北邮数字信号处理第四章附加习题答案

习题四4.1 用窗函数法设计一线性相位FIR 高通滤波器，通带边界频率为0.6π，阻带边界频率为0.4π，要求阻带衰减不小于40dB ，窗函数从矩形窗、汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗中选取，且要求滤波器的阶数最小。

求出该滤波器的单位脉冲响应h (n )的解析式。

解 求理想高通滤波器的边界频率n ω和过渡带宽ω∆:0.60.40.522c rn ωωππωπ++≈== 0.60.40.2c r ωωωπππ∆=-=-=选择窗函数和窗口长度。

阻带衰减不小于40dB ，因此选择汉宁窗。

根据过渡带宽求窗口长度N 和线性相位延迟常数α:6.20.231N Nππ=⇒= 1152N α-== 根据理想边界频率n ω和线性相位延迟常数α，求理想单位脉冲响应d ()h n :[][]()()d sin ()sin ()1()()d d 21n n n j n j n n n n n n h n e e n ωπωαωαπωαπαωαπαωωπωαπ----⎧---≠⎪⎪-⎡⎤=+=⎨⎢⎥⎣⎦⎪-=⎪⎩⎰⎰ 窗函数与理想单位脉冲响应相乘，即可得到线性相位FIR 高通滤波器的单位脉冲响应:[][]sin (15)sin (15)0.50.50.5cos ()15()15(15)0.515N n n n R n n h n n n ππππ⎧---⎡⎤⎛⎫-⋅⋅≠⎪ ⎪⎢⎥=-⎝⎭⎨⎣⎦⎪=⎩0,1,2,,30n =⋅⋅⋅6kHz ，阻带边界频率为2kHz 和8kHz ，采样频率为20kHz ，要求阻带衰减不小于50dB ，窗函数从矩形窗、汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗中选取，且要求滤波器的阶数最小。

求出该滤波器的单位脉冲响应h (n )的解析式。

解 求理想带通滤波器的边界频率1ω、2ω和过渡带宽ω∆:12121212112212221120.4 , 20.620.2 , 20.80.3 , 0.7220.2c c c c s s r r r r s sc r c r r c c r f ff f f ff f ωππωππωππωππωωωωωπωπωωωωωπ========++≈=≈=∆=-=-= 选择窗函数和窗口长度。

4.1将模拟信号〃?(，)=sin 24fmt 载波c(r)=Acsin 271fd 相乘得到双边带抑制载波调幅(DSBSC)信号，设：(1)请画出DSB-SC 的信号波形图；(2)请写出DSB-SC 信号的傅式频谱式，并画出它的振幅频谱图； (3)画出解调框图，并加以简单说明。

解：⑴(2) s(t)= =sin(2^ Ac sin(27rfct)Ac=——[cos2](%-fm)t-COS 2兀5+ffn)t] A = »]+3[f-(fc-»]} 4A ，’ 2.1 "+(先+加)]+例/—(九+加)]} 4y(0l/2fc1/fc 3/2fc 2/fc 5/2fc 3/fc 7/2fc 4/fc 9/2fc 5/fct(s)S ⑴八3Ac/4- Ac/2.Ac/4(3)相干解调Cos(Wct)与发端相干偏调相干解调：将接收信号与载波信号sin(2乙加)相乘，得至U A cr(t)sin(2^fct)=Acm(t)sin(2^fct)sin(2^fit)=--cos(44fct)]通过低通滤波器抑制载频的二倍频分量，得到解调信号为刈⑺=与机⑺ 2.2 已知某调幅波的展开式为：s(t)=cos(2/rxl()4r)+4COS (2TT xl.lxl040+cos(2万xl.2xl04r) (1)求调幅系数和调制信号频率；(2)写出该信号的傅式频谱式，画出它的振幅频谱图； (3)画出该信号的解调框图。

解：⑴sQ)=cos(24xl04r)+4cos(2乃xl.lxl04r)+cos(2万xl.2xl04r)=4cos(2%xl.lxl04r)[l+0.5cos(2万x0.1xl04r)] 调制系数是a=0.5;信号频率是f=1000Hz(2)S(/)=；U(/+104)+演f —i04)]+2[Mf+l.lxl()4)+5(/—1.1X104)]+-W+1.2X 104)+^(/-1.2X 104)]-fm-fc ・fc -fc+fm。

第四章习题参考解答4-1对于系统函数，试用一阶系统的级联形式，画出该系统可能实现的流图。

解：4-2一线性时不变因果系统，其系统函数为对应每种形式画出系统实现的信号流图。

（1）直接Ⅰ型。

（2）直接Ⅱ型。

（3）用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型。

（4）用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型。

解：直接Ⅰ型直接Ⅱ型用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型4-3已知模拟滤波器的传输函数，试用脉冲响应不变法将转换成数字传输函数。

（设采样周期T＝0.5）解：4-4若模拟滤波器的传输函数为，试用脉冲响应不变法将转换成数字传输函数。

（设采样周期T＝1）解：4-5用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字低通滤波器，采样频率，截至频率。

解：,4-6用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字高通滤波器，采样频率，截至频率。

解：，，归一化，4-7用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字带通滤波器，采样频率，上下边带截至频率分别为，。

解：，，，4-8设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截至频率为，将双线性变换应用于模拟巴特沃滋滤波器。

解：一阶巴特沃滋，4-9试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且无起伏；频率在处的衰减为－3.01dB；在处的幅度衰减至少为15dB。

解：设,则：，通带：,即阻带：，即阶数：，查表得二阶巴特沃滋滤波器得系统函数为双线性变换实现数字低通滤波器4-10一个数字系统的采样频率，已知该系统收到频率为100Hz的噪声干扰，试设计一个陷波滤波器去除该噪声，要求3dB的边带频率为95Hz和105Hz,阻带衰减不小于14dB。

解：，令，，，，设N=2，则。

习题解答4.1 根据给定的模拟滤波器的幅度响应平方，确定模拟滤波器的系统函数 H(s)。

(1) 261|()|164H j Ω=+Ω(2) 2222216(25)|()|(49)(36)H j -ΩΩ=+Ω+Ω分析：在模拟滤波器设计中，由各种逼近方法确定了幅度响应，通过下列步骤求出滤波器的系统函数H(s)。

更进一步，通过脉冲响应不变法或双线性变换法，可以得到数字滤波器的传输函数 H(z)。

（1）考虑s j =Ω，将幅度响应表达式整理为s 为变量的表达式，求 ()()a a H s H s - 表达式的零极点；（2）为了系统稳定，选择左半平面的极点构成 H(s)；（3）如果没有特殊要求，可以选择取 ()()a a H s H s -以虚轴为对称轴的对称零点的任意一半（应是共轭对）作为 H a (s) 的零点。

但如果要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为 H a (s) 的零点。

（4）对比()a H s 和()a H j Ω 的低频特性或高频特性，从而确定增益常数K 0。

解：（1）由于2)(Ωj H a 是非负有理函数，它在Ωj 轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，先求2321()()()164()22H s H s H j a a as s -=Ω=+-Ω=-其极点为0.50.250.4330.50.250.433j j --±±我们选出左半平面极点s=0.5和 0.250.433j -± 为)(s H a 的极点，并设增益常数为0K ，则得)(s H a 为：002()(0.5)(0.250.433)(0.250.433)(0.5)(0.50.25)K K H s a s s j s j s s s ==++-+++++ 按着()a H s 和()a H j Ω的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。

在这里我们采用低频特性，即由00()|()|a s a H s H j =Ω==Ω的条件可得增益常数0K 为：018K =最后得到)(s H a 为：21()8(0.5)(0.50.25)H s a s s s =+++（2）由于2)(Ωj H a 是非负有理函数，它在Ωj 轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，得)36)(49()25(16222)()()(222s s s s j aH s a H s a H --+=-=ΩΩ=- 其极点为：6,7±=±=s s其零点为：5j s ±=（皆为二阶，位于虚轴上）j Ω虚轴上的零点或极点一定是二阶的，其中一半（应为共轭对）属于 H a (s)。

第3章 离散时间信号与系统时域分析3．1画出下列序列的波形（2）1()0.5(1)n x n u n -=- n=0:8; x=(1/2).^n;n1=n+1; stem(n1,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');(3) ()0.5()nx n u n =-（）n=0:8; x=(-1/2).^n;stem(n,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');3.8 已知1,020,36(),2,780,..n n x n n other n≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪⎩,14()0..n n h n other n≤≤⎧=⎨⎩，求卷积()()*()y n x n h n =并用Matlab 检查结果。

解：竖式乘法计算线性卷积： 1 1 1 0 0 0 0 2 2）01 2 3 4）14 4 4 0 0 0 0 8 83 3 3 0 0 0 0 6 62 2 2 0 0 0 0 4 41 1 1 0 0 0 02 21 3 6 9 7 4 02 6 10 14 8）1x (n )nx (n )nMatlab 程序:x1=[1 1 1 0 0 0 0 2 2]; n1=0:8; x2=[1 2 3 4]; n2=1:4; n0=n1(1)+n2(1);N=length(n1)+length(n2)-1; n=n0:n0+N-1; x=conv(x1,x2); stem(n,x);ylabel('x(n)=x1(n)*x2(n)');xlabel('n'); 结果：x = 1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 83.12 (1) 37πx （n ）=5sin(n) 解：2214337w πππ==，所以N=14 (2) 326n ππ-x （n ）=sin()-sin(n)解：22211213322212,2122612T N w T N w N ππππππ=========，所以(6) 3228n π-x （n ）=5sin()-cos(n) 解：22161116313822222()T N w T w x n ππππππ=======，为无理数，所以不是周期序列所以不是周期序列3.20 已知差分方程2()3(1)(2)2()y n y n y n x n --+-=，()4()nx n u n -=，(1)4y -=，(2)10,y -=用Mtalab 编程求系统的完全响应和零状态响应，并画出图形。

4-1 Show that if })(Re{)(tj c et g t ωυ=, Eqs. (4-1b) and (4-1c)are correct, where g (t ) = x (t )+jy (t )=R (t )e j θ(t ).Solution:{}{}()()Re ()Re ()ccj t j t j t t g t e R t e e ωωθυ=={}[()]()R e ()()c o s [()]c j t t c t R t e R t t tωθυωθ+==+ {}{}.()Re [()()]Re [()()][cos sin ]c j tc c or t x t jy t e x t jy t t j t ωυωω=+=++{}Re ()cos ()sin ()cos ()sin c c c c x t t jx t t jy t t y t t ωωωω=++-()()cos ()sin c c t x t t y t t υωω=-4-2 A double-sideband suppressed carrier (DSB-SC) signal s (t ) with a carrier frequency of 3.8 MHz has a complex envelope g (t )=A c m (t ). A c =50V , and the modulation is a 1-kHz sinusoidal test tone described by m (t )=2sin(2π1,000t ) , Evaluate the voltage spectrum for this DSB-SC signal. Solution:using (2-26) with the help of Sec. A-5G(f)=AcM(f)=50[-j δ(f-1000)+j δ(f+1000)]Substituting this into (4-15) and using δ(-f)=δ(f) the voltage spectrum of this DSB-SC signal isS(f)=-j25δ(f-f c -1000)+j25δ(f-f c +1000) -j25δ(f+f c -1000)+j25δ(f+f c +1000)4-3 Assume that the DSB-SC voltage signal s (t ), as described in Prob. 4-2 appears across a 50-Ω resistive load.(a) Compute the actual average power dissipated in the load.(b) compute the actual PEP. Solution: (a) Using (4-17) 222222211()|()|()2212(50)25002222S normC c m P g t A m t A A watts =<>=<>=== ()2500()50 watts 50S norm S ActualL P P R ===(b) Using (4-18)2211[max g()][(50)(2)]22()100 watts 50PEP ActualL t P R ===4-9 Let a modulated signal,()()()100sin 500cos 100sin c a c c a s t t t tωωωωω=++--where the unmodulated carrier is 500 cos ωc tProblems:(a) Find the complex enveloper for the modulated signal.What type of modulation is involved? What is the modulating signal?(b) Find the quadrature modulation components x (t ) and y (t ) for this modulated signal.(c) Find the magnitued and PM components R (t ) and θ(t ) for this modulated signal.(d) Find the total average power, where s (t ) is a voltage waveform that is applied across a 50-Ω load. Solution: (a)()()()100sin 500cos 100sin 500cos 200cos sin 21sin 500cos 5c a c c a c c a a c s t t t t t t t t t ωωωωωωωωωω=++--=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是AM ，调制信号为：2()sin 5a m t t ω=2()5001sin 5a g t t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(b) 2()5001sin 5a x t t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()0y t =(c)2()5001sin 5a R t t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭︒=∠=0)()(t g t θ222222222221()|()|2125001sin 25500441sin sin 225550050041500500222522255005002700502502550norma a a norm reald P g t t t t P P watts ωωω=<>⎛⎫=<+> ⎪⎝⎭=<++>=+⨯⨯=+==+=⨯⨯4-10 Find the spectrum of the modulated signal given in Prob. 4-9 by two methods:(a) By direct evaluation using the Fourier transform of s (t ). (b) By the use of Eq. (4-12). Solution:()()()100sin 500cos 100sin c a c c a s t t t tωωωωω=++--[][][]()(){()}100()()2500()()2100()()2c a c a c c c a c a a S f F s t j f f f f f f f f f f j f f f f f f δδδδδδ==++---++---+---+ 2()()5001sin 500200sin 5a a b g t t t ωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()()()()500()100[()()]500()100[()()500()100[()()]500()100[()()]500()100[()()]a a a a c c a c a c c c a c a c c c a c a G f f j f f f f G f f j f f f f f f j f G f f f f j f f f f f f G f f f f j f f f f f f f f f f f δδδδδδδδδδδδδδδ**=++---=---+---=-----+---=-+-+-----=+-+--++--]()()()[][]121500()100[()()]21500()100[()()]2c c c c a c a c c a c a S f G f f G f f f f j f f f f f f f f j f f f f f f δδδδδδ*⎡⎤=-+--⎣⎦=-+-+---++-+--++。

1. 请推导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设1/c rad s W =。

解：幅度平方函数是：2261()()1A H j W =W =+W 令：令： 22s W =- ,则有：61()()1a a H s H s s-=- 各极点满足121[]261,26k j k s ek p -+==所得出的6个 k s 为：为：105==j e s 2321321je s j +-==p 12-==p j e s 2321343je s j --==p 2321354j es j -==p 2321316j es j +==p15==j e s 2321321je s j +-==p 12-==p j e s 2321343je s j --==p 2321354j es j -==p 2321316j es j +==p 122))()(()(233210+++=---=s s s k s s s s s s k sH a 1221)(23+++==s s s sHa 代入s=0时, ,可得,故:1=)s (H a 10=k2. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率6,p f kHz =，通带最大衰减3,pA dB =，阻带截止频率12,s f kHz =，阻带的最小衰减25sAdB =，求出滤波器的系统函数。

，求出滤波器的系统函数。

解：解： 2,2s s p pf f p p W =W =0.10.1101lg 101N 2lg()s pA A s pæö-ç÷-èø³W W =4.15 取N=5，查表得H(p)为：为： 221()(0.6181)( 1.6181)(1)H p p p p p p =+++++因为3,pAdB =所以c p W =W[]52222()()0.618 1.618cs p cc c c c c H s H p s s s s s =W =W =éùéù+W -W +W -W +W ëûëû3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率要求通带的截止频率要求通带的截止频率 f p =3kHz，通带衰减要不大于0.2dB ，阻带截止频率，阻带截止频率 f s = 12kHz ，阻带衰减不小于，阻带衰减不小于，阻带衰减不小于 50dB 。

第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。

此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。

在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。

（）答：错。

需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。

（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。

因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。

故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。

（b ）对于kHz 201=，重复（a ）的计算。

解 （a ）因为当0)(=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T 8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj eH 决定，是625Hz 。

数字信号处理实验报告4线性时不变离散时间系统频域分析一、实验目的通过使用matlab做实验来加强对传输函数的类型和频率响应和稳定性测试来强化理解概念。

4.1 传输函数分析回答:Q4.1 修改程序P3_1去不同的M值，当0<w<2pi时计算并画出式（2.13）所示滑动平均滤波器的幅度和相位谱，代码如下：% Program Q4_1% Frequency response of the causal M-point averager of Eq. (2.13) clear;% User specifies filter lengthM = input('Enter the filter length M: ');% Compute the frequency samples of the DTFTw = 0:2*pi/1023:2*pi;num = (1/M)*ones(1,M);den = [1];% Compute and plot the DTFTh = freqz(num, den, w);subplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]') xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');所得结果如图示：M=2M=7幅度和相位谱表现出对称性的类型是由于–冲激响应是实数，因此频率响应是周期且对称的，幅度谱是周期甚至对称的，相位响应是周期奇对称。

习 题1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。

(a) f(t)(b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2)2. 设 f(t) 是某一函数，a, t 0, T 为实常数，证明：(a))()()()(000t t t t f a at t f -=-δδ(b))()(1)()(000a t a f a at t f t t t -=-δδ(c))()()()(00nT t nT f TTt comb t f t tt n --+=-∑∞-∞=δ3.(a) 如 f(t) F(Ω)，证明：eeetjty j tj t f dy y F F Ω-∞∞--Ω-Ω-==*Ω⎰)(2)()()(π(b) 用 （a ） 的结果，证明频域卷积定理)()(21)()(2121Ω*Ω↔F Ffft t π4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。

5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ(b) )()()(0Ω+Ω=Ω+Ω*Ω∑∑∞-∞=∞-∞=n H n H n n δ6. 设eta t f -=)(，证明脉冲序列)()(nT t nT f n -∑∞-∞=δ的傅氏变换等于aTaT aT e T e e 22cos 211---+Ω--7.(a) 证明T n n n jnT eπδ2),(1000=ΩΩ+Ω=Ω∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-(b) 若f(t) F(Ω)，证明)()(0Ω+Ω=∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-n F nT f Tn n jnT e习 题1. 下列系统中，y(n) 表示输出，x(n) 表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？(a) y(n) = 2x(n) +3(b) y(n) = x 2(n)(c) ∑-∞==nm m x n y )()(2. 确定下列系统是否因果的？是否稳定的？ (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界(b) ∑-==nk n k x n y 0)()( n>n 0 (c) y(n) = x(n-n 0)(d) x(n) = a nu(n), h(n) = u(n)(e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) nu(n)3. x(n) 为输入序列， h(n) 为系统的单位取样响应序列，确定输出序列 y(n)， (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示⎪⎩⎪⎨⎧=0)(a n n h⎪⎩⎪⎨⎧=-0)(0βn n x n 的卷积 y(n) = x(n) * h(n)5. 讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。