最新届高考数学立体几何(理科)专题01-线面角

2018届高考数学立体几何（理科）专题01 线面角1．如图,等腰梯形ABCD 中, //AB CD , DE AB ⊥于E , CF AB ⊥于F ,且2AE BF EF ===,2DE CF ==,将AED V 和BFC V 分别沿DE CF 、折起,使A B 、两点重合,记为点M ,得到一个四棱锥M CDEF -,点,,G N H 分别是,,MC MD EF 的中点.（Ⅰ）求证: //GH 平面DEM ; （Ⅱ）求证: EM CN ⊥;（Ⅲ）求直线GH 与平面NFC 所成的角的大小.2．如图,在直角梯形ABCP中,1,,22CP AB CP CB AB BC CP⊥===P, D是CP的中点,将PADV沿AD折起,使得PD CD⊥.（Ⅰ）若E是PC的中点,求证: AP P平面BDE; （Ⅱ）求证:平面PCD⊥平面ABCD;（Ⅲ）求二面角A PB C--的大小.3．如图，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =， E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起， D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .（Ⅰ）求证： 'AD EB ⊥； （Ⅱ）求二面角'A BD E --的大小.4．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝22，BC＝42，PA＝2.(1)求证：AB⊥PC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M­AC­D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．5．如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）M 为AB 中点，在线段CB 上是否存在一点P ，使得//MP 平面1CNB ？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）求二面角11C NB C --的余弦值.2018届高考数学立体几何（理科）专题01 线面角（教师版）1．如图,等腰梯形ABCD 中, //AB CD , DE AB ⊥于E , CF AB ⊥于F ,且2AE BF EF ===, 2DE CF ==,将AED V 和BFC V 分别沿DE CF 、折起,使A B 、两点重合,记为点M ,得到一个四棱锥M CDEF -,点,,G N H 分别是,,MC MD EF 的中点.（Ⅰ）求证: //GH 平面DEM ; （Ⅱ）求证: EM CN ⊥;（Ⅲ）求直线GH 与平面NFC 所成的角的大小. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）π4试题解析：证明:（Ⅰ）连结,NG EN ,因为,N G 分别是,MD MC 的中点,所以1//,2NG CD NG CD =, 因为H 是EF 的中点, //EF CD , EF CD =,所以1//,2EH CD EH CD =,所以//,NG EH NG EH =, 所以四边形ENGH 是平行四边形,所以//GH EN ,又GH ⊄平面DEM , EN ⊂平面DEM ,所以//GH 平面DEM .以H 为原点,以,,HM HF HP 为坐标轴建立空间直角坐标系, 则()()()310,1,0,3,0,0,0,1,2,,,12E MC N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以()333,1,0,,,12EM NC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v u u u v ,所以333101032EM NC⎛⎫⋅=⨯-+⨯+⨯=⎪⎪⎝⎭u u u u v u u u v,所以EM NC⊥.解:（Ⅲ）()()310,1,0,0,0,0,,,132F H G⎛⎫⎪⎪⎝⎭,所以()3133,,1,0,0,2,,,13232HG PC NC⎛⎫⎛⎫===-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v,所以2cos,2n HGn HGn HG⋅==⋅u u u vvu u u vvu u u vv,所以直线GH与平面NFC所成角的正弦值为22,所以直线GH与平面NFC所成角为π4.2．如图,在直角梯形ABCP中,1,,22CP AB CP CB AB BC CP⊥===P, D是CP的中点,将PADV沿AD折起,使得PD CD⊥.（Ⅰ）若E是PC的中点,求证: AP P平面BDE;（Ⅱ）求证:平面PCD⊥平面ABCD;（Ⅲ）求二面角A PB C--的大小.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）23π（Ⅱ）由已知可得,,AD PD AD CD⊥⊥又因为,,PD CD D PD CD⋂=⊂平面,PCD所以AD⊥平面,PCD因为AD⊂平面,ABCD所以平面PCD⊥平面.ABCD解:（Ⅲ）由（Ⅱ）知, AD⊥平面,PCD所以AD PD⊥,又因为,,PD CD AD CD D⊥⋂=所以PD⊥平面.ABCD 所以以D为原点,以,,DA DC DP所在的直线分别为x轴, y轴, z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz-,所以()2,0,2AP =-u u u v ,()0,2,0AB =u u u v ,()()2,0,0,0,2,2BC PC =-=-u u u v u u u v .设平面APB 的法向量为(),,m x y z =v, 所以0,{ 0.m AP m AB ⋅=⋅=u u uv v u u u v v 即20,{220.y x z =-+=令1x =,解得()1,0,1m =v. 设平面PBC 的法向量为(),,n a b c =v ,所以0,{0.n CP n BC ⋅=⋅=u u u v v u u u v v 即220,{ 20.b c a -=-=令1b =,解得()0,1,1n =v. 所以1001111cos ,222n m ⨯+⨯+⨯〈〉==⋅v v. 由图可知,二面角A PB C --为钝角,所以二面角A PB C --的大小为23π. 3．如图，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起， D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE . （Ⅰ）求证： 'AD EB ⊥；（Ⅱ）求二面角'A BD E --的大小.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 90o .试题解析：（Ⅰ）证明：∵AE BE 22==， AB 4=，∴222AB AE BE =+，∴AE EB ⊥，取AE 的中点M ，连结MD '，则AD D E 2MD AE ''==⇒⊥，∵ 平面D AE '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥ BE ，从而EB ⊥平面AD E '，∴AD EB '⊥ （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设()2n x y z =u u v，，为平面BD E '的法向量，则22n BE 220{ n BD'320x y x y z ⋅=-=⇒⋅=-+=u u v u u u vu u v u u u v可以取2n (1,12=-u u v ，） 因此， 12n n 0⋅=u u v u u v ，有12n n ⊥u u v u u v ，即平面ABD ' ⊥平面BD E '，故二面角A BD E -'-的大小为90o.4．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M­AC­D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）26【解析】所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC.(2)存在，理由如下：取BC的中点E，则AE⊥BC，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)， P(0，0,2)，B (2，－2，0)，＝(0,2，－2)，＝(2，2，0)．设＝t (0＜t＜1)，则点M的坐标为(0,2t ，2－2t)，所以＝(0,2t,2－2t)．设平面MAC的法向量是n＝(x ，y ，z)，则即令x＝1，得y＝－1，z＝，则n＝.又m＝(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，5．如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）见解析．（Ⅱ）．（Ⅲ）．【解析】试题分析：第一问根据等腰三角形的特征，可以得出，再结合面面垂直的性质定理，可以得出平面，再根据线面垂直的性质，可以得出以，之后根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出结果；第二问根据题中的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得结果；第三问关于是否存在类问题，都是假设其存在，结合向量所成角的余弦值求得结果.所以平面，所以．（Ⅱ）取的中点，连接，所以．由（Ⅰ）得，．如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则即令，则，，所以．设直线和平面所成的角为，则．所以 直线和平面所成角的正弦值为．所以．令， 整理得．解得，舍去．所以 线段上存在点适合题意，且．6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）M 为AB 中点，在线段CB 上是否存在一点P ，使得//MP 平面1CNB ？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）求二面角11C NB C --的余弦值.【答案】（1）存在1BP =；（2）3.()()()()()()114,0,00,0,00,0,44,4,00,8,00,8,4A B C N B C 、、、、、.（1）设平面1CNB 的法向量(),,n x y z =v ，∵()()14,4,4,4,4,0NC NB =--=-u u u v u u u u v ，∴1·4440{ ·440NC n x y z NB n x y =--+==-+=u u u v v u u u u v v ，∴令1x =，可解得平面1CNB 的一个法向量()1,1,2n =v，设()()0,0,04P a a ≤≤，由于()2,0,0M ，则()2,0,PM a =-u u u u v ，又∵//MP 平面1CNB ，∴·220PM n a =-=u u u u v v ，即1a =，∴在线段CB 上存在一点P ，使得//MP 平面1CNB ，此时1BP =；∴令1x =，可解得平面11C NB 的一个法向量()1,1,0m =v ，∴·3cos ,·36?2m n m n m n ===v v v v v v . 由图可知，所求二面角为锐角，即二面角11C NB C --余弦值为33.。