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高中数学1.3.1函数的单调性与导数新人教A版选修2-2ppt课件

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人教A版数学选修2-2课件：1.3.1函数的单调性与导数

人教A版数学选修2-2课件：1.3.1函数的单调性与导数
【解题探究】利用求导的方法确定函数的单调性．
【解析】∵f(x)＝x3－3x， ∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 令f′(x)＞0，可解得x＜－1或x＞1， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 令f′(x)＜0，可解得－1＜x＜1， ∴f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 故f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区间 (－1，1)上单调递减．
C．y＝12x
D．y＝1x
【答案】BCD
【解析】在 A 中，y＝log2x 在区间(0，＋∞)上为增函数；在 B 中，y＝－ x在区间(0，＋∞)上为减函数；在 C 中，y＝12x 在 区间(0，＋∞)上为减函数；在 D 中，y＝1x在区间(0，＋∞)上为 减函数．故选 BCD．
(202X年四川成都外国语学校月考)已知函数f(x)＝x2＋ 2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是 ()
x＝1－xl2n
x .
∵0＜x＜2，∴ln x＜ln 2＜1,1－ln x＞0.
∴f′(x)＝1－xl2n x＞0.
根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝
ln x
x
在区间
(0,2)上是单调递增函数．
利用导数证明一个函数在给定这时一般是先将函数的导 数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相 关知识，在给定区间上判断导数的正负，从而得证．
【解析】(1)函数的定义域为R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．
令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，

高中数学人教A版选修2-2 1.3.1函数的单调性与导数 课件(41张)

高中数学人教A版选修2-2 1.3.1函数的单调性与导数 课件(41张)

当 a<0 时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋ ∞ )．
归纳升华 1．利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的 基本步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求出函数 f(x)的导数 f′(x)； (3)令 f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得 x 的相应 区间为 f(x)的单调递增区间； (4)令 f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得 x 的 相应区间为 f(x)的单调递减区间．
(1)由 x＞0，得函数定义域为(0，＋∞ )．
1 1 1 f′(x)＝2－ ，令 2－ ＞0 解得 x＞ ； x x 2 1 1 令 2－ ＜0，得 0＜x＜ . x 2 1 1 所以 f(x)的增区间是( ，＋∞)；减区间为(0， )． 2 2 a (2)f(x)＝x＋ 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， x
[变式训练] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2－ln x； ex (2)f(x)＝ ； x－2
解： (1)由 x＞ 0，得函数定义域为 (0，＋∞)． 1 （ 2x－ 1）（ 2x＋ 1） f′(x)＝ 2x－ ＝ . x x 2 因为 x＞ 0，所以 2x＋ 1＞ 0，由 f′(x)＞ 0 得 x＞ ， 2 所以函数
由 f′(x)＜0 得 x＜3， 又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)．
类型 2 与导数有关的函数图象问题 [典例 2] 已知 f′(x)是 f(x)的导函数， f′(x)的图象如图所示，则 f(x)的图象只 可能是( )
a ＋ b 解析：从 f′(x)的图象可以看出，在区间a， 内， 2 a ＋ b 导数递增；在区间 ，b内，导数递减．即函数 2

1.3.1函数的单调性与导数2-人教A版高中数学选修2-2课件

1.3.1函数的单调性与导数2-人教A版高中数学选修2-2课件

三、证明不等式 例4、证明不等式ex≥1＋x.(x ≥ 0)
提示：构造函数f(x)＝ex－1－x，利用 导数证明函数f(x)＝ex－1－x是增函数， ∴ex≥1＋x.
三、课堂练习 1、已知函数f(x)=2ax-x3，x∈(0,1]，a>0，若f(x)在 (0,1]上是增函数，求a的取值范围
[ 3 , ) 2
注：
在某个区间上f'(x)>0(或<0)⇒f(x)单调递增(递减)； 但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到 f'(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能 使f(x)在这个区间上单调，因此在已知f(x)在这个 区间上单调递增(递减)时；应令f'(x)≥0(或≤0)恒成 立，解出参数的范围。
f '(x)
2x
a x2
2x3 a x2
∵ f ( x)在[2, )上 是 单 调 递 增， f '( x) 0在[2, )上 恒 成 立
即 2x 3 a 0在[2, )上 恒 成 立 ， x2
∵ x 2 0,所 以2x 3 a 0在[2, )上 恒 成 立
a 2 x 3在[2, )上 恒 成 立 ， 即a (2 x 3 )min ∵ x [2, )， 所 以y 2x 3是 单 调 递 增 函 数
例1、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积 相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找 出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图 象.
(B)
(A)
(D)
(C)
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)

1.3.1函数的单调性与导数1-人教A版高中数学选修2-2课件

1.3.1函数的单调性与导数1-人教A版高中数学选修2-2课件

令(x
1)(x x2
1)
0，解得 1
x
0或0
x
1
y x 1 的单调减区间是(1,0)和(0,1) x
注: 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止 一个，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而 只能用“逗号”或“和”分开。
四、课堂练习 1、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 2 2x 4; (2) f ( x) e x x;
2
3
3
因 此 ， 函 数f ( x)的 递 增 区 间 是(2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递 减 区 间 是(2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f ( x) x ln(1 x) 1 2
解：函数的定义域是(1,)，f ( x) 1 1 x 1 . 2 1 x 2(1 x)
2
2
归纳： 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单 调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求 单调性问题时，应考虑导数法。
2°求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①求定义域
②求f'(x)
③令f'(x)>0解不等式⇒f(x)的递增区间 f'(x)<0解不等式⇒f(x)的递减区间
(2) f ( x) x 2 2x 3;
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2x 3 3x 2 24x 1.
解:
(3)因为f ( x) sin x x, x (0, )，所以f ( x) cos x 1 0.
因此，函数f ( x) sin x x在x (0, )上单调递减

1.3.1函数的单调性与导数-人教A版高中数学选修2-2课件

1.3.1函数的单调性与导数-人教A版高中数学选修2-2课件

已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
内的图象平缓.
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
2：求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1) 2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解： y' 9x2 6x 3x(3x 2)
步骤：
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;

人教A版高中数学选修2-2课件1.3.1函数的单调性与导数 (3).pptx

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(1) (ln x) 1 . x
(2)
（5）.指数函数的导数:
(log a
x)
1 x ln
. a
(1) (e x ) e x .
(2) (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
二、复习引入:
函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时
1）都有f(x1)＜f(x2)， 2）都有f(x1)＞f(x2)，
练习 2.函数的y 图 象f (如x)图所示,试画出导函数图象的大致f形(状x)
练习 3.讨论二次函数的f (单x)调区a间x2. bx c(a 0)
解: f (x) ax2 bx c(a 0) f (x) 2ax b.
(1) a 0
由,得,即f函(数x)的递0增区x间是;相b应地,函数的f递(x减) 区间是
f (x) x2 2x 3
题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) x2 2x 3;
(3) f (x) sin x x, x (0, );
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
解: (3)因为,所f (以x) sin x x, x (0, )
则f(x)在G上是增函数； 则f(x)在G上是减函数；
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若f(x)在G上是增函数或减函数， 则f(x)在G上具有严格的单调性。
G称为单调区间
概念回顾
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y1 x
y x2 2x 1 y 3x
y
y
y
o
x

高中数学人教A版选修2-2课件：1.3.1函数的单调性与导数


-3-
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重难聚焦
典例透析
2.求可导函数单调区间的一般步骤是什么?
剖析:第一步,确定函数f(x)的定义域.
第二步,求f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出它在定义域内的一切实根.
第三步,把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面
的各实根按从小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的
1.3.1
函数的单调性与导数
-1-
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重难聚焦
典例透析
1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
-2-
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重难聚焦
典例透析
1.如何理解函数的单调性与导数的关系?
剖析:(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时,先要确定函数的
是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函
数f(x)是增函数(或减函数)的条件下求参数的取值范围时,应令
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式
恒成立来求解),然后检验参数的取值能否使f'(x)在所给区间的任何
一个子区间不恒为零,从而求得参数的取值范围.
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
分析:解答本题首先确定h(x)的定义域为(0,+∞).
(1) h(x)存在单调递减区间,则h'(x)<0在(0,+∞)内有解.
(2)h(x)在[1,4]上单调递减,即h'(x)≤0在[1,4]上恒成立.

人教A版高二数学选修2-2 第一章 第三节 1-3-1函数的单调性与导数(第1课时)(同步课件) (共16张PPT)


（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数 单调性问题“定义域优先”． .
例1 已知导函数 f’(x)的下列信息: 当1 < x < 4 时, f’(x)＞0
当 x > 4 , 或 x < 1时, , f’(x)＜0 当 x = 4 , 或 x = 1时, , f’(x)＝0 试画出函数 f(x)的图象的大致形状.
3 2 4 因为 f x = 2x + 3x - 24x +1,所以f x =
6 x 6 x 24 .
2
1 17 1 17 或x 当f x > 0, 即 x 2 2
时,
函数f x
函数f x
单调递增
1 17 1 17 x 2 2
1 1
x , f x
0 0
O
x
图1.3 3
在 x x0 处， f '(x0) 0，切线是“左下右上”式的，这时， 函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增； 在 x x1 处， f ' ( x0 ) 0 ，切线是“左上右下”式的，这时， 函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减．
当f' x < 0,即x < 1时,函 数f x = x2 - 2x - 3单调递减 .
函 数f x = x2 - 2x - 3单调递增区间为 1， +∞， 单调递增 减区间为 -∞，1 。y
函数f x = x2 - 2x - 3 的图象如图所示.
o 1
f x = x 2 - 2x - 3
;
时,
y
当f x < 0, 即单Fra bibliotek递减.

高中数学人教A版选修2-2课件：1.3.1函数的单调性与导数-(2月23日) (共26张PPT)


x x x x
1
,
x x x
所以 y` lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
乐学变 1（1）根据导数的定义求函数 y f (x) x3 的导数.
（2）根据第（1）题及教材上结论，得
① x'=
；② (x 2 )' =
；
③(x3)' =
；④ (x 1 )' =
数 y f x,如何求它的导数呢?
根据函数的定义,求函数y f x的导数,
就是求出当x趋近于0时, y 所趋于的那 x
个定值.
下 面 我 们 求 几 个 常 用 函数 的 导 数.
1. 函数 y f x c的导数
因为 y f x x f x
x
x
y yc
c c 0, x
所以 y` lim y lim 0 0.
（1）从图象上看，它们的导数分别 表示这些直线的斜率.
y
y 4x
y 3x y 2x
（2）这三个函数中，y=4x增加得最 快, y=2x增加得最慢.
（3） y=kx(k>0)增加的快慢与k
（即函数的导数）有关，k越大，
函数增加得越快；
y=kx(k<0)增加的快慢与|k|
O
x
（即函数的导数的绝对值）有关，
x
1 x2
.
探究 画出函数y 1 的图象.根据图象, 描述它的 x
变化情况,并求出曲线在点1,1 处的切线方程.
探究 画出函数y 1 的图象.根据图象, 描述它的 x
变化情况,并求出曲线在点1,1 处的切线方程.
【解析】做出图象如下（图1.2-2）：
1 结合图象及导数 y' x2 发现，

人教A版高中数学选修2-2课件§1.3.1导数在研究函数中的应用——单调性.pptx

函数的单调性(增函数)
对于I上的任意两个自变量的值x1,x2，
当时x1，都x2有，则f(x)在f (区x1间) If上( x是2) 单调增函
数.
y
f(x2)
Q
y f ( x2 ) f ( x1 ) 0
x
x2 x1
f(x1) P
O
x1
平均变化率 x2 x （几何意义：割线PQ的斜率）
的单调性如何？
温故知新
函数的单调性
设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA. 如果对于I上的任意两个自变量的值x1,x2，
当时x1， 都x2有，则f(x)在f ( x区1)间 fI(上x2是) 单调增函
数.
当时x1 ， 都x2有，则f(x)在f (区x1)间 fI上( x2是) 单调减函
数.
合作交流
苏教版高中数学选修2-2
y
y
O
x
O
x
合作交流
利用函数探f (求x)导 数x2与单调性的关系.
建构新知
对于函数y=f(x)，
如果在某区间上f(x)>0，则f(x)在该区间上
为增函数; 如果在某区间上f(x)<0，则f(x)在该区间上为
减函数．
y
f(x)>0
y
f(x)<0
O a x bx
O ax b x
合作交流
活动一：试确定函数的f (单x调) 性x．2 4 x 3
活动二：求下列函数的单调区间．
（1）f ( x) 2 x3 6 x2 7; （2）f ( x) x 4ln x 1.
合作交流
利用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数定义域； ②求导函数f(x)； ③解不等式f(x)>0，得f(x)单调递增区间； 解不等式f(x)<0，得f(x)单调递减区间.
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• 4．由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0 的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0))的 切线的斜率，在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线 的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a，b)内每 一点(x0，f(x0))都有f′(x0)＞0，则曲线在该 区间内是上升的．反之若在区间(a，b)内， f′(x)＜0，则曲线在该区间内是下降的．
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数 的关系
• 如 果 f′(x) ＞ 0 ， 那 么 函 数 y ＝ f(x) 在 这 个 区 间
单调内递增
；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)
单调在递减这个区间内
．如果f′(x)＝0，那么函
数y＝f常(x数)在函数这个区间内为
．
• 2．求函数单调区间的步骤
• (1)确定f(x)的定义域；
• (2)求导数f′(x)；
• (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当
f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是
增；函当数 f′(x)
＜0时，f(x)在相应区间上是
． 减函数
• [例1] 判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞) 上的单调性．
x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函 数的单调性；
• (2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调 性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的 符号；③得出结论．
已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1－3a，讨论函数 f(x)的单 调性．
[解析] 由题设知 a≠0， f′(x)＝3ax2－6x＝3axx－2a. 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝2a. 当 a>0 时，若 x∈(－∞，0)，则 f′(x)>0， 所以 f(x)在区间(－∞，0)上是增函数；
• [解析] ∵y′＝3ax2，又x2≥0. • (1)当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增； • (2)当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减； • (3) 当 a＝0 时， y′＝ 0，函数 在 R上不 具备单 调
性．Байду номын сангаас
• [点评] 判断函数单调性的方法有两种： • (1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，
• 2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使 导数等于零的点外，还要注意定义区间内的不 连续点或不可导点．
• 3．注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x) 在该区间上为增(或减)函数的充分条件．如f(x) ＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函 数，但当x＝0时，f′(x)＝0.
若 x∈0，2a，则 f′(x)<0， 所以 f(x)在区间0，2a上是减函数． 若 x∈2a，＋∞，则 f′(x)>0， 所以 f(x)在区间2a，＋∞上是增函数． 当 a<0 时，若 x∈－∞，2a，则 f′(x)<0，
所以 f(x)在区间－∞，2a上是减函数． 若 x∈2a，0，则 f′(x)>0， 所以 f(x)在区间2a，0上是增函数． 若 x∈(0，＋∞)，则 f′(x)<0， 所以 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.
＋∞) • 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， • 解得－1＜x＜1. • ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
f′(x)＝x＋bx′＝1－xb2＝x12(x2－b)
令 f′(x)＞0，则x12(x＋ b)(x－ b)＞0 ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 令 f′(x)＜0，则x12(x＋ b)(x－ b)＜0 ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
• 7．我们注意到f(x)＝2x、g(x)＝3x、f′(x)＝ 2、g′(x)＝3有f′(x)＜g′(x)，画图可见，g(x) 与f(x)都是增函数，但g(x)比f(x)增长的快 得多．自己再观察几个函数导数值的大小
关系，你会发现，导数绝对值的大小反映
了函数在某个区间上或某点附近变化的快 慢程度，导数绝对值越大，函数增长(f′(x) ＞0)或减少(f′(x)＜0)的越快．
• 因此当区间(x1，x2)很小时，平均变化率可 近似表示函数y＝f(x)在这个区间内的单调 性．
• 6．如果函数f(x)在点x0附近，当x＜x0时f′(x) ＜0，当x＞x0时f′(x)＞0，则点(x0，f(x0))我 们称作临界点，通过画图你能观察出f(x0) 与临近点函数值的大小关系吗？同样当x ＜x0时，f′(x)＞0，当x＞x0时，f′(x)＜0，再 画图观察f(x0)的值与邻近点的函数值之间 有何关系？
[例 2] 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1 (2)f(x)＝x＋bx(b＞0)
• [解析] (1)函数f(x)的定义域为R • f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. • 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. • ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，
5．在区间(x1，x2)内，函数 f(x)的平均变化率即f(xx2)2－ －fx(1x1) 是经过 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两点直线的斜率，故在曲 线上一定存在一点 P(x0，f(x0))，使在点 P 处的切线斜率 k ＝f′(x0)＝f(xx2)2－ －fx(1x1)，如图．
• 1．3 导数在研究函数中的应用 • 1．3.1 函数的单调性与导数
• 借助于函数的图象了解函数的单调性与导 数的关系，能利用导数研究函数的单调性， 会用导数法求函数的单调区间．
• 本节重点：利用导数研究函数的单调性．
• 本节难点：用导数求函数单调区间的步 骤．
• 1．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要 确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能 在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数 的单调区间．