2019高考数学(理)一本培养专题突破 专题二 数列专题限时集训3 等差数列、等比数列

基础过关1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2=3,且S9=6S3,则{a n}的公差d=()A.1B.2C.3D.42.已知{a n}是各项均为正数的等比数列,S n为其前n项和,若a1=1,a3·a5=64,则S6=()A.65B.64C.63D.623.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S5=30,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.274.已知等比数列{a n}的首项a1=1,公比q=2,则log2a1+log2a2+…+log2a11=()A.50B.35C.55D.465.已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n+1a n=2,则其前100项的和S100=()A.250B.200C.150D.1006.已知S n是数列{a n}的前n项和,若2S n=3a n+4,则S n=()A.2-2×3nB.4×3nC.-4×3n-1D.-2-2×3n-17.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2,…,9填入3×3的方格内,使三行、三列、两对角线上的三个数的和都等于15(如图X10-1所示).一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n的方格内,使得每行、每列和两对角线上的数的和都相等,图X10-1这个正方形就叫作n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上的数的和为N n (如:在3阶幻方中,N 3=15),则N 10= ( )A .1020B .1010C .510D .5058.已知在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 4与a 10的等比中项为4,则当2a 5+8a 9取得最小值时,a 1等于 ( )A .32B .16C .8D .49.在等差数列{a n }中,a 10<0,a 11>0,且a 11>|a 10|,则使{a n }的前n 项和S n <0成立的n 的最大值为 ( )A .11B .10C .19D .2010.已知数列{a n }满足0<a n <1,a 14-8a 12+4=0,且数列 a n 2+4n2 是以8为公差的等差数列,设{a n }的前n 项和为S n ,则满足S n >10的n的最小值为 ( )A .60B .61C .121D .12211.在数列{a n }中,已知a 1=a 2=2.若a n+2是a n a n+1的个位数字,则a 27= .12.已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且log 3(S n +1)=n+1,则数列{a n }的通项公式为 . 13.记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和,若S 4-2S 2=2,则S 6-S 4的最小值为 . 14.已知数列{a n }与 a n 2n 均为等差数列,n ∈N *,且a 1=2,则a 1+ a 22 2+ a 33 3+…+ a n nn = .能力提升15.已知数列{a n }中,∀n ∈N *,a n +a n+1+a n+2=C ,其中C 为常数,若a 5=2,a 7=-3,a 9=4,则a 1+a 2+…+a 100=( )A .90B .96C .100D .11216.已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ,若a 1=-24,a 4=-8,则当T n 取得最大值时,n 的值为( )A .2B .3C .4D .617.数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,a n+1=S n +3n(n ∈N *,n ≥1),则数列{S n }的通项公式为 .18.数列{a n}中,a1=0,a n-a n-1=2n-1(n∈N*,n≥2),若数列{b n}满足b n=n a n+1+1·811n,则数列{b n}的最大项为第项.19.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫作该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”:第一次“扩展”后得到数列1,2,2;第二次“扩展”后得到数列1,2,2,4,2;…;第n次“扩展”后得到的数列为1,x1,x2,…,x2n-1,2.若记a n=log2(1·x1·x2·…·x t·2),其中t=2n-1,n∈N*,则数列{a n}的前n项和S n=.限时集训(十)基础过关1.A[解析]由等差数列的性质知S3=3(a1+a3)2=3a2=9,所以S9=6S3=54=9(a1+a9)2=9a5,则a5=6,所以d=a5-a23=1.2.C[解析]设{a n}的公比为q(q>0).由a1=1,a3·a5=a1q2·a1q4=64,得q=2,∴S6=a1(1-q6)1−q=63.3.A[解析]设等差数列{a n}的公差为d,由题意得S3=3a1+3d=9,S5=5a1+10d=30,即a1+d=3,a1+2d=6,解得a1=0,d=3,∴a7+a8+a9=3a1+21d=63.故选A.4.C[解析]∵{a n}是等比数列,a1=1,q=2,∴a1a11=a62=(a1q5)2=(25)2,∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2(a1a2…a11)=log2a611=11log225=55,故选C.5.D[解析]因为a2n+a2n-1=2,所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=2×50=100,故选D.6.A[解析]由2S n=3a n+4,可知2S n+1=3a n+1+4,两式相减,得2a n+1=3a n+1-3a n,整理得a n+1=3a n,所以{a n}是公比为3的等比数列.由2S1=3a1+4可得a1=-4,则S n=-4×(1-3n)1−3=2-2×3n.7.D[解析]根据题意知n阶幻方中所有数的和为n2(n2+1)2,所以每行的数的和为n(n2+1)2,所以N n=n(n2+1)2,则N10=10×(102+1)2=505.故选D.8.A[解析]设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q(q>0).∵a4与a10的等比中项为4,∴a4a10=42=a72,∴a7=4,∴2a5+8a9=2a7q2+8a7q2=8q2+32q2≥28q2×32q2=32,当且仅当8q2=32q2,即q2=12时取等号,此时a1=a7q6=32.9.C[解析]∵{a n}为等差数列,a10<0,a11>0,∴d>0,又∵a11>|a10|,∴a11>-a10,即a10+a11>0,∴S20=a1+a202×20=10(a10+a11)>0,S19=a1+a192×19=19a10<0,故使{a n}的前n项和S n<0成立的n的最大值为19,故选C.10.B[解析]由a14-8a12+4=0,得a12+4a12=8,所以a n2+4a n2=8+8(n-1)=8n,所以a n+2a n2=an2+4a n2+4=8n+4,所以a n+2a n=22n+1,即a n2-22n+1a n+2=0,所以a n=22n+1±22n-12=2n+1±2n-1,因为0<a n<1,所以a n=2n+1-2n-1,所以S n=2n+1-1,所以由S n>10得2n+1>11,所以n>60.故选B.11.4[解析]由题意得a3=a1·a2=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,…,∴数列{a n}是一个周期为6的数列,∵27=4×6+3,∴a27=a3=4.12.a n=8,n=1,2·3n,n≥2[解析]由log3(S n+1)=n+1,得S n+1=3n+1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2·3n;当n=1时,a1=S1=8,不满足上式.所以数列{a n}的通项公式为a n=8,n=1,2·3n,n≥2.13.8[解析]由等比数列的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4),所以S6-S4=(S4-S2)2S2.因为S4-2S2=2,即S4-S2=S2+2,所以S6-S4=(S2+2)2S2=S22+4S2+4S2=S2+4S2+4≥2S2·4S2+4=8,当且仅当S2=4S2时,等号成立,所以S6-S4的最小值为8.14.2n+1-2[解析]设数列{a n}的公差为d.因为数列{a n}为等差数列,且a1=2,所以a n=2+(n-1)d,所以a n2n =[2+(n-1)d]2n=d2n2+(4d-2d2)n+(d-2)2n.因为a n2n为等差数列,所以其通项公式是一个关于n的一次函数,所以(d-2)2=0,所以d=2,所以a n=2+(n-1)2=2n,所以a nn =2nn=2,所以a1+a222+a333+…+a nnn=21+22+…+2n=2(1−2n)1−2=2n+1-2.能力提升15.B[解析]根据条件,可知该数列是以3为周期的数列,则a1=a7=-3,a2=a5=2,a3=a9=4,所以a1+a2+…+a100=33×(a1+a2+a3)+a1=33×(-3+2+4)-3=96.16.C[解析]设等比数列{a n}的公比为q,则a4=-24q3=-89,q3=127,q=13,则此等比数列的各项均为负数.故当n为奇数时,T n为负数;当n为偶数时,T n为正数.所以当T n取得最大值时,n为偶数,排除B.而T2=(-24)2×13=24×8=192,T4=(-24)4×136=84×19=849>192,T6=(-24)6×1315=86×139=863=849×823<849,则T4最大,故选C.17.S n=3n-2n[解析]∵a n+1=S n+3n=S n+1-S n,∴S n+1=2S n+3n,∴S n+13n+1=23·S n3n+13,∴S n+13-1=23S n3-1,又S13-1=13-1=-23,∴数列S n3-1是首项为-23,公比为23的等比数列,∴S n3n -1=-23×23n-1=-23n,∴S n=3n-2n.18.6[解析]因为a n-a n-1=2n-1(n∈N*,n≥2),所以a n=(2n-1)+(2n-3)+…+3+a1=n2-1,当n=1时,a1=0,满足上式,所以a n=n2-1,所以b n=n(n+1)·811n,所以b n+1b n=8(n+2)11n,所以当n≤5时,b n+1>b n,当n≥6时,b n+1<b n,所以数列{b n}的最大项为第6项.19.3n+1+2n-34[解析]a n=log2(1·x1·x2·…·x t·2),则a n+1=log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·x t·(x t·2)·2]=log2(12·x13·x23·…·x t3·22)=3a n-1,所以a n+1-12=3 a n-12,又a1-12=32,所以数列 a n-12是一个以32为首项,3为公比的等比数列,所以a n-12=32×3n-1,所以a n=3n+12,所以S n=12×3(1−3n)1−3+n2=3n+1+2n-34.。

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（2019全国1理）9。

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和。

已知40S =，55a =，则（ ） A 。

25n a n =- B 。

310n a n =- C 。

228n S n n =- D 。

2122n S n n =- 答案： A 解析：依题意有415146045S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,可得132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-,24n S n n =-.（2019全国1理)14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S = .答案： 5S =1213解答:∵113a =,246a a =设等比数列公比为q∴32511()a q a q =∴3q = ∴5S =12132019全国2理）19。

已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列; （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式。

答案： （1）见解析（2）21)21(-+=n a n n ，21)21(+-=n b n n 。

解析：(1）将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411, 整理可得)(2111n n n n b a b a +=+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为21的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ,整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列。

专题限时集训(三) 等差数列、等比数列(建议用时：60分钟) (对应学生用书第91页)一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．]2．设公比为q (q >0)的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23B [S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2 ，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0 ，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1 (舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1，故选B ．]3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝a 1＋2a 3，a 4＝1，则S 4＝( )A ．78B ．158C ．14D ．15D [由S 2＝a 1＋2a 3，得a 1＋a 2＝a 1＋2a 3，即a 2＝2a 3，又{a n }为等比数列，所以公比q ＝a 3a 2＝12，又a 4＝a 1q 3＝a 18＝1，所以a 1＝8.S 4＝a 11－q 41－q＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.故选D ．]4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0,a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]5．(2018·衡水模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [在等比数列中，因为S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，所以a m ＝S m －S m －1＝－11－5＝－16，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝32.则公比q ＝a m ＋1a m＝32－16＝－2，因为S m ＝－11，所以a 1[1－－2m ]1＋2＝－11，①又a m ＋1＝a 1(－2)m ＝32，② 两式联立解得m ＝5，a 1＝－1.] 6．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1B [a na 2n ＝a 1＋n －1da 1＋2n －1d ＝a 1－d ＋nda 1－d ＋2nd，若a 1＝d ，则a na 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a na 2n ＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.] 7．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为( )A ．9B ．27C ．54D ．72B [根据等比数列的基本性质有a 2a 10＝a 26＝6a 6，a 6＝6，所以b 4＋b 6＝a 6＝6，所以S 9＝9b 1＋b 92＝9b 4＋b 62＝27.]8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{a n }中，a 2＝8,16a 24＝a 1a 5，则数列{a n }的前n 项积T n 中的最大值为( )A ．T 3B ．T 4C ．T 5D ．T 6A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则16a 24＝a 1a 5＝a 2a 4＝8a 4，a 4＝12，q 2＝a 4a 2＝116，又q ＞0，则q ＝14，a n ＝a 2q n －2＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＝27－2n ，则T n ＝a 1a 2…a n ＝25＋3＋…＋(7－2n )＝2n (6－n )，当n ＝3时，n (6－n )取得最大值9，此时T n 最大，即(T n )max ＝T 3，故选A ．]二、填空题9．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为________．2 [根据等比中项有a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，化简得a 1＝－4d ，S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d2a 1＋7d ＝－2d －d＝2.]10．已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为________．10或11 [由na n ＋1－(n ＋1)a n＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)，两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n ＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b 2a ＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n 取10或11时，a n 取最小值．]11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________． 16 [S 10＝10a 1＋a 102＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16， 当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．]12．已知函数{a n }满足a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3，且a 1＝1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1的前20项和为________．780 [由a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3得2a n ＋3a n ＋1＝1a n ＋1＋1，即1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以12为首项，2为公差的等差数列，则1a n ＋1＝2n －32，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]三、解答题13．(2018·德阳二诊)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1 . (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n . [解] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n －1， ∴2na n a n ＋1＝2n2n －12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1，∴T n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1.14．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21. (2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)， 所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列， 因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列， 所以a n ＋3＝(a 1＋3)×2n －1，a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．。

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质 例 1：已知数列 a n ， b n 为等差数列，若 a 1 b 1 7 ， a 3 b 3 21 ，则 a 5 b 5 _______【答案】 35【解析】 ∵ a n ， b n 为等差数列，∴ a n b n 也为等差数列，∴ 2 a 3b 3a 1b 1a 5b 5 ，∴ a 5 b 5 2 a 3b 3a 1b 135 ．2．等比数列的性质例 2：已知数列 a n 为等比数列，若 a 4 a 610 ，则 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 的值为（）A ． 10B ． 20C ． 100D ． 200【答案】 C【解析】 与条件 a 4 a 6 10 联系，可将所求表达式向a 4 ， a 6 靠拢，从而 a 7 a 1 2a 3a 3a 9 a 7 a 1 2a 7 a 3 a 3a 9a 42 2a 4a 6a 62a 42a 6 ，即所求表达式的值为 100 ．故选 C ．3．等差、等比综合例 3：设 a n 是等差数列， b n 为等比数列， 其公比 q 1 ，且 b i 0 i 1,2,3,L , n ，若 a 1 b 1 ，a 11b11，则有（ ）A ． a 6 b 6B ． a 6 b 6C ． a 6 b 6D ． a 6 b 6 或 a 6 b 6【答案】 B【解析】 抓住 a 1 ， a 11 和 b 1 ， b 11 的序数和与 a 6 ， b 6 的关系，从而以此为入手点．由等差数列性质出发， a 1 b 1 ， a 11 b 11 a 1a11b 1 b 11 ，因为 a 1 a 112a 6 ，而 b n 为等比数列，联想到 b 1 b 11 与 b 6 有关，所以利用均值不等式可得：b 1 b 11 2b 1 b112 b 622b 6 ；（ q 1 故b1b11，均值不等式等号不成立）所以 a1 a11b1 b11 2a6 2b6．即 a6 b6．故选 B．对点增分集训一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6 斤B．7斤C．8 斤D．9 斤【答案】 D【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1 4 ， a5 2 ，求 a2a3a4的值．由等差数列的性质可知：a2a4a1a1a53 ，a5 6 ， a32则 a2 a3a49 ，即中间三尺共重9 斤．故选 D．2．设 S n为等差数列 { a n } 的前n项和，若 S540， S9126 ，则 S7（）A． 66B． 68C． 77D． 84【答案】 CS55a340， S99a5126a38【解析】根据等差数列的求和公式，化简得a5，14根据等差数列通项公式得a12d8，解方程组得a12a14d14，d3S7 7a47 a13d72 3 377 ．故选 C．3．已知等比数列a n的前 n 项和为S n，且满足2S n2n1，则的值为（）A． 4B． 2C．2D．4【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643【解析】 根据题意，当 n1时， 2S 1 2a 1 4，故当 n 2 时， a n S n S n 12n 1 ，∵数列 a n 是等比数列，则 a 11，故41 ；解得2 ．故选 C ．24．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 714 ，则 S 11 （）A ． 140B ． 70C ． 154D ． 77【答案】 D【解析】 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 7 14 ，∴ S 11a 1 a 1111 a 5 a 71114 77 ．故选 D ．221125．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列， 且 a 1 ，a 3 ，a 2 成等差数列， 则公比 q 的值为（ ）A ． 1B ． 2C ．1 或1D ． 1或12 22【答案】 C【解析】 由题意知： 2a 3 a 1 a 2 ，∴ 2a 1 q 2 a 1 q a 1 ，即 2q 2q 1 ，∴ q 1 或 q1．故选 C ．26．公比不为 1 的等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 2a 1 ， 1a 2 ， a 3 成等差数列， 若 a 1 1 ，2则 S 4 （）A ． 5B ． 0C ． 5D ． 7【答案】 A【解析】 设 a n 的公比为 q ，由 2a 1 ，1a 2 ， a 3 成等差数列，可得a 22a 1 a 3 ，2若 a 1 1 ，可得 q2 q 2，解得 q21舍去，a 1 1 q 41 2 4则 S 45 ，故选 A ．1q127 ．等比数列 a n 的各项均为正数，且a 5 a 6 a 4 a 7 18 ，则 log 3 a 1log 3 a 2 Llog 3 a 10（ ）A ． 12B ． 10C ． 8D ． 2 log 3 5【答案】 B【解析】 由等比数列的性质结合题意可知：a 5a 6 a 4a 7 9 ，且 a1 a10a2 a9a3a8a4a7a5a69 ，据此结合对数的运算法则可得：log 3 a1log3 a2L log 3 a10log 3 a1 a2 L a10log3 9510 ．故选 B．8．设公差为2的等差数列a n，如果 a1a4a7 L a97 50 ，那么 a3 a6 a9 L a99等于（）A．182B．78C．148D．82【答案】 D【解析】由两式的性质可知： a3a6a9a99a12d a42d a72d a972d ，则 a3a6 a9a9950 66d82 ．故选 D．9．已知等差数列a n的前 n 项和为S n，且3S1 2S315 ，则数列a n的第三项为（）A． 3B．4C．5D． 6【答案】 C【解析】设等差数列a n的公差为 d，∵ 3S12S315 ，∴3a1 2 a1a2a315 3a16a2，∴ a12d5a3．故选 C．10．等差数列a n的前 n 项和为S n，若2a8 6 a10，则 S11（）A． 27B． 36C． 45D． 66【答案】 D【解析】∵ 2a6 a ，∴ a a6a，∴ a6，∴ S11 a1a1111a66，故6810610101126选 D．11．设a n是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n是其前 n 项的积，且K5 K6，K6 K7 K8，则下列结论错误的是（）．．A． 0q 1B． a71C． K9K5D． K 6与 K 7均为 K n的最大值【答案】 C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643n n 1【解析】 等比数列 a n a 1q n 1， K n 是其前 n 的 ，所以 K n a 1 nq 2，由此 K 5 K 61 a 1 q 5 ， K 6K 7 1 a 1q 6 ， K 7 K 8 1 a 1q 7所以 a 7 a 1 q 6 1 ，所以 B 正确，由 1 a 1q 5 ，各 正数的等比数列，可知q 1 ，所以 A 正确，n n 1n n 1n n 131 a 1q 6 ， K na 1n q 2 可知 K n a 1n q 2q2，由 0 q 1 ，所以 q x减，n n13 在 n 6 ， 7 取最小 ，2所以 K n 在 n 6 ， 7 取最大 ，所以 D 正确．故 C ．12 ． 定函 数 f x如 下 表 ， 数 列 a n 足 a n 1f a n ， n N ， 若 a 1 2 ，a 1 a 2 a 3 La2018（ ）A ． 7042B ． 7058C ． 7063D ． 7262【答案】 C【解析】 由 知 f 13 ， f 2 5 ， f 34 ， f 4 6 ， f5 1 ， f6 2 ，∵ a 1 2 ， a n 1 f a n ， n N ，∴ a 1 2 ， a 2 f 25 ， a 3f 5 1 ， a 4f 1 3 ， a 5f 3 4 ， a 6f 4 6 ， a 7 f 6 2⋯⋯，∴ a n 是周期6 的周期数列，∵ 2018 336 6 2 ，∴ a 1 a 2 a 3 L a 2018 336 1 2 3 4 5 6 2 5 7063 ，故 C ．二、填空13．已知等差数列a n ，若 a 2a 3 a 7 6 ， a 1a 7 ________【答案】 4【解析】∵ a2 a3 a7 6 ，∴ 3a1 9d 6 ，∴ a1 3d 2 ，∴ a4 2 ，∴ a1a72a4 4 ．故答案为 4．14．已知等比数列a n的前n项和为 S n，若公比 q3 2 ，且 a1 a2a3 1 ，则 S12的值是___________．【答案】 15【解析】已知 a1a2a3a1 1q31，则 S3 1 ，1qa 1q12又 q 3 2代入得 a11q 1 ；∴ S12q115．设n是等差数列a的前n项和，若a5S n a312q 1 1 3 215 ．1 q10，则S9 _______．9S5【答案】 2S 9a99aa15109910【解析】925，又a，代入得S2 ．S555a3a39S5 5 9a5a1216．在等差数列a n中， a1a4a10a16a19100 ，则 a16a19a13的值是 _______．【答案】 20【解析】根据等差数列性质a1a4a10a16a195a10100 ，所以 a10 20 ，根据等差数列性质，a16a19a13a16a13a19a19a10a19a10 20 ．三、解答题17．已知数列a n中，a1 2 ， a n 12a n．（1）求 a n；（2）若 b n n a n，求数列b n的前 5 项的和 S5．【答案】（ 1） a n2n；（ 2）77．【解析】（ 1） a1 2 ， a n 1 2 a n，畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643则数列 a n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， a n 2 2n 1 2n ；（2） b n n a n n2n ，S 51 2 2 223 234 245 251 23 4 5222 23 24 251 55 2 25 277 ．21 218．设 a n是等差数列， 其前 n 项和为 S n n N * ； b n 是等比数列， 公比大于 0，其前 n 项和为 T n n N * ．已知 b 1 1， b 3b 2 2 ， b 4 a 3 a 5 ， b 5 a 42a 6 ．（1）求 S n 和 T n ；（2）若 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，求正整数 n 的值．【答案】（ 1） S n n n 1 ， T n 2n 1 ；（ 2） 4．2【解析】（ 1）设等比数列 b n 的公比为 q ，由 b 1 1 ， b 3b 2 2 ，可得 q 2q2 0 ．因为 q0 ，可得 q2 ，故 b n 2 n 1 ．所以 T n 1 2n2n 1 ．1 2 设等差数列 a n 的公差为 d ．由 b 4 a 3 a 5 ，可得 a 1 3d 4 ．由 b 5 a 4 2a 6 得 3a 1 13d 16 ，从而 a 1 1 ， d 1 ，故 an ，所以 Sn n1n．n22 1 n（2）由（ 1），有 T 1 T 2 LT n2122L2nn 2n 2 ．1 n 2n 12由 S nT 1 T 2 LT na n 4b n ，可得 n n12n1n 2 n 2n 1，2整理得 n 23n 4 0 ，解得 n1 （舍），或 n 4．所以 n 的值为 4．。

【关键字】数学2019高考数学专题精练-等差数列[时间：45分钟分值：100分]1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5旳值为________．2．已知等差数列{an}中， a1＝－4，a9＝8，则该数列前9项和S9等于________．3．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}旳前9项和S9等于________．4．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值旳正整数n旳值是________．5．等差数列{an}旳前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列旳公差为________．6．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a6＋a7＝________.7．[2011·辽宁卷] Sn为等差数列{an}旳前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.8．[2011·重庆三诊] 已知等差数列{an}满足a3＋a13－a8＝2，则{an}旳前15项和S15＝________.9．[2011·郑州三模] 数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列是等差数列，则a11等于________．10．首项为－24旳等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d旳取值范围是________．11．已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}旳公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.12．已知数列{an}为等差数列，若<－1，则数列{|an|}旳最小项是第________项．13．(8分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}旳前n项和Sn.14．(8分)在数列{an}中，a1＝4，且对任意大于1旳正整数n，点(，)在直线y＝x－2上．(1)求数列{an}旳通项公式；(2)已知b1＋b2＋…＋bn＝an，试比较an与bn旳大小．15．(12分)已知等差数列{an}旳前n项和为Sn＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)．(1)求q旳值；(2)若a1与a5旳等差中项为18，bn满足an＝2log2bn，求数列{bn}旳前n项和．16．(12分)[2010·安徽卷] 数列a1，a2，…，an，…中旳每一项都不为0.求证：{an}为等差数列旳充分必要条件是：对任何n∈N，都有＋＋…＋＝.课时作业(二十八)【基础热身】1．5 [解析] 由等差数列旳性质得a1＋a9＝2a5＝10，所以a5＝5.2．18 [解析] 在等差数列{an}中，∵a1＝－4，a9＝8，∴数列前9项和S9＝＝18.3．99 [解析] ∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9，∴S9＝(a1＋a9)＝(a4＋a6)＝(13＋9)＝99.4．5或6 [解析] ∵由已知得{an}中，a3＝－a9，即a1＝－5d，∴Sn＝na1＋d＝－5dn＋d.＝2－d.∵n∈N*，∴n＝5或6时，Sn取最大值．【能力提升】5．3 [解析] S2＝2a1＋d＝4，S4＝4a1＋6d＝20，解得d＝3.6．28 [解析] 因为2a4＝a3＋a5，所以3a4＝12，即a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a6＋a7＝7a4＝28.7．－1 [解析] 由S2＝S6，得2a1＋d＝6a1＋d，解得4(a1＋3d)＋2d＝0，即2a4＋d ＝0，所以a4＋(a4＋d)＝0，即a5＝－a4＝－1.8．30 [解析] 由a3＋a13－a8＝2得2a8－a8＝2，所以a8＝2，所以S15＝＝15a8＝30.9. [解析] 设旳公差为d ，则有＝＋4d ，解得d ＝，所以＝＋8d ，即＝＋，解得a11＝.10. [解析] 由条件知∴∴<d ≤3.11．－6 [解析] 依题意a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝2－5×2＝－8，∴f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)＝2a1＋a2＋…＋a10＝2－6⇒log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝－6.12．6 [解析] 由<－1得，若a6>0，则a5<－a6<0，此时等差数列{an}为递加数列，|a5|>|a6|，此时{|an|}中第6项最小；若a6<0，则a5>－a6>0，此时等差数列{an}为递减数列，|a5|>|a6|，仍然有{|an|}中第6项最小．故{|an|}中旳最小项是第6项．13．[解答] 设{an}旳公差为d ，则整理得解得 或因此Sn ＝－8n ＋n(n －1)＝n(n －9)或Sn ＝8n －n(n －1)＝－n(n －9)(n ∈N*)．14．[解答] (1)因为点(，)在直线y ＝x －2上，所以＝＋2，即数列{}是以＝2为首项，以d ＝2为公差旳等差数列． 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)方法一：因为b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝4n 2－4(n －1)2＝8n －4，当n ＝1时，b 1＝a 1＝4，满足上式．所以b n ＝8n －4，所以a n －b n ＝4n 2－(8n －4)＝4(n －1)2≥0，所以a n ≥b n .方法二：由b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n 得，a n －b n ＝a n －1＝4(n －1)2≥0，所以a n ≥b n .15．[思路] (1)已知S n 可求a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2， 然后利用{a n }为等差数列求得；(2)先求得b n ，从而判断出数列{b n }为等比数列，再求其前n 项和．[解答] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn 2－2n ＋q －p (n －1)2＋2(n －1)－q ＝2pn －p －2.∵{a n }是等差数列，∴p －2＋q ＝2p －p －2，∴q ＝0.(2)∵a 3＝a 1＋a 52，∴a 3＝18.又a 3＝6p －p －2，∴6p －p －2＝18，∴p ＝4，∴a n ＝8n －6.又∵a n ＝2log 2b n ，得b n ＝24n －3，∴b 1＝2，b n ＋1b n ＝24(n ＋1)－324n －3＝24＝16，即{b n }是等比数列．所以数列{b n }旳前n 项和T n ＝2(1－16n )1－16＝215(16n －1)．[点评] (1)若S n ＝an 2＋bn ＋c 是等差数列旳前n 项和，则必有c ＝0；(2)若{b n }为等比数列，则{log a b n }是等差数列．16．[解答] 先证必要性．因为{a n }为等差数列，不妨设公差为d ，若d ＝0，结论显然成立．当d ≠0时，1a1a2＋1a2a3＋…＋1 a n a n＋1＝1d⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a1－1a2＋⎝⎛⎭⎫1a2－1a3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a1－1a n＋1＝na1a n＋1.再证充分性．由1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1①，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2②，②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，所以(n＋1)a n＋1－na n＋2＝a1.同理得na n－(n－1)a n＋1＝a1，因此a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，所以数列{a n}为等差数列此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

高考二轮复习必备专题06-3等差数列与等比数列第三季1．已知直线y a =与正切函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为1x ， 2x ，且有212x x π-=，假设函数的两个不同的零点分别为3x ， 443()x x x >，若在区间()0,π内存在两个不同的实数5x ， 665()x x x >，与3x ， 4x 调整顺序后，构成等差数列，则的值为（ ）A ．-B C ． D ．【答案】C【解析】由题意及212x x π-=，可知，又T πω=， ∴得到2ω=，因此，令，，假设存在两个不同的实数56,x x ，若使3456,,,x x x x 调整顺序后能组合成等差数列，设公差为d ，则有下列情况：①若3x 与4x 相邻，则2d π=，，不能相邻，否则56,x x ，将超出范围. ②若3x 与4x 之间间隔一个数，设这个数为A ，则，经分析，数列为3546,,,x x x x 时，不成立，不妨设数列为5364,,,x x x x ，此时，当6712x π=时，，不存在，当512x π=时，，也不存在. ③若3x 与4x 之间间隔两个数，即3564,,,x x x x 组成一个等差数列，，，，此时，构成等差数列，当52x π=时，，当623x π=时，，故选C.2．设，令，，若，则数列1n C ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，当时， n 的最小整数值为（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020 【答案】A 【解析】由题意得，，，…… 由此可得，故可归纳得，∴，∴，由题意得，解得2017n ≥．∴n 的最小整数值为2017．选A ．3．已知数列满足是其前项和，若，（其中），则的最小值是（ ）A ．B ．5C ．D ．【解析】由题意，，以上各式相加得：，又，，当且仅当时等号成立.本题选择D选项.4．已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C5．已知等差数列的前项和为，且，则的最小值为（）A．-3 B．-5 C．-6 D．-9【答案】D由可知，设等差数列的公差为，则，∵，∴，则，，设，，∴的极小值点为，∵，且，，∴，故选D.8．已知数列满足当时，若数列的前项和为，则满足的的最小值为（）A．59 B．58 C．57 D．60【答案】A【解析】由题意可得：当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以，则，设在第到第中，则有项的和为，令，解得，所以使得时，，所以的最小值为，故选A.9．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意,，则，很明显n⩾2时,，两式作差可得：，则a n=2(n+1),对a1也成立，故a n=2(n+1)，则a n−kn=(2−k)n+2，则数列{a n−kn}为等差数列，故S n⩽S6对任意的恒成立可化为：a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；即，解得：.实数的取值范围为.本题选择B选项.10．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”. 下列命题正确的是( )A．若是等差数列，且首项，则是“和有界数列”B．若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”C．若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”D．若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比【答案】C11．等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足．，，则以下结论不正确的是（）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于【答案】C【解析】∵,∴, ∴.∵，∴,∴，.∴.故A正确；∵，故B正确；，故C不正确；.，故D正确.故选C.12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如.已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（）A．305 B．306 C．315 D．316【答案】D【解析】由题意，，当时，可得，（1项）当时，可得，（2项）当时，可得，（4项）当时，可得，（8项）当时，可得，（16项）当时，可得，（项）则前项和为，两式相减得，所以，此时，当时，对应的项为，即，故选D．13．已知函数，等差数列满足：，则下列可以作为的通项公式的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，因此函数关于对称，而时，，因此，满足题意，选A.14．已知数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，且，若函数的前项和为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 根据题意得，，数列表示首项为，公差的等差数列，，，，，，，故选B.15．设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为（）A．B．C．20 D．【答案】C【解析】设等比数列的的公比，，，，则，当且仅当，即时取等号，的最小值为，故选C.16．已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量.下列命题中正确的是A．若任意n∈N*总有c n⊥b n成立，则数列{a n}是等比数列B．若任意n∈N*总有c n∥b n成立，则数列{a n}是等比数列C．若任意n∈N*总有c n⊥b n成立，则数列{a n}是等差数列D．若任意n∈N*总有c n∥b n成立，则数列{a n}是等差数列【答案】D【解析】若任意总有成立，则，即，即，则不是等比数列，也不是等差数列；若任意总有成立，则，即，即，即是等差数列．故选D．17．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如.已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（）A．305 B．306 C．315 D．316【答案】D【解析】由题意，，当时，可得，（1项）当时，可得，（2项）当时，可得，（4项）当时，可得，（8项）当时，可得，（16项）当时，可得，（项）.构造数列，设数列的前n项和为，则：，，两式作差可得：，即：.据此可得：，，而：，,，据此可知：，的值为316.本题选择D选项.18．数列满足，前项和为，，则的值为（）．A．B．C．D．【答案】A19．数列的通项，其前项和为，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先对进行化简得，又由关于的取值表：学_科网可得的周期为，则可得，设，则，故选A．20．设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，，则，由，对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前n项和取得最大值，，解得，首项的取值范围是.故选：D.。