5 小结 (24)第三章磁流体力学方程的CWENO格式 (25)3.1 引言 (25)3.2 一维磁流体力学方程的CWENO格式 (25)3.2.1 一维三阶CWENO重构 (26)3.2.2 一维三阶全离散中心格式构造 (28)3.2.3 一维三阶半离散中心格式构造 (31)3.2.4 将半离散格式转化为全离散格式—时间离散 (34)3.3 二维磁流体力学方程的CWENO格式 (35)3.3.1 二维三阶CWENO重构 (35)3.3.2 二维三阶半离散中心格式构造 (36)3.3.3 将半离散格式转化为全离散格式—时间离散 (36)3.4 数值实验 (37)3.4.1 一维MHD激波管问题 (37)3.4.2 二维MHD问题 (39)3.5 小结 (46)第四章磁流体力学方程的中心差分格式 (47)4.1 引言 (47)4.2 交错型中心格式概述 (47)4.2.1 交错型中心格式构造 (47)4.2.2 一阶LxF格式 (49)4.2.3 二阶NT格式 (49)4.2.4 三阶LT格式 (51)4.3 一维磁流体力学方程的二阶非交错型中心差分格式 (53)4.3.1 一维二阶交错型格式重构 (54)4.3.2 一维二阶非交错型格式构造 (55)4.4 一维磁流体力学方程的三阶非交错型中心差分格式 (56)4.4.1 一维三阶交错型格式重构 (56)4.4.2 一维三阶非交错型格式构造 (57)4.5 二维磁流体力学方程的二阶非交错型中心差分格式 (58)4.5.1 二维二阶交错型格式重构 (58)4.5.2 二维二阶非交错型格式构造 (61)4.6 数值实验 (62)4.6.1 一维MHD激波管问题 (63)4.6.2 二维MHD问题 (70)4.7 小结 (81)第五章总结与展望 (82)5.1 三类格式的比较 (82)5.2 工作展望 (83)参考文献 (84)攻读硕士学位期间发表的论文 (88)在学期间主要参与的研究项目 (88)致谢 (89)第一章 绪 论1.1 磁流体力学方程的研究背景磁流体力学（Magneto-hydrodynamics，简记为MHD）是用经典流体力学和电动力学的方法研究导电流体和电磁场相互作用的学科，它包括磁流体静力学和磁流体动力学两个分支。

第三章 磁流体力学方程（MHD ）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。

由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。

实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。

这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演 化的。

建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD ）。

与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD 理论来描述。

但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau 阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD 理论却无能力描述。

下面我们从动力学方程出发，建立MHD 方程。

§3.2二份量MHD 方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。

首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。

这样，第α类成份流体的密度(,)n r t α、流速火(,)ru t α及温度(,)r T t α的定义为：(,)(,,)r v r v n t d f t αα=⎰ （3-1） (,)(,)(,,)r r vv r vn t u t d f t ααα=⎰ （3-2）231(,)(,)()(,,)22r r vv r v B k n t T t d m u f t αααα=-⎰下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD 方程。

动力学方程可以写成：[()](,,)(,,)v v v r v r vq E B f t I t tm αααα∂+⋅∇++⨯⋅∇=∂ (3-3)首先定义等离子体矩方程： 将（3-3）两边乘以()v g 并对v 积分， （1） ()()v v v v f g d g fd g t tt∂∂∂==<>∂∂∂⎰⎰（2） ()()v v v v v v v g f d g fd g ⋅∇=∇⋅=∇⋅<>⎰⎰（3）()()()[]()v v v vv vv v v v vq f qE f g E d g d mm qE g f d m qE g m ∂∂⋅=⋅∂∂∂=⋅-∂∂=-⋅<>∂⎰⎰⎰ 其中用到了分部积分和()v f 在v →±∞时为零的条件。