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高三数学一轮复习 立体几何系列之线面角（直线与平面夹角）教学目标（1）掌握直线与平面夹角的几种求法； （2）掌握线面角问题的综合应用。
知识梳理直线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和平面所成的角。
规定：（1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；（2）一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是︒0角。
线面角的范围是[0，2π] 作法：作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影。
典例精讲例1.（★★★）在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠AB C=90°, A B=BC=1. (1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小； (2)若直线A 1C 与平面ABC 所成角为45°, 求三棱锥A 1-ABC 的体积.【答案】：（1）因为11BC B C P ，所以∠BCA （或其补角）即为异面直线11B C 与AC 所成角∠AB C=90°, A B=BC=1，所以4BCA π∠=，即异面直线11B C 与AC 所成角大小为4π。
（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，1A A ABC ⊥平面，所以1A CA ∠即为直线A 1C 与平面ABC 所成角，所以14ACA π∠=。
Rt ABC ∆中，AB=BC=1得到AC =，1Rt AA C ∆中，得到1AA AC =所以1136ABC ABC S AA -==V 1A V 例2.（★★★）在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，（如图）E 是棱11D C 的中点，F 是侧面D D AA 11的中心．（1） 求三棱锥EF D A 11-的体积；（2） 求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小．（结果用反三角函数表示） 【答案】：（1）3111311111=⋅⋅==--F D A E EF D A V V ． （2）取11D A 的中点G ，所求的角的大小等于GEF ∠的大小，GEF Rt ∆中22tan =∠GEF ，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是22arctan ． 课堂检测1.（★★★）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】：过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF . ∵ EF ⊥平面ABCD ，ABCD A 1B 1C 1FED 1∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角 由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴= ∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF EDF DF ∠== 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan2.（★★★）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且2PD =．（1） 若点E 、F 分别在棱PB 、AD 上，且4PE EB =u u u r u u u r ，4DF FA =u u u r u u u r，求证：EF ⊥平面PBC ；（2） 若点G 在线段PA 上，且三棱锥G PBC -的体积为14，试求线段PG 的长．【答案】：（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向建立空间直角坐标系．则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2P ，因为4PE EB =u u u r u u u r ，4DF FA =u u u r u u u r ，所以4,0,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，442,,555E ⎛⎫⎪⎝⎭，则420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，()1,0,0BC =-u u ur ，()1,1,2PB =--u u u r ．0EF BC ⋅=u u u r u u u r ，0EF PB ⋅=u u u r u u u r，即EF 垂直于平面PBC 中两条相交直线，所以EF ⊥平面PBC ．（2）()1,0,2PA =-u u u r ，可设()01PG PA λλ=≤≤u u u r u u u r，所以向量PG uuu r的坐标为(),0,2λλ-，平面PBC 的法向量为420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ．点G 到平面PCE的距离4PG EFd EFλ⋅===u u u r u u u r u u u r． PBC ∆中，1BC =，PC =，PB =PBC S ∆=． 三棱锥G PBC -的体积11133234PBC V S d λ∆=⋅===，所以34λ=．此时向量PG uuu r 的坐标为33,0,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，PG =u u u r PG回顾总结。
空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是（0,］。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动2直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是［0,—］。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
2具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
也是简称为"作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若B为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角,则有；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为BAD CAD )2.1确定点的射影位置有以下几种方法:①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上;②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC在一个平面内,PN AC,PM AB,且PN= PM （就是点P到角两边的距离相等）过P作PO （说明点O为P点在面内的射影）求证：OAN= OAM（OAN= OAM，所以AO为BAC的角平分线，所以点O会在BAC的角平分线上）证明：Q PA =PA , PN = PMPNA= PMA=90PNA PMA （斜边直角边定理）AN =AMPONO MO （斜线长相等推射影长相等）PN =PMAN = AMAO= AOAMO ANO NAO= MAO 所以，点P 在面的射影为 BAC 的角平分OM = ON线上。
线面角的求法总结线面角是立体几何中的一个重要概念，指的是直线与平面之间的夹角。
在实际问题中，线面角的求法有多种方法，包括正投影法、平行线交线法、倾斜线投影法等。
下面将从这些不同的求法角度，总结线面角的求法方法。
一、正投影法正投影法是线面角的一种常用求法方法。
具体的求法步骤是：首先，以直线上的两点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，将平面上的两个点投影到这两条垂直线上。
然后，连接两个投影点与基点，即可得到线面角。
简单来说，就是将线段的两个端点在平面上做垂线，再连接垂线与线段的两个端点所构成的三角形。
二、平行线交线法平行线交线法是另一种求解线面角的常用方法。
它适用于直线与平面的交点在平行线上的情况。
具体的求法步骤是：首先，找到平行于直线的两条线，并找出这两条线与交线的交点。
然后，以这两个交点为基点，分别作两条直线与交线相交，再连接交线两个端点与这两个交点，即可得到线面角。
简单来说，就是在平行线上找到与线段相交的两条线，将线段的两个端点与两个交点连线所构成的三角形。
三、倾斜线投影法倾斜线投影法是应用于倾斜线与平面的角的求法方法。
具体的求法步骤是：首先，判断倾斜线是否与平面相交，如果相交，则找到交点。
然后，以交点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，并将交点投影到这两条垂直线上。
最后，连接两个投影点与交点，即可得到线面角。
简单来说，就是将倾斜线段的一个端点与交点连线，再以交点为顶点做一个角的投影。
四、线面角的特殊情况求解除了以上常用的求解线面角的方法外，还有一些特殊情况需要考虑。
例如，如果线段与平面平行，则线面角为无穷大；如果线段垂直于平面，则线面角为直角，即90度；如果线段在平面上，则线面角为0度。
这些特殊情况可以根据实际问题的需要灵活运用，以求解线面角。
总之，线面角的求法有多种方法，根据具体的问题和实际情况选择合适的方法进行求解。
正投影法、平行线交线法和倾斜线投影法是常用的求解方法，可以满足大多数情况下的求解需要。
新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析深圳市第二实验学校 李平作者简介李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。
深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。
在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。
主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。
摘 要 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力.关键词 线面角 空间角 平移法 等体积法 空间向量方法线面角——直线和平面所成的角1．定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条斜线和这个平面所成的角.若直线l ⊥平面α, 则l 与α所成角为90︒;若直线l //平面α或直线l ⊂平面α, 则l 与α所成角为0︒.2．线面角的范围: [0]2π，. 3．线面角的求法：(1)定义法(垂线法)．(2)虚拟法(等体积法).(3)平移法．(4)向量法.线面角是立体几何中的一个重要概念, 它是空间图形的一个突出的量化指标, 是空间位置关系的具体体现, 是培养学生逻辑推理能力, 树立空间观念的重要途径, 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中.求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤, 并多以棱锥与棱柱作为考查的载体. 求解线面角的方法主要有两种: 一是利用传统几何方法; 二是利用空间向量方法.总之, 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解, 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力.本作者试就这一热点作一比较系统的归类与分析.希望对同学们进行有针对性的训练和复习有一定的帮助.例题分析(1) 定义法(垂线法): 斜线与它在平面内的射影所成的角, 即为线面角；解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角，在某一直角三角形内求解．例1[2011·天津卷] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明PB ∥平面ACM ；(2)证明AD ⊥平面PAC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．证明：(1)连接BD ，MO.在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO.因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM.(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC.又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD.而AC∩PO＝O ，所以AD ⊥平面PAC.(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN.因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，∴∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝.从而AN ＝DO ＝.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.【点评】 求线面角, 解题时要明确线面角的范围, 利用转化思想, 将其转化为一个平面内的角, 通过解三角形来解决. 求解的关键是作出垂线,即从斜线上选取异于斜足的一点作平面的垂线. 有时也可采用间接法和空间向量法, 借助公式直接求解.(2)虚拟法(等体积法)：线面角的求法还可以不用做出平面角．可求出线上某点到平面的距离d ，利用sin d ABα=可求. 即先运用等积法求点到平面的距离，后虚拟直角三角形求解.例2．[2011·全国卷] 如图，四棱锥S ABCD -中， //AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．（I ） 证明：SD ⊥平面SAB ；（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．（I ）证明：取AB 的中点E ，连接DE ，DB ，//AB CD ，2AB =，1CD =，BC CD ⊥.∴//BE CD ，1BE CD ==，90BCD ∠=︒.∴ 四边形BCDE 是矩形．∴DE AB ⊥,2DE BC ==.又∵1SD AE ==,2DE SA ==,AD AD =.∴ SAD ADE ∆≅∆．∵ 90AED ∠=︒, ∴ 90DSA ∠=︒，即SD SA ⊥.同理可证: SD SB ⊥, 又∵SA SB S =, ∴SD ⊥平面SAB .（II ）解: 线面角的求法还可以不用作出平面角,可求出线上某点到平面的距离d ,利用sin d ABα=可求,故只需求点A 到面SBC 的距离d 即可. 由等积转化思想可知，A SBC S ABC V V --= ① ， D SAB S ABD V V --= ② .设点A 到面SBC 的距离为d ,点S 到面ABCD 的距离为h .由（I ）问可知, SD ⊥平面SAB , ∴13D SAB SAB V SD S -∆=⋅⋅ .又∵1sin 602SAB S SA SB ∆=⋅⋅⋅︒=1122222ABD S DE AB ∆=⋅⋅=⋅⋅=. 由②式可知, 1133SAB ABD SD S h S ∆∆⋅⋅=⋅⋅ ,即111233h ⋅=⋅⋅, h = . 又∵SD ⊥平面SAB , ∴SD AB ⊥, 又∵//AB CD , ∴SD CD ⊥.∴ 22222112SC SD DC =+=+=, 又知2SB BC ==,∴ 222222223cos 22224SB BC SC SBC SB BC +-+-∠===⋅⋅⋅⋅, ∴sin SBC ∠=.∴ 11sin 2222SBC S SB BC SBC ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅=又∵ 1122222ABC S BC AB ∆=⋅⋅=⋅⋅=. 由①式可知, 1133SBC ABC d S h S ∆∆⋅⋅=⋅⋅ ,即1123232d ⋅⋅=⋅, 7d = . 由sin d AB α=可得, 7sin 27d AB α===. 【点评】 以上解法主要运用三角形全等和等积转化的思想，思路自然，属常规通法，是高三学生应熟练掌握的基本思想和方法．(3)平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角，也可平移平面．例3．[2010·山东卷] 如图，在五棱锥P-ABCDE 中，⊥PA 平面ABCDE ，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，4524ABC AB BC AE ∠====，，三角形PAB 是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．解：（Ⅰ）证明：因为∠ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在ABC ∆中，由余弦定理得： 222AC +4-24cos45=8⨯， 解得222AB +AC =8+8=16=BC ，即AB AC ⊥，又PA⊥平面ABCDE ，所以PA⊥AB ，又PA AC A ⋂=，所以AB AC ⊥平面P ，又AB∥CD，所以AC CD ⊥平面P ，又因为CD CD ⊂平面P ，所以平面PCD⊥平面D CBAEP。
立体几何点、线、面知识点总结1.直线在平面内的判定(1)利用公理1: 一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若a丄P,Ae a , AB丄B,则ABa.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即若AGa, a 丄b, AG a , b 丄a, pjlj a a .(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内, 即若Pa , PG p , B〃a, PWd,a〃a,则aP.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若d〃a,AGa, AGb, b/7 a,则ba.2.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点0,分别引直线屮〃d,b‘ 〃b，则屮和b‘所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0° V 0 W90° .(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角0 ;②解含有0的三角形，求出角0的大小.5.直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)-条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0。
线面角与面面角一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。
若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。
2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。
作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。
若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。
3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。
两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为C 1D 1中点．(1)求证：AC 1⊥平面A 1BD ．(2)求BM 与平面A 1BD 成的角的正切值．解： (1)连AC ，∵C 1C ⊥平面ABCD ， ∴C 1C ⊥BD ．又AC ⊥BD ， ∴AC 1⊥BD ．同理AC 1⊥A 1B∵A 1B∩BD=B．∴AC 1⊥平面A 1BD ．(2)设正方体的棱长为a ，连AD 1，AD 1交A 1D 于E ，连结ME ，在△D 1AC 1中，ME ∥AC 1，∵AC 1⊥平面A 1BD ．∴ME ⊥平面A 1BD ．连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A 1BD 成的角．在Rt MEB ∆中，12AC ME ==，6BE ==，∴tan ME MBE BE ∠==．例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形． 设1BC =，则2CE =，12DE =，1cos 3DE CED CE ∠===． 例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．(1)求证：1BE EB =；(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1．取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF ⊥AC ．∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，得BF ∥EG ．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是 ，BE ＝FG ．∴BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ．解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ．∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°，∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即 DA 1⊥A 1C 1．∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°． ∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°．说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．三、作业：1．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ⊂α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为（A ）A ．有最小值θ，有最大值2πB ．无最小值，有最大值2π。
求线面角的方法总结一、概述线面角是指一条直线与一个平面的夹角，常见于几何学、物理学等领域。
在实际应用中，求解线面角是非常重要的，因为它可以帮助我们计算出很多物理量，如反射角、折射角等。
本文将详细介绍如何求解线面角的方法。
二、基本概念1. 直线：在平面上无限延伸的一条连续的点。
2. 平面：在空间中无限延伸的一个连续的点集。
3. 线面角：由直线与平面之间所夹成的角度称为线面角。
三、求解方法1. 通过余弦定理求解余弦定理是指三边已知时，可以通过余弦函数来计算出任意一个角度大小。
因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过余弦定理来求解线面角。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据余弦定理公式cosθ = a²+b²-c²/2ab来计算出θ。
2. 通过正弦定理求解正弦定理是指在已知一个角度和它对应的两条边的长度时，可以通过正弦函数来计算出另外两个角度的大小。
因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过正弦定理来求解线面角。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据正弦定理公式sinα/a = sinβ/b = sinθ/d来计算出θ。
3. 通过向量求解在三维空间中，我们可以用向量来表示一条直线或者一个平面。
因此，在已知直线和平面的向量表达式时，可以通过向量的点积公式来求解它们之间的夹角。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面的向量表达式L和N；（2）根据向量的点积公式cosθ = L·N/|L||N|来计算出θ。
四、注意事项1. 在使用余弦定理或正弦定理求解时，需要注意单位一致性问题。
通常情况下，我们需要将所有长度单位转换为相同的单位进行计算。
2. 在使用向量求解时，需要注意向量之间的坐标系一致性问题。
如果两个向量不在同一个坐标系中，则需要将它们转换到同一个坐标系中进行计算。
线面角的求法总结线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面
面角
时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。
立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。
在这先分析这些立体几何的解题思路。
在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行
2、利用面面平行、证明线面平行
2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直
3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线互相平行
2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面
4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面内
利用这些方法第一问就可以轻松解决了。
在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以
利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系
2、写出各个点的坐标
3、求出直线向量、面的法向量
4、利用夹角公式算出余弦值
下面通过两个例题说明一下这个空间几何。
线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。
一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。
例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。
2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。
由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。
过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。
因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。
求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。
解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。
设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。
解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。
新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析深圳市第二实验学校 李平作者简介李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。
深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。
在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。
主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。
摘 要 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力.关键词 线面角 空间角 平移法 等体积法 空间向量方法线面角——直线和平面所成的角1．定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条斜线和这个平面所成的角.若直线l ⊥平面α, 则l 与α所成角为90︒;若直线l //平面α或直线l ⊂平面α, 则l 与α所成角为0︒.2．线面角的范围: [0]2π，. 3．线面角的求法：(1)定义法(垂线法)．(2)虚拟法(等体积法).(3)平移法．(4)向量法.线面角是立体几何中的一个重要概念, 它是空间图形的一个突出的量化指标, 是空间位置关系的具体体现, 是培养学生逻辑推理能力, 树立空间观念的重要途径, 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中.求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤, 并多以棱锥与棱柱作为考查的载体. 求解线面角的方法主要有两种: 一是利用传统几何方法; 二是利用空间向量方法.总之, 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解, 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力.本作者试就这一热点作一比较系统的归类与分析.希望对同学们进行有针对性的训练和复习有一定的帮助.例题分析(1) 定义法(垂线法): 斜线与它在平面内的射影所成的角, 即为线面角；解决该类 问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角，在某一直角三角形内求解．例1[2011·天津卷] 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明PB ∥平面ACM ；(2)证明AD ⊥平面PAC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．证明：(1)连接BD ，MO.在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO.因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM.(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC.又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD.而AC∩PO＝O ，所以AD ⊥平面PAC.(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN.因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，∴∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝.从而AN ＝DO ＝.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.【点评】 求线面角, 解题时要明确线面角的范围, 利用转化思想, 将其转化为一个平面内的角, 通过解三角形来解决. 求解的关键是作出垂线, 即从斜线上选取异于斜足的一点作平面的垂线. 有时也可采用间接法和空间向量法, 借助公式直接求解.(2)虚拟法(等体积法)：线面角的求法还可以不用做出平面角．可求出线上某点到平面的距离d ，利用sin d AB α=可求. 即先运用等积法求点到平面的距离，后虚拟直角三角形求解.例2．[2011·全国卷] 如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====． （I ） 证明：SD ⊥平面SAB ；（I ）证明：取AB 的中点E ，连接DE ，DB ，//AB CD ，2AB =，1CD =，BC CD ⊥.∴//BE CD ，1BE CD ==，90BCD ∠=︒.∴ 四边形BCDE 是矩形．∴DE AB ⊥,2DE BC ==.又∵1SD AE ==,2DE SA ==,AD AD =.∴ SAD ADE ∆≅∆．∵ 90AED ∠=︒, ∴ 90DSA ∠=︒，即SD SA ⊥.同理可证: SD SB ⊥, 又∵SA SB S =, ∴SD ⊥平面SAB .（II ）解: 线面角的求法还可以不用作出平面角,可求出线上某点到平面的距离d ,利用sin d AB α=可求,故只需求点A 到面SBC 的距离d 即可. 由等积转化思想可知，A SBC S ABC V V --= ① ， D SAB S ABD V V --= ② . 设点A 到面SBC 的距离为d ,点S 到面ABCD 的距离为h .由（I ）问可知, SD ⊥平面SAB , ∴13D SAB SAB V SD S -∆=⋅⋅ . 又∵1sin 6032SAB S SA SB ∆=⋅⋅⋅︒=, 1122222ABD S DE AB ∆=⋅⋅=⋅⋅=. 由②式可知, 1133SAB ABD SD S h S ∆∆⋅⋅=⋅⋅ ,即1113233h ⋅⋅=⋅⋅ , 32h = . 又∵SD ⊥平面SAB , ∴SD AB ⊥, 又∵//AB CD , ∴SD CD ⊥.∴ 22222112SC SD DC =+=+=, 又知2SB BC ==,∴ 222222223cos 22224SB BC SC SBC SB BC +-+-∠===⋅⋅⋅⋅ , ∴7sin 4SBC ∠=. ∴ 1177sin 222242SBC S SB BC SBC ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=, 又∵ 1122222ABC S BC AB ∆=⋅⋅=⋅⋅=. 由①式可知, 1133SBC ABC d S h S ∆∆⋅⋅=⋅⋅ ,即171323232d ⋅⋅=⋅⋅ , 2217d = . 由sin d AB α=可得, 221217sin 27d AB α===. 【点评】 以上解法主要运用三角形全等和等积转化的思想，思路自然，属常规通法，是高三学生应熟练掌握的基本思想和方法．(3)平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角，也可平移平面．例3．[2010·山东卷] 如图，在五棱锥P-ABCDE 中，⊥PA 平面ABCDE ，AB∥CD， AC∥ED，AE∥BC，452224ABC AB BC AE ∠====，，，三角形PAB 是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；EAEP解：（Ⅰ）证明：因为∠ABC=45°，AB=22，BC=4， 所以在ABC ∆中，由余弦定理得：222AC =(22)+4-2224cos45=8⨯⨯，解得AC=22，所以222AB +AC =8+8=16=BC ，即AB AC ⊥，又PA⊥平面ABCDE ，所以PA⊥AB ，又PA AC A ⋂=，所以AB AC ⊥平面P ，又AB∥CD，所以AC CD ⊥平面P ，又因为CD CD ⊂平面P ，所以平面PCD⊥平面PAC ；解法一（平移直线法）：延长线段AE ，CD ，相交于点H ，连结PH ，构成四棱锥P-ABCH ，如图所示.连结BH 交AC 于点M ，取PH 中点N ，则MN∥PB，所以直线PB 与平面PCD 所成的角就是直线MN 与平面PCH 所成的角.过点M 作MG⊥PC 于点G ，因为平面PCD⊥平面PAC ，所以MG⊥平面PCH ，所以∠MNG 就是直线MN 与平面PCH 所成的角，即直线PB 与平面PCD 所成的角.取PC 的中点F ，连结AF ，由（1）知PA=AC=22，所以AF⊥PC，因为平面PCD⊥平面PAC ，所以AF⊥平面PCH.又因为MG⊥平面PCE ，M 为线段AC 的中点，所以G 为线段FC 的中点，所以MG=12AF=1，MN=12PB=2，所以sin∠MNG=MG MN =12，所以∠MNG=6π， 即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为6π.解法二（平移平面法）：如图，构造三棱柱PAC P BC ''-.取PC 的中点F ，连结AF ，由（1）知PA=AC=22，所以AF⊥PC，因为平面PCD⊥平面PAC ，所以AF⊥平面PCD.过点B 作BF P C '''⊥点F '，所以BF '⊥平面PCD.连结PF '，则PF '就是PB 在平面PCD 上的射影，∠BPF′就是直线PB 与平面PCD 所成的角.因为sin∠BPF′=12BF AF BP PC '==， 所以∠BPF′=6π，即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为6π. 【点评】 利用平行线与平面所成的角的相等性，通过补充图形，完成合理转化.(4)向量法: 设平面α的法向量为n , 直线AB 与平面α所成的角为θ, 则sin AB n AB n θ−−→−−→−−→−−→=⋅.即利用平面的法向量将线面角问题转化为两个向量的夹角问题, 可避免作角这一步骤, 从而降低了求解的难度. 例4．[2007·全国卷]四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==．（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =． 又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，(200)A ，，，(020)B ，，，(020)C -，，，(001)S ，，，(201)SA =-，，，(0220)CB =，，，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，22022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，221442G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．221442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，22122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，(220)AB =-，，． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．(2220)D ，，，(2221)DS =-，，．22cos 11OG DSOG DS α==，22sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值为2211． 【点评】 即利用平面的法向量将线面角问题转化为两个向量的夹角问题, 可避免作角这一步骤, 从而降低了求解的难度.参考文献：[1]张健．2011年高考数学试题分类解析（八）—立体几何．中国数学教育，2011(7-8)；[2]何小亚．2011 年广东高考立体几何大题分析.中学数学月刊，2011(8)；D BC A S[3]赵建勋. 高考立体几何试题分类研究．中学数学研究，2003(3)。
