高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系夯基提能1

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书理新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书理新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第九章平面解析几何 9。

4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书理新人教版1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法（1）几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切;d>r⇔相离．(2）代数法：错误!错误!2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1）2＝r错误!(r1>0），圆O2:(x－a2)2＋（y－b2）2＝r错误!(r2>0）.方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2｜<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜（r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2｜（r1≠r2)无解【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论（1)过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋（y－b)2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为(x0－a）（x－a)＋（y0－b）（y－b)＝r2。

2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本文2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本文第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础题组1.直线l:x-y+1=0与圆C：x2+y2-4x—2y+1=0的位置关系是（）A。

相离 B.相切C。

相交且过圆心D。

相交但不过圆心2.直线y=x+4与圆(x—a)2+(y-3)2=8相切，则a的值为( ）A.3B.2C。

3或-5 D。

-3或53。

(2014安徽,6,5分)过点P（-,-1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（)A. B.C。

D。

4。

直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0（a〈3）相交于A,B两点，若弦AB的中点为（—2,3），则直线l的方程为( )A。

x+y—3=0 B。

x+y—1=0C.x—y+5=0D.x-y-5=05.过点P（1,）作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长｜AB｜=（）A。

B。

2 C。

D。

46.（2015重庆，12,5分）若点P（1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆（x-2)2+(y—3)2=8相外切，则圆C的方程为.8。

【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·安徽卷改编)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是________.解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12. 答案 2或122.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝________.解析 圆C 1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，从而C 1C 2＝32＋42＝5.由两圆外切得C 1C 2＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9. 答案 93.(2016·苏北四市模拟)已知过定点P (2，0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB ＝1时，直线l 的倾斜角为________.解析 由于S △AOB ＝12×2×2sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ＝1，∴∠AOB ＝π2，∴点O 到直线l的距离OM 为1，而OP ＝2，OM ＝1，在直角三角形OMP 中∠OPM ＝30°，∴直线l 的倾斜角为150°. 答案 150°4.(2016·青岛一模)过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长AB ＝________.解析 如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴AB ⊥OP .∵P (1，3)，O (0，0)， ∴OP ＝1＋3＝2.又∵OA ＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°， ∴AB ＝2OA sin ∠AOP ＝ 3.答案35.(2015·重庆卷)若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.解析 点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x 2＋y 2＝5，设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，圆心到直线的距离d ＝|－k ＋2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，∴直线为－12x －y ＋52＝0，即x ＋2y －5＝0.答案 x ＋2y －5＝06.(2016·苏、锡、常、镇模拟)过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝________.解析 法一 由已知得：圆心C (0，2)，半径r ＝5，△ABC 是直角三角形，AC ＝（3－0）2＋（1－2）2＝10，BC ＝5，∴cos ∠ACB ＝BC AC＝510，∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝5.法二 CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＋BA →·CB →，由于BC ＝5，AB ⊥BC ，因此CA →·CB →＝5＋0＝5. 答案 57.(2015·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为________.解析 由题意可得△AOB 是以2为直角边长的等腰直角三角形，所以圆心(0，0)到直线AB 的距离为 2.又直线l 的斜率一定存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为y －3＝k (x －5)，即kx －y ＋3－5k ＝0，所以|3－5k |k 2＋1＝2，化简得23k 2－30k ＋7＝0，解得k ＝1或723. 答案 1或7238.已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________.解析 由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9， ∴圆C 的圆心坐标为(－1，2)，半径为3. 由AC ⊥BC ，知△ABC 为等腰直角三角形，所以C 到直线AB 的距离d ＝322，即|－1－2＋a |12＋（－1）2＝322，所以|a －3|＝3，即a ＝0或a ＝6. 答案 0或6 二、解答题9.已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程.解 设圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)， ∵圆心(2，－1)到直线x －y －1＝0的距离d ＝2，∴r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4，故圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，（x －2）2＋（y ＋1）2＝4，解得弦的两端点坐标为(2，1)和(0，－1). 所以过弦的两端点的圆的切线方程为y ＝1和x ＝0.10.已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1).解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－4)， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0； (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2015·宿迁模拟)已知过点(2，5)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，则直线l 的方程为________.解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.直线l 被圆C 截得的弦长为4，则圆心C (1，2)到直线l 的距离为1.当过点(2，5)的直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2适合题意；当斜率存在时，设为k ，则l ：y －5＝k (x －2)，即为kx －y ＋5－2k ＝0，此时|k －2＋5－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，直线l ：43x －y ＋73＝0，即为4x －3y ＋7＝0，综上可得直线l 的方程为x －2＝0或4x －3y ＋7＝0. 答案 x －2＝0或4x －3y ＋7＝012.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有________个. 解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 313.若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是________.解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(－1，2)，半径为 2.因为圆关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆心在直线 2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，点(a ，b )到圆心的距离为d ＝（a ＋1）2＋（b －2）2＝（a ＋1）2＋（a －3－2）2＝2a 2－8a ＋26＝2（a －2）2＋18.所以当a ＝2时，d 有最小值，18＝32，此时切线长最小，为（32）2－（2）2＝16＝4. 答案 414.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a ).(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程. (2)若a ＝2，过点M 作圆O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，求AC ＋BD 的最大值. 解 (1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3. 当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1).即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33. 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1). 即x －3y －4＝0.所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)， 则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22， 所以AC ＋BD ＝24－d 21＋24－d 22.则(AC ＋BD )2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22) ＝4×[5＋216－4（d 21＋d 22）＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22).因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52， 所以(AC ＋BD )2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以AC ＋BD ≤210， 即AC ＋BD 的最大值为210.。

第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( ) A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选 C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b|12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x ＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y ＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y ＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r>0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x－1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C(－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：45π9．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M(x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B.若|AB|≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA⊥AC，MC⊥AB， 则S △MAC ＝12×|MA|×|AC|＝12×|MC|×|AB|2.又由|AC|＝1，变形可得|AB|＝2×|MA||MC|，则有|MA||MC|≥22.又由M(x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC|2＝x 20＋14，|MA|2＝|MC|2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12， 解得x 0≤－72或x 0≥72， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C(1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|， 不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3AD →＝5DB →可得|BD|＝3m ，|AB|＝8m ，则|DE|＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m)2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C(a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．。