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北京邮电大学电信工程学院多媒体通信中心门爱东电信工程学院多媒体通信中心门爱东教授menad@数字信号处理Digital Signal Processing第1 章绪论2北京邮电大学电信工程学院多媒体通信中心门爱东D igital S ignal P rocessing , Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT主题概述0 –前言1-绪论2 -离散时间信号和离散时间系统3-离散傅里叶变换及其快速计算方法4-IIR 数字滤波器设计和实现5 -FIR 数字滤波器设计和实现6 -数字信号处理中的有限字长效应3北京邮电大学电信工程学院多媒体通信中心门爱东D igital S ignal P rocessing , Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT前言：课程内容掌握离散时间系统的基本特性和离散信号的变换数字信号的定义和特点离散系统的普遍关系（线性、时不变、稳定性、因果性、离散卷积） 离散信号的Z 变换和离散时间傅氏变换DTFT 离散系统的描述时域：差分方程y(n)、脉冲响应h(z) 变换域：传输函数H(z)、频率响应H(e )掌握离散傅里叶变换原理，能够应用DFT 分析信号频谱离散付氏级数DFS有限长度离散傅氏变换DFTDFT 的应用，用DFT 求有限长序列的线性卷积以及分段卷积、频谱分析快速离散傅氏变换FFT （时间抽选法、频率抽选法）掌握数字滤波器的原理，能够设计数字滤波器IIR 数字滤波器的原理、设计和实现结构 FIR 数字滤波器的原理、设计和实现结构 理解字长效应，掌握数字信号处理的实际实现能够用MATLab 解决数字信号处理相关的问题 了解多取样滤波的原理、应用和发展4北京邮电大学电信工程学院多媒体通信中心门爱东D igital S ignal P rocessing , Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT主题概述1 -绪论1.1 数字信号处理的定义、特点和方法1.1.1 定义1.1.2 数字信号处理的特点1.1.3 数字信号处理的方法1.1.4 数字信号处理的两个重要类别1.1.5 数字信号处理系统1.2 数学预备知识1.2.1 傅氏变换1.2.2 特殊的模拟函数2 -离散时间信号和离散时间系统3-离散傅里叶变换及其快速计算方法4-IIR 数字滤波器设计和实现5 -FIR 数字滤波器设计和实现6 -数字信号处理中的有限字长效应7 –多率信号处理5北京邮电大学电信工程学院多媒体通信中心门爱东D igital S ignal P rocessing , Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT1.1 数字信号处理的意义、特点和应用1.1.1信号的定义和分类信号：信息的物理表现形式，一般表现为随时间、空间或其它独立变量变化的某种物理量（传递信息的函数）。
《数字信号处理》课程教学大纲一、课程编号：1100020二、课程名称：数字信号处理 ( 64学时)Digital Signal Processing三、课程教学目的数字信号处理是现代信息处理和传输的基础课程之一，已经成为信号和信息处理、通信和电子、计算机科学和技术等专业的学生需要学习和掌握的基本知识。
本课程以离散时间信号与系统作为对象，在介绍经典理论的基础上，适当引入了现代信号处理的理论与方法以及Matlab仿真分析软件。
通过本课程的学习，使得学生能够掌握确定性离散时间信号的频谱分析原理及快速实现方法，数字滤波器的设计及实现方法。
使学生能够利用计算机技术来进行数字信号的处理，并根据实际需要分析、设计数字滤波系统。
本课程是进一步学习数字通信、图像处理、随机数字信号处理、无线通信、多媒体通信等专业课程的先修课程。
四、课程教学基本要求1．掌握离散时间信号和系统的基本标识方法2．掌握离散时间系统的基本特性、Z变换以及离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）3．掌握离散傅立叶变换（DFT）以及离散傅立叶变换的快速算法（FFT）4．掌握数字滤波器的设计方法和结构5．了解多速率信号处理的基本内容五、教学内容及学时分配（含实验）理论教学（56学时）1．绪论2学时数字信号处理的特点、实现和应用Matlab简介2．离散时间系统的基本特性及流图10学时抽样与重建离散系统及其普遍关系信号流图及Mason公式离散时间信号的傅立叶变换Z变换及Z反变换（留数法）Z变换与拉普拉斯、傅立叶变换的关系离散系统的频域分析3．离散傅立叶变换及其快速实现14学时DFS的定义及性质DFT的定义、性质及应用基2时间抽选法FFT基2频率抽选法FFT基4时间抽选法FFTIDFT的快速算法FFT应用（线性卷积的快速计算、CZT变换）4．IIR数字滤波器的设计和实现12学时滤波器概述模拟滤波器的设计模拟滤波器的数字仿真冲激响应不变法和双线性变换法的设计IIR滤波器的频率变换设计IIR数字滤波器的计算机辅助设计IIR 滤波器的实现结构5．FIR数字滤波器的设计10学时线性相位FIR滤波器的条件和特性概述窗函数法频率取样法FIR数字滤波器的优化设计FIR数字滤波器的实现结构6．多速率信号的处理基础8学时抽取和内插的时域和变换域描述抽取滤波器和内插滤波器多相分解正交镜像滤波器组双通道滤波器组实验教学（8学时）1.利用FFT对离散信号的频谱进行分析2学时2.IIR数字滤波器设计3学时3.FIR数字滤波器设计3学时六、教学重点、难点重点：离散傅傅立叶变换和数字滤波器设计难点：离散信号和系统的频域分析七、先修课程：高等数学、线性代数、信号与系统八、适用专业：通信工程、电子信息工程、电子信息科学与技术、电子科学与技术、光信息科学与技术、电信工程及管理九、使用教材及参考书目教材：《数字信号处理》，门爱东、苏菲、王雷、王海婴、李江军编著，科学出版社，2009 《数字信号处理教程》，程佩清编，清华大学出版社，2007参考书目：1．《Digital Signal Processing------A computer-Based Approach, Second Edition》，[美] Sanjit K. Mitra 著，电子工业出版社，2．《数字信号处理》，陈后金主编，高等教育出版社，20053．《数字信号处理：理论、算法与实现》，胡广书编，清华大学出版社，2003执笔人: 苏菲门爱东。
现代数字信号处理实验报告1、估计随机信号的样本自相关序列。
先以白噪声()x n 为例。
(a) 产生零均值单位方差高斯白噪声的1000个样点。
(b) 用公式：9991ˆ()()()1000x n r k x n x n k ==-∑估计()x n 的前100个自相关序列值。
与真实的自相关序列()()x r k k δ=相比较，讨论你的估计的精确性。
(c) 将样本数据分成10段，每段100个样点，将所有子段的样本自相关的平均值作为()x n 自相关的估值，即：999001ˆ()(100)(100) , 0,1,...,991000x m n r k x n m x n k m k ===+-+=∑∑与(b)的结果相比，该估计值有什么变化？它更接近真实自相关序列()()x r k k δ=吗？(d) 再将1000点的白噪声()x n 通过滤波器11()10.9H z z-=-产生1000点的y (n )，试重复(b)的工作，估计y (n )的前100个自相关序列值，并与真实的自相关序列()y r k 相比较，讨论你的估计的精确性。
仿真结果：(a)图1.1 零均值单位方差高斯白噪声的1000个样本点分析图1.1：这1000个样本点是均值近似为0，方差为1的高斯白噪声。
(b)图1.2 ()x n的前100个自相关序列值分析上图可知：当k=0时取得峰值，且峰值大小比较接近于1，而当k≠0时估计的自相关值在0附近有小幅度的波动，这与真实自相关序列r(k)=δ(k)x比较接近，k≠0时估计值非常接近0，说明了估计的结果是比较精确的。
(c)图1.3基于Bartlett 法的前100个自相关序列值与(b)的结果相比，同样在k=0时达到峰值，k ≠0时0值附近上下波动；估计值的方差比较小，随着k 的增大波动幅度逐渐变小，在k 较大时它更接近真实自相关序列()()x r k k δ=。
即采用分段方法得到的自相关序列的估计值更加接近r x (k)=δ(k)。
习题解答4.1 根据给定的模拟滤波器的幅度响应平方，确定模拟滤波器的系统函数 H(s)。
(1) 261|()|164H j Ω=+Ω(2) 2222216(25)|()|(49)(36)H j -ΩΩ=+Ω+Ω分析：在模拟滤波器设计中，由各种逼近方法确定了幅度响应，通过下列步骤求出滤波器的系统函数H(s)。
更进一步，通过脉冲响应不变法或双线性变换法，可以得到数字滤波器的传输函数 H(z)。
（1）考虑s j =Ω，将幅度响应表达式整理为s 为变量的表达式，求 ()()a a H s H s - 表达式的零极点；（2）为了系统稳定，选择左半平面的极点构成 H(s)；（3）如果没有特殊要求，可以选择取 ()()a a H s H s -以虚轴为对称轴的对称零点的任意一半（应是共轭对）作为 H a (s) 的零点。
但如果要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为 H a (s) 的零点。
（4）对比()a H s 和()a H j Ω 的低频特性或高频特性，从而确定增益常数K 0。
解：（1）由于2)(Ωj H a 是非负有理函数，它在Ωj 轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，先求2321()()()164()22H s H s H j a a as s -=Ω=+-Ω=-其极点为0.50.250.4330.50.250.433j j --±±我们选出左半平面极点s=0.5和 0.250.433j -± 为)(s H a 的极点，并设增益常数为0K ，则得)(s H a 为：002()(0.5)(0.250.433)(0.250.433)(0.5)(0.50.25)K K H s a s s j s j s s s ==++-+++++ 按着()a H s 和()a H j Ω的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。
在这里我们采用低频特性，即由00()|()|a s a H s H j =Ω==Ω的条件可得增益常数0K 为：018K =最后得到)(s H a 为：21()8(0.5)(0.50.25)H s a s s s =+++（2）由于2)(Ωj H a 是非负有理函数，它在Ωj 轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，得)36)(49()25(16222)()()(222s s s s j aH s a H s a H --+=-=ΩΩ=- 其极点为：6,7±=±=s s其零点为：5j s ±=（皆为二阶，位于虚轴上）j Ω虚轴上的零点或极点一定是二阶的，其中一半（应为共轭对）属于 H a (s)。
习 题1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。
(a) f(t)(b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2)2. 设 f(t) 是某一函数，a, t 0, T 为实常数，证明：(a))()()()(000t t t t f a at t f -=-δδ(b))()(1)()(000a t a f a at t f t t t -=-δδ(c))()()()(00nT t nT f TTt comb t f t tt n --+=-∑∞-∞=δ3.(a) 如 f(t) F(Ω)，证明：eeetjty j tj t f dy y F F Ω-∞∞--Ω-Ω-==*Ω⎰)(2)()()(π(b) 用 （a ） 的结果，证明频域卷积定理)()(21)()(2121Ω*Ω↔F Ffft t π4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。
5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ(b) )()()(0Ω+Ω=Ω+Ω*Ω∑∑∞-∞=∞-∞=n H n H n n δ6. 设eta t f -=)(，证明脉冲序列)()(nT t nT f n -∑∞-∞=δ的傅氏变换等于aTaT aT e T e e 22cos 211---+Ω--7.(a) 证明T n n n jnT eπδ2),(1000=ΩΩ+Ω=Ω∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-(b) 若f(t) F(Ω)，证明)()(0Ω+Ω=∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-n F nT f Tn n jnT e习 题1. 下列系统中，y(n) 表示输出，x(n) 表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？(a) y(n) = 2x(n) +3(b) y(n) = x 2(n)(c) ∑-∞==nm m x n y )()(2. 确定下列系统是否因果的？是否稳定的？ (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界(b) ∑-==nk n k x n y 0)()( n>n 0 (c) y(n) = x(n-n 0)(d) x(n) = a nu(n), h(n) = u(n)(e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) nu(n)3. x(n) 为输入序列， h(n) 为系统的单位取样响应序列，确定输出序列 y(n)， (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示⎪⎩⎪⎨⎧=0)(a n n h⎪⎩⎪⎨⎧=-0)(0βn n x n 的卷积 y(n) = x(n) * h(n)5. 讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。
习题二1、求证：,()(,)x i j x i j xi xj R t t C t t m m =+。
证明：(,)(,)(,,,)x i j i j iji j i j i j R t t E x x x xp x x t t dx dx ==⎰⎰(,)[(),()](),()(,,,)()(,,,)(,)(,)i j i j j i i j i j j i i j i jx i j i x j x i x j x i j i j i ji j i x j x x x i j i j i j x i j x x x x x x x i j x x C t t E x m x m x m x m p x x t t dx dx x x x m x m m m p x x t t dx dx R t t m m m m m m R t t m m =--=--=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰ 2、令()x n 和()y n 不是相关的随机信号，试证：若()()()w n x n y n =+，则w x y m m m=+和222w x y σσσ=+。
证明：(1)[()][()()][()][()]x ym E n E x n y n E x n E y n m m ωω==+=+=+ (2)2222222222[(())]{[()()()]}[(())(())][(())][(())]2[(())(())]2[]x y x y x y x y x y x y x y x y x y x yE n m E x n y n m m E x n m y n m E x n m E y n m E x n m y n m m m m m m m m m ωωσωσσσσ=-=+-+=-+-=-+-+--=++--+=+即222x y ωσσσ=+3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明： ①当0τ=时，2(0),(0)x x x x R D C σ==； ②当τ=∞时,2(),()0x x x R m C ∞=∞=。
