沪教版数学初二向量与概率复习

--------概率初步(★★)1、理解随机事件的定义，概率的定义；2、会用列举法求随机事件的概率；利用频率估计概率（试验概率）；3、体会随机观念和概率思想，逐步学习利用列举法分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。

重难点：1．计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树形图法）。

2．利用频率估计概率（试验概率）。

知识结构1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<12．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：①理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算。

②实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算。

要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率。

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算。

如，利用计算器产生随机数来模拟实验。

综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率。

这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算。

【知识要点1】确定事件和随机事件在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件（certain event）例如：地球绕太阳公转.在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件（impossible event）例如：有人把石头孵出了小鸡.必然事件和不可能事件统称为确定事件.而在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件（random event），也称为不确定事件，例如过马路时恰好遇到红灯.【习题精选】1．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？①在十进制中1+1=2 ；②1+2>3；③在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有4张A；④10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只；⑤平面上任何一个三角形的三个内角和都是180度；⑥明天太阳从西边出来.2．判断下列说法是否正确①“从地面往上抛的硬币会落下”是随机事件；（）②“软木塞沉到水底”是不可能事件；（）③“买一张彩票中大奖”是必然事件；（）④“明天会下雨”是随机事件. （）【思维误区】本知识在理解和运用中常见的错误是没有正确理解确定事件的概念，忽略不可能事件也是确定事件。

初二（下）期末复习（四）向量与概率班级：__________姓名：__________ 学号：__________ 成绩：__________ 【向量】一、填空题1．我们把既有______又有______的量叫做______，例如_________________．2．具有方向的线段叫做_______________．3．向量的三个要素是______，______，______．4．向量AB 的大小（长度）叫做______，记作______．5．零向量的模为______，方向______．6．_________________的向量叫做平行向量；_________________的向量叫做相等向量；_________________的向量叫做相反向量．7．如图，已知ABCD ，设AB a =，AD b =．用a 和b 来表示BC =______，CA =_______．8．化简下列各式：（1）AB CA +=______；（2）AB BC CD ++=______；（3）AB CA BC ++=______；（4）AB BC BA ++=______．9．如图，在ABCD 中，设AB a =，AD b =，用a 和b 来表示AC =_________，DB =_________．10．（1）NQ QP MN MP ++-=______；（2）()()AB CD AC BD ---=______．11．命题“如果||||a b =，那么a b =”是______命题．（填“真”或“假”）．12．如图，在等边ABC △中，D 、E 、F 分别为各边的中点，则与ED 相反的向量有_____________________．13．在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB DC =，则四边形ABCD 是___________形．14．一般船从点A 出发以23km/h 的速度向垂直与对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h ，则河水流速的大小为______．1．下列命题中错误的是（ ）A ．向量AB 与BA 是两个平行向量B ．若a 与b 都是模长为1的向量，则a b =C ．AB DC =，则ABCD 四点构成平行四边形D ．两向量相等的条件是它们的方向和大小必须相同2．设O 是等边ABC △的中心，则向量OA 、OB 、OC 是（ ）A ．平行向量B ．有相同起点的向量C ．相等向量D ．模相等的向量3．向量加法运算满足下列运算律：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③分配律：()a b c ab ac +=+．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③4．如图，已知在ABCD 中，AC BD =，要使四边形ABCD 成为正方形，需要添加的条件是（ ）A ．AB BC =B ．AO OD DA ==C ．||||AC BD =D ．||||AD AB = 5．如上题图，已知在ABCD ，AC BD =，30ABD ∠=︒，则下列式子中成立的是（ ） A ．12AD DB =B ．1||||2AD AC = C ．AB CD = D ．AO DO =6．下列等式中一定能成立的是（ ）A ．AB AC BC +=B ．AB AC BC -= C ．AB AC CB +=D ．AB AC CB -=7．化简OP QP PS SP -++的结果等于（ ）A ．QPB ．OQC ．SPD ．SQ1．如图，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b +、c d -、b c -．2．如图，D 、E 在线段BC 上，且BD EC =．求证：AB AC AD AE +=+．【概率】一、填空题1．在___________下必定会出现的现象叫______事件；在___________下必定不会出现的现象叫做______事件。

§23.3概率的含义（一）教学目标通过本节课的学习，掌握和理解概率定义和学会简单的计算，帮助学生感受到数学与现实生活的联系，提高用数学知识来解决实际问题的能力以及培养学生勇于探索和交流合作的精神教学重、难点通过回顾和实验,引出概率的定义和体会某一概率值的含义教学过程一复习回顾、情景引入（一）、口答题：下列事件是什么事件？1、太阳从东边升起。

2、买一张彩票中了一等奖。

3、买一张彩票没有中一等奖。

4、鸡蛋里孵出一只小鸭子。

（二）、情景题1本市明天阴有时有阵雨，最高温度20℃，最低温度12℃.（收音机）2 本市明天阴转阵雨，降水概率80%，最高温度20℃，最低温度12℃.（电视机）比较两则天气预报，找出异同点引入课题：事件的概率二 .归纳定义1、概率的定义：用来表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率2、概率的表示形式有：百分数、纯小数、真分数3、提问：上述事件是什么事件？随机事件 0＜概率＜1必然事件概率=1不可能事件概率=04、用线段图表示通过口答练习，复习回顾三种事件，为新课做好事前准备。

通过观察、分析。

找出两则天气预报的共同点和不同点。

并对不同之处进行分析，探究。

通过具体的简单实验，得到概率的定义，学生对事件的描述经历了从模糊到精确的探索过程，并且用式子和线段图来形象、直观的描述各种事件的概率情况，加深对知识的理解和掌握5、为了叙述方便，我们可用大写的英文字母表示事件。

用P表示时间的概率例如事件A：掷一枚硬币，正面朝上的概率P(A)=50%6、若用V表示不可能事件，U表示必然事件，则P(U)=0 P(V)=1随机事件B的概率为0＜P（B）＜1三 .从学过的实验频率初步体会概率含义⑴.合作试验：1、4张不同花色的牌（方块、黑桃、梅花、红桃）各一张混合在一起，从中任意摸出一张牌，探究各种花色的概率。

（事件A；表示摸到方块。

事件B；表示摸到黑桃。

事件C；表示摸到梅花。

事件D；表示摸到红桃。

概率应用举例教案教学目标：复习概率一章中的基本计算方法，令学生对于概率在生活中的运用有直观认识，初步接触乘法原理和组合方法在概率问题中的应用。

教学重点：如何建立合适的数学模型解决实际生活中的概率问题。

大数据的列式与计算。

教学难点：较复杂问题的计算和模型建立。

对于公式n k P =的理解和运用。

乘法原理、排列组合在概率问题中的应用。

教学过程：生活中其实到处都有概率的影子，小到出门是否带伞，收衣服袜子是否成对；大到保险公司、电力公司的运营，乃至整个政府未来的规划，都和概率有关。

今天我们在一些实例中进一步地研究一些生活中的概率问题。

问题1：取数问题<初步引入乘法原理>☐ 从1到4中可重复地任取2个数，第一个比第二个数大2的概率是多少？☐ 从1到4中可重复地任取2个数，两数之差不等于2的概率是多少？两个问题均由学生解答。

第一题：n kP =25.0164==。

学生口答方法，教师画树状图解答。

第二题有2种解法。

其一，仍然利用前一小问的树状图可得P ’=0.5，其二，利用前一小题的结论。

除了P ’=1-2×0.25=0.5。

两种解法均可以得到答案，但是第二种解法中利用两个对立事件概率和为1的结论，可以解决不少之后的问题。

问题2：生日问题每位同学都知道自己的生日，那么在日常生活中，是不是经常会遇到和自己生日相同的人呢？如果不是，那么你知道身边的同学有多少是生日相同的呢？引出下面问题。

400个同学中,一定有两个同学的生日相同(可以不同年)吗?为什么?引导学生利用抽屉原理进行解答。

视400人为400个苹果，366种生日情况为366个抽屉，则本问题可以理解为将400个苹果放入366个抽屉，必有一个抽屉里面有2个苹果。

所以这是一个必然事件。

67个同学中, 有两个同学的生日相同.”这个事件发生的概率高不高？请你猜猜看，概率大约是多少。

【注：从本题开始，为了接下来计算方便，认为一年是365天。

】本题请同学们猜测此事件发生的概率。

ab--------平面向量 (★★)（1）通过实例，了解平面向量的实际背景。

（2）理解平面向量和向量模的含义，理解向量的几何表示。

(3) 掌握相等向量、相反向量、平行向量的区别及联系，零向量的特殊性。

知识结构向量的基本概念： 1：有向线段（1）具有方向的线段叫做有向线段，通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB（2）有向线段的三要素：起点、方向、长度 2：向量的概念（1）向量：既有大小，又有方向的量. （2）数量：只有大小，没有方向的量.注：数量是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小的双重性，不能比较大小. 3：向量的表示方法（1）图形表示：用有向线段表示 如：（2）符号表示：用字母a ，b 等表示；或用有向线段的起点与终点字母表示，如AB（3）向量AB 、a 的大小（长度）称为向量的模，记作||||AB a ，4：零向量的概念（1）长度为0的向量叫做零向量，记作0，0的方向是任意的，即：00＝． （2）注意0与0的区别，零向量0是向量，故零向量既有大小，又有方向的量．5：平行向量（1）方向相同或相反的向量叫做平行向量.（只要方向相同或相反，与长度无关）. （2）我们规定0与任意向量平行．a注意：（a）综合上面两点才是平行向量的完整定义；（b）向量a，b，c平行，记作a∥b∥c5：相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.（说明：既要考虑方向，又要考虑长度）.说明：（1）向量a与b相等，记作：a＝b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示也可以用两条方向相同大小相等的有向线段表示，并且与有向线段的起点无关6：相反向量长度相等且方向相同的向量叫相反向量.（说明：既要考虑方向，又要考虑长度）.说明：（1）长度相等；（2）方向相反、两者缺一不可区别及联系：相等向量、相反向量、平行向量（比较见下图）；相等向量相反向量平行向量方向相同相反相同或相反大小相等相等无关例1：下列各量中，不是向量的是（）A．浮力 B．风速 C．位移 D．密度解题分析：向量既有大小又有方向，根据物理知识得A、B、C三个物理量都是既有方向又有大小的量，故排除A、B、C，选D.答案：D.例2. 四边形ABCD中，若向量AB与CD是平行向量，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.梯形C.平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形解题分析：注意平行向量与相等相反向量之间的区别，相等向量：既要大小相等又要方向相同；相反向量：大小相等方向相反；平行向量：只要方向相同或相反即可，根据题意平行四边形或梯形都满足梯形，故选C.答案:C.例3. 下列说法中错误．．的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 解题分析：注意零向量长度为0，方向是任意的. 答案：A.例4.如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，ABED 是平行四边形.下列结论中正确的是（ ） A.AD 与EB 是相等的向量； B.AB DC =； C ．AD 与EB 不是平行向量； D.AB ED CD ==解题分析：A 选项AD 与EB 是相反向量，B 选项||||AB DC =，C 选项AD 与EB 是平行向量 答案：D.例5.设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL =NM . 答案：略1.下列命题中，错误的是（ ）A ．向量AB 与BA 是两个平行向量 B ．若a 、b 都是模长为1的向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的条件是它们的方向和大小必须相同 2.设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是( ) A. a 与b 的长度必相等 B. a ∥b C. a 与b 一定不相等D. a 是b 的相反向量3. 命题“既有大小又有方向的量是向量”的逆命题是 ，它是 命题.（填“真”、“假”）DAC4. 命题“如果a b =，那么a b =”是 命题.（填“真”、“假”）5.把平面上所有模长为2的向量起点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是 。

概率计算举例【教学目标】1．学会通过度量计算事件的概率。

2．经历对图形的分析和研究的过程，培养思维的条理性，提高利用数形结合解决问题的能力。

3．通过自主探究、合作交流激发学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性。

【教学重难点】分析和研究图形计算事件的概率。

画图形来计算事件的概率，培养学生思维的条理性。

【教学过程】一、情景引入1．思考：当陨石落到地球上时，是落在陆地的可能性大，还是落入海洋的可能性大？试试利用概率的意义说明。

生活中有些可能性的大小与长度、面积或体积等有关，相关的概率问题可以通过有关度量计算来解决；还有些概率问题可以利用图形来进行分析和研究，把问题转化再解决。

二、学习新课例题1：将圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图所示，任意转动转盘，停止后指针落在每个扇行内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）。

求指针分别落在“红色”、“黄色”、“绿色”扇形内的概率。

解：根据扇形圆心角相同，可以知道，转盘停止时，指针所在的扇形有8个等可能的结果。

设事件A ：“指针落在红色区域内”；事件B ：“指针落在黄色区域内”；事件C ：“指针落在绿色区域内”。

事件A 包含其中的1个结果，得P （A ）＝81。

事件B 包含其中的3个结果，得P （B ）＝83。

事件C 包含其中的4个结果，得P （C ）＝21例题2：如图，转盘A 等分为三个扇形，号码为①、②、③；转盘B 分为两个扇形（即半圆），号码为①、②。

甲乙两位同学想这样玩游戏：甲任意转动A 盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转动B 盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）。

如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如果两号码的积为偶数，那么乙胜。

判断这个游戏是否公平，如果不公平，请设计一个公平的游戏规则。

解：用树形图展示一次游戏的所有等可能的结果，如图所示，共有6个等可能的结果：（①①）、（①②）、（②①）、（②②）、（③①）、（③②）假设事件D ：“两号码之积为奇数”；事件E ：“两号码之积为偶数”。

向量1、有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段。

有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向。

“有向线段AB ”以A 为起点、B 为中点，用符号表示为“AB ”。

2、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。

向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）。

向量可以用有向线段表示，有向线段的长度就是表示向量的长度，有向线段的方向就表示向量的方向。

也可以说，有向线段是向量的几何直观表示。

如果有向线段AB 表示一个向量，通常就直接说向量AB 。

这个向量的长度记作AB ，它是一个数量。

向量除了如上面的符号表示外，还可用一个小写的粗体英文字母表示，如a 、b 、c 、…；也可以在字母上方加箭头表示，如a 、b 、c 、…。

向量a 的长度记作a 。

方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。

方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。

方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。

向量的运算：1、向量的加法：一般地，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。

这样的规定叫做向量加法的三角形法则。

一般地，把长度为零的向量叫做零向量，记作0。

规定0的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=。

()0a a +-=，0a a +=，0a a +=。

向量加法满足交换律：a b b a +=+。

向量加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++。

第七讲向量与概率2、向量的减法：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量。

这样的规定叫做向量减法的三角形法则。

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。

()-=+-。

a b a b3、向量的平行四边形法则：如果a、b是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与a、b相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a与b的和向量。