酒杯中的数学问题
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√２ ） ｒ （一 ２ Ⅱ ＋ 一
≥ ｏ 所 以当且 仅 当 ，
一 ．为２ 萼因 Ⅱ
，
≤ ｏ即 ｏ＜ ， ． １时 ≤
重视数 学这 门学 科 ， 不 少 学 生 却 缺 乏运 用 所 学 但 数学知识 解 决实 际 问题 的意 识 与 能 力 ， 如不 重 视 并 及时 改 变这 一现 状 ， 我 们所 培养 出来 的学 生 ， 那 将来 的发展 潜力 是 很有 限 的． 因而 ， 在平 时的教 学
数学 知 识 分 析 出 ， 玻 璃 球 的半 径 ， 当 ． 图１
在什 么范 围 内， 璃球 一定 会触及 酒杯底 部 ？ 玻
解： 以杯 底 为原 点建立 直 角坐标 系． 抛物 线 设
方程为 ｚ 一 ２ ｙ （ ｐ ｐ＞ Ｏ ， ） 由题 意 ， （ ， ） 抛 点 ２４ 在
使玻璃 球 触及酒杯 底 部？ 解： 以椭 圆 的 中心 为原 点 建 立 直 角 坐标 系． 椭 圆 方 程 为 设
点， 圆心 为 Ｂ（ ，） Ｏ ， 且过原 点 的圆 的方程 为 ｚ ＋（ ． ， 一 ｒ ，当 满 足 ｆＰ ｆ ，恒 成 立 应用 是 无处 不在 的．
本 文就 来谈谈 圆锥 曲线 知 识在 酒杯 系 列 问题 中的应用 ．
、口 ＋ （ 一 ｒ ≥ ｒ 成立 ， 以 ２ ≤ Ⅱ ＋ １ ／ ） 恒 所 ｒ 恒
Ｏ 解之得 ｙ 一一５ Ｙ — ２ Ｆ ， ｌ ， ｚ ５
－
２ ５
，
则 当Ｙ≤一 ７
５即
０ ， １ ８ｃ 时 ， Ｂ与椭 圆相切 于下顶 点． ＜ ． ． ｍ ＜ 圆 又 因 为杯 口半径 为 １８ｃ 则 当 ０ ， １８ｃ ． ｍ， ＜ ． ． ｍ时 ， ＜ 玻 璃球 一定 会触及 酒杯 底部 ．
的思 想．
例 ２ 李先 生工作 的酒 店里 有一 种 轴截 面为椭 圆一 部 分 的 椭 圆形 酒 杯 （ 如
图 ２ ， 口宽 ３ ６ｃ 杯 深 为 ９ｃ 中 间 ）杯 ． ｍ， ｍ， 最 宽处宽 ６ｃ 将一 个半 径 为 ，的玻 璃 ｍ． ． 球 放 入 酒杯 中 ， ，在 什 么范 围 内可 以 问 ．
成立 ， 因而 ２ ≤ （ ＋ １ ， ． 口 ）ｉ 一 １ 即 当 ０＜ ， ， ． ≤
１
例 １ 厨师李 先生 家 中有 一 种酒 杯（ 图 １ 如 ）酒杯 的轴截 面 为抛物 线 的
一
ｃ 时， ｍ 玻璃 球 一定会 触及 杯底 ． 说明 ： 思路 一 主要是运 用 了方程 的思 想 ， 思路
的方 程为 ｚ ＋ （ 一 ， ． ） 一 ｒ ， 它代 入 抛物 线 方 ２将
程， 消去 ｚ， Ｙ ＋ （ — ２ ） 得 １ ｒｙ一 ０ 解 得 Ｙ ， 一 ０ ， ３ ， ２ — １要 使玻 璃球 能触 及酒杯底 部 ， 满 足 一 ｒ ． 需 Ｙ — ２ 一 １ ０ 即 当 ０ ７ １ Ｉ时 ， ２ ｒ ≤ ， ＜ ． Ｃ Ｉ 玻璃球 一 ≤ Ｔ 定会 触及杯 底．
厂Ⅱ 一 ￣ （ ， 一 （） ／ ＋ Ⅱ一 ． Ⅱ ）
３ ： ｌ Ｑ
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ｌ 匦豳
例 ３ 在例 ｌ 的抛物 线型酒 杯 中 ， 放入 一根长 度 为 ２ｃ 的粗 细均匀 的细棒 ． 细棒 达 到平 衡状 ｍ 用 态 时 ， 在酒杯 中 的位 置 如 何 ？ 细 棒 端 点 与酒 杯 它 （ 壁 之间 的摩 擦力 忽 略不计 ） 分析 ： 于细 棒 粗 细 均匀 而 且 摩擦 力 忽 略 不 由 计 ， 细棒 达 到平 衡 状态 时 ， 重心 （ 棒 的 中点） 则 其 细
中， 我们 应 该强 化学 生对 数学 知识 的 应用 意识． 其 实 只要 细心 观察 就 不难 发现 ： 我们 的生 活 中， 在 数
一
有 厂（ ）ｉ一 厂 Ｏ 一 ｆ Ｂ ｆ所 以 当 ０ ， 口 （ ） ． ０ ＜ ． １ｍ ≤ ｃ
时， 玻璃球 能触 及杯底 ． 思路 ３ 设 Ｐ（ ， 为 抛 物线 ｚ— Ｙ ： ａ ａ） 上 一 动
一
物线上 ， （ ， 代 入抛 物线方 程 ， Ｐ— ， 以 将 ２ 得 ｌ 所 抛物线 方程 为 ｚ 一 Ｙ 下 面分 ３种思路来 说 明 ： ． 思 路 １ 设 圆心在 Ｙ轴正半 轴并 且过 圆点 的圆 ：
２
＋ 百 一 １（ 图 ２ Ｙ Ⅱ
２
＞ｂ ０， ＞ ） 由题意 ， 得 ｂ ３ 且点 （ ． ， －ａ 在 可 一 ， １８ ９ ）
部 分 ， 口宽 ４ｃ 杯 ｍ，杯深 ４ｃ 称 之 ｍ，
为抛物 线 型 酒 杯． 将 一 些 大小 不 一 若 的玻璃球 放 入该 酒 杯 中 ， 有些 能触 及 酒杯底 部 ， 而有 些则 不 能． 能用 所学 你
二则 体现 了 函数 的思 想 ， 路 三 则 是 运 用 了最 值 思
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酒 栎 的 数 问 题
（ 江苏省通 州 市兴仁 中学 ２ ６ ７ ） 葛晓光 ２ ３ １ 近 年来 的高考 模 式 一 直处 于不 稳定 的状 态 ， 但 不管 如何 变化 ， 学 对 于 所 有 的 学 生来 说 总 是 数 必考科 目． 在这 一 背景下 ， 大 多数 的 中学生都 很 绝
—
思 路 ２ 设 ｐ ａ “ ） 抛 物线 上 的动点 ， 圆 ： （ ， 为 动
Ｂ与抛物 线 一 相 切 ， 中 圆心 Ｂ的坐标 为 （ ， 其 Ｏ ，， ｆ Ｂ ｆ 一 ｆ Ｂ ｆ ， ． 当 ） Ｐ 时 必然满 足 动圆 Ｂ与 抛 Ｏ 物线相 切 于坐标原 点 ０ 记 ．
椭 圆上． 该点 代入椭 圆方 程 ， 得 ａ一 ５ 则 椭 圆 将 解 ，
方 程为 Ｚ Ｘ — １设 圆 心为 Ｂ（ ， 一５ ， 径为 ｙ ｚ Ｔ百 ． ０ ， ）半 ． ，的圆 的方 程为 ｚ ＋ （， ５ ， 一 ｒ ， ３ ＋ 一 ． ） ２ 与椭 圆方
程 联 立 ， 去 ｚ可 得 ８ ＋ ２ （ 一 ｒｙ ４ ５ １ ５ 消 ５５ ） ＋ ２ — ２ｒ
