高中数学-立体几何-线面角知识点

高三数学一轮复习 立体几何系列之线面角（直线与平面夹角）教学目标（1）掌握直线与平面夹角的几种求法； （2）掌握线面角问题的综合应用。

知识梳理直线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和平面所成的角。

规定：（1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；（2）一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是︒0角。

线面角的范围是[0，2π] 作法：作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影。

典例精讲例1.（★★★）在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠AB C=90°, A B=BC=1. (1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小； (2)若直线A 1C 与平面ABC 所成角为45°, 求三棱锥A 1-ABC 的体积.【答案】：（1）因为11BC B C P ，所以∠BCA （或其补角）即为异面直线11B C 与AC 所成角∠AB C=90°, A B=BC=1，所以4BCA π∠=，即异面直线11B C 与AC 所成角大小为4π。

（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，1A A ABC ⊥平面，所以1A CA ∠即为直线A 1C 与平面ABC 所成角，所以14ACA π∠=。

Rt ABC ∆中，AB=BC=1得到AC =，1Rt AA C ∆中，得到1AA AC =所以1136ABC ABC S AA -==V 1A V 例2.（★★★）在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，（如图）E 是棱11D C 的中点，F 是侧面D D AA 11的中心．（1） 求三棱锥EF D A 11-的体积；（2） 求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小．（结果用反三角函数表示） 【答案】：（1）3111311111=⋅⋅==--F D A E EF D A V V ． （2）取11D A 的中点G ，所求的角的大小等于GEF ∠的大小，GEF Rt ∆中22tan =∠GEF ，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是22arctan ． 课堂检测1.（★★★）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】：过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF . ∵ EF ⊥平面ABCD ，ABCD A 1B 1C 1FED 1∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角 由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴= ∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF EDF DF ∠== 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan2.（★★★）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且2PD =．（1） 若点E 、F 分别在棱PB 、AD 上，且4PE EB =u u u r u u u r ，4DF FA =u u u r u u u r，求证：EF ⊥平面PBC ；（2） 若点G 在线段PA 上，且三棱锥G PBC -的体积为14，试求线段PG 的长．【答案】：（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向建立空间直角坐标系．则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2P ，因为4PE EB =u u u r u u u r ，4DF FA =u u u r u u u r ，所以4,0,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，442,,555E ⎛⎫⎪⎝⎭，则420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，()1,0,0BC =-u u ur ，()1,1,2PB =--u u u r ．0EF BC ⋅=u u u r u u u r ，0EF PB ⋅=u u u r u u u r，即EF 垂直于平面PBC 中两条相交直线，所以EF ⊥平面PBC ．（2）()1,0,2PA =-u u u r ，可设()01PG PA λλ=≤≤u u u r u u u r，所以向量PG uuu r的坐标为(),0,2λλ-，平面PBC 的法向量为420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ．点G 到平面PCE的距离4PG EFd EFλ⋅===u u u r u u u r u u u r． PBC ∆中，1BC =，PC =，PB =PBC S ∆=． 三棱锥G PBC -的体积11133234PBC V S d λ∆=⋅===，所以34λ=．此时向量PG uuu r 的坐标为33,0,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，PG =u u u r PG回顾总结。

立体几何知识点整理一.直线和平面的三种位宣关系：1. 线面平行2・线面相交3.线在面内二・平行关系：1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。

l//a7 c/? >=>』//也a r\ fl = in方法二：用面面平行实现。

7^7方法三：用线面垂直实现。

若/丄QJ"丄G ,则/〃〃2。

方法四：用向量方法：若向量i和向量万共线且人山不重合，则/〃〃2。

2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。

lUmnt u a 了 => IllaI <z a方法二：用面面平行实现。

all p/U0方法三：用平面法向量实现。

若“为平面&的一个法向量，八丄7且/cza,则///a。

3. 面面平行:方法一：用线线平行实现。

i//r化加u a且相交方法二：用线面平行实现。

Illamil a a II p/,加u 0且相交三・垂宜关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

/丄AC/丄43"=> / 丄aACr^AB = AAC, ABu a方法二：用面面垂直实现。

a丄0Z=7n A I zD7mllm1A U 0且相交all卩/Y//~~7a r\ p = m => /丄a/ 丄mJ u p Z_72. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

/丄a lu卩.方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂宜：方法一：用线面垂直实现。

/丄a ]> => / 丄mm u a方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO丄a/ 丄04 （=>1丄PAI ua方法三：用向量方法：若向量i和向量〃；的数量积为o,贝M丄也。

三.夹角问题。

（一）异面直线所成的角：（1）X围：（0。

,90。

]（2）求法：方法一：定义法。

步骤1:平移，便它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

（常用到余荻定理）余荻定理：a2 +b2 -c2cos& = ------------------2ab（计算结果可能是其补角）方法二：向量法。

高中立体几何知识点总结高中立体几何知识点总结1点在线面用属于，线在面内用包含。

四个公理是基础，推证演算巧周旋。

空间之中两条线，平行相交和异面。

线线平行同方向，等角定理进空间。

判定线和面平行，面中找条平行线。

已知线与面平行，过线作面找交线。

要证面和面平行，面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。

已知面与面平行，线面平行是必然;若与三面都相交，则得两条平行线。

判定线和面垂直，线垂面中两交线。

两线垂直同一面，相互平行共伸展。

两面垂直同一线，一面平行另一面。

要让面与面垂直，面过另面一垂线。

面面垂直成直角，线面垂直记心间。

一面四线定射影，找出斜射一垂线，线线垂直得巧证，三垂定理风采显。

空间距离和夹角，平行转化在平面，一找二证三构造，三角形中求答案。

引进向量新工具，计算证明开新篇。

空间建系求坐标，向量运算更简便。

知识创新无止境，学问思辨勇攀登。

多面体和旋转体，上述内容的延续。

扮演载体新角色，位置关系全在里。

算面积来求体积，基本公式是依据。

规则形体用公式，非规形体靠化归。

展开分割好办法，化难为易新天地。

高中立体几何知识点总结2三角函数。

注意归一公式、诱导公式的正确性数列题。

1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系。

1A 1B 1C 1D BCD E FG线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是·=±||||2.向量的数量积公式若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ（2）模长公式：则212||a a a a a =⋅=++2||b b b b =⋅=+ （3）夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==,A Bd =①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4πPBCAC ．510arccosD ．2π （向量法，传统法）例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即tan PDDBA DB∠==． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(重点讲述平行与垂直的证明)可转化成用向量→a 与平面α的法向量→n 的夹角ω表示，由向量平移得：若ππππ平面α的法向量→n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：图1－图1－图1－1D 1B 1C P DBCA(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z =(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(0a <(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。

高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

高一上学期立体几何知识点一、点、线（直线、射线、线段）、平面1平面的表示方法平行四边形（平面a平面ABCD,平面AC）或三角形二、立体图形的画法斜二测1、x不变、y一半、夹角45度2、斜二测和原图形的面积比为f42直观图2-1直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

2-2斜二测法做空间几何体的直观图⑴在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,即取/xOy=90°；⑵画直观图时，把它画成对应的轴O‘x‘、O'y,取/x‘O‘y'=45°或135°,它们确定的平面表示水平平面；⑶在坐标系x‘o'y‘中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。

结论：采用2斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的—4看不到的线用虚线（或者不画）需要有立体感。

（想垂直就垂直，想在里就在里，想在外就在外。

）三、立体图形之间的关系。

1点和线的位置关系（点在线上，点在线外）2点和面的位置关系（点在面上，点在面外）3线和线的位置关系（平行、相交、异面）4线和面的位置关系（线在面上，线面平行，线面相交（线面垂直））5面和面的位置关系（平行、相交（重合））四、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是2、直线与平面所成的角的取值范围是3、斜线与平面所成的角的取值范围4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是五、射影定理㈠空间几何体的类型1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中，这条直线称为旋转体的轴。

棱柱多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三六、角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱ABCDEF-A'B‘C‘D‘E'F‘或棱柱A’D.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体.斜棱柱直棱称正棱柱平行六面体七、直平行六面体1棱柱的结构特征1.1棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010 解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.答案：B例 2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，PD =Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ） A.3 B.22C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。

10.8线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角：〔1〕X 围：(0,]2πθ∈；〔2〕求法；2、直线和平面所成的角：〔1〕定义：〔2〕X 围：[0,90]；〔3〕求法；3、一些常见模型中的角之间的关系。

【典型例题】例1：〔1〕在正方体1111ABCD A BC D -中，以下几种说法正确的选项是 〔 〕 A 、11AC AD ⊥ B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC 成60角 答案：D 。

解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC 所成角的正切为22。

〔2〕在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，那么能作得与A 1B 成300角的平面的个数为〔〕A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个答案：B 。

解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。

〔3〕正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是12侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是〔 〕A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º答案：B 。

解析将BC 1平移到E 1F 即可。

〔4〕在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是。

答案：AC ⊥BD 。

解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。

〔5〕点AB 到平面α距离距离分别为12，20，假设斜线AB 与α成030的角，那么AB的长等于_____.答案：16或64。

解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进展讨论。

例2：．如图：直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。