七年级上数学课件数学人教七(上)第三章从算式到方程课时4_人教新课标

左 子），结果仍相等．
a=b
右
a-c = b-c
K12课件
18
bb
aa
左
右
a=b
2a = 2b
K12课件
19
bbb
aaa
左
a=b
右
3a = 3b
K12课件
20
b C个 b b b b bb
a aaaaa a C个
左
a=b
右
ac = bc
K12课件
21
b
a
等式的性质２：等式的
两边乘同一个数，或除
两边同乘-3，得
所以：x 4 K12课件
x 27 26
等式的性质１：等式的两边加（或减）同一 个数（或式子），结果仍相等．
等式的性质２：等式的两边乘同一个数， 或除以同一个不为０的数，结果仍相等．
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转 化为x=a(常数)的形式，等式的性质是转化 的重要依据．
K12课件
24
练习： 如果x-3=2，那么x-3+3= 2+3 ，
等式性质1，在等式两边同加3
如果4x=-12y，那么4x÷4= -12y÷4 ，
等式性质2，在等式两边同时除以4
如果-0.2x＝6，那么-0.2x÷(-0.2)= 6÷(-0.2)，
等式性质2，在等式两边同除(-0.2)
K12课件
25
a b 左 以同一个不为=０的数， 右
结果仍相等．
ab ab
ab
(c 0)
c c 2 2 3 3 K12课件
22
想一想：
(1)从x=y能否得到x+5=y+5？为什么

第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
学习目标
1.通过算术与方程方法的使用与比较，体验用方程解 决某些问题的优越性，提高解决实际问题的能力. 2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学 会判断某个数值是不是一元一次方程的解.（重点） 3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程. （难点）
从算式到方程是数学的进步！
观察与思考
观察下列方程，它们有什么共同点？
x x 1 60 70
70 y=60（y+1） 70（z-1）=60z
问题1 每个方程中，各含有几个未知数？ 1个
问题2 说一说每个方程中未知数的次数. 1次
问题3 等号两边的式子有什么共同点？ 都是整式
知识要点
一元一次方程
二 列方程
典例精析
例2 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形
的边长是多少？
解：设正方形的边长为x cm.
等量关系：正方形边长×4=周长，
x
列方程：4x 24.
(2) 一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用 150 h，经过多少月这台计算机的使用时间 达到规定的检修时间2450 h？
（7） 1 1. x6
典例精析
例1 若关于x的方程 2x n 1 9 0 是一元一次方程，则 n 的值为 2或－2 .
【变式题】加了限制条件，需进行取舍 方程(m 1)x m 1 0 是关于一元一次方程，则 m= 1 .
注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.
列方程：1.20.8x 20.960 x 87.

•
解析问题，建立模型
等量关系：数量间的相等关系
例如：一台计算机已使用1700小时， 预计每月再使用150小时，经过多少 月这台计算机的使用时间达到规定的 检修时间2450小时？
等量关系：已用的时间＋未来几 个月使用的时间＝规定的检测时 间2450小时
同学请找出下列问题的等量关系 1，“国庆”商场促销，一套西服打八 五折出售是1020元，这套西服原价多 少元？
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
小试身手
练习二：判断下列式子是不是一元一次 方程？ ①9x=2 ( √) ②x+2y=0 ( × ) ③x2-1=0 ( ×) ④x=1 ( √ )
⑤
3 x
2 ( ×)⑥ax=b(a,b是常数,a≠0)(√)
注意：一元一次方程中，只含有一个
未知数，且未知数的次数都是1，等号
两边都是整式。
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/112021/8/11Wednesday, August 11, 2021
等量关系：西服原价乘以0.85=1020元
2，甲、乙两车同时从相距528千米的两地相向 而行，6小时后相遇，甲车每小时比乙车快6千 Biblioteka ，求甲、乙两车每小时各行多少千米?
等量关系：甲走的路程+乙走的路程=528千米

如果a=b(c≠0),那么 a b . cc
【等式性质1】 如果a b，那么a c b c.
【等式性质2】 如果a b，那么ac bc.
如果a bc 0 ,那么a b .
cc
1.等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算.
注 2.等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数
意
或同一个式子.
检验一个数值是不是方程的解的步骤： 1.将数值代入方程左边进行计算， 2.将数值代入方程右边进行计算， 3.比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解， 反之，则不是．
请你判断下列给定的t的值中,哪个是方程2t＋1＝7-t 的解？
(1)t＝-2 (2)t＝2 (3)t=1
根据方程的解的定义，我们得到t＝2是方程2t＋1＝7－t 的解.
试妨问决
一分题这
50千米
70千米
青山
翠湖 秀水
地名 王家庄 青山 秀水
时间 10：00 13：00 15：00
问题:如图，汽车匀速行驶途经王家庄、青
山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、
秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米，
王家庄到翠湖的路程有多远？
回顾:路程=速度×时间 速度=路程÷时间
(3) y 3 6 y 9 (5) x2 1
(4) 0.32m (3 0.02m) 0.7
(6) 1 y 4 1 y
2
3
例1 根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边 长是多少？ 解：设正方形的边长为x cm， 根据题意列方程得：4x=24. 变式：用一根长24 cm的铁丝围成一个长方形，使它的长 是宽的1.5倍，长方形的长、宽各是多少？ 解：设长方形的宽为x cm，则它的长为1.5x cm， 根据题意列方程得：2(x+1.5x)=24.

A.3x-2=y
B.x2-1=0
x
C. =2
3
D. =2
3
x
3. 根据条件列出等式: （1）比a大5的数等于8
____a_+__5_=__8_________ （2）b的三分之一等于9
1 _____3__b__=_9_________
（3）x的2倍与10的和等于18
____2_x__+_1__0_=__1_8_____
（3）某校女生占全体学生人数的52%,比 男生多80人,这个学校有多少学生？
解:设这个学校的学生数为x,那么女生数为0.52x, 男生数为(1-0.52)x.
列方程
0.52x-(1 - 0.52)x= 80
观察上面例题列出的三个方程有什么特征？
（1）只含有一个未知数x, （2）未知数x的次数都是1, （3）整式方程．
（1）知道什么叫方程,什么叫一元一次方程.
（2）弄清楚方程的解的意义,会检验一个数是不是方 程的解.
（3）通过类比数的运算,探究合并同类项的方法,从 中体会“数式通性”和类比思想.
推进新课 知识点1 列方程
问题 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发 沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h 经过B地. A,B两地间的路程是多少？ 你会用算术方法解决这个问题吗？
上面例题中的三个方程,可以发现, 当x=6时,4x的值是24,这时方程4x=24等号 左右两边相等. x=6叫做方程4x=24的解.
同样的,x=5时,方程1700+150x=2450等号左 右两边相等,
x=5是方程1700+150x=2450的解
解方程就是求出使方程中等号左右两边相 等的未知数的值,这个值就是方程的解．

时，王家庄到秀水行车的速度是__5__千米/时。 列方程： 根据___汽__车__匀__速__行_驶____，得到_车__速_相__等_，
列出方程__x__3_5_0__x__5_7_0____
活动4.找到关系 列出方程
问题: 如图，汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时
间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀 水70千米，王家庄到翠湖的路程有多远？
解：设王家庄到翠湖的路程为Х千米，根据车速相等，得
x 50 = x 70
3
5
归纳：
实际问题
设未知数 列方程
方程
练习：
1．根据下列条件, 列出方程： （1）x的2倍与3的差是5; （2）x的三分之一与y的和等于4; 2．根据下列问题，设未知数，列出方程．
环形跑道一周长400m ，沿跑道跑多少周，可以跑3000m?
1700+150x=2450 2(x+1.5x)=24 0.52x-(1-0.52)x=80
方程
方程
含有未知数的等式．
一元一 次方程
只含有一个未知数（元）x, 未知 数x的指数都是１次的方程．
下列那些是一元一次方程?
2x+5=26 X+5>6
x2 2 6
X-3
4x+79=7 X-y=2
练一练,看谁答得对?
本
小结
节 课
内容
作业：
P84
学 方程 含有未知数的等式。
了
哪 些
列方程
第1、2题
阅读：P86
内 解决实际问题的方法
容？
哪 设未知数 用含未知数的式
些
子表示问题中的数量关系。

(2) 2(x+5x)=120 (3) m m 20
57
课堂小结，布置作业
小结
本节课你有哪些 收获？
一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分 子,而他对自己的估计好比分母。分母愈大则 分数的值就愈小。
宋元时期，中国数学家创立了“天元术”， 用天元表示未知数进而建立方程.这种方法的代 表作是数学家李冶写的《测圆海镜》书中所说 的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”.
清代数学家李善兰翻译外国数学著作时， 开始将equation一词译为“方程”，至今一 直这样沿用.
合作交流，探究新知
问题 一辆客车和一辆卡车同时从 A地出发 沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是 70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客
含有未知数的等式——方程
问题
你能比较一下算术方法和方程解决问题的 不同之处吗？
算术方法解决问题时在列算式时只能用已 知数；而方程是根据问题中数量关系列出的 等式，其中既含有已知数，又含有用字母表 示的未知数．
方程小史
“方程”一词来源于我国古算书《九章算 术》.在这部著作中，已经会列一元一次方程.
车比卡车早1 h经过B地. A，B两地间的路
程是多少？
回顾:路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
分析：如果设A，B两地相距 x km，
用含 x的式子表示关于时间的数量：
x
客车从A地到B地的行驶时间为___7_0__h,
x
卡车从A地到B地的行驶时间为___6__0__h．
x
因为客车比卡车早1 h 经过B 地，所以_7__0比
方程只含有一个未知数(元)，未知数的 次数都是1的方程叫做一元一次方程.
归纳：

教材p115练习1、2
5/8 x2 =4000,
思考：你知道什么叫做方程吗？
方程：先设出字母表示未知数，然后根据问 题中的相等关系，列出一个含有未知数的等 式，这样的等式叫做方程。
1.判断下列各式哪些是方程？
①1+2=3 ( × ) ②1+2x=4 (√ )
③x+y=2 ( √ ) ④x+1 ( × )
⑤x2-1=0 ( √ ) ⑦ 2 3x ( √ )
（2）3y+24=33 √ ；
（3）3x-8=5x+4 √；（4） 3x²-4+x=0 ；
（5）-3x+9=18y； （6）4b+7＞13 ；
（7） 1 1. x6
(8)2π+6=9
课堂练习
1.若k是方程 2x=3 的解，则 4k+2=______.
2.若 xn2 4 0是关于x的一元一次方程，则
所以 12x=16(x-5).
问题2：图5.1-1是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周 年纪念币，其面积是4000mm2、长和宽的比为8：5(即宽是 长的5/8). 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米?
解析：由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念市的长， 进而可以求出纪念币的宽。
解：设这枚纪念币的长为xmm，则纪念币的宽可以表 示为5/8 xmm，面积可以表示为5/8 x2m㎡ 所以
问题1 每个方程中，各含有几个未知数？ 1个 问题2 说一说每个方程中未知数的次数. 1次
问题3 等号两边的式子有什么共同点？ 都是整式
一元一次方程
（一元）
（一次）
只含有一个未知数, 未知数的次数都是1,
等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.

3
解：（4）x=4
本课时学习了等式的性质及其简单应用，会根据等 式的性质解简单的一元一次方程.
例1：下列结论正确的是（ B ）
A.若x+3=y-7,则x+7=y-11 B.若7y-6=5-2y,则7y+6=17-2y
C.若0.25x=-4,则x=-1
D.若7x=-7x,则7=-7
解析：根据等式的性质，等式两边要做同样的变化，但是要注意同 时除以一个不为零的数.A和C等式两边不是做同样的变化，所以错误， D中等式两边同时除以x，而x的值可能为零，所以错误.
一个数，或除以同一个不为０ 的数，结果仍相等．
如果 a = b ，那么 ac = bc
如果 a = b (c 0 )，那么
a=b cc
知识点一：等式的性质 B
D
等式的性质1 等式的性质2
6－b 3/y
知识点二：利用等式的性质解方程
4、（2013，株洲）一元一次方程2x=4的解 是（ B ） A、x=1 B、x=2 C、x=3 D、x=4 5.方程x－1=5的两边都＿加＿1＿，得x=＿＿6＿＿.
例2：知等式ax=ay,下列变形不正确的是（ A ）
A.x=y B.ax+1=ay+1 C.ay=ax D.3-ax=3-ay
解析：在运用等式的性质进行变形时，要注意两点： 一是两边做同 样的变化； 二是在同除以一个数时，这个数不能为0.在A中等式两 边同除以a，而a可能为0，所以错误.
例3：用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说 明是根据哪条性质以及怎样变形的： （1）如果3x=-2x-1，那么3x+＿2＿x =-1；两边同时＿加＿上＿2＿x, 根据是＿等＿式＿性＿质＿＿一＿ ； （2）如果1/2x=5,那么x= 1＿0;两边同时＿乘＿以＿2, 根据是 等式性质二 ；

x
K12课件
9
(3).某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这 个学校有多少学生？
解：设这个学校的学生为x，那么 女生数为0.52x，男生数为(10.52)x.
列方程
0.52x-(1-0.52)x=80
小结： 实际问题
设未知数 找等量关系 一元一次方程
K12课件
10
练一练：指出下列各式中用字母表示数
的不对之处，并正确表示。
(1) b •3
（3）2 1 a 3
(5) 2-a米
3b (2) b÷ 4
7a 3
（4）5 a米 4

(2-a)米
1 b或 b 44
(6) (a+b)2
2(a+b)
K12课件
11
练一练,看谁答得对?
一、判断题
1.含有未知数的式子,叫做方程 ( ) 2.未知数的次数都是一次的方程是一元一次方程.( ）
怎么做 ？
1 .填空： （1）在式子：2x －1 ，1＋7＝2＋6 ， 1－3x ＝ x ＋1 ， x ＋ 2y ＝ 3，x2 ＋3x －1 ＝ 0 中，方程有 3 个，一元一次方 程有 1 个。
（2）若方程 3 x n ＋4 ＝ 5（x是未知数）是一元一次方程， 则n＝ 1 。
（3）关于 x 的方程 （a －2）x 2 + a x + 1 = 0 是一元一次方程 ，则 a ＝ 2 。
(6) x2-1=0 ( √ )
二、判断下列式子是不是一元一次方程，为什么？
（1）7x+5=9；√ （2）3x-6x； （3）2x2- x
4x=5（4）2y+3x=-6y （5）xx-y=5； （6）2ax

《从算式到方程》一元一次 方程4
人教版数学七年级上册
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• 32x+45y • 12x+15y=40 • 75>20 • 19x+45=64 • x+y-7z=18 • X+y<12
定义：含有未知数的等式称为方程
Hale Waihona Puke 解：设正方形的边长是X 4X=24
1700+150x=2450
解：设这个学校有x名学生，则女生人数是 0.52x,男生人数是（1-0.52）x
0.52x-(1-0.52)x=80
4X=24 400x=3000 1700+150x=2450
X=1000与x=2000中那个是方程 0.52x-(1-0.52)x=80的解
• 通过复习方程的定义，了解什么是一元一次方 程，了解了解方程的概念以及什么是方程的解
• 通过对一元一次方程的认识，学习如何列一元 一次方程，即分析实际问题中的数量关系，利 用其中的相等关系列出方程
解：设沿跑道跑x周，可以跑3000m 400x=3000
• 4x=24 400x=3000
相同点：1.只有一个未知数 2.未知数的次数都为1
练习1.一台计算机已经使用1700小时，预计 每月平均使用150小时，经过多少个月这台 计算机的使用时间达到2450小时？
解：设经过x个月这台计算机的使用时间达 到2450小时

未知数x的等式通过本章的学习，我们将能够从这个含有未知数
x的等式中解出未知数的值x=5，从而求出5h后甲队追上乙队.
根据题目列等式
问题1 用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，大水
杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是
多少元?设大水杯x元。
问题2 如图是一枚长方形的庆
祝中国共产党成立100周年纪念
方程：
（1）环形跑道一周长400 m，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 m？
（2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用9 元钱买了两
种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？
（3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面积是40 cm2，
求上底．
（4）用买10 个大水杯的钱，可以买15 个小水杯，大水杯比小水
问题2：观察上面例题列出的三个方程有什么特征？
（1）只含有一个未知数x，
（2）未知数x的指数都是1，
（3）整式方程．
一般地，果方程中只含有一个未知数(元)，且含有
未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方
程叫作一元一次方程(linear equationwith one unknown)
用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的
称为“方程术”.19世纪50年代，清
代数学家李善兰翻译外国数学著
作时，开始将equation(指含有未
知数的等式)一词译为“方程”
思考
（1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？
（2）列方程的依据是什么？
实际问题
设未知数 列方程
方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关
系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.

新知探究
知识点1
利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤：
第一步：利用等式的性质1，将方程左右两边同时加(或减)同一
个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项，另一
边只有常数项的形式；
第二步：利用等式的性质2，将方程左右两边同时除以未知数的
系数(或乘未知数系数的倒数)，即将未知数的系数化为1，从而
即 (1 −
1
)
2019
2018
所以

2019
1
3
= 2018 .
1
−
4
+ ⋯+
1
2018
−
1
)
2019
= 2018 ，
= 2018 ，
= 2018，
所以 = 2019 .
本题源于《教材帮》
课堂小结
利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤：
第一步：利用等式的性质1，将方程左右两边同时加(或减)同一
解：方程两边同时减去7，得
x+7-7=26-7，
于是 x=19.
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化
为x=a(常数)的形式，等式的性质是转化的重要依据.
新知探究
知识点1
例 利用等式的性质解下列方程：
(2) -5x = 20；
思考：为使 (2) 中未知数的系数化为1，将要用到等式的什么性质 ？
解：方程两边同时除以-5，得
本题源于《教材帮》
拓展提升
2
用等式的性质解下列方程：
1

2
(1) 5x-7=8；
(2) −4 −
解：(1) 方程两边同时加7，得
(2) 方程两边同时加4，得