2006年广州高二数学水平测试试题(附答案)

广州市天河区05--06学年下学期高二数学期中考试试卷（文科）考试范围：数学1（解析几何初步）、数学1—1（圆锥曲线）、数学1—2（全部） 时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共10题，每小题5分，满分50分） 1．y -+5=0的倾斜角为（ ）A ．0150 B ． 0120 C ． 060 D ．0302．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 垂直，那么a 等于（ ）A ．3-B ．6-C ．23-D ．323．在研究两个分类变量x 、y 的关系时进行独立性检验常常使用统计变量2χ，如果我们有99.9%的把握认为x 、y 有关系，那么2χ值应在的临界值为（ ） A ．2.706 B ．3.841 C ．6.635 D ．10.8284．已知圆的方程为222610x y ax ay +-+-=，则圆心的轨迹方程为（ ） A ．3y x =- B ．3y x = C ．3x y =- D ．3x y =5．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z z =在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．把1，3，6，10，15，21，…这些数称为三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）：则第10个三角形数为（ ）A ．45B ．55C ．50D ．56 7．以下是计算201614121++++ 的值的一个 程序框图，其中判断框内填入的条件是（ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i1 3 6 158．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．23 10．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2470x y -+=上，则抛物线的方程为（ ）A ．214y x =- B ．22147y x x y =-=或 C ．27x y = D ．22147y x x y ==-或 二．填空题（共4题，每小题5分，满分20分）11.在一组随机变量x 、y 的两个回归摸型中，残差的平方和越 大的模型拟合的效果越 （填好或差）.12．阅读所给的算法流程图，则输出的结果是S= ； 13．椭圆12222=+by a x (a >b>0)离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为 .14. 设P 为抛物线x y 42=上的点，则P 到直线3+=x y 的最短距离为 .三.解答题（共6题，满分80分）15．（满分12分）直线l 过点A （-2，3）且与两坐标轴截得的线段恰好被点A 平分，求直线l 的方程。

2006年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学试题（2006．4．24）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{4,5}A =，{3,4}B =，则()U AB =ð（ ）A ．{3,4,5}B ．{1,2,3,4,6}C ．{1,2,6}D ．{1,2,3,5,6}2. 设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若()2x f x =，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）AB ．1C ．12D ．1-3. 已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．90︒D ．135︒4. 设函数(1)()(1)x f x x a x ≥=-+<⎪⎩在点1x =处连续，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2-5. 若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ） A ．//a β且αβ⊥ B ．a β⊂且αβ⊥ C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ6. 已知双曲线2212x y m-=的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则双曲线的离心率等于（ ）A B C ．2D ．47. 若0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b < B ．11a b a >-C ．||||a b >D ．22a b <8. 4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一起的概率是（ ）A ．37B ．314C ．128D ．1561A 1B 19. 已知x 、y ∈R ，则不等式组|1|||20y x y x x ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积是（ ）A ．2B ．32C ．94D ．5410. 现定义：i cos isin e θθθ=+，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对i e θ都适用。

2005年广州市普通高中必修模块调研测试数 学2005年11月14日本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分为150分．考试用时120分钟．注意事项：1．考生应在开始答题之前将自己的班级、姓名、学号填写在答题卷指定的位置上．2．应在答题卷上作答，答在试卷上的答案无效．3．选择题每小题选出答案后，应将对应题目的答案标号填写在答题卷指定的位置上．4．非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．本次考试允许使用函数计算器．6．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求 的．（1）若全集U ＝｛1，2，3，4，5｝，集合M ＝｛1，2，4｝，N ＝｛3，4，5｝，则()U M N ?＝（A ）｛1，2，3，5｝ （B ）｛1，2，3｝ （C ）｛1，3，4｝ （D ）｛4｝（2）图1是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆 子落入圆内的概率是 （A ）8π （B ）4π （C ）2π（D ）π（3）设2()3x f x x =-,则在下列区间中，使方程()0f x =有实数解的区间是（A ）[]0,1 （B ）[]1,2 （C ）[]2,1-- （D ）[]1,0-（4）阅读图2所示的流程图，输出的结果为（A ）24 （B ）12 图1（5）某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（A ）400米 （B ）500米 （C ）700米 （D ）800米（6）如图3，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体 积为（A ）1 （B ）12（C ）13 （D ）16（7）若a 0＜＜1，则下列各式中正确的是（A ）3a -＜4a - （B ）0.40.5a a ＜（C ）log 0.4a ＜log 0.5a （D ）1lg a＜lg a（8）在空间直角坐标系中，给定点()2,1,3M -，若点A 与点M 关于xOy 平面对称，点B 与点M 关于x 轴对称， 则AB ＝（A ）2 （B ）4 （C） （D）（9）函数3cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递减区间是 （A ）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） （B ）511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） （C ）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） （D ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）（10）图4所示的5×5正方形表格中尚有20个空格，若在每一个空格中填入一 个正整数，使得每一行和每一列都成等差数列，则字母a 所代表的正整数是 （A ）16 （B ）17 （C ）18 （D ）19图4图3主视图 左视图俯视图第二部分 非选择题（共100分）二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（11则该射手射击一次，至少命中7环的概率为 ．（12）若α为锐角，且1sin 3α=，则cos α= ．（13）400辆汽车通过某一段公路时的速度如图5所示，则速度 在)70,50[的汽车大约有 辆．（注：本题中速 度的单位为km /h ）（14）已知向量a 、b 的夹角为60，且2=a ，1=b ，则 a +2b = ；向量a 与向量a ＋2b 的夹角的大小为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．（16）（本小题满分14分）已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-．（Ⅰ）将()f x 化简成()f x ()sin A x ωϕ=+（其中00A ω>>，）的形式；（Ⅱ）利用“五点法”画出函数()f x 在一个周期内的简图．（要求先列表，然后在答题卷给出的平面直角 坐标系内画图）（17）（本小题满分14分）如图6，在正方体1111D C B A ABCD -中， O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是线段B A 1的中点． （Ⅰ）证明：平面1A BD ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ）证明：MO //平面11B BCC ．（18）（本小题满分12分）热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕,但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2000元购买单价为50元 的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少张才合适？（19）（本小题满分14分）已知圆C 过点P (1,1)，且与圆()()22233x y r +++=（r ＞0）关于直线30x y ++=对称．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 作两条直线分别与圆C 相交于点A 、B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点， 判断直线OP 与AB 是否平行，并请说明理由． （20）（本小题满分14分）已知函数21()2f x ax x c =-+()a c ∈R 、满足条件：①(1)0f =；②对一切x ∈R ，都有()0f x ≥． （Ⅰ）求a 、c 的值；（Ⅱ）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值－5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．图62005年广州市普通高中必修模块调研测试数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．第（14）小题的第一个空2分、第二个空3分． （11）0.82 （12）3（13）320 （14）030 三、解答题（15）本小题主要考查等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式等基本知识，考查运算求解能力．满分12分．解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得 181162a =，解得 12a =． …9分将12a =代入②得()21324213n=-－，即 3243n=，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5． …12分 （16）本小题主要考查三角函数的图象和性质等基本知识以及利用三角公式进行恒等变换的技能，考查运算求解能力．满分14分．解：（Ⅰ）()f x ＝22sin 2cos sin x x x +-＝sin 2cos 2x x +…3分sin 2cos 222x x ⎫+⎪⎪⎭sin 2cos cos 2sin44x x ππ⎫+⎪⎭)x π+． …7分…3分…6分（Ⅱ）列表如下：…12分…14分（17）本小题主要考查空间线面关系，考查空间想像能力和推理论证能力．满分14分．证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC．…2分∵C1C⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥C1C．∵AC ⊂平面A1ACC1，C1C⊂平面A1ACC1，且AC∩C1C＝C，∴BD⊥平面A1ACC1．…5分∵BD⊂平面A1BD，∴平面1A BD⊥平面11A ACC．…7分（Ⅱ）连B1C．…9分在△1A BD中，∵O是BD的中点，M是BA1的中点，∴MO∥A1D．…10分∵A1 B1∥DC，且A1 B1＝DC，∴四边形A1 DC B1为平行四边形．∴ MO ∥B 1C ， 且B 1C ⊂平面11B BCC ，MO ⊄平面11B BCC ，∴ MO //平面11B BCC ． …14分说明：直线在平面内，既可用符号“”表示，也可用符号“⊂”表示，而且应特别让学生知道后一种表示． （18）本小题主要考查不等式和线性规划等基本知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：设桌子、椅子各买x 张和y 张，则所买桌椅的总数为z x y =+．依题意得不等式组 ,1.5,50202000,x y y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩其中,x y +∈N ．…4分由,50202000,y x x y =⎧⎨+=⎩ 解得200,7200.7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由 1.5,50202000,y x x y =⎧⎨+=⎩ 解得25,75.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ …6分设点A 的坐标为（200200,77），点B 的坐标为（7525,2）， 则前面的不等式组所表示的平面区域是以A （200200,77）、 B （7525,2）、O （0，0）为顶点的ΔAOB 的边界及其内部（如图中阴影所示）． …9分令0z =，得 0x y +=，即 y x =-．作直线0l ：y x =-．由图形可知，把直线0l 平移至过点B （7525,2）时，亦即25x =，752y =时，z 取最大值． 因为 ,x y +∈N ，所以25x =，37y =时，z 取最大值．故买桌子25张，椅子37张较为合适． …12分 （19）本小题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基本知识，考查综合运用数学知识分析和 解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）依题意，可设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，且a 、b 满足方程组()3330,2231 1.3a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪⨯-=-⎪+⎩又因为点P (1,1)在圆C 上，所以()()()()222221110102r a b =-+-=+++=．故圆C 的方程为222x y +=． …7分 （Ⅱ）由题意可知，直线PA 和直线PB 的斜率存在且互为相反数，故可设PA 所在的直线方程为1(1)y k x -=-，PB 所在的直线方程为1(1)y k x -=--．由221(1),2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩ 消去y ，并整理得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--=． ① …10分 设()11,A x y ，又已知P (1,1)，则1x 、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得()2121211k x k --=+ ，即212211k k x k --=+．同理，若设点B 22(,)x y ，则可得222211k k x k +-=+． …12分 于是 12121212(1)(1)AB y y k x k x k x x x x --+-==--＝1212()2k x x k x x +--=1． 而直线OP 的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线OP 与AB 平行． …14分 （20）本小题主要考查函数、方程、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析和解决问题的能力．满分14 分．解：（Ⅰ）当0a =时，1()2f x x c =-+．由(1)0f =得：102c -+=，即12c =，∴ 11()22f x x =-+．显然x ＞1时，()f x ＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴ 0a ≠，函数21()2f x ax x c =-+是二次函数． …2分 由于对一切x ∈R ，都有()0f x ≥，于是由二次函数的性质可得20140.2a ac >⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，－－ 即010.(*)16a ac >⎧⎪⎨≥>⎪⎩，…4分由(1)0f =得 12a c +=，即12c a =-，代入（*）得 11216a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭． 整理得 2110216a a -+≤，即2104a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭． 而2104a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 14a =．将14a =代入（*）得，14c =， ∴ 14a c ==． …7分另解：（Ⅰ）当0a =时，1()2f x x c =-+．由(1)0f =得 102c -+=，即12c =， ∴ 11()22f x x =-+．显然x ＞1时，()f x ＜0，这与条件②相矛盾，∴ 0a ≠，因而函数21()2f x ax x c =-+是二次函数． …2分 由于对一切x ∈R ，都有()0f x ≥，于是由二次函数的性质可得20140.2a ac >⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，－－ 即010.16a ac >⎧⎪⎨≥>⎪⎩， …4分由此可知 a c >>0，0，∴ 22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．由(1)0f =，得 12a c +=，代入上式得 116ac ≤． 但前面已推得 116ac ≥， ∴ 116ac =． 由 1,161,2ac a c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得 14a c ==． …7分（Ⅱ）∵ 14a c ==， ∴ 2111()424f x x x =-+． ∴ 2111()()424g x f x m x x m x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭． 该函数图象开口向上，且对称轴为21x m =+． …8分 假设存在实数m 使函数2111()()424g x f x mx x m x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭在区间[],2m m +上有最小值－5． ① 当m ＜－1时，21m +＜m ，函数()g x 在区间[],2m m +上是递增的， ∴ ()g m ＝－5，即21115424m m m ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭， 解得 m ＝－3或m ＝73． ∵ 73＞－1， ∴ m ＝73舍去． …10分② 当－1≤m ＜1时，m ≤21m +＜m ＋1，函数()g x 在区间[],21m m +上是递减的，而在区间[]21,2m m ++上是递增的，∴ ()21g m +＝－5，即()()211121215424m m m ⎛⎫+-+++=- ⎪⎝⎭．解得 m ＝12--m ＝12-+均应舍去． …12分 ③当m ≥1时，21m +≥m ＋2，函数()g x 在区间[],2m m +上是递减的， ∴ ()2g m +＝－5，即()()2111225424m m m ⎛⎫+-+++=- ⎪⎝⎭．解得 m ＝1--m ＝1-+m ＝1--应舍去．综上可得，当m ＝－3或m ＝1-+()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值－5． …14分2005年广州市普通高中必修模块调研测试数 学 答 题 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第（14）小题第一个空2分、第二个空3分．把答案填在下面的横线上．（11） ． （12） ． （13） ． （14） ； ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分12分）(16)（本小题满分14分）学校：班别：姓名：学号：不 要 在 密 封 线 内 答 题（17）（本小题满分Array14分）（18）（本小题满分12分）不 要 在 密 封 线 内 答 题（19）（本小题满分14分）学校： 班别： 姓名： 学号：不 要 在 密 封 线 内 答 题（20）（本小题满分14分）。

试卷类型：A2006年广州市普通高中毕业班第一次模拟考试数 学 试 题（2006年3日20日）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．B ．1+C ．πD ．2π2. 在复平面中，复数1i z i=+（i 为虚数单位）所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 函数y =1x ≥）的反函数是（ ）A ．y =1x ≥） B ．y =0x ≥）C ．y =1x ≥）D ．y =（0x ≥）4.已知向量(2,3)a = ，||b =//a b ，则向量b 的坐标为（ ）A ．(4,6)-B ．(4,6)C ．(6,4)-或(6,4)-D ．(4,6)--或(4,6)5. 已知集合2{|10}M x x =-<，01xN xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则下列关系中正确的是（ ） A ．M N =B ．M N ⊂≠C ．N M ⊂≠D ．M N =∅6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，5AD =，13AA =，则四棱锥111B A BCD -的体积是（ ） A ．10B ．20C ．30D ．607. 若(41)n x -（n *∈N ）的展开式中各项系数的和为729，则展开式中3x 的系数是（ ）A ．1280-B ．64-C ．20D ．12808. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，是下列命题中正确的是（ ）A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a αD ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥9. 函数()y f x =是定义在R 上的增函数，()y f x =的图像经过点(0,1)-和下面哪一个点时，能确定不等式|(1)|1f x +<的解集为{|12}x x -<<（ ） A ．(3,0)B ．(4,0)C ．(3,1)D ．(4,1)10. 已知(,)P t t ，t ∈R ，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A ．1B ．C ．1D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中相应的横线上． 11. 224lim2x x x →--=+ ．12. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，715a =，则13S = ．13. 某学校招收的12名体育特长生中有3名篮球特长生．现要将这12名学生平均分配到3个班中去，每班都分到1名篮球特长生的分配方法共有 种，3名篮球特长生被分配到同一个班的分配方法共有 种．（用数字作答）14. 如图，已知(0,5)A ，(1,1)B ，(3,2)C ，(4,3)D ，动点(,)P x y 所在的区域为四边形ABC D （含边界）．若目标函数z ax y =+只在点D 处取得最优解，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 15. （本小题满分12分）某射击运动员射击1次，击中目标的概率为45．他连续射击5次，且每次射击是否击中目标相互之间没有影响．（Ⅰ）求在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率； （Ⅱ）求在这5次射击中，至少击中目标2次的概率．16.（本小题满分12分）已知sincos225αα-=，,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1tan 2β=．（Ⅰ）求sin α的值； （Ⅱ）求tan()αβ-的值．17. （本小题满分14分）如图，长度为2的线段AB 夹在直二面角l αβ--的两个半平面内，A α∈，B β∈， 且AB 与平面α、β所成的角都是30︒，AC l ⊥，垂足为C ，BD l ⊥，垂足为D ．（Ⅰ）求直线AB 与C D 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角C A B D --所成平面角的余弦值．18. （本小题满分14分）已知数列{}n x 满足下列条件：1x a =，2x b =，11(1)0n n n x x x λλ+--++=（n *∈N 且 2n ≥），其中a 、b 为常数，且a b <，λ为非零常数． （Ⅰ）当0λ>时，证明：1n n x x +>（n *∈N ）； （Ⅱ）当||1λ<时，求lim n n x →∞．19. （本小题满分14分）如图，在O AB ∆中，||||4OA OB ==，点P 分线段AB 所成的比3:1，以O A 、O B 所在 直线为渐近线的双曲线M 恰好经过点P ，且离心率为2．（Ⅰ）求双曲线M 的标准方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+（0k ≠，0m ≠）与双曲线M 交于不同的两点E 、F ，且E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，求实数m 的取值范围．20. （本小题满分14分）已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+ （其中e 为自然对数的底，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1|()|()2f xg x >+；（Ⅲ）试问：是否存在实数a ，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．2006年广州市普通高中毕业班第一次模拟考试数学试题参考答案一、选择题：二、填空题：三、解答题：15.解：设此人在这5次射击中击中目标的次数为ξ，则4 5,5Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，因此，有（Ⅰ）在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率为232554132(2)55625P C⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）在这5次射击中，至少击中目标2次的概率为5401555514131041(0)(1)15553125P P P C C⎛⎫⎛⎫=--=-⋅-⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16.解：（Ⅰ）2214 sin cos sin cos1sin sin22522555αααααα⎛⎛⎫-=⇒-=⇒-=⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）4sin54tan3,2ααπαπ⎫=⎪⎪⇒=-⎬⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎭，由此及1tan2β=得41tan tan1132tan()411tan tan2132αβαβαβ----===-+⎛⎫+-⨯⎪⎝⎭．17.解：（Ⅰ）如图所示，连结B C，设直线AB与C D所成的角为θ，则由ACβ⊥知：cos cos cosABC D C Bθ=∠⋅∠cos302=︒=，故45θ=︒；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(0,1)A ， (1,0,0)B，(0,,0)C ，所以(0,0,1)CA =，(1,0)C B =-，设1(,,)n x y z =是平面A B C 的法向量，则1100CA n z CB n x ⎧⋅==⎪⇒⎨⋅=-=⎪⎩可以取1,1,0)n = ．同理，2(0,1,n =-是平面ABD 的法向量．设二面角C A B D --所成的平面角为γ，则显然γ是锐角，从而有12121cos 3||||n n n n γ⋅===⋅．18. （Ⅰ）证明：由已知得11()n n n n x x x x λ+--=-及210x x b a -=->知：数列1{}n n x x +-是首项为b a -，公比为λ的等比数列，故11()n n n x x b a λ-+-=-⋅，由此及0λ>知：10n n x x +->，即1n n x x +>；（Ⅱ）由已知得1121n n n n x x x x x x b a λλλλ+--=-==-=- ，由此及（Ⅰ）的结论得1()1n n b a b a x λλλ----⋅=-，由此及1||1lim 0lim 1n n n n b a x λλλλ-→∞→∞-<⇒=⇒=-．19. 解：（Ⅰ）因为双曲线M 的离心率为2，所以可设双曲线M 的方程为222213x yaa-=，由此可得渐近线的斜率60k BOx =∠=︒，从而(2,B，(2,A -． 又因为点P 分线段AB 所成的比为3:1，故(2,P ，代入双曲线方程得23a =，故双曲线M 的方程为22139xy-=；（Ⅱ）如图所示，由方程组22222(3)290139y kx m k x km x m x y=+⎧⎪⇒-+++=⎨-=⎪⎩，设11(,)E x y 、22(,)F x y ，线段EF 的中点为00(,)N x y ，则有2222222230344(3)(9)093k k k m k m m k⎧⎧-≠≠⎪⎪⇒⎨⎨∆=--+>+>⎪⎪⎩⎩． ……①由韦达定理得120223x x km x k +==--，00233m y kx m k =+=--．因为E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，所以NQ EF ⊥，即2200333913490NQ y m k k k m x kmk+-+-===-⇒=+--． ……②由①、②得294994904040m m m m or m m ⎧+>+⎪+>⇒>-<<⎨⎪≠⎩．20. 解：（Ⅰ）当[,0)x e ∈-时，(0,]x e -∈，故有()ln()f x ax x -=-+-，由此及()f x 是奇 函数得()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-⇒=--，因此，函数()f x 的解析式为ln()(0)()ln (0)ax x e x f x ax xx e ---≤<⎧=⎨+<≤⎩；（Ⅱ）证明：令1()|()|()2F x f x g x =--。

广州市高中二年级水平测试•数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1、已知集合{1,2,4,8}M =，{2,4,6,8}N =，则M N = ( )..A {2,4} .B {2,48}， .C {1,6} .D {12,4,68}，，2、下列函数中，与函数1y x=定义域相同的函数为( ). .A 1y x=.B y x =.C 2y x -=.D ln y x =3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知59a =，24S =，则2a =( )..A 1 .B 2 .C 3.D 5 4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( )..A 6.B 9.C 18.D 365、将函数cos y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x = 的图像，则下列说法正确的是( )..A ()y f x =的最小正周期为π.B ()y f x =是偶函数.C ()y f x =的图像关于点(,0)2π对称.D ()y f x =在区间[0,]2π上是减函数6、已知221ab>>，则下列不等关系式中正确的是( )..A sin sin a b >.B 22log log a b <.C 11()()33a b > .D 11()()33a b <7、在ABC △中，已知5AB AC ==，6BC =，则AB BC =( )..A 18 .B 36 .C 18- .D 36-8、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+,023,023,06y x y x y x 则y x z 2-=的最小值为( ).A 10- .B 6- .C 1- .D 0 9、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，3)(1-=+x a x f （a 为常数），则)1(-f 的值为( ).A 6-.B 3-.C 2-.D 610、小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b )0(>>b a ，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则( ).A 2ba v +=.B ab v =.C 2ba v ab +<< .D ab v b <<435俯视图侧视图正视图二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11、过点)0,3(-且与直线024=-+y x 平行的直线方程是______12、如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为______13、执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是______14、在ABC ∆中，已知6=AB ，33cos =C ，C A 2=，则BC 的长为______三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、（本小题满分12分）实验室某一天的温度（单位：C o）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()[]24,0,312sin 4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ππ.（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低.20?z <z 输出开始结束x y =1,2x y ==y z=z x y =+是否16、（本小题满分12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2 可回收垃圾4 19 2 3 有害垃圾2 2 14 1 其他垃圾1 5 3 13 （1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误．．的概率.17、（本小题满分14分）如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形， ABCD PA 平面⊥，AB PA =，点E 为PB 的中点. （1）求证：ACE PD 平面//；（2）求证：PBC ACE 平面平面⊥.EDCBAP18、（本小题满分14分）已知直线05=+-y ax 与圆922=+y x C ：相交于不同两点A ，B . （1）求实数a 的取值范围（2）是否存在实数a ，使得过点()12，-P 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，21a a +，()412a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n S ，求证：6<n S .20、（本小题满分14分）已知R a ∈，函数()a x x x f -=.（1）当2=a 时，求函数()x f y =的单调递增区间； （2）求函数()()1-=x f x g 的零点个数.广州市高中二年级学生学业水平测试数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDCCDDCBAD二、填空题11、430x y ++= 12、0.14π 13、21 14、22 三、解答题15、解：（1）依题意()4sin(),[0,24]123f t t t ππ=-∈实验室这一天上午10点，即10t =时，(10)4sin(10)4sin 41232f πππ=⨯-==，所以上午10点时，温度为4C.（2）因为024t ≤≤，所以531233t ππππ-≤-≤， 令123t ππθ=-，即533ππθ-≤≤，所以54sin ,[,]33y ππθθ=∈- 故当32πθ=时，即22t =时，y 取得最小值，min 34sin42y π==- 故当22t =时，这一天中实验室的温度最低。

广州市高中二年级学生学业水平测试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分. 1.已知集合M =-1,0,1{}，{}x x x N ==2|，则M ÇN=()A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为()A. 14B.12C. 2D.43.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是()A. 2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=0 4.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是()A.-1,0()B.0,1()C.1,2()D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是()6.要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是()A.(1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B.(1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C.(1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D.(1)(2)都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ，则z =x -y 的最大值为()A. 3B.1C.1-D.5- 8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为()A. 6B. 9C. 12D. 18 9.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是() A.2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZC.k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为()A.22B.22+1C.22+2D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

2006年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学试题（2006．4．24）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{4,5}A =，{3,4}B =，则()U AB =ð（ ）A ．{3,4,5}B ．{1,2,3,4,6}C ．{1,2,6}D ．{1,2,3,5,6}2. 设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若()2x f x =，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）AB ．1C ．12D ．1-3. 已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．90︒D ．135︒4. 设函数(1)()(1)x f x x a x ≥=-+<⎪⎩在点1x =处连续，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2-5. 若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ） A ．//a β且αβ⊥ B ．a β⊂且αβ⊥ C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ6. 已知双曲线2212x y m-=的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则双曲线的离心率等于（ ）A ．2B C ．2 D ．47. 若0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b < B ．11a b a >-C ．||||a b >D ．22a b <8. 4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一起的概率是（ ）A ．37B ．314C ．128D ．1561A 1B 19. 已知x 、y ∈R ，则不等式组|1|||20y x y x x ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积是（ ）A ．2B ．32C ．94D ．5410. 现定义：i cos isin e θθθ=+，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对i e θ都适用。

第1页【共 2 页】 第2页【共 2 页】080517()12012345.155=⨯⨯⨯⨯=A ()481234224412=⨯⨯⨯⨯=A C ()12123233322=⨯⨯⨯=A A18解（法一）、取AB 的中点D ，连DC 、DC 1则1CDC ∠就是二面角C －AB －C 1的平面角，︒=∠601CDC ，在等边三角形ABC ∆中AB ＝1，23=∴CD 从而在RT 1CDC ∆可求3,2311==DC CC ， 1.31.311CC S h S ABC ABC ∆∆=∴ 43=∴h19、（优化设计P113页例题2）20、（1）证明：连结AC 、BD 交于点O ，由正方形ABCD 知AC ⊥BD ， 又PD ⊥底面ABCD AC PD ⊥∴，可证AC ⊥底面PBD （2）连结OE ，由O 、E 分别为BD 、PC 的中点，OEB OE PA ∠∴则//即为异面直线PA 与BE 所成的角，在622122122=+=====∆CE BC ，BE BP ，OB PA OE BOE 中6,232cos 222π=∠∴=∙-+=∠∴BEO OE BE OB OE BE BEO即异面直线PA 与BE 所成的角的大小为6π//////1212BF FP FG AB FG DE CE ED DE AB ⎫=⇒⎪⎪⇒⎬⎪=⇒⎪⎭===//DEFG EF DG ⇒⇒=四边形为平行四边形 PD ABCD PAD ABCD AB PADAB AD ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面平面平面平面又PAB PAD PD AD AG PA DG PAB EF PAB PG GA AG PAD EF DG ⎫⇒⊥⎫⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎪⇒⊥=⎬⎭⎪⎪⎪⊂⎭⎪⎪⎭平面平面平面平面平面 ⑵设AC , BD 交于O ，连结FO .//12PF BF FO PD FO BO OD PD ABCD ==⎫⎫⇒⎬⎪⇒⊥=⎬⎭⎪⊥⎭平面平面设BC =a , 则AB , ∴P Aa , DG a =EF , ∴PB =2a , AF =a . 设C 到平面AEF 的距离为h . ∵V C －A E F =V F －A CE , ∴11113232EF AF h CE AD FO ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅ 即222a a a h a a ⋅⋅=⋅⋅ ∴2ah =∴AC 与平面AEF 所成角的正弦值为6h AC ==. 即AC 与平面AEF 所成角为arcsin 622、解：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，OD PA ∴ ∥ PA PAB ⊂又平面， OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥= ，，OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥ 又 平面，.PA PB PC ∴==E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.又OD PA ∥，∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，sin OF Rt ODF ODF OD ∆∠==在中， PBC ∴ PA 与平面所成的角为 （Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF PBC ⊥平面，∴F 是O 在平面PBC 内的射影 ∵D 是PC 的中点，若点F 是PBC ∆的重心，则B ，F ，D 三点共线，∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴= ，即k = 反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心。

2006年普通高等学校夏季招生考试数学(文理合卷)广东卷(新课程)本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 数列｛n 2｝前n 项和公式12+22+32+…+n 2=6)12)(1(++n n n球的表面积公式 S=4πR 2其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=34πR 3其中R 表示球的半径第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数)13(113)(2++-=x g xxx f 的定义域是A ．（∞+-，31） B ．（131，-） C ．（31,31-） D ．（31,-∞-） 2．若复数z 满足议程z 2+2=0，则z 3=A ．22±B ．22-C ．i 22-D ．+2i 2 3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．R x x y ⊂-=,3B ．R x x y ∈=,sinC ．R x x y ∈=,D ．R x y x ∈=,)21(4．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =A ．BA 21BC ＋- B ．BA 21BC －-C ． BA 21BC -D ． BA 21BC ＋5.给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

其中真命题的个数式A ．4B ．3C ．2D ．16．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．27．函数)(x f y =的反函数y=f -1(x)的图像与y 轴交于点P （0，2）（如图），则方程f(x)=0在[]4,1上的根是x=A ．4B ．3C ．2D ．1 8.已知双曲线3x 2+y 2=9，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于A ．2B ．332 C ．2 D ．49、在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥42,,0,0x y s x y yx 下，当3≤≤s 5时，目标函数z=3x+2y 的最大值的变化范围是A 、[6，15]B 、[7，15]C 、[6，8]D 、[7，8]10、对于任意的两个实数对（a,b ）和(c,d)，规定：(a,b)=(c,d),当且仅当a=c,b=d ；运算“⊗”为：（a,b ）⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为：（a,b ）⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p 、q ,R ∈若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0）则（1，2）⊕（p ，q ）= A 、（4，0） B 、（2，0） C 、（0，2） D 、（0、-4） 第二部分 非选择题（共100分）二、填空题，本大题共有四小题，每小题5分，共20分。