酒杯中的解析几何问题(2019年8月整理)

抛物线型酒杯中的数学问题
这类酒杯形状的几何特征是一个抛物线，可以是平方曲线、三次抛物线或更高阶的抛物线。

因此，我们可以把数学问题抽象为寻找对应的曲线方程。

一种思路：
1.先拟合出图形，然后根据拟合出的曲线以及曲线的特性（例如拐点，顶点，曲线因式分解等等）来确定出该曲线的方程；
2.使用尝试/试验方法，根据已知条件推测出该酒杯形状可能对应的曲线方程；
3.使用数值解方法来求解出对应抛物线的曲线方程；
4.通过更具体的数学问题来计算，如果需要计算直径、角度等，可以转换为求解抛物线的两个点之间的距离的问题；
5.使用离散/隐式抛物线方程，使用一些已知的条件准确地推断出该抛物线的曲线方程；
6.使用回归分析方法，找出这种抛物线形状的曲线方程；
7.使用图形处理方法，计算出抛物线的曲线方程。

专题9 解析几何的斜率，的不同取值使得斜率有m的值为2两定点2数形就是充分考查数学问题的条件和结）y=最小值．任一点，的顶点关系分析入手，运用数学语言将解析几何问题描述转化，如果这两条直线各自绕着大值是≠0d，式得出方程1．【答案】B2．【答案】A【解析】①斜率不存在时，方程为x ＝1满足题意．②当直线斜率存在时，设斜率为k ，y –1＝k （x –1），kx –y –k ＋1＝0．22441x y y kx k ⎧-=⎨=-+⎩，消去y ，整理得（4–k 2）x 2＋（2k 2–2k ）x –k 2＋2k –5＝0． 当4–k 2＝0，k ＝±2时符合；当4–k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．4．【解析】（1）由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ． 整理，得x 2–y 2λ＝1（λ≠0，x ≠±1）．（2）①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）； ②当–1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）； ③当λ＝–1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点（–1，0），（1，0）； ④当λ<–1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）． 5．【答案】B【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42–1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6．∴m 的最大值为6，故选B ．6．【答案】C【解析】因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．故选C ．7．【答案】D【解析】由题意可知，A B 所表示的平面图形为阴影部分所示，根据对称性可知，其面积等于圆面积的一半，即2．故选D ．8．【答案】–1<k<1【解析】利用数形结合找出直线l的斜率k的取值范围．y=|x|的图象是一､二象限角的平分线，直线y=kx+1过定点（0，1），由图象知：–1<k<1．9．【答案】C10．【答案】B【解析】点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．511．【答案】412 所以x 2+y 2可以看成是直线上的动点到原点的距离的平方．原点到直线的距离6013d =，所以x 2+y 2最小值为3 600169．13．【答案】C【解析】若函数f （x ）是圆O 的“亲和函数”，则函数()f x 的图象经过点O 且关于点O 对称．A 中f （x ）＝4x 3＋x 2，B 中f （x ）＝ln 5－x 5＋x ，D 中f （x ）＝tan x 5的图象均过圆心O （0，0），在C 中，f （x ）＝e x ＋e －x2的图象不过圆心，不满足要求，故选C ．14．【答案】A【解析】由题意可得a=2c ，，所以方程ax 2+bx –c=0，即为2x 2–1=0，方程的两根分别为x 1，x 2，所以x 1+x 2=x 1x 2=–12，则2212x x +=（x 1+x 2）2–2x 1x 2=34+1=74<2，故点P （x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2内．故选A ．15．【答案】616．【解析】由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1．联立1280y kxx y=+⎧⎨+-=⎩，解得交点A78222kk k+⎛⎫⎪++⎝⎭,联立13100y kxx y=+⎧⎨-+=⎩，解得交点B71013131kk k-⎛⎫⎪--⎝⎭,，而P（0，1）为AB的中点，∴7723102k k++-=，解得k＝14-．故所求直线l的方程为：x＋4y–4＝0．。

酒杯中的数学问题作者：葛晓光来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2006年第08期近年来的高考模式一直处于不稳定的状态，但不管如何变化，数学对于所有的学生来说总是必考科目．在这一背景下，绝大多数的中学生都很重视数学这门学科，但不少学生却缺乏运用所学数学知识解决实际问题的意识与能力，如不重视并及时改变这一现状，那我们所培养出来的学生，将来的发展潜力是很有限的．因而，在平时的教学中，我们应该强化学生对数学知识的应用意识．其实只要细心观察就不难发现：在我们的生活中，数学的应用是无处不在的．本文就来谈谈圆锥曲线知识在酒杯系列问题中的应用．图1例1厨师李先生家中有一种酒杯（如图1）酒杯的轴截面为抛物线的一部分，杯口宽4 cm, 杯深4 cm，称之为抛物线型酒杯．若将一些大小不一的玻璃球放入该酒杯中，有些能触及酒杯底部，而有些则不能．你能用所学数学知识分析出，当玻璃球的半径r在什么范围内，玻璃球一定会触及酒杯底部？解：以杯底为原点建立直角坐标系．设抛物线方程为x2=2py (p＞0)，由题意，点（2，4）在抛物线上，将（2，4）代入抛物线方程，得p= 1 2 ，所以抛物线方程为x2=y．下面分3种思路来说明：思路1：设圆心在y轴正半轴并且过圆点的圆的方程为x2+(y-r)2=r2，将它代入抛物线方程，消去x，得 y2+(1-2r)y=0，解得y1=0,y2=2r-1．要使玻璃球能触及酒杯底部，需满足y2=2r-1≤0，即当0＜r≤ 1 2cm时，玻璃球一定会触及杯底．思路2：设p(a,a2)为抛物线上的动点，动圆B与抛物线x2=y相切，其中圆心B的坐标为(0,r)，当|PB|min=|OB|时，必然满足动圆B与抛物线相切于坐标原点O．记f(a)= a2+(a2-r)2 =(a2- 2r-1 2 )2+r2- (2r-1)2 4= 18 5 ．因为a2≥0，所以当且仅当 2r-1 2 ≤0 即 0＜r≤ 1 2 时，有f(a)min=f(0)=|OB|．所以当0＜r≤ 1 2 cm时，玻璃球能触及杯底．思路3：设P（a,a2)为抛物线x=y2上一动点，圆心为B（0,r)且过原点的圆的方程为x2+(y-r)2=r2，当满足|PB|≥r恒成立时，即 a2+(a2-r)2 ≥r恒成立，所以2r≤a2+1恒成立，因而2r≤(a2+1)min=1，即当0＜r≤ 1 2 cm时，玻璃球一定会触及杯底．说明：思路一主要是运用了方程的思想，思路二则体现了函数的思想，思路三则是运用了最值的思想．图2例2李先生工作的酒店里有一种轴截面为椭圆一部分的椭圆形酒杯（如图2），杯口宽3．6 cm，杯深为9 cm，中间最宽处宽6 cm．将一个半径为r的玻璃球放入酒杯中，问r在什么范围内可以使玻璃球触及酒杯底部？解：以椭圆的中心为原点建立直角坐标系．设椭圆方程为x2 a2 + y2 b2 =1 (a＞b＞0)，由题意，可得 b=3，且点（1．8，9-a)在椭圆上．将该点代入椭圆方程，解得a=5，则椭圆方程为y2 25 + x2 9 =1．设圆心为B（0，r-5)，半径为r的圆的方程为x2+(y+5-r)2=r2，与椭圆方程联立，消去x可得8y2+25(5-r)y+425-125r=0，解之得 y1=-5, y2= 25 8 r- 25 8 ，则当y2≤-5即0＜r＜1.8 cm时，圆B与椭圆相切于下顶点．又因为杯口半径为1．8 cm，则当0＜r＜1.8 cm时，玻璃球一定会触及酒杯底部．例3在例1的抛物线型酒杯中，放入一根长度为2 cm的粗细均匀的细棒．用细棒达到平衡状态时，它在酒杯中的位置如何？（细棒端点与酒杯壁之间的摩擦力忽略不计）分析：由于细棒粗细均匀而且摩擦力忽略不计，则细棒达到平衡状态时，其重心（细棒的中点）应最低，即细棒AB的中点M到x轴距离最短．图3解：如图3所示，抛物线的焦点为（0， 1 4 ），准线l的方程为y=- 1 4 过点A，B，M分别作l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，联结AF，BF．根据抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则|MM1|= 1 2 （|AA1|+|BB1|）= 1 2 （|AF|+|BF|）．由于|AB|=2，抛物线的通径2p=1即|AB|＞2p，因而在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|，即|MM1|≥ 1 2 |AB|．当且仅当线段AB过焦点F时，等号成立．此时细棒AB的重心M到抛物线的顶点O所在水平面的距离取得最小值，为|MM1|- 1 4 = 1 2 |AB|- 1 4 =1- 1 4 = 3 4 ．即当细棒过抛物线的焦点时可以达到平衡状态．变题1：在例3中，若细棒长度为L，则对于不同的L值，细棒处于平衡状态的位置有何不同？解：由例3可知：（1）L≥2p=1，则当细棒过抛物线的焦点时可达到平衡状态；（2）若L＜2p=1，由于焦点在y轴上的抛物线的焦点弦长为 2p cos2α (α为焦点弦所在直线的倾斜角）．当α=0时，焦点弦长取得最小值2p=1．因为L＜2p=1，所以细棒不可能通过抛物线的焦点F．设方程AB为y=kx+b，A（x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，由 y=kx+b与x2=y 消去y得 x2-kx-b=0，所以 x= x1+x2 2 = k 2 k=2x, b=y-2x2(1)由 |AB|= 1+k2 |x1-x2|= 1+k2 · Δ =L, 可得（1+k2)(k2+4b)=L2 (2)将（1）代入（2）中并消去k、b可得 4(1+4x2)(y-x2)=L2y= L2 4(4x2+1) +x2= L2 4 · 1 4x2+1 + 1 4 (4x2+1)- 1 4 ．由 L2 4 · 1 4x2+1 = 1 4 (4x2+1)L=4x2+1≥1．而L＜1，则此时无法用均值定理来求y的最小值．因为函数y= 1 4 ( L2 t +t-1)在区间［L,+∞)上单调增，所以当x=0时y min= L2 4 ，此时当细棒滑到水平位置时，其重心最低，从而达到平衡状态．变题2：将该问题推广到其他形状的酒杯中．如果分别在轴截面是等腰直角三角形的圆锥形酒杯中，以及案例2的椭圆形酒杯中各放入一根长度为L粗细均匀的细棒，则细棒达到平衡状态时，它在酒杯中的位置分别是怎样的？图4解：（1）以等腰直角三角形的直角顶点为原点，以其底边上的高所在直线为y轴建立直角坐标系（如图4所示），则圆锥形酒杯壁所在射线方程为y=x或y=-x(y≥0)．设|AB|=L，M（x,y)为AB的中点A，B分别在两条射线上滑动．在Rt△AOB中，|OM|= 1 2 |AB|= 1 2 L，所以点M的轨迹是以O为圆心， 1 2 L为半径且位于两条射线y=±x (y≥0)之间的一段圆弧．显然，当点M在两条射线上，即细棒贴在酒杯壁上时，其重心最低，从而达到平衡状态．此时点M的坐标为（±24 L,24 L)．（2）椭圆形酒杯的轴截面所在椭圆方程为y2 25 + x2 9 =1 (-5≤y≤4)．通径为 2b2 a = 18 5 ．类似于变题1，若L≥ 18 5 ，则当AB过焦点F时，其重心最低，从而达到平衡状态；若L＜ 18 5 ，则当AB水平放置时，其重心最低，从而达到平衡状态．说明：以上例题及其变题所述结论都可以通过实验得到验证．注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

高三数学解析几何试题答案及解析1.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可知，当点距离圆心越远时，越小，所以当点距离圆心最远时，即点落在处时角达到最小，此时，所以，故选C．【考点】圆的有关性质．2.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（为参数），（为参数）．（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值．【答案】（1），，是以为圆心，半径为的圆；为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆；（2）【解析】第一问将参数消掉，求得其普通方程，根据方程确定出曲线的类型，第二问根据确定出的坐标，利用中点坐标公式，确定出，将的方程消参，求得直线的普通方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的最值，求得距离的最小值．试题解析：（1），是以为圆心，半径为的圆；为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆（2）当时，，，故；为直线，到的距离当，时，取最小值【考点】参数方程向普通方程转化，中点坐标公式，点到直线的距离的最小值．3.（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，长轴长为8．。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若不垂直于坐标轴的直线经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求的值。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据已知设出直线方程为（），并记，于是联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再由已知直线AQ，BQ的斜率之和为0，可得方程，将上述求得的的值直接代入即可求出参数的值．试题解析：（Ⅰ）由题意①，②，又③，由①②③解得：，所以求椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线方程为（），且，直线的斜率分别为，将代入得：，由韦达定理可得：．由得，，将代入，整理得：即将代入，整理可解得【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；4.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是弧的中点，，垂足为，交于点．（1）求证：；（2）若，⊙的半径为6，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】第一问连结CO交BD于点M，根据弧的中点，结合三角形全等，从而证得结果，也可以延长CE 交圆O于点N，连接BN，根据角相等，证得结果，第二问根据圆中的直角三角形，利用勾股定理，求得结果．试题解析：（1）证法一:连接CO交BD于点M，如图1∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO∴∠OCE=∠OBM又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF证法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，如图2∵AB是直径且CN⊥AB于点E．∴∠NCB=∠CNB又∵C为弧BD的中点∴∠CBD=∠CNB∴∠NCB=∠CBD即∠FCB=∠CBF∴CF=BF（2）∵O,M分别为AB,BD的中点∴OM=2OE∴EB=4在Rt△COE中，∴在Rt△CEB中，【考点】圆的性质．5.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵双曲线，其右焦点坐标为．∴抛物线，准线为，∴,设，过点向准线作垂线，则，又，∴由得，从而，即，解得．故选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．6.抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）【答案】B【解析】先将抛物线的方程化为标准形式，所以焦点坐标为（）．故选B．【考点】求抛物线的焦点．7.设是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】由题意得，是直角三角形，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴．故选：D．【考点】双曲线的简单性质．8.已知椭圆C: 的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆相切的直线交椭圆C与A,B两点，求面积的最大值，及取得最大值时直线的方程．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）利用题设条件可列出关于、、的方程组，从而可得、、的值．（2）因为直线与圆相切，所以欲求面积的最大值，只需求弦长的最大值，所以可求出弦长关于斜率的解析式，利用基本式可求得其最大值．试题解析：（1）由题意可得：．（2）①当不存在时，，②当存在时，设直线为，当且仅当即时等号成立，∴面积的最大值为，此时直线方程．【考点】求椭圆方程，直线与圆相切，弦长公式，基本不等式．【方法点睛】（1）对于直线的斜率，需要分类讨论斜率存在与不存在，这也是易忘易错之处．（2）注意到直线与圆相切，那么的高就是圆的半径，所以欲求面积的最大值，只需求弦长AB的最大值，也是本题的难点之一．（3）关于的化简，变形，进而结合基本不等式求解，是本题另一个难点．9.如图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．【答案】1【解析】球的截面大圆半径为，圆方程为，圆心为，设是抛物线上任意一点，由，由题意，最小值是与原点重合时取得，即时取得，因为，所以，，因此清洁球的最大半径为1．【考点】柱、锥、台、球的结构特征，圆的标准方程与一般方程，直线与抛物线的应用．【名师】本题考查圆与抛物线的位置关系，本题具有实际意义，从数学上讲，本题就是圆与抛物线切于抛物线的顶点处，从生活常识中可知，圆的半径很小时，圆一定与抛物线切于其顶点处，当圆半径很大时，圆不可能与抛物线切于顶点处，要满足题意，这个半径一定有最大值，从数学上来解，设圆心为，则抛物线上点到的距离的最小值在原点处取得，实质上本题转化为二次函数在上的最大值在自变量为0时取得，由此可得的最大值（范围）．10.已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为4．（1）求的值；（2）设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用圆与抛物线可求交点为，据此即可求出的值；（2）直线的方程为，分别于抛物线、圆的方程联立，求出，利用时，即可求的取值范围．试题解析：（1）由题意知交点坐标为代入抛物线解得（2）抛物线的焦点，设直线方程为与抛物线联立化简得设，则圆心到直线的距离为又，所以的取值范围为．【考点】1．抛物线的简单性质；2．直线与抛物线、圆的位置关系．11. 选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙是的外接圆，平分交于，交的外接圆于．（1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】（1）过作交于，连接，则可得，再利用条件可证明；（2）利用，可得对应线段成比例，即可建立关于的方程，从而求解．试题解析：（1）如图，过作交于，连接，∴①， 又∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴②，由①②知；（2）∵，又∵， ∵，∴，∴，∴，∴，∴．【考点】1．圆的基本性质；2．相似三角形的判定与性质．12. 已知椭圆C ：的离心率为，点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值．【解析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可． 试题解析：（Ⅰ）解：由题意，得，a 2=b 2+c 2，又因为点在椭圆C 上， 所以，解得a=2，b=1，，所以椭圆C 的方程为．（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5． 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ． 由方程组得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点， 所以，即m 2=4k 2+1． 由方程组得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，则．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则，，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以，将m 2=4k 2+1代入上式，得．要使得k 1k 2为定值，则，即r 2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2， 此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足．综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．13. 已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，不妨设的方程为，设由．得，故到轴的距离为，故选C ．【考点】1．双曲线的性质；2．向量的数量积．14. 已知圆：和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的两点.（1）当切线斜率为-1时，求线段的长；（2）设点和点关于直线对称，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）圆的圆心为，，设，设的方程，利用直线是圆的切线，求得的值，从而可得到的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，求出；（2）设直线的方程为，由直线是圆的切线，得到，解得此时直线的方程为；设直线的斜率不存在时，的方程为则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为.（1）因为圆，所以圆心为，半径.设，当直线的斜率为-1时，设的方程为.由，解得或，所以由消去得，所以弦长；（2）（i）当直线的斜率不存在时，因为直线是圆的切线，所以的方程为，与联立，则得，即，.不符合题意.（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由题意知，得①，由，消去得.由直线l是圆的切线，得到，解得此时直线l的方程为；设直线l的斜率不存在时，l的方程为则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为.【考点】1、抛物线的简单性质；2、直线方程.【思路点睛】（1）本题主要考察抛物线简单的性质，得到的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，求出；（2）将直线与抛物线联立，韦达定理，求出，点到直线的的距离公式，直线的方程的基础知识．主要考察学生的分析问题解决问题的能力，转化能力，计算能力.15.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，见解析【解析】法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），所以，由此能求出直线l 的方程．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x0，y），则．因为|BF|=|AF|=x+1，所以B（﹣x，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x0，y），则．设圆的方程为：由此能够证明直线AB与抛物线相切．解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．…（3分）所以，，解得：．…（5分）故直线l的方程为：，即．…（6分）（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）（法一）：设A（x0，y），则．…（8分）因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x，0）．…（9分）所以直线AB的方程为：，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）设A（x0，y），则．…（8分）设圆的方程为：，…（9分）当y=0时，得x=1±（x+1），因为点B在x轴负半轴，所以B（﹣x，0）．…（9分）所以直线AB的方程为，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．16.如图，中，以为直径的⊙分别交于点交于点.求证：（Ⅰ）过点平行于的直线是⊙的切线；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）连结，延长交于，利用圆内接四边形的性质证明三角形相似，再证明线线垂直；（Ⅱ）连续利用割线定理进行证明．试题解析：（Ⅰ）连结，延长交于，过点平行于的直线是，∵是直径，∴，∴，∵四点共圆，∴，又∵是圆内接四边形，∴，∴，而,∴∽, ∴,∴, ∴,∴是⊙的切线．（Ⅱ）∵,∴四点共圆，∴, 同理,两式相加【考点】圆内接四边形．17.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】双曲线的性质.18.已知圆内接中，为上一点，且为正三角形，点为的延长线上一点，为圆的切线.（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）求证：【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】对于（Ⅰ）可由与相似，并结合即可求出的度数；对于（Ⅱ）可先证明，再结合为等边三角形，进而可以证明所需结论.试题解析：证明：（Ⅰ）在与中，因为为圆的切线，所以，又公用，所以，因为为等边三角形，所以，（Ⅱ）因为为圆的切线，所以，因为为等边三角形，所以，所以，所以，所以，即，因为为等边三角形，所以，所以.【考点】几何证明.19.抛物线上的点P到它的焦点F的最短距离为________．【答案】1【解析】，根据焦半径公式．【考点】抛物线的几何性质.20.圆被直线分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（）A．1:1B．2:1C．3:1D．4:1【答案】C【解析】圆心到直线的距离为，半径为，则截圆的弦所对的劣弧的圆心角为，则较长弧长与较短弧长之比.故选C.【考点】直线与圆的位置关系.21.已知双曲线的一条渐近线与平行，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为______.【答案】【解析】抛物线的准线为，由题意可得，设双曲线的一条渐近线与平行，由题意可得，即，解得，∴双曲线的标准方程为．所以答案应填：．【考点】1、双曲线的简单性质；2、抛物线的性质．【思路点睛】求出抛物线的准线方程，可得，根据双曲线的方程为，求出渐近线方程，由题意可得的方程，解方程可得或，进而得到双曲线的方程．正确运用双曲线的性质是解题的关键，本题考查双曲线的方程的求法、抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题．22.如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆方程；（2）椭圆内接四边形的对角线交于原点，且，求四边形周长的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值是，最小值是.【解析】（1）由题意得，利用离心率可得，利用的关系，即可求解椭圆的标准方程；（2）由题意得对称性可得四边形为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得，即有四边形为菱形，既有，讨论直线的斜率为，可得最大值；不为时，设出直线方程，与椭圆方程联立，运用两点间的距离公式，化简整理，再借助二次函数的性质，即可求得最小值.试题解析：（1）由题意可知，所以.又因为，所以，所以椭圆方程是.（2）由题意可设，则，因为所以，所以四边形是平行四边形.因为，所以，所以四边形是菱形.设直线的方程是，则直线的方程是，并且由椭圆的对称性不妨设，由，得，所以，所以由，得，所以，所以所以，所以令，则，令，因为，所以，即时，.，即时，.所以四边形周长的最大值是，最小值是.【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆位置关系的综合应用，其中直线与椭圆方程联立相交问题转化为联立方程组求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值是解答的关键，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归思想的应用，试题运算量与思维量较大，需要平时注意总结和积累，属于难题.23.双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，直线的方程是，因为圆与直线相切，所以点到直线的距离等于半径，即，又，得，，，故选B.【考点】1、双曲线的性质；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.24.已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.（1）求点的坐标；（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得的坐标；（2）将直线的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.试题解析：（1）∵椭圆过点，，∴，计算得，，∴椭圆的方程为.∵的面积，∴，∴，代入椭圆方程.∵，∴，∴；（2）法一：设直线的方程为，，，直线的方程为，可得，即，直线的方程为，可得，即.联立，消去，整理，得.由，可得，，，∴为定值，且.法二：设，，，，直线，，的斜率分别为，，，由，得，，可得，，，，由，令，得，即，同理得，即，则∴为定值，该定值为.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．【名师】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.25.已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记为（为坐标原点）的面积，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由圆与圆外切得圆心距为半径之和，即得，用坐标表示，化简得（2）按条件依次表示点的坐标及三角形面积：设点，则由导数几何意义得切线斜率，根据垂直关系得，再由直线方程过点得，即得点坐标为，直线的方程为，最后根据直线方程与抛物线方程解出点的坐标为，计算出三角形面积试题解析：解：（1）设动圆圆心的坐标为，动圆半径为，则，且，可得．由于圆在直线的上方，所以动圆的圆心应该在直线的上方，所以有，，整理得，即为动圆圆心的轨迹的方程．（2）设点的坐标为，则，，，所以直线的方程为．又，∴，∵点在第一象限，∴，点坐标为，直线的方程为．联立得，解得或4，∴点的坐标为．所以．【考点】直接法求轨迹方程，导数几何意义，直线与抛物线位置关系26.已知圆方程为：，直线过点，且与圆交于两点，若，则直线的方程是_______.【答案】或【解析】①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意.②若直线不垂直于轴，设其方程为，即，设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，解得，故所求直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.【考点】直线与圆位置关系27.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得又，所以所以双曲线的方程为，选A.【考点】双曲线【名师】求双曲线的标准方程的关注点：（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．28.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出的极坐标方程，并求与的交点的极坐标；（2）设是椭圆上的动点，求的面积的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）借助题设将建直角坐标化为极坐标求解；（2）借助题设条件参数方程建立目标函数求解.试题解析:（1）因为，所以的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为，联立方程组，解得或，所以点的极坐标分别为.（2）因为是椭圆上的点，设点坐标为，则到直线的距离，所以，当时，取得最大值1.【考点】极坐标方程和参数方程等知识及运用．29.平面直角坐标系中，点、是方程表示的曲线上不同两点，且以为直径的圆过坐标原点，则到直线的距离为（）A．2B．C．3D．【答案】D【解析】由题设可得,注意到,由椭圆的定义可知动点的轨迹是以焦点,长轴长为的椭圆,所以其标准方程为.因为是椭圆上点,且以为直径的圆过坐标原点,所以,设,将这两点坐标代入可得, ,所以.即也即,设原点到直线的距离为,则,即,应选D.【考点】椭圆的标准方程和参数方程．【易错点晴】本题以方程的形式为背景考查的是圆锥曲线的几何性质与运用.解答本题的难点是如何建立两个动点的坐标的形式,将两点之间的距离表示出来,以便求坐标原点到这条直线的距离.解答时充分利用题设条件,先运用椭圆的定义将其标准方程求出来,再将两动点的坐标巧妙地设为,这也是解答本题的关键之所在.进而将这两点的坐标代入椭圆的方程并进行化简求得的长度之间的关系.最后运用等积法求出了坐标原点到直线的距离.30.选修4-1：几何证明选讲如图, 圆是的外接圆,垂直平分并交圆于点, 直线与圆相切于点,与的延长线交于点.（1）求的大小；（2）若,求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用弦切角与三角形的内角和定理求解；（2）借助题设条件和切割线定理求解. 试题解析:（1）设,为圆的切线, ,由垂直平分并交圆于点,可得,,则,由,得,即的大小为.（2）为圆的切线,. 由（1）知,又,即.【考点】圆幂定理中切割线定理及运用．31.过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若，且，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，与双曲线的渐近线方程为，由于过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，且，所以可设直线方程为：，设，则，由可得，所以，由得或（舍去），所以抛物线方程为，故选A.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线和双曲线的定义与性质.【名师】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线和双曲线的定义与性质，属中档题；解决抛物线弦长相关问题时，要注意抛物线定义的应用，即将到焦点的距离转化为到准线的距离，通过解方程组求解相关问题即可。

倒酒：拓展欧⼏⾥得算法的应⽤第三题、倒酒【问题描述】Winy是⼀家酒吧的⽼板，他的酒吧提供两种体积的啤酒，a ml和 b ml，分别使⽤容积为a ml和 b ml的酒杯来装载。

酒吧的⽣意并不好。

Winy 发现酒⿁们都⾮常穷。

有时，他们会因为负担不起 aml 或者 bml 啤酒的消费，⽽不得不离去。

因此，Winy 决定出售第三种体积的啤酒(较⼩体积的啤酒)。

Winy 只有两种杯⼦，容积分别为a ml和 b ml，⽽且啤酒杯是没有刻度的。

他只能通过两种杯⼦和酒桶间的互相倾倒来得到新的体积的酒。

为了简化倒酒的步骤，Winy 规定：（1）a≥b；（2）酒桶容积⽆限⼤，酒桶中酒的体积也是⽆限⼤(但远⼩于桶的容积)；（3）只包含三种可能的倒酒操作：①将酒桶中的酒倒⼊容积为b ml的酒杯中；②将容积为a ml的酒杯中的酒倒⼊酒桶；③将容积为b ml的酒杯中的酒倒⼊容积为a ml的酒杯中。

（4）每次倒酒必须把杯⼦倒满或把被倾倒的杯⼦倒空。

Winy希望通过若⼲次倾倒得到容积为a ml酒杯中剩下的酒的体积尽可能⼩，他请求你帮助他设计倾倒的⽅案【输⼊】两个整数a和 b（0<b≤a≤109）【输出】第⼀⾏⼀个整数c，表⽰可以得到的酒的最⼩体积。

第⼆⾏两个整数Pa和Pb（中间⽤⼀个空格分隔），分别表⽰从体积为a ml的酒杯中倒出酒的次数和将酒倒⼊体积为b ml的酒杯中的次数。

若有多种可能的Pa、Pb满⾜要求，那么请输出Pa 最⼩的⼀个。

若在Pa 最⼩的情况下，有多个Pb满⾜要求，请输出Pb 最⼩的⼀个。

【样例】pour.in pour.out5 3 11 2倾倒的⽅案为：1、桶->B杯；2、B杯->A杯；3、桶->B杯；4、B杯->A杯；5、A 杯->桶;6、B杯->A杯；解题报告：⾸先讲述欧⼏⾥得算法：辗转相除法的最⼤公约数gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);(a>=b)当b=0时a即为最⼤公约数；考虑线性公式：ax+by=gcd(a,b)必有整数解.证明：令a>b，ax+by=gcd(a,b)即bx'+(a mod b)y'=gcd(b,a mod b)⼜gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)∴解ax+by=gcd(a,b)即解ax+by=bx'+(a mod b)y'进⾏演算：ax+by=bx'+(a mod b)y' => ax+by=bx'+(a-a div b*b)y' => a(x-y')=b(x'-y-a div b*y') =>当x-y’=0,且(x'-y-a div b*y'=0）时⽅程平衡∴x=y';y=x'-a div b*y';有欧⼏⾥得算法可得gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)=gcd(b mod(a mod b),a mod b)...=gcd(0,gcd(a,b))∵ax+by=gcd(a,b)所以当 a=gcd(a,b),b=0 时⽅程为 gcd(a,b)x''+0*y''=gcd(a,b)易得此时解为 x''=1,y''=0，因为x=y';y=x'-a div b*y';所以可由数学归纳法得最底层x'',y''推⾄最⾼层x,y因为已有解x'',y''所以必有解x,y.令gcd(a,b)=d则有ax+by=d =>ax+(a*b)div d+by-(a*b)div d=d => a*(x+b div d)+b*(y- a div d)=d∴当存在解x,y时，也存在解（x+b div d),(y+a div d)∴(x+k*(b div d)),(y-k*(a div d))皆为解回到题⽬中：易知题⽬所要求的最⼩流有酒量不低于a、b两瓶的最⼤公约数，最后⼀步倒酒不可能是从a瓶往酒桶倒，也不可能是从酒桶往b瓶倒，只可能是从a瓶往b瓶倒，于是必有最后⼀步后：b瓶空,a瓶留有最⼩酒量，⽽a瓶留有的酒量就是流进b瓶的酒量减去流出a瓶的酒量，因为留有的酒量不⼩于最⼤公约数，⽽ax+by=gcd(a,b)必有解，所以留有最⼩酒量为gcd(a,b),⽽题⽬所要求的流出a的次数即为-x，流⼊b瓶的次数为y，根据（x+k*(b div d),y-k*(b div d))调整整数k即可得最优解。