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4、3 角1、下列说法中正确的就是（）A、两条射线组成的图形叫做角B、两边成一直线的角就是平角C、一条射线就是一个周角D、平角就是一条直线2、如图所示，下列说法中正确的就是（）A、∠ADE就就是∠DB、∠ABC可以用∠B表示C、∠ABC与∠ACB就是同一个角D、∠BAC与∠DAE就是不同的两个角3、在下图中,能用∠1,∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形就是（）4、八点三十分这一时刻,分针与时针的夹角就是( ）A、70°B、75°C、80°D、85°5、将图中的角用不同方法表示出来,并填写下表:∠1∠β∠α∠BCA∠ABC 6、316°48′36″＝________°、7、如图，画图并解答下列问题：(1)在OB边上取一点C，过点C作直线MN交OA边于D；(2)写出图中所有的角;（3)指出与∠BCN构成平角的角、8、如图，回答下列问题、（1)∠ECG与∠C就是不就是同一个角？(2）∠OGF与∠DGB就是不就是同一个角？(3)∠DOF与∠EOG就是不就是同一个角？（4)∠ABC与∠BCA就是不就是同一个角?(5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来、9、如图所示,∠AOC＝∠BOD＝90°,∠AOD＝140°，求∠BOC的度数、（2013·湖州)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝________度、课后作业1、B考查平角的定义、2、B考查角的表示方法、3、B考查角的表示方法、4、B表盘每个大格为30°，八点三十分构成的角占两个半格，故选B、5、∠BCE∠2∠BAE(或∠BAC）∠DAB∠36、3 45 0 16、817、（1）略(2）∠O,∠MDO，∠MDA,∠ODC,∠ADC,∠OCD,∠BCD,∠OCN,∠BCN（3）∠BCM，∠OCN8、(1）就是(2)就是（3）不就是（4）不就是（5)3个分别为∠A,∠B,∠C、9、40°∠COD＝∠AOD－∠AOC＝140°－90°＝50°,则∠BOC＝∠BOD－∠COD＝90°－50°＝40°、中考链接15、5 1°＝60′,所以15°30′＝15、5°、。
北师大版数学七年级上册第四章4.3角同步练习一、选择题1.已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（）A．B．C．D．答案：D解析：解答：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．故选：D．分析：根据方向角的定义，即可解答．2.如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，C岛在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B 两岛的视角∠ACB的度数是（）A．70°B．20°C．35°D．110°答案：A解析：解答：如图，连接AB，∵两正北方向平行，∴∠ CAB＋∠CBA=180°－45°－25°=110°，∴∠ ACB=180°－110°=70°．故选：A．分析：根据两直线平行，同旁内角相等求得∠C的度数即可．3.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．西偏北30°B．北偏西60°C．北偏东30°D．东偏北60°答案：B解析：解答：∵射线OB与射线OA垂直，∴∠AOB=90°，∴∠1=90°－30°=60°，故射线OB的方位角是北偏西60°，故选B．分析：根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．4.下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形答案：C解析：解答：A.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；B.根据A可得B错误；C.角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确；D.据C可得D错误．故选C．分析：根据角的动态定义解答：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．5.下列语句错误的有（）①角的大小与角两边的长短无关；②过两点有且只有一条直线；③若线段AP=BP，则P一定是AB中点；④ A与B两点间的距离是指连接A、B两点间的线段．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：解答：①角的大小与角两边的长短无关，正确；②过两点有且只有一条直线，正确；③若线段AP=BP，则P一定是AB中点；错误，点P可能不在AB上；④A与B两点间的距离是指连接A、B两点间的线段；错误，因为A与B两点间的距离是指连接A、B两点间的线段的长度．故选B分析：根据直线、线段以及射线的概念来解答本题即可．6.下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．答案：D解析：解答：A.顶点B处有四个角，不能用∠B表示，错误；B.顶点B处有二个角，不能用∠B表示，错误；C.顶点B处有三个角，不能用∠B表示，错误；D.顶点B处有一个角，能同时用∠ABC，∠B，∠1表示，正确．故选D．分析：当角的顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示这个角，也可以用三个大写字母表示这个角．7.如图所示，下列表示角的方法错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOCC．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠AOC也可用∠O来表示答案：D解析：解答：A.∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；B.∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；C.图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；D.∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；故选D．分析：根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．8.在时刻8：30时，时钟上的时针与分针之间的所成的夹角是（）A．60°B．70°C．75°D．85°答案：C解析：解答：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°=75°，故选C．分析：利用钟表表盘的特征解答即可．9.已知点A在点B的北偏东40°方向，则点B在点A的（）A．北偏东50°方向B．南偏西50°方向C．南偏东40°方向D．南偏西40°方向答案：D解析：解答：如图，则点B在点A的南偏西40度，故选D．分析：此题是对方向角的考查，若点A在点B的北偏东40度，要求点B在点A的方向，则以点A为原点建立直角坐标系即可求解．10.轮船航行到B处观测小岛A的方向是北偏西32°，那么小岛A观测到轮船B的方向是（）A．南偏西32°B．南偏东58°C．南偏西58°D．南偏东32°答案：D解析：解答：由图可知，AB方向相反，从小岛A同时观测轮船B的方向是南偏东32°，故选：D．分析：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度．根据定义就可以解决．11.如图，点A位于点O的（）A．南偏西25°方向上B．北偏西65°方向上C．南偏东65°方向上D．南偏西65°方向上答案：B解析：解答：∵OA和正西方向的夹角是25°，∴OA与正北方向的夹角为65°，∴位于点O的北偏西65°的方向上．故选B．分析：根据方位角的概念，结合上北下南左西右东的规定进行判断．12.下图中能用一个字母表示的角（）A．三个B．四个C．五个D．没有答案：A解析：解答：∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，∴图中能用一个字母表示的角有三个：∠A、∠B、∠C．故选：A．分析：只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角，据此判断出图中能用一个字母表示的角有几个即可．13.下列说法正确的是（）A．角的边越长，角度就越大B．周角就是一条射线C．一条直线可以看成平角D．平角的两边可以构成一条直线答案：D解析：解答：A.角的大小与边长无关，故错误；B.周角的特点是两条边重合成射线，但不能说成周角是一条射线，故错误；C.平角的特点是两条边成一条直线，不能说直线是平角，故错误；D.平角的两边构成一条直线，正确，故选D．分析：利用角的定义分别判断后即可确定正确的选项．14.如图，下列表示角的方法，错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠AOC不可用∠O来表示C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOCD．∠β表示的是∠AOC答案：D解析：解答：∵∠1与∠AOB表示同一个角，∴选项A正确．∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，∴∠AOC不能∠O来表示，∴选项B正确．∵图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，∴选项C正确．∵∠β表示的是∠BOC，∴选项D错误．故选：D．分析：A：根据角的表示方法判断即可．B：只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以∠AOC不能∠O来表示，据此判断即可．C：根据角的概念，判断出图中一共有多少个角即可．D：根据角的表示方法判断即可．15.在9点30分时，时针上的时针与分针之间的夹角为（）A．85度B．90度C．70度D．60度答案：B解析：解答：9点30分，时针和分针中间相差3个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴9点30分分针与时针的夹角是3×30°=90°．故选：B．分析：根据钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°计算得到答案．二、填空题16.如图是一个时钟的钟面，下午1点30分，时钟的分针与时针所夹的角等于______°．答案：135解析：解答：30°×（4＋12）=30°×92=135°，故答案为：135．分析：根据钟面平均分成12份，可得每份30°，根据每份的度数乘以时针与分针相距的份数，可得答案．17.已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于______．答案：85°解析：解答：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1＋∠3=45°＋40°=85°，故答案为：85°．分析：根据方位角的概念，画图正确表示出A，B的方位，易得结果．18.从中午12时整到下午3时整，钟表时针所转过的角的度数是______．答案：90°解析：解答：时针经过3个小时，那么它转过的角度是30°×3=90°．故答案为：90°．分析：利用钟表表盘的特征解答．时针每小时走30°．19.C岛在B岛的北偏西48°方向，∠ACB等于95°，则C岛在A岛的______方向．答案：北偏东47°解析：解答：作CF∥AD，则AD∥CF∥BE．∵AD∥CF，∴∠ACF=∠DAC，同理∠BCF=∠CBE=48°，∴∠DAC=∠ACB－∠BCF=95°－48°=47°，则北偏东47°方向．故答案是：北偏东47°．分析：作CF∥AD，则AD∥CF∥BE，根据平行线的性质可得∠ACF=∠DAC，∠BCF=∠CBE，据此即可求得∠DAC的度数，从而求解．20.如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东65°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东15°的方向上，则此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB=______．答案：50°解析：解答：从图中我们可以发现∠AMB=180°－（90°＋15°）－（90°－65°）=50°，故答案为：50°．分析：将轮船航行的实际问题转化为方向角的问题解答．三、解答题21.如图，在A、B两处之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东46°，A、B两地同时开工，若干天后公路准确接通．（1）B地修公路的走向是南偏西多少度？答案：南偏西46°；解答：由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知B地所修公路的走向是南偏西46°；（2）若公路AB长12千米，另一条公路BC长6千米，且BC的走向是北偏西44°，试求A到公路BC的距离？答案：12千米．解答：∵∠ ABC=180°－∠ABG－∠EBC=180°－46°－44°=90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB=12千米．解析：分析：根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．22.如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的西北方向，求∠ABC及∠BCA的度数．答案： 45°|50°．解答：∵∠DBA=40°，∠DBC=85°，DB∥CE，∴∠ECB=180°－85°=95°，∠ABC=85°－40°=45°，∵∠ECA=45°，∴∠BCA=95°－45°=50°．解析：分析：根据方位角的概念，图中给出的信息，结合平行线的性质求解即可．23.在AB两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向是南偏西56°，此工程由甲乙丙三支施工队伍共同建设．已知甲单独做要10天完成，乙单独做要12天完成，丙单独做要15天完成．甲、丙先合做了3天后，甲因事离去，由乙和丙完成剩下工作，那么还需要几天才能完成？并画出这条公路的简单示意图．答案：103x 天；如图，设由乙和丙完成剩下工作，那么还需要x天才能完成，根据题意得：111131 10151215x⎛⎫⎛⎫+⨯++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得：103x=．∴由乙和丙完成剩下工作，那么还需要103x=天才能完成．解析：分析：先建立方位图，再设由乙和丙完成剩下工作，那么还需要x天才能完成，根据题意列出方程，即可解答．24.如图所示，从一点O出发引射线OA、OB、OC、OD，请你数一数图中有多少个角，并把它们表示出来．答案：共6个角，有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，共6个角．解析：分析：根据角的概念（有公共端点的两条射线组成的图形叫角）写出即可，注意不要漏角啊．25.如图所示，从一点O出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引n（n为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果n=8时，检验你所得的结论是否正确．答案：当n=2时，角的个数为1；当n=3时，角的个数为1＋2=3；当n=4时，角的个数为1＋2＋3=6；当n=5时，角的个数为1＋2＋3＋4=10；当射线的条数为n时，角的个数为1＋2＋3＋4＋…＋（n－2）＋（n－1）=12（n－1）n，当n=8时，12×（8－1）×8=28．所以n条射线可组成12（n－1）•n个角，这个结论也是正确的．解析：分析：根据图形分别n的值与角的个数的关系，进而得出规律求出即可．。
4.3 《角》习题1一、填空题1.图书馆在餐厅的北偏东40°方向，那么餐厅在图书馆的________方向．2.若一个角的补角加上10º后等于这个角的4倍，则这个角的度数为____．3.过点O 引三条射线OA 、OB 、OC ，使2AOC AOB ∠=∠，如果32AOB ∠=︒，那么BOC ∠的度数是_______．二、选择题1．如图，能用∠1、∠ABC 、∠B 三种方法表示同一个角的是( )A ．B ．C ．D ．2．如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是( )A ．85°B ．105°C ．125°D ．160°3．将一个直角分成1:2:3的三个角，那么这三个角中，最大的角与最小的角相差( )A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°4．如图，射线OB 和OD 分别为AOC ∠和COE ∠的角平分线，45,20AOB DOE ∠=︒∠=︒，则AOE ∠=( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°5．2019年4月12日我军在南海举行了建国以来海上最大的军事演习，位于点O 处的军演指挥部观测到军舰A 位于点O 的北偏东70°方向(如图)，同时观测到军舰B 位于点O 处的南偏西15°方向，那么∠AOB 的大小是( )A ．85°B ．105°C ．115°D ．125°6．已知180αβ∠+∠=︒，且αβ∠>∠，那么β∠的余角一定是( )A ．αβ∠-∠B ．90α︒-∠C ．90α∠-︒D ．90β∠-︒7．如图所示，OC 是AOB ∠的平分线，OD 是BOC ∠的平分线，那么下列各式中正确的是( )A ．23AOD AOB ∠=∠ B ．13BOD AOB =∠∠ C ．23BOC AOB ∠=∠ D ．12∠=∠COD BOC 8．一个角的余角比它的补角的一半少30，则这个角的度数为( )A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．80︒9．如图，已知CO ⊥AB 于点O ，∠AOD =5∠DOB ＋6°，则∠COD 的度数( )A．58°B．59°C．60°D．61°10．下列语句中，正确的个数是( )①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．A．1个B．2个C．3个D．4个11．将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是( )A．B．C．D．12．如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB＝α，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠MON的度数是( )A．1802α-B．12a C．1902a+D．1902a-13．在同一平面内，已知∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，如果OP是∠AOC的平分线，则∠BOP的度数为( )A．25°B．25°或35°C．35°D．25°或45°14．如图，已知点A，O，B在同一直线上，∠2是锐角，则∠2的余角是( )A ．1122∠-∠B ．()1123∠+∠C ．()1122∠-∠ D ．131222∠-∠三、解答题1.用一副三角尺画角． (1)135AOB ∠=︒． (2)150BOC ∠=︒．2.计算：(1)2027'3554'︒+︒； (2)90431836"'︒-°.3.完成推理填空：如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠EOC ＝90°，OF 是∠AOE 的角平分线，∠COF ＝34°，求∠BOD 的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC ＝90°，∠COF ＝34°( )∴∠EOF ＝ °又∵OF 是∠AOE 的角平分线( )∴∠AOF ＝ ＝56°( )∴∠AOC ＝∠ —∠ ＝ °∴∠BOD＝∠AOC＝°( )4.如图，已知直线AB和CD相交于点O,∠COE= 90︒， OF平分∠AOE, ∠COF=28︒．求∠AOC 的度数．5.请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：(1)2∠的度数为__________；∠有何数量关系：______；(2)1∠与3∠有何数量关系：__________；(3)1∠与AEC6.如图，已知直线和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：(1)画线段AB(2)画出射线BC(3)以A 为顶点画出表示东西南北的十字线，再画出表示北偏西30的射线AD (注：D 为射线与直线l 的焦点，标注字母D 与30角)7.如图，OM ，ON 分别是BOC ∠和AOC ∠的平分线，且84AOB ∠=︒．(1)当OC 静止时，求MON ∠的度数；(2)当OC 在AOB ∠内转动时，MON ∠的大小是否会发生变化，简单说明理由．8.已知:AOB ∠和COD ∠是直角．(1)如图，当射线OB 在COD ∠内部时，请探究AOD ∠和BOC ∠之间的关系；(2)如图2，当射线,OA 射线OB 都在COD ∠外部时，过点О作射线OE ，射线OF ，满足13BOE BOC ∠=∠，23DOF AOD ∠=∠，求EOF ∠的度数．(3)如图3，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线OG ，使得:2:3GOF GOE ∠∠=，若不存在，请说明理由，若存在，求出GOF ∠的度数．答案一、填空题1.南偏西40°(或西偏南50°).2.38°．3.32︒或96︒二、选择题1．A ． 2．C ．3．C ．4．C ．5．D.6．C ．7．D ．8．C ．9．D.10．C ．11．C ．12．B ．13．D ．14．C ．三、解答题1.(1)如图，∠AOB 为所求；(2)如图，∠BOC 为所求；2.(1)2027'3554'5581'5621'+=︒=°°°(2)904318'36"8959'60"4318'36"464124"︒-︒=︒-︒=︒′3.解：∵∠EOC=90°∠COF=34° (已知)∴∠EOF=90°-34°=56°，∵OF 是∠AOE 的角平分线∴∠AOF ＝∠EOF ＝56°(角平分线定义)∴∠AOC=∠AOF-∠COF=22°，∴∠BOD=∠AOC=22° (同角的余角相等)，4.解：∵∠EOF=∠COE-∠COF=90°-28°=62°．又∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=62°，∴∠AOC=∠AOF-∠COF=62°-28°=34°．5.解：(1)根据折叠的过程可知：∠2=∠1+∠3，∵∠1+∠2+∠3=∠BEC，B、E、C三点共线∴∠2=180°÷2=90°．故答案是：90°．(2)∵∠1+∠3=∠2，∴∠1+∠3=90°．故答案是：∠1+∠3=90°．(3)∵B、E、C三点共线，∴∠1+∠AEC=180°，故答案是：∠1+∠AEC=180°．6.解：(1)线段AB作图如下，(2)射线BC作图如下，(3)方向角作图如下，7.解：(1) OM ，ON 分别是BOC ∠和AOC ∠的平分线，11,,22MOC BOC NOC AOC ∴∠=∠∠=∠ ()11,22MON MOC NOC BOC AOC AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ 84AOB ∠=︒，18442.2MON ∴∠=⨯︒=︒ (2)MON ∠的大小不会发生变化，理由如下：OM ，ON 分别是BOC ∠和AOC ∠的平分线，11,,22MOC BOC NOC AOC ∴∠=∠∠=∠()11,22MON MOC NOC BOC AOC AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ 84AOB ∠=︒，18442.2MON ∴∠=⨯︒=︒ 所以只要∠AOB 的大小不变，无论OC 在∠AOB 内怎样转动，∠MON 的值都不会变．8.解：(1)180AOD BOC ∠+∠=︒ ，证明：AOB ∠和COD ∠是直角，90AOB COD ∴∠=∠=︒，BOD BOC COD ∠+∠=∠，90BOD BOC ∴∠=︒-∠，同理：90AOC BOC ∠=︒-∠，9090180AOD AOB BOD BOC BOC ∴∠=∠+∠=︒+︒-∠=-∠，180AOD BOC ∴∠+∠=︒；(2)解：设BOE α∠=，则3BOC α∠=，BOE EOC BOC ∠+∠=∠，2EOC BOC BOE α∴∠=∠-∠=，360AOD COD BOC AOB ∠+∠+∠+∠=︒，360AOD COD BOC AOB ∴∠=︒-∠-∠-∠360903901803a α=︒-︒--︒=︒-，23DOF AOD ∠=∠， 21803103(22DOF a a ∴∠=︒-=︒-）， (1118036033AOF AOD a a ∴∠=∠=-=︒-）， 9060150EOF BOE AOB AOF a α∴∠=∠+∠+∠=+︒+︒-=︒，答：EOF ∠的度数是150；(3)①如图，当射线OG 在EOF ∠内部时，:2:3GOF GOE ∠∠=，222150602355GOF EOF EOF ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒+，②如图，当射线OG 在EOF ∠外部时，:2:3GOF GOE ∠∠=，()()222352360360150210845GOF EOF ︒∴∠=∠=+-︒-︒=⨯︒=︒，综上所述，GOF ∠的度数是60︒或84︒．。
4.3 角专题一与分类及应用1．下列说法：（1）大于直角的角是钝角；（2）任何一个角都可以用一个大写字母表示；（3）在平面内，有公共顶点的两个直角组成了一个平角；（4）一条直线就是一个平角．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个２．下列说法中正确的有（）①由两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关；③角的两边是两条射线；④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列计算中错误的是（）A．0．25°=900″B．C．32．15°=32°15′D．4．钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（）A．90°B．82．5°C．67．5°D．60°5．一条船向北偏东50°方向航行到某地，然后依原航线返回，船返回时航行的正确方向是（）A．南偏西40°B．南偏西50°C．北偏西40°D．北偏西50°6．计算下列各题：（1）153°19′42″+26°40′28″；（2）90°3″﹣57°21′44″；（3）33°15′16″×5；（4）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3．7．（1）若时针由2点30分走到2点55分，问分针、时针各转过多大的角度？（2）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？8．如图，由一个公共端点引出的2条射线，形成了1个角，由一个公共端点引出的3条射线，形成了3个角，由一个公共端点引出的4条射线，形成了6个角，……，由一个公共端点引出的n 条射线，形成多少个角？（注：图中最大的角为钝角）状元笔记：【知识要点】1. 理解角的有关概念、分类及表示方法．2．认识角的表示及度、分、秒，并会进行简单的换算．【方法技巧】在钟表问题中，时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0．5°，分针一小时转360°，一分钟转6°，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．参考答案： １．D２．B 解析：①角就是有公共端点的两条射线所构成的图形，故该选项错误；②角的大小与边的 ……A 5A n A 1A 2A 3A 4A 4A 3A 2A 1A 3O A 2OA 1O A 2A 1O长短无关，只与两条边张开的角度有关，故该选项正确；③角的两边是两条射线，故该选项正确；④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数不变，故该选项错误．②③正确．3．C4．B解析：∵时针在钟面上每分钟转0．5°，分针每分钟转6°，∴钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0．5°×15=7．5°，分针在数字3上．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴12时15分钟时分针与时针的夹角90°﹣7．5°=82．5°．5．B6．解：（1）153°19′42″+26°40′28″=179°+59′+70″=179°+60′+10″=180°10″．（2）90°3″﹣57°21′44″=89°59′63″﹣57°21′44″=32°38′19″．（3）33°15′16″×5=165°+75′+80″=165°+76′+20″=166°16′20″．（4）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3=175°16′30″﹣42°330′÷6+12°36′150″=175°16′30″﹣7°﹣55′+12°38′30″=187°54′60″﹣7°55′=180°．7．解：（1）分针转过的角度：（360°÷60）×（55﹣30）=150°，时针转过的角度：（360°÷60÷12）×（55﹣30）=12．5°，∴分针、时针各转过150°、12．5°．（2）（360°÷12）﹣15×（360°÷60÷12）=30°﹣7．5°=22．5°，∴时针与分针所成的锐角的度数是22．5°．8．解：由一个公共端点引出的n条射线，一共组成角的个数为：1＋2＋3＋4＋5＋……＋n－1＝2)1(nn．。
4.3角 同步练习题2021-2022学年北师大版七年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1．(1)如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入下表．(2)如图所示，能用一个字母表示的角有2个，分别是_________；以A 为顶点的角有_________个，分别是___________________；图中小于平角的角共有_________个．2．如图，把一根小棒OA 一端钉在点O ，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，其中∠AOC 为_________，∠AOD 为_________，∠AOE 为_________，木棒转到OB 时形成的角为_________．(填“钝角”“锐角”“直角”或“平角”)3．计算：(1)2 700″＝_________′＝_________°；(2)(54 )°＝_________′＝_________″；(3)14 周角＝_________平角＝_________直角；(4)3.6°＝_________°_________′； (5)53°30′＝_________°；(6)57.32°＝_________°_________′_________″； (7)10°6′36″＝_________°；(8)48°47′＋53°35′＝_________； (9)60°－12°38′＝_________；(10)12°20′×4＝_________； (11)176°52′÷3＝_________．二、选择题4．下列说法正确的是( )A．一条直线可以看成一个平角B．周角是一条射线C．角是由一条射线旋转而成的D．角是由具有公共端点的两条射线组成的图形5．如图，下列表示角的方法，错误的是( )A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠AOC也可以用∠O来表示C．∠β表示的是∠BOCD．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC6．如图，在A，B两处观测到的C处的方向角分别是( )A．北偏东60°，北偏西40° B．北偏东60°，北偏西50°C．北偏东30°，北偏西40° D．北偏东30°，北偏西50°7．下列说法正确的是( )A．12°25′＋25°47′＝39°2′ B．48°15′－30°30′＝18°15′C．58.25°＝58°15′ D．42°24′＜42.34°三、解答题8．如图：(1)以点B为顶点的角有几个？分别表示出来．(2)请分别指出以射线BA为边的角；(3)以D为顶点，且小于平角的角有几个？分别写出来．9．根据给出图形回答下列问题：(1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．(4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．B组(中档题)一、填空题10．赵师傅通过放大5倍的放大镜从正上方看30°的角看到的角的大小为30°.11．下面四个图中的角表示正确的有_________(填序号).∠∠ABC∠∠AOB是平角∠射线AB是周角∠∠CAB 12．(1)钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是_________.(2)亲爱的同学，现在是北京时间下午2：47，按正常做题速度，你应该做到此题了，此时钟表上的时针和分针的夹角的度数是_________．二、解答题13．如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中OA).小文同学为研究12点t分(0＜t＜60)时，时针与分针的指针位置，将时针记为OB，分针记为OC.如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：(1)分针OC每分钟转动6°，时针OB每分钟转动0.5°；(2)当OC与OB在同一直线上时，求t的值；(3)当OA，OB，OC两两所夹的三个角∠AOC，∠AOB，∠BOC中有两个角相等时，试求出所有符合条件的t的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)C组(综合题)14．(1)数一数图∠中共有3个角，图∠中共有6个角；图∠中共有10个角；(2)从(1)中你能找到一种数图∠中角的个数的规律吗？参考答案4.3角 同步练习题2021-2022学年北师大版七年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1．(1)如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入下表．(2)如图所示，能用一个字母表示的角有2个，分别是∠B ，∠C ；以A 为顶点的角有3个，分别是∠BAD ，∠BAC ，∠DAC ；图中小于平角的角共有7个．2．如图，把一根小棒OA 一端钉在点O ，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，其中∠AOC 为锐角，∠AOD 为直角，∠AOE 为钝角，木棒转到OB 时形成的角为平角．(填“钝角”“锐角”“直角”或“平角”)3．计算：(1)2 700″＝45′＝0.75°；(2)(54 )°＝75′＝4__500″；(3)14 周角＝12 平角＝1直角；(4)3.6°＝3°36′； (5)53°30′＝53.5°；(6)57.32°＝57°19′12″；(7)10°6′36″＝10.11°；(8)48°47′＋53°35′＝102°22′； (9)60°－12°38′＝47°22′；(10)12°20′×4＝49°20′； (11)176°52′÷3＝58°57′20″．二、选择题4．下列说法正确的是( D )A．一条直线可以看成一个平角B．周角是一条射线C．角是由一条射线旋转而成的D．角是由具有公共端点的两条射线组成的图形5．如图，下列表示角的方法，错误的是( B )A．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠AOC也可以用∠O来表示C．∠β表示的是∠BOCD．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC6．如图，在A，B两处观测到的C处的方向角分别是( B )A．北偏东60°，北偏西40° B．北偏东60°，北偏西50°C．北偏东30°，北偏西40° D．北偏东30°，北偏西50°7．下列说法正确的是( C )A．12°25′＋25°47′＝39°2′ B．48°15′－30°30′＝18°15′C．58.25°＝58°15′ D．42°24′＜42.34°三、解答题8．如图：(1)以点B为顶点的角有几个？分别表示出来．(2)请分别指出以射线BA为边的角；(3)以D为顶点，且小于平角的角有几个？分别写出来．解：(1)以点B为顶点的角有3个，分别是∠ABC，∠ABD，∠DBC.(2)以射线BA为边的角：∠ABE，∠ABC.(3)以D为顶点，且小于平角的角有4个，分别是∠ADB，∠ADE，∠BDC，∠EDC.9．根据给出图形回答下列问题：(1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．(4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．解：(1)不正确，以A为顶点的角有3个，故不能用∠A表示∠1，可表示为∠DAC.(2)图中∠B可以用一个字母表示．(3)以A为顶点的角有3个，分别是∠BAC，∠BAD，∠DAC.(4)不是同一个角，因为这两个角的顶点不同．B组(中档题)一、填空题10．赵师傅通过放大5倍的放大镜从正上方看30°的角看到的角的大小为30°.11．下面四个图中的角表示正确的有∠∠(填序号).∠∠ABC∠∠AOB是平角∠射线AB是周角∠∠CAB12．(1)钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是20°.(2)亲爱的同学，现在是北京时间下午2：47，按正常做题速度，你应该做到此题了，此时钟表上的时针和分针的夹角的度数是161.5°．二、解答题13．如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中OA ).小文同学为研究12点t 分(0＜t ＜60)时，时针与分针的指针位置，将时针记为OB ，分针记为OC .如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题： (1)分针OC 每分钟转动6°，时针OB 每分钟转动0.5°； (2)当OC 与OB 在同一直线上时，求t 的值；(3)当OA ，OB ，OC 两两所夹的三个角∠AOC ，∠AOB ，∠BOC 中有两个角相等时，试求出所有符合条件的t 的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)解：(2)当OC 与OB 在同一直线上时， 时针OB 转了0.5t °，即∠AOB ＝0.5t °； 分针OC 转了6t °，即∠AOC ＝6t °. 所以6t －0.5t ＝180，解得t ＝36011. (3)∠当∠AOC ＝∠BOC 时，因为∠AOC ＝360°－6t °，∠BOC ＝6t °－0.5t °＝5.5t °， 所以360－6t ＝5.5t .所以t ＝72023 . ∠当∠AOB ＝∠AOC 时，因为∠AOC ＝360°－6t °，∠AOB ＝0.5t °， 所以360－6t ＝0.5t .所以t ＝72013 . ∠当∠AOB ＝∠BOC 时，不存在． 综上所述，t 的值为72023 或72013.C 组(综合题)14．(1)数一数图∠中共有3个角，图∠中共有6个角；图∠中共有10个角； (2)从(1)中你能找到一种数图∠中角的个数的规律吗？解：因为1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以第n 个图形共有：1＋2＋3＋…＋(n －1)＝（n －1）（1＋n －1）2 ＝n （n －1）2 个角．。
3 角1．角的定义(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．角的有关概念：顶点：两条射线的公共端点．边：组成角的两条射线．(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．谈重点角的理解(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．【例1】下列说法错误的有( )．①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①×公共点与公共端点不同②√具备角的两个基本元素③×角的大小不因为两边的长短而改变④×角的两边是射线答案：C2．角的表示方法及画法角的表示方法有四种．(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．释疑点表示角时的注意事项①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O 为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC ，就不能用∠O 来表示了．否则，就会产生混乱．3．平角、周角(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，如图1.(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等于360°.(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．【例3】 下列说法是否正确，为什么？①平角是一条直线；②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．分析：可根据平角和周角的形成定义判断．解：①错．因为平角是一条射线绕着它的端点旋转到反方向位置时形成的图形，平角有顶点、边这些基本元素，而直线没有，故是错误的；②正确．因为分针经过1小时会旋转一周，所以分针经过1小时会回到初始位置，即能形成一个周角．4．度、分、秒的换算(1)角的单位及意义角的单位是度、分、秒．意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.(2)度、分、秒的进率及换算方法度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.度6060⨯÷分6060⨯÷秒(3)度、分、秒有关的计算度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的60.在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位．【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________；(2)用度表示23°9′36″为__________．解析：(1)先把0.13°化成分：60′×0.13＝7.8′，再把0.8′化成秒：60″×0.8＝48″，所以48.13°＝48°7′48″；(2)先把36″化成分：⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，再把9.6′化成度：⎝⎛⎭⎫160°×9.6＝0.16°，所以23°9′36″＝23.16°.答案：(1)48°7′48″ (2)23.16°【例4－2】 计算：(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″；(3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.分析：先将相同单位相加减，注意进位和借位；乘法要先乘低位，再乘高位；除法是先除高位，高位余数换算成低位数后，再除低位．解：(1)13°29′＋78°37″＝91°29′37″.(2)61°39′－22°5′32″＝61°38′60″－22°5′32″＝39°33′28″.(3)23°53′×3＝69°159′＝71°39′.(4)107°43′÷5＝(105°＋2°43′)÷5＝105°÷5＋163′÷5＝21°＋(160′＋180″)÷5＝21°＋160′÷5＋180″÷5＝21°32′36″.5.角的计数方法数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……【例5】如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．分析：要确定有多少个角，需要先确定始边与终边的条数．可以用始边计数法数角的个数．即先以OA为始边，则能与它组成角的边有3条，就有3个角；再以OB为始边，按逆时针数出角的个数，依次类推．解：以OA为一边的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD；以OB为一边且不重复的角有∠BOC，∠BOD；以OC为一边且不重复的角有∠COD.因此图中共有6个角，它们分别为：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD.6．角的应用角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.时针与分针的夹角的求法：先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数．特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50.②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加．③时针每分钟转30°÷60＝0.5°.【例6】如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．分析：确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数，需要先确定时针与分针形成的角中包含几个大格和小格．0°解：新闻30分：0°；今日说法：30°×5＋35×0.5°＝167.5°；电视剧：30°×4＝120°.。
《角》典型例题例1 指出下面角的表示方法是否正确，错误的改正过来。
（1）如图①中的角可以表示为ABC∠；（2）如图②中的BAC∠可以表示为A∠。
例2 如图，用量角器度量三角形的三个角，并指出哪个角是钝角。
例3 计算：（1）0.12°＝（）′ （2）24′36″＝（）°例4如图，在海岸上有A、B两个观测站，B观测站与A观测站的距离是2.5km，某天，A观测站观测到有一条船在南偏东50°方向，在同一时刻，B观测站观测到该船在南偏东74°方向．（1）请根据以上情况画出船的位置．（2）计算船到B观测站的距离（画图时用1cm表示1km）例5 如图：（1）以B为顶点的角有几个：把它们表示出来；（2）指出以射线BA为边的角；（3）以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别表示出来。
例6 填空题（1）;______638128︒='''︒（2）=''0451 '''︒；（3）＝︒26.78 '''︒；（4）︒120=________平角=_______周角。
例7 求时钟表面3点25分时，时针与分针所夹角的度数.参考答案例1 分析 （1）中角顶点的字母没有写在中间，（2）中用A ∠表示，就很难分清是表示三个角中的哪个角。
解 （1）错，应表示为BAC ∠；（2）错，它能用BAC ∠或α∠表示。
说明：（1）表示角时顶点字母必须写在中间；（2）用顶点一个字母去表示角时，必须分清楚表示的是哪个角。
例 2 分析 度量时应注意把量角器中角的顶点和所要度量的角的顶点重合，把量角器的“0”点落在被量角的一边上，使被量角的另一边和量角器都在被量角这一边的同侧，这时被量角的另一边所对的刻度就是这个角的度数。
解 经度量︒=∠140A 是钝角；︒=∠︒=∠15,25C B 。
说明：学生所用的一般量角器只精确到度，有时要根据观察来确定角的近似值。
4.3 角一、学科内综合题:(6分)1.如图,写出: (1)能用一个字母表示的角. (2)以B为顶点的角.(3)图中共有几个小于平角的角?二、学科间综合题:(6分)2.某货轮从A港出发,先沿东北方向(北偏东45°)行驶50km,再沿北偏西30 °方向行驶35km,然后沿南偏西47°方向行驶35km,到达目的地,问目的地在A港什么方向?三、应用题:(6分)3.小亮利用星期天搞社会实践活动,早晨8:00出发,中午12:30到家,问小亮出发时和到家时时针和分针的夹角各为多少度?四、创新题:(12分)(1)180°-46°42′; (2)28°36′+72°24′; (3)50°24′×3; (4)49°28′52″÷4.五、中考题:(共10分)5.判断题:(1)由两条射线组成的图形叫做角.( )(2)平角是一条直线.( )6. 57.3°=______度______分.7.在时刻8:30,时钟上的时针和分针之间的夹角是( )A.85°B.75°C.70°D.60°47︒73︒30︒45︒D C A B 参考答案一、1.(1)∠A,∠C,(2)∠ABE,∠ABC,∠EBC(3)共有7个小于平角的,分别是:以A 为顶点是∠A,以B 为顶点是∠ABE,∠ABC,∠EBC,以C 为顶点是∠C,以E 为顶点是∠AEB,∠CEB. 二、2.解:如答图,D 点为目的地 D 点在A 港的北偏西11°.三、3.8:00 时针与分针夹角为4大格4×30°=120°12:30 时针与分针夹角为5.5大格5.5×30°=165°四、4.(1)180°-46°42′=179°60′-46°42′=133°18′;(2)28°36′+72°24′=100°60′=101°;(3)50°24′×3=150°72′=151°12′;(4)49°28′52″÷4=12°22′13″.五、5.(1)× (2)×6.57°18′7.B。
