北京市海淀区2017届高三数学下学期期中试题文

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log xbc y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是A. ()f x 是偶函数B. 函数()f x 最小值为34C. π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2xf x =上的好位置点. 函数()2xf x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题. 9.四，210. 211. (,1][e,)-∞+∞12. (0,1)(1,)+∞13.333222，，14.2 说明：9题，每个空2分，11题，两个集合，少写一个减２分，错写则没分13题 第一个，第二空各1分，第三个空2分 三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-+…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分 因为23x =是()f x在(0,1-+上的唯一的一个极大值， 所以在23x =时，()f x 取得最大值4027. …………………12分16.证明：（Ⅰ）因为32a =， 所以232222a a a =+=， 所以22244a a +=，解得22a =， …………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n n a a +- 0 ≤，…………………6分只需证 2+2n n na a a -0≤，…………………8分 只需证 2402n na a -≤, 只需证n a ≥ 2 ,…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一, 请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率'(1)3k f ==…………………2分所以直线l 的方程为13(1)y x -=-…………………3分化简得到32y x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩所以332x x =- …………………5分 所以3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以2'()33g x x =-，令'()0g x =，得到得11x =，21x =- …………………7分 所以,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为1x =-时，(1)40g -=>，而(3)160g -=-<所以()g x 在(,1)-∞-上有一个零点） …………………9分而1x =时，(1)0g =，所以()g x 在[1,)+∞上只有一个零点又()g x 在(1,1)-上没有零点，…………………10分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.法二：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩ 所以332x x =- …………………5分所以3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以32()22(1)(2)g x x x x x x =--+=-+ …………………8分 令()0g x =，得到11x =，22x =- …………………9分 所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分 18.解：（Ⅰ）因为222222()'()2a x a x a f x x x x x--=-==，其中0x >…………………1分 当0a ≤时，'()0f x ≥对0x >成立所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞…………………3分当0a >时，令'()0f x =，1x =2x =则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表所以函数()f x单调递减区间为，单调递增区间为)+∞ …………………5分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，当0a ≤时，函数()f x 是单调递增函数，而注意到(1)10f =>，但是当0x →时，()f x →-∞所以函数()f x 在区间(0,1)上存在零点，矛盾…………………7分当0a >时，由（Ⅰ）知道，()f x在x 从而()f x在x =2ln (1ln )f a a a a a a a =--=-当0f >，即1ln 0a ->，即0e a <<时，函数()f x 没有零点，当0f =时，即e a =时，显然不合题意，当0f <时，因为当x →+∞时，()f x →+∞从而()f x在区间)+∞上存在零点，矛盾综上，实数a 的取值范围是0e a <<．…………………10分法二：函数()f x 没有零点，等价于方程22ln 0x a x -=无解显然1x =不是零点，所以等价于22ln x a x=无解…………………7分 设2()2ln x g x x= 则222224ln 4ln 22(2ln 1)'()'()(2ln )(2ln )(2ln )x x x x x x x x x g x g x x x x -⋅--====，…………………8分 令'()0g x =，则12e x =则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表所以函数()g x 在12e x =处取得极小值12g(e )e =，而当0x →时，()0g x →当1x <且1x →时，()g x →-∞当1x >且1x →时，()g x →+∞当+x →∞时，()+g x →∞综上，实数a 的取值范围是0e a <<．…………………10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

名师原创理科数学专题卷专题十六统计与统计案例考点51：随机抽样与用样本估计总体（1-6题，13-16题，17-20题）考点52：变量的相关性与统计案例（7-12题，21,22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．【来源】2016-2017学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考点51易某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A. 0927B. 0834C. 0726D. 01162．【来源】2017届重庆市高三上学期第一次诊断模拟考点51易我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A. 104人B. 108人C. 112人D. 120人3．【来源】湖南省衡阳市2017届高三下学期第二次联考考点51中难一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（）B. 3C. 9D. 17A. 114．【来源】江西省鹰潭市2017届高三第一次模拟考试考点51中难为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.75，则的最小值为（）A. B. C. D.5．【来源】四川省宜宾市2017届高三二诊考点51中难某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件，这种零件的标准尺寸为85mm，现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测，其尺寸用茎叶图表示如图（单位：mm），则估计A. 甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等B. 甲、乙生产的零件质量相当C. 甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好D. 乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好 6．【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试 考点51 中难 右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是(左起依次是:广州’, 深圳, 北京, 杭州, 上海, 天津, 重庆, 西安, 南京, 厦门, 成都, 武汉)第二行 价格 涨幅A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 7．【来源】河北省石家庄市高三数学一模考试 考点52 易 下列说法错误的是( )A. 回归直线过样本点的中心(),x yB. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C. 对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D. 在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy 平均增加0.2个单位8．【2017山东，理5】考点52 易为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）A 160B 163C 166D 170 9．【来源】贵州省贵阳市2017届高三2月适应性考试 考点52 易某公司某件产品的定价与销量之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出与的线性回归直线方程为：5.175.6+=∧x y ，则表格中的值应为（ ）10．【来源】2017届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考 考点52 中难 假设有两个分类变量和的列联表为:对同一样本,以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( )A. 45,15a c ==B. 40,20a c ==C. 35,25a c ==D. 30,30a c == 11．【来源】河南省安阳市2017届高三第二次模拟考试 考点52 中难 已知变量与的取值如表所示，且，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）A.B.C.D.12．【来源】2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考试考点52中难2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[]30,34的爱看比例分别为10%，18%，25,29，[]20,24，[]10,14，[]15,19，[]t．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[] 20%，30%，%10,14，17 15,19，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为代表[]()ˆ 4.68%=-，由此可推测t的值为（）y kxA. 33B. 35C. 37D. 39第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|e x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=ln|x|B．f（x）=2﹣x C．f（x）=x3D．f（x）=﹣x23．（5分）已知向量=（1，0），=（﹣1，1），则（）A．∥B．⊥C．（）∥D．（）⊥4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=05．（5分）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．D．6．（5分）设α∈R，则“α是第一象限角”是“sinα+cosα＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设f（x）=e sinx+e﹣sinx（x∈R），则下列说法不正确的是（）A．f（x）为R上偶函数 B．π为f（x）的一个周期C．π为f（x）的一个极小值点D．f（x）在区间上单调递减8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件．（ⅰ）A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．10 B．12 C．14 D．16二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分的值等于．10．（5分）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y=100e ax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为kPa．11．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为．12．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①=；②若，则x+y=．13．（5分）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=，φ=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．①f（﹣1）=；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{b n}满足b1=2，且{2b n+a n}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．17．（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e是自然对数的底数）18．（13分）如图，在四边形ACBD中，，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求cos∠BAD的值；（Ⅱ）若CD=4，，求AB和AD的长．19．（14分）已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m ∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）20．（14分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（Ⅲ）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n0，记M=max{a1，a2，…，a n0}，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|e x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）【解答】解：集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|e x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜2}=（0，2）．故选：C．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=ln|x|B．f（x）=2﹣x C．f（x）=x3D．f（x）=﹣x2【解答】解：函数f（x）=ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）=2﹣x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）=x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）=﹣x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．3．（5分）已知向量=（1，0），=（﹣1，1），则（）A．∥B．⊥C．（）∥D．（）⊥【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、向量=（1，0），=（﹣1，1），1×1≠0×（﹣1），则∥不成立，A 错误；对于B、向量=（1，0），=（﹣1，1），•=1×（﹣1）+0×1≠0，则⊥不成立，B错误；对于C、向量=（1，0），=（﹣1，1），﹣=（2，﹣1），2×1≠（﹣1）×（﹣1），则（﹣）∥不成立，C错误；对于D、向量=（1，0），=（﹣1，1），﹣=（0，1），（+）•=0×1+1×0=0，则（+）⊥成立，D正确；故选：D．4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=0【解答】解：数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），n=1时，a1=2a2；n=2时，a1+a2=2a2，可得a2=0．故选：D．5．（5分）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．D．【解答】解：的图象向左平移个单位，得y=sin[2（x+）+]，即y=sin[2x+]=cos2x，∴所得图象的函数解析式为y=cos2x．故选：B．6．（5分）设α∈R，则“α是第一象限角”是“sinα+cosα＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α是第一象限角，∴根据正弦和余弦线知，sinα+cosα＞1，是充分条件，由“sinα+cosα＞1“，也可推出α是第一象限角，是必要条件，故选：C．7．（5分）设f（x）=e sinx+e﹣sinx（x∈R），则下列说法不正确的是（）A．f（x）为R上偶函数 B．π为f（x）的一个周期C．π为f（x）的一个极小值点D．f（x）在区间上单调递减【解答】解：∵f（x）=e sinx+e﹣sinx，∴f（﹣x）=e sin﹣x+e﹣sin﹣x=e sinx+e﹣sinx=f（x），即f（x）为R上偶函数，故A正确；f（x+π）=e sin（x+π）+e﹣sin（x+π）e sinx+e﹣sinx=f（x），故π为f（x）的一个周期，故B正确；f′（x）=cosx（e sinx﹣e﹣sinx），当x∈（，π）时，f′（x）＜0，当x∈（π，）时，f′（x）＞0，故π为f（x）的一个极小值点，故C正确；x∈时，f′（x）＞0，故f（x）在区间上单调递增，故D错误；故选：D．8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件．（ⅰ）A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则1∉A，5∉B，即5∈A，1∈B，此时有C40=1，若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则2∉A，4∉B，即4∈A，2∈B，此时有C41=4，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3∉A，3∉B，不满足题意，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则4∉A，2∉B，即2∈A，4∈B，此时有C43=4，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则5∉A，1∉B，即1∈A，5∈B，此时有C44=1，故有序集合对（A，B）的个数是1+4+4+1=10，故选：A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分的值等于0．【解答】解：∵==﹣=0故答案为：010．（5分）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y=100e ax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为81kPa．【解答】解：∵在海拔1000m处的大气压强为90kPa，∴90=100e1000a，即a=，当x=2000时，y=100e ax=100=81，故答案为：8111．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为2．【解答】解：令x=2，则，故答案为：212．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①=3；②若，则x+y=．【解答】解：∵△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①==•2•=3，②若，则==，即x=﹣，y=2，故x+y=故答案为：（1）3（2）13．（5分）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=2，φ=﹣．【解答】解：由图象可知f（x）的周期为T==π，∴=π，解得ω=2．由图象可知f（）=1，即=1，∴+φ=+kπ，k∈Z．∴φ=﹣+kπ，又，∴φ=﹣．故答案为：2，．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．①f（﹣1）=﹣1；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R，f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1﹣a+a）=﹣1；②若f（x）的值域是R，由f（x）的图象关于原点对称，可得当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，图象与x轴有交点，可得△=a2﹣4a≥0，解得a≥4或a≤0，即a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故答案为：①﹣1 ②（﹣∞，0]∪[4，+∞）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，=，=1．（Ⅱ），=，=2sinxcosx+2cos2x﹣1，=sin2x+cos2x，=，因为，所以，所以，故当，即时，f（x）有最大值当，即时，f（x）有最小值﹣1．16．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{b n}满足b1=2，且{2b n+a n}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【解答】（本题13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，则…（2分）解得a1=﹣2，q=﹣3…（3分）所以，…（5分）令c n=2b n+a n，则c1=2b1+a1=2，c n=2+（n﹣1）×2=2n…（7分）…（9分）（Ⅱ）∵，∴数列{b n}的前n项和：S n=（1+2+3+…+n）+[（﹣3）0+[（﹣3）+（﹣3）2+（﹣3）3+…+（﹣3）n﹣1] =+，∴．…（13分）17．（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e是自然对数的底数）【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，，，…（1分）此时，f（1）=﹣1，f'（1）=0，…（2分）故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．…（3分）（Ⅱ）的定义域为（0，+∞）…（4分）…（5分）令f'（x）=0得，x=a或x=1…（6分）①当0＜a≤1时，对任意的1＜x＜e，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增…（7分）f（x）最小=f（1）=1﹣a…（8分）②当1＜a＜e时，x（1，a）a（a，e）f'（x）﹣0+f（x）↘极小↗…（10分）f（x）最小=f（a）=a﹣1﹣（a+1）•lna…（11分）②当a≥e时，对任意的1＜x＜e，f'（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减…（12分）…（13分）由①、②、③可知，．18．（13分）如图，在四边形ACBD中，，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求cos∠BAD的值；（Ⅱ）若CD=4，，求AB和AD的长．【解答】解：（Ⅰ）因为，∠CAD∈（0，π）所以所以cos∠BAD====（Ⅱ）设AB=AC=BC=x，AD=y，在△ACD和△ABD中由余弦定理得代入得解得或（舍）即，19．（14分）已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m ∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）因为=，令f'（x）=0，得因为0＜x＜π，所以…（3分）当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：xf'（x）+0﹣f（x）↗极大值↘…（5分）故f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递减区间为…（6分）（Ⅱ）证明：∵g（x）=（x﹣1）lnx+m∴（x＞0），…（7分）设，则故g'（x）在（0，+∞）是单调递增函数，…（8分）又∵g'（1）=0，故方程g'（x）=0只有唯一实根x=1…（10分）当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下：x（0，1）1（1，+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘极小值↗…（12分）故g（x）在x=1时取得极小值g（1）=m，即1是g（x）的唯一极小值点．（Ⅲ）…（14分）20．（14分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（Ⅲ）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n0，记M=max{a1，a2，…，a n0}，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【解答】（本题14分）解：（Ⅰ）∵数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．+1数列1，x，y，7为“U﹣数列”，∴所有可能的x，y为，或．…（3分）（Ⅱ）n的最大值为65，理由如下…（4分）+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1一方面，注意到：a k+1对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k ≥b k+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（★）﹣1当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得b i=（b i﹣b i﹣1）+（b i﹣1﹣b i）+…+（b2﹣b1）+b1≥i﹣1（2≤i≤n﹣1）﹣2此时即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65…（7分）另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时a65=1+0+1+2+…+63=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．…（9分）（Ⅲ）M的最小值为，证明如下：…（10分）当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）一方面：由（★）式，b k+1+…+（b k﹣b k）≥m．+1此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m﹣1﹣b m﹣1）≥m（m﹣1）•故…（13分）另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，…，b2m﹣1=m ﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且此时．综上，M的最小值为．…（14分）。

2017届北京市海淀区高三下学期期中考试（一模）数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ）A ．{}|23x x <<B ．{}|1x x >C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC．D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21xg x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题9.2 10.2,15 11.4 12.3213.2，1214.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ；设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况， 所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=， 租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =，所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=， 得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =． （Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =， 因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =6B π=． 18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高． 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=， 因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=． （Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ， 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =． 设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==， 所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±， 所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-． （Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+， 因为(1)30g e =-<，323()402g e =->， 所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。

2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1f′（x） 3 4 2 1g（x） 3 1 4 2g′（x） 2 4 1 3则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2017海淀区高二（下）期中数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x （﹣∞﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）1）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+1+a k =﹣，得a k+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n =﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx ﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log xbc y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a bA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是A. ()f x 是偶函数B. 函数()f x 最小值为34C. π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2xf x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向3．函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．44．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解5．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数8．如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A 为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．大于2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=．10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则•=．12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为℃．13．设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是．14．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=是Ω函数的为．（填出所有符合要求的函数序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n满足b n﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b n取得最小值时n的值．16．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．18．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求CD的长；（Ⅱ）求sin∠BAD的值．19．已知函数f （x ）=e x （x 2+ax +a ）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a ≥4时，函数f （x ）存在最小值．20．已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）若a 1=2，a 2=3，求a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）求证：“数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{a n }中∃a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．2．已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．若与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】直接利用向量关系，判断即可．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣4）．=﹣2，所以两个向量共线，反向．故选：D．3．函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．4【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式化简求解即可．【解答】解：函数y=2x+≥2=2，当且仅当x=时，等号成立．故选：C．4．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解．故选：A．5．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，用特殊值即可判断a、b、c的大小．【解答】解：根据函数的图象知，函数y=a x是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b是幂函数，且x=2时，y=2b∈（1，2），∴b∈（0，1）；函数y=log c x是对数函数，且x=2时，y=log c2∈（0，1），∴c＞2；综上，a、b、c的大小是c＞a＞b．故选：C．6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若|+|＞|﹣|，则等价为|+|2＞|﹣|2，即||2+||2+2•＞||2+||2﹣2•，即4•＞0，则•＞0成立，反之，也成立，即“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的充要条件，故选：C．7．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函f（x）最小值为C．是函f（x）的一个周期D．函f（x）在（0，）内是减函数【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】根据奇偶性的定义，判断函数f（x）是偶函数；化简函数f（x），求出它的最小值为；化简f（x），求出它的最小正周期为；判断f（x）在x∈（0，）上无单调性．【解答】解：对于A，函数f（x）=cos4x+sin2x，其定义域为R，对任意的x∈R，有f（﹣x）=cos4（﹣x）+sin2（﹣x）=cos4x+sin2x=f（x），所以f（x）是偶函数，故A正确；对于B，f（x）=cos4x﹣cos2x+1=+，当cosx=时f（x）取得最小值，故B正确；对于C，f（x）=+=+=+=+=+，它的最小正周期为T==，故C正确；对于D，f（x）=cos4x+，当x∈（0，）时，4x∈（0，2π），f（x）先单调递减后单调递增，故D错误．故选：D．8．如图所示，A是函数f（x）=2x的图象上的动点，过点A作直线平行于x轴，交函数g（x）=2x+2的图象于点B，若函数f（x）=2x的图象上存在点C使得△ABC为等边三角形，则称A 为函数f（x）=2x上的好位置点．函数f（x）=2x上的好位置点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．大于2【考点】函数的图象．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AB∥x轴，△ABC是等边三角形，x=log2（m﹣）=log2m﹣1，求出m的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设A，B的纵坐标为m，则A（log2m，m），B（log2m﹣2，m），∴AB=log2m﹣log2m+2=2，设C（x，2x），∵△ABC是等边三角形，∴点C到直线AB的距离为，∴m﹣2x=，∴x=log2（m﹣），∴x=（log2m+log2m﹣2）=log2m﹣1，∴log2（m﹣）=log2m﹣1=log2，∴m﹣=，解得m=2，∴x=log2（m﹣）=log2，函数f（x）=2x上的好位置点的个数为1个，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知数列{a n}的前n项和S n=3n+1，则a2+a3=24．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】直接利用数列的和，化简求解即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n=3n+1，S1=31+1=4，S3=33+1=28，a2+a3=28﹣4=24．故答案为：24．10．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则sin（θ﹣π）=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵角θ的终边过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinθ=﹣，则sin（θ﹣π）=﹣sinθ=，故答案为：．11．已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得=0，AD=AB=1，再根据•=（+）•（﹣），计算求得结果．【解答】解：由题意可得=0，AD=AB=1，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣=1﹣0﹣=，故答案为：．12．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为31℃．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据题意，把x、y的值代入函数解析式，列出方程求出函数y的解析式，再计算x=8时y的值即可．【解答】解：函数y=a+bsin（x+）（a，b为常数），当x=6时y=22；当x=12时y=4；即，化简得，解得a=13，b=﹣18；∴y=13﹣18sin（x+），当x=8时，y=13﹣18sin（×8+）=31．故答案为：31．13．设函数f（x）=（a＞0，且a≠1）．①若a=，则函数f（x）的值域为（﹣，﹣]∪（0，+∞）；②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据指数函数和对数函数的性质，分别求其值域，再求并集即可，（2）由题意可得a的不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（1）当a=时，若x≤1，则f（x）=2x﹣，则其值域为（﹣，﹣]，若x＞1，f（x）=log x，则其值域为（0，+∞），综上所述函数f（x）的值域为（﹣，﹣]∪（0，+∞），（2）∵f（x）在R上是增函数，∴a＞1，此时f（x）=2x﹣a的最大值为2﹣a，f（x）=log a x＞0，∴2﹣a≤0，解得a≥2，故a的取值范围为[2，+∞），故答案为：（1）：（﹣，﹣]∪（0，+∞），（2）：[2，+∞）14．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：①当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；②当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中：①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=是Ω函数的为①②．（填出所有符合要求的函数序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．【解答】解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．故答案为：①②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n满足b n﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24．+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b n取得最小值时n的值．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{a n}的通项公式可求；﹣b n=a n，利用累加法求得b n，结合二次函数求得b n取（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n+1得最小值时n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知d=2，﹣b n=a n，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，再由b n+1则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴a n=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（Ⅱ）b n﹣b n=2n﹣10，+1∴b2﹣b1=2×1﹣10，b3﹣b2=2×2﹣10，…=2（n﹣1）﹣10（n≥2），b n﹣b n﹣1累加得：b n=b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+=．∴当n=5或6时，b n取得最小值为b5=b6=﹣30．16．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，计算f（）的值即可；（Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期与单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x，∴f（）=cos（﹣）﹣cos=﹣（﹣）=1；（Ⅱ）函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=cos2xcos+sin2xsin﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）；∴函数f（x）的最小正周期为T==π；由y=sinx的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）；令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，解得k π﹣≤x ≤k π+；∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，（k ∈Z ）．17．已知函数f （x ）=x 3﹣9x ，函数g （x ）=3x 2+a ．（Ⅰ）已知直线l 是曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线，且l 与曲线y=g （x ）相切，求a 的值；（Ⅱ）若方程f （x ）=g （x ）有三个不同实数解，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数和切线的斜率和方程，设l 与曲线y=g （x ）相切于点（m ，n ），求出g （x ）的导数，由切线的斜率可得方程，求得a 的值；（Ⅱ）记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣9x ﹣3x 2﹣a ，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f （x ）=g （x ）有三个不同实数解的等价条件为极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=x 3﹣9x 的导数为f ′（x ）=3x 2﹣9，f （0）=0，f ′（0）=﹣9，直线l 的方程为y=﹣9x ，设l 与曲线y=g （x ）相切于点（m ，n ），g ′（x ）=6x ，g ′（m ）=6m=﹣9，解得m=﹣，g （m ）=﹣9m ，即g （﹣）=+a=，解得a=； （Ⅱ）记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣9x ﹣3x 2﹣a ，F ′（x ）=3x 2﹣6x ﹣9，由F ′（x ）=0，可得x=3或x=﹣1．当x ＜﹣1时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增；当﹣1＜x ＜3时，F ′（x ）＜0，F （x ）递减；当x ＞3时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增．可得x=﹣1时，F （x ）取得极大值，且为5﹣a ，x=3时，F （x ）取得极小值，且为﹣27﹣a ，因为当x →+∞，F （x ）→+∞；x →﹣∞，F （x ）→﹣∞．则方程f （x ）=g （x ）有三个不同实数解的等价条件为：5﹣a ＞0，﹣27﹣a ＜0，解得﹣27＜a ＜5．18．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且BC=2CD ，AD=．（Ⅰ）求CD 的长；（Ⅱ）求sin ∠BAD 的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及等边三角形的性质可得AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理即可解得CD的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求BD=3CD=3，由正弦定理即可解得sin∠BAD的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，BC=2CD，∴AC=2CD，∠ACD=120°，∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD，可得：7=4CD2+CD2﹣4CD•CDcos120°，解得：CD=1．（Ⅱ）在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理，可得：sin∠BAD==3×=．19．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a≥4时，函数f（x）存在最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）结合（Ⅰ）得到函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），而x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=e x[x（x+a）+a]＞0，从而求出f（x）的最小值是f（﹣2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（﹣2）即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x（x+2）（x+a），由f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=﹣a，①﹣a=﹣2即a=2时，f′（x）=e x（x+2）2≥0恒成立，∴函数f（x）在R递增；综上，时，函数（）在递增，＜时，（）在（﹣，﹣），（﹣a ，+∞）递增，在（﹣2，﹣a ）递减，a ＞2时，f （x ）在（﹣∞，﹣a ），（﹣2，+∞）递增，在（﹣a ，﹣2）递减；（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得：a ≥4时，函数f （x ）在x ∈[﹣a ，+∞）上f （x ）≥f （﹣2）， 且f （﹣2）=e ﹣2（4﹣a ）≤0，∵a ≥4，∴x ∈（﹣∞，﹣a ）时，x （x +a ）≥0，e x ＞0，x ∈（﹣∞，﹣a ）时，f （x ）=e x [x （x +a ）+a ]＞0，∴a ≥4时，函数f （x ）存在最小值f （﹣2）；法二：由（Ⅰ）得：a ≥4时，函数f （x ）在x ∈[﹣a ，+∞）上f （x ）≥f （﹣2）， 且f （﹣2）=e ﹣2（4﹣a ）≤0， x →﹣∞时，x 2+ax +a →+∞，∴f （x ）＞0，由（Ⅰ）可知，函数f （x ）在（﹣∞，﹣a ）递增，∴x ∈（﹣∞，﹣a ）时，f （x ）＞0，∴a ≥4时，函数f （x ）的最小值是f （﹣2）．20．已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）若a 1=2，a 2=3，求a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）求证：“数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{a n }中∃a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由a 1=2，a 2=3，结合lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）可得a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）分必要性和充分性证明，充分性利用反证法证明；（Ⅲ）利用反证法，假设数列{a n }中不存在a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2，则0＜a k ＜1或a k ≥2（k=1，2，3，…）．然后分类推出矛盾得答案．【解答】（Ⅰ）解：∵a 1=2，a 2=3，lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），∴lga 3=|lg3﹣lg2|=，即；，即a 4=2；，即；（Ⅱ）证明：必要性、已知数列{a n }中有无数多项是1，则数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0．∵数列{a n }中有无数多项是1，∴数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得a k =1，即数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0．充分性：已知数列{a n }中存在a k （k ∈N *）使得lga k =0，则数列{a n }中有无数多项是1．假设数列{a n }中没有无数多项是1，不妨设是数列{a n }中为1的最后一项，则a m +1≠1，若a m +1＞1，则由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得lga m +2=lga m +1， ∴lga m +3=|lga m +2﹣lga m +1|=0，则lga m +3=1，与假设矛盾；若0＜a m +1＜0，则由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得lga m +2=﹣lga m +1， ∴lga m +3=|lga m +2﹣lga m +1|=﹣2lga m +1，lga m +4=|lga m +3﹣lga m +2|=|﹣2lga m +1+lga m +1|=﹣lga m +1，lga m +5=|lga m +4﹣lga m +3|=|﹣lga m +1+2lga m +1|=﹣lga m +1，∴lga m +6=|lga m +5﹣lga m +4|=0，得lga m +6=1，与假设矛盾．综上，假设不成立，原命题正确；（Ⅲ）证明：假设数列{a n }中不存在a k （k ∈N *），使得1≤a k ＜2， 则0＜a k ＜1或a k ≥2（k=1，2，3，…）．由lga n +1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…），可得（n=1，2，3，…）*，且a n ＞0（n=1，2，3，…），∴当n ≥2时，a n ≥1，a n ≥2（n=3，4，5，…）．若a 4=a 3≥2，则a 5=1，与a 5≥2矛盾；若a 4≠a 3≥2，设b m =max {a 2m +1，a 2m +2}（m=1，2，3，…），则b m ≥2．由（*）可得，，，∴，即（m=1，2，3，…）， ∴，对于b 1，显然存在l 使得．∴，这与b m ≥2矛盾． ∴假设不成立，原命题正确．2016年11月17日。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A.{1}x x >B.{23}x x <<C.{13}x x <<D.{2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,),(2,4)x =-=-a b . 若a b ，则的值为A.2-B.12-C.12D.2 3. 已知命题p ：0x ∀>，1x x+≥2命题q ：若a b >，则ac bc >.下列命题为真命题的是 A.q B.p ⌝ C. p q ∨ D.p q ∧ 4.若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan(π)θ+= A.34 B.34- C.43 D.43-5.已知函数,log a b y x y x ==的图象如图所示，则 A.1b a >> B.1b a >> C.1a b >> D.1a b >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 给定条件：①0x ∃∈R ,00()()f x f x -=-；②x ∀∈R ,(1)(1)f x f x -=+的函数个数是下列三个函数：3,|1|,cos πy x y x y x ==-=中，同时满足条件①②的函数个数是A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在R 上的函数若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是A.1122a -≤≤ B.102a ≤< C.01a ≤< D.12a -<≤第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。