求解变分型积分方程的一种新型数值方法_有限变分法
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（ １） ２） ＊（ （ １）
ａ－ρ Δ
Σ ｕ
８ ０ ２
计
算
力
学
学
报
７卷 第２
）基本参考载荷系统 （ ） （ ）待求解载荷系统 （ ） ａ １ ｂ ２ （ ） ） （ ） ） ａ Ｆ ｕ ｎ ｄ ａ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｌ ｏ ａ ｄ ｉ ｎ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ（ １ ｂ Ｌ ｏ ａ ｄ ｉ ｎ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ（ ２ ｔ ｏ ｂ ｅ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ （ ｇ ｙ ｇ ｙ 图 １ 带裂纹的几何体 Ｆ ｉ ． １ Ｃ ｒ ａ ｃ ｋ ｅ ｄ ｂ ｏ ｄ ｇ ｙ
（ １）
Ｅ （ １） ε ｋ ｋ ＝ １－２ ν
∫
４ ＫⅠ ＫⅠ Ｓ Δ Ｈ π
（ １）
（ ２）
ｕ１ ｖ１ ｗ１ Ｅ （ ） ＋ ＋ ８ ｘ ｚ １－２ ｙ ν 式 中 ｕ， 将 ｖ和ｗ 分别是坐标ｘ， ｙ 和ｚ 方向的位移 。
（
（）
（）
（）
）
槡ρ
（ １）
ａ－ρ Δ ｄ σ＝
） 。 此方法的步骤如下 ： Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
图 ２ 虚拟裂纹扩展 Ｆ ｉ ． ２ Ｖ ｉ ｒ ｔ ｕ ａ ｌ ｃ ｒ ａ ｃ ｋ ｅ ｘ ｔ ｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｇ
（ ）用 Ｎ 个节点 …， ， 将变分域 １ ｓ ２， Ｎ） ｊ＝１， ｊ（ （ 弧长ｓ 分割为任意 Ｎ－ ｓ １个子段 １到 Ｎ 的裂纹前缘 ） （ ） 。 参见图 ３ 在每一个节点ｓ ｊ 处引入一个基本插值 ）和一个局部变分函数 Ｎ ） （ 型函数 Ｎｊ（ 参见图 ｓ ′ ｓ ｊ（ ） ， 它们都满足条件 ： ４ （ ） ９
（ ） 文章编号 ： １ ０ ０ ７ ４ ７ ０ ８ ２ ０ １ ０ ０ ５ ０ ８ ０ １ ０ ８ － － －
求解变分型积分方程的一种新型 — — 有限变分法 数值方法 —
卢炎麟 ＊ ， 周国斌 ， 贾 虹， 应富强 ， 傅建钢
（ ） 浙江工业大学 机械制造及自动化教育部重点实验室 ， 杭州 ３ １ ０ ０ １ ４ — — 摘 要： 将作者提出的多虚拟裂纹扩展法 （ 拓展为求解变分型积分方程问题的一种新型数值方法— ＭＶ Ｃ Ｅ 法） 。 它的基本思想是 ， 有限变分法 （ 给定有限个 （ 局 部 变 分 模 式， 将所求解的未知量用适当的方法离散 Ｆ ＶＭ） Ｎ 个） 化， 针对这 Ｎ 个局部变分模式列出 Ｎ 个方程 ， 求解 Ｎ 个未知系数 ， 从而求得未知量 。 单一未知变量 Ｆ ＶＭ 的 最 终 方程组 的 系 数 矩 阵 通 常 是 一 个 对 称 的 窄 带 矩 阵 ， 对角元是大数， 有很好的数值计算性能。用 Ｆ ＶＭ 求 解 了 三 维 Ｉ 型裂纹前缘的应力强度因子 （ 分布 。 利用基于 Ｆ 可以高精度和高效率地求解 Ｓ Ｉ Ｆ） ＶＭ 的 通 用 权 函 数 法 计 算 程 序 ， 体积力和温度载荷共同作用情况下三维裂纹前缘 Ｓ 表面力 、 Ｉ Ｆ 的分布及其 时 间 历 程 。Ｆ ＶＭ 可 以 被 推 广 到 更 广 泛 是一个求解变分型积分方程问题的普遍适用的新型数值方法 。 的领域 ， 关键词 ：有限变分法 ； 变分型积分方程 ； 应力强度因子 ； 三维通用权函数法 ； 多虚拟裂纹扩展法 中图分类号 ： Ｏ ３ ４ ６． １ 文献标识码 ： Ａ
∫
Ｖ
ｆ
２） ＊（
（） σ ｕ１ （ ｋ ｋ ２） · ｄ Ｖ＋ α ｄ Ｖ Θ＊ · Ｓ Ｓ
（ １）
∫
（ ） ２
现在让裂纹位置产生某个变分 ， 即沿裂纹前缘Γ 产 ） （ 生某种无穷小的虚 拟 裂 纹 扩 展 Δ 参见 ａ ＝δ ａ（ ｓ ｃ ） ， 图２ ）＝ ｇ（ ） ａ（ ｓ ｓ ｌ δ δ ｃ ｃ （ ） ５ ）是 沿 着 垂 直 于 式中 ｓ 是沿 裂 纹 前 缘 的 弧 长 ， ａ（ ｓ 裂纹前缘的方向测 量 的 裂 纹 前 缘 某 点 处 的 裂 纹 长 ）是 描 述 虚 度， ｌ 是一个 选 定 的 特 征 裂 纹 长 度 ， ｓ ｇ（ 拟裂纹扩展量沿裂 纹 前 缘 分 布 情 况 的 一 个 无 因 次 ）的度量 。 扩展函数 ， 注意到 ｌ 是变分δ ａ（ ｓ δ ｃ ｃ ， ｄ ｓ ｄ σ＝ｄ ρ ） ａ（ ｓ δ ρ＝ ２ ∫ 槡ρ ρｄ
（ １）
） ： 形式 ２ 方程 （
２） ＊（
∫
１ ２ ２ ＫＩ ＫＩ ） ａ（ ｓ ｄ ｓ＝ δ ｃ Γ Ｈ
（）
（）
ｔ ∫
Σ ｔ
２） ＊（
（） · ｕ１ｄ δ Σ－ ｃ
第５期
— — 有限变分法 卢炎麟 ， 等 ：求解变分型积分方程的一种新型数值方法 —
８ ０ ３
０ ｊ 图 ３ 基本变分模式δ ａ ａ ｃ ｓ 和局部变分模式δ ｃ ｓ ０ ｊ Ｆ ｉ ． ３ ａ ｓ ｉ ｃ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ａ ｎ ｄ ｌ ｏ ｃ ａ ｌ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ｓ ａ Ｂ δ δ ｇ ｓ ｃ ｓａ ｃ
∫
２ ＫⅠ ＫⅠ ） ａ（ ｓ ｄ ｓ＝ δ ｃ Γ Ｈ
ｔ ∫ ｆ ∫
Σ ｔ Ｖ
２） ＊（
（） · ｕ１ｄ δ Σ－ ｃ
２） ＊（
（） · ｕ１ δ ｃ
∫ｕ ｄ Ｖ＋ α ∫Θ
Σ ｕ Ｖ
２） ＊（
（） · ｔ１ ｄ δ Σ＋ ｃ
２） ＊（
１ · Ｖ δ σ ｃ ｋ ｋｄ
（）
（ ） ７
由于σ 所以不便于直接 ｋ ｋ 对于裂纹扩展 非 常 敏 感 ， ）来进行计算 。 利用式 （ 在三维的情况下 ， ７ σ ｋ ｋ ＝
１ 引
言
— — 多虚拟裂纹扩展法（ 的一种数值解 法 — ＭＶ Ｃ Ｅ 。 法） 本文将 ＭＶ Ｃ Ｅ 法拓展为具有更完善的数学和 具有 更 普 遍 意 义 和 形 式 ， 并具有更 力学理论基础 、 广泛的应用领域的一类新型数值方法 。 根据该方法 的基本思想和 数 学 意 义 ， 把它称之为有限变分法 ） 。 研 究 表 明， Ｆ ＶＭ（ Ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ Ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ Ｆ ＶＭ 具有非常诱人的优异的数值计算性能 。 （ ） １
ａ－ Δ
π
（ ） ６
Ｅ， 平面应力 烄 Ｈ ＝烅 ２ ／ （ ） ， Ｅ １－ν 平面应变 烆
式中 Ｅ 为弹性模量 ， ν 为泊松比 。
（ ） ３
，可 以 得 到 以 变 分 形 式 表 示 的 将它 们 代 入 式 （ ２ ′） ） ： 三维通用权函数法基本方程 （ 形式 １
（ １） （ ２）
ｊ＝１ （ １ ｉ ＝ｊ） Ｎ 烄 ）＝ １ （ ） Ｎｊ（ ｓ Ｎｊ（ ｓ １ １ ＝δ ＝ ｉ） ｉ ｊ 烅 （ ，∑ ０ ｉ ≠ｊ） 烆 ）和 局 部 变 分 函 数 Ｎ ）可 基本插值型函数 Ｎｊ（ ｓ ′ ｓ ｊ（
∫ｕ
Σ ｕ
２） ＊（
（） （ （） ２） · ｔ１ ｄ ｕ１ｄ Ｖ＋ δ Σ ＋ ｆ＊ · δ ｃ ｃ
ｃ
０ ） ａ（ ｓ δ ｃ
式中 α 为热膨胀系数 ， Ｓ 为裂纹面的面积 ， Ｓ 是虚 Δ 拟裂纹扩展面积 ， ａ 是与 Δ Ｓ 及当前裂尖位置相对 Δ 应的 ， 垂直 于 裂 纹 前 缘 的 虚 拟 裂 纹 扩 展 长 度 ， ρ是 所考虑的点到裂纹前缘的垂直距离 ， Σ 和Ｖ 是所求 解域的表面积和体 积 ， Σ ｔ 和Σ ｕ 分别对应于已知表 面力边界和 已 知 位 移 边 界 ， ｄ σ表示虚拟裂纹扩展 ）的 左 边 只 沿 裂 纹 面 的 一 个 面 （ 的微面 积 。 式（ 正 ２ 面 ）积分 ：
反原理和裂纹尖端 附 近 位 移 场 和 应 力 场 的 渐 近 展 ］推导出以下 的 三 维 通 用 权 函 数 法 开式 ， 文献 ［ ６， ７ 的普遍表达式 ： １ Ｓ Δ
（ １） （ ２）
∫ ｔ ∫
Σ ｔ
４ ＫⅠ ＫⅠ Ｓ Δ Ｈ π
２） ＊（
σ＝ 槡ρ ｄ ｕ ｔ · ｄ ｄ Σ－ ｕ Σ＋ Ｓ Ｓ ∫ ·
２ 以变分型积分方程表达的三维 通用权函数法基本方程
（ ）表示一个弹性体处在已知的Ｉ型基本 ａ 图 １ １） ＊（ ） ， 、 参考载荷 系 统 （ 即 已 知 表 面 力ｔ 已知体积 １
１） １） １） 、 力ｆ＊ （ 已知表面位移ｕ＊ （ 和已知盈余温度Θ＊ （ １ 的作用下 ， 它的裂纹尖端的 Ｓ Ｉ Ｆ 值 ＫＩ 也 是 已 知 （）
第２ ７卷第５期 ２ ０ １ ０年１ ０月
计 算 力 学 学 报 Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ｓ ｐ
Ｖ ｏ ｌ ． ２ ７， Ｎ ｏ． ５ Ｏ ｃ ｔ ｏ ｂ ｅ ｒ ２ ０ １ ０
） ， 现在 ， 引入一个变分记号δ 我们称它为物 · ｃ（ ）关于裂纹位置 （ · 裂纹扩展 ）的偏变分 ， 即把 理量 （ ）看 作 是 裂 纹 位 置 以 及 其 他 某 些 变 量 的 · 物理量 （ 函数 ， 但只有裂纹位 置 发 生 变 化 ， 而其他变量保持 不变时 ， 物理量（ 当裂纹位置产生 ·）的 一 阶 变 分 。 某个变分 Δ 即虚拟 裂 纹 扩 展 ， 可 以 用 裂 纹 面 积、 Ｓ（ 裂纹长度或其他物理量的变分来描述 ）时 ， 有 ）＝ · δ ｃ（ ） ， 代入式 （ 可以得到 ２ （ ） · Ｓ Δ Ｓ （ ） ４
（ ） 的。 图１ 表示同一个弹性系统处在另一组Ｉ型载 ｂ
２） ２） ＊（ ） ， 、 、 即已知表面力ｔ 已知体积力 ｆ＊ （ 荷系统 （ ２ ２） ２） 已知表面位移ｕ＊ （ 和盈余温度Θ＊ （ 的作用下 ， 它 （ ２） 的裂纹尖端的 Ｓ 是待求的 。 根据 Ｂ Ｉ Ｆ 值 ＫＩ ｅ ｔ ｔ ｉ相
ａ－ρ Δ
Σ ｕ
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计
算
力
学
学
报
７卷 第２
）基本参考载荷系统 （ ） （ ）待求解载荷系统 （ ） ａ １ ｂ ２ （ ） ） （ ） ） ａ Ｆ ｕ ｎ ｄ ａ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｌ ｏ ａ ｄ ｉ ｎ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ（ １ ｂ Ｌ ｏ ａ ｄ ｉ ｎ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ（ ２ ｔ ｏ ｂ ｅ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ （ ｇ ｙ ｇ ｙ 图 １ 带裂纹的几何体 Ｆ ｉ ． １ Ｃ ｒ ａ ｃ ｋ ｅ ｄ ｂ ｏ ｄ ｇ ｙ
（ １）
Ｅ （ １） ε ｋ ｋ ＝ １－２ ν
∫
４ ＫⅠ ＫⅠ Ｓ Δ Ｈ π
（ １）
（ ２）
ｕ１ ｖ１ ｗ１ Ｅ （ ） ＋ ＋ ８ ｘ ｚ １－２ ｙ ν 式 中 ｕ， 将 ｖ和ｗ 分别是坐标ｘ， ｙ 和ｚ 方向的位移 。
（
（）
（）
（）
）
槡ρ
（ １）
ａ－ρ Δ ｄ σ＝
） 。 此方法的步骤如下 ： Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
图 ２ 虚拟裂纹扩展 Ｆ ｉ ． ２ Ｖ ｉ ｒ ｔ ｕ ａ ｌ ｃ ｒ ａ ｃ ｋ ｅ ｘ ｔ ｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｇ
（ ）用 Ｎ 个节点 …， ， 将变分域 １ ｓ ２， Ｎ） ｊ＝１， ｊ（ （ 弧长ｓ 分割为任意 Ｎ－ ｓ １个子段 １到 Ｎ 的裂纹前缘 ） （ ） 。 参见图 ３ 在每一个节点ｓ ｊ 处引入一个基本插值 ）和一个局部变分函数 Ｎ ） （ 型函数 Ｎｊ（ 参见图 ｓ ′ ｓ ｊ（ ） ， 它们都满足条件 ： ４ （ ） ９
（ ） 文章编号 ： １ ０ ０ ７ ４ ７ ０ ８ ２ ０ １ ０ ０ ５ ０ ８ ０ １ ０ ８ － － －
求解变分型积分方程的一种新型 — — 有限变分法 数值方法 —
卢炎麟 ＊ ， 周国斌 ， 贾 虹， 应富强 ， 傅建钢
（ ） 浙江工业大学 机械制造及自动化教育部重点实验室 ， 杭州 ３ １ ０ ０ １ ４ — — 摘 要： 将作者提出的多虚拟裂纹扩展法 （ 拓展为求解变分型积分方程问题的一种新型数值方法— ＭＶ Ｃ Ｅ 法） 。 它的基本思想是 ， 有限变分法 （ 给定有限个 （ 局 部 变 分 模 式， 将所求解的未知量用适当的方法离散 Ｆ ＶＭ） Ｎ 个） 化， 针对这 Ｎ 个局部变分模式列出 Ｎ 个方程 ， 求解 Ｎ 个未知系数 ， 从而求得未知量 。 单一未知变量 Ｆ ＶＭ 的 最 终 方程组 的 系 数 矩 阵 通 常 是 一 个 对 称 的 窄 带 矩 阵 ， 对角元是大数， 有很好的数值计算性能。用 Ｆ ＶＭ 求 解 了 三 维 Ｉ 型裂纹前缘的应力强度因子 （ 分布 。 利用基于 Ｆ 可以高精度和高效率地求解 Ｓ Ｉ Ｆ） ＶＭ 的 通 用 权 函 数 法 计 算 程 序 ， 体积力和温度载荷共同作用情况下三维裂纹前缘 Ｓ 表面力 、 Ｉ Ｆ 的分布及其 时 间 历 程 。Ｆ ＶＭ 可 以 被 推 广 到 更 广 泛 是一个求解变分型积分方程问题的普遍适用的新型数值方法 。 的领域 ， 关键词 ：有限变分法 ； 变分型积分方程 ； 应力强度因子 ； 三维通用权函数法 ； 多虚拟裂纹扩展法 中图分类号 ： Ｏ ３ ４ ６． １ 文献标识码 ： Ａ
∫
Ｖ
ｆ
２） ＊（
（） σ ｕ１ （ ｋ ｋ ２） · ｄ Ｖ＋ α ｄ Ｖ Θ＊ · Ｓ Ｓ
（ １）
∫
（ ） ２
现在让裂纹位置产生某个变分 ， 即沿裂纹前缘Γ 产 ） （ 生某种无穷小的虚 拟 裂 纹 扩 展 Δ 参见 ａ ＝δ ａ（ ｓ ｃ ） ， 图２ ）＝ ｇ（ ） ａ（ ｓ ｓ ｌ δ δ ｃ ｃ （ ） ５ ）是 沿 着 垂 直 于 式中 ｓ 是沿 裂 纹 前 缘 的 弧 长 ， ａ（ ｓ 裂纹前缘的方向测 量 的 裂 纹 前 缘 某 点 处 的 裂 纹 长 ）是 描 述 虚 度， ｌ 是一个 选 定 的 特 征 裂 纹 长 度 ， ｓ ｇ（ 拟裂纹扩展量沿裂 纹 前 缘 分 布 情 况 的 一 个 无 因 次 ）的度量 。 扩展函数 ， 注意到 ｌ 是变分δ ａ（ ｓ δ ｃ ｃ ， ｄ ｓ ｄ σ＝ｄ ρ ） ａ（ ｓ δ ρ＝ ２ ∫ 槡ρ ρｄ
（ １）
） ： 形式 ２ 方程 （
２） ＊（
∫
１ ２ ２ ＫＩ ＫＩ ） ａ（ ｓ ｄ ｓ＝ δ ｃ Γ Ｈ
（）
（）
ｔ ∫
Σ ｔ
２） ＊（
（） · ｕ１ｄ δ Σ－ ｃ
第５期
— — 有限变分法 卢炎麟 ， 等 ：求解变分型积分方程的一种新型数值方法 —
８ ０ ３
０ ｊ 图 ３ 基本变分模式δ ａ ａ ｃ ｓ 和局部变分模式δ ｃ ｓ ０ ｊ Ｆ ｉ ． ３ ａ ｓ ｉ ｃ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ａ ｎ ｄ ｌ ｏ ｃ ａ ｌ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ｓ ａ Ｂ δ δ ｇ ｓ ｃ ｓａ ｃ
∫
２ ＫⅠ ＫⅠ ） ａ（ ｓ ｄ ｓ＝ δ ｃ Γ Ｈ
ｔ ∫ ｆ ∫
Σ ｔ Ｖ
２） ＊（
（） · ｕ１ｄ δ Σ－ ｃ
２） ＊（
（） · ｕ１ δ ｃ
∫ｕ ｄ Ｖ＋ α ∫Θ
Σ ｕ Ｖ
２） ＊（
（） · ｔ１ ｄ δ Σ＋ ｃ
２） ＊（
１ · Ｖ δ σ ｃ ｋ ｋｄ
（）
（ ） ７
由于σ 所以不便于直接 ｋ ｋ 对于裂纹扩展 非 常 敏 感 ， ）来进行计算 。 利用式 （ 在三维的情况下 ， ７ σ ｋ ｋ ＝
１ 引
言
— — 多虚拟裂纹扩展法（ 的一种数值解 法 — ＭＶ Ｃ Ｅ 。 法） 本文将 ＭＶ Ｃ Ｅ 法拓展为具有更完善的数学和 具有 更 普 遍 意 义 和 形 式 ， 并具有更 力学理论基础 、 广泛的应用领域的一类新型数值方法 。 根据该方法 的基本思想和 数 学 意 义 ， 把它称之为有限变分法 ） 。 研 究 表 明， Ｆ ＶＭ（ Ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ Ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ Ｆ ＶＭ 具有非常诱人的优异的数值计算性能 。 （ ） １
ａ－ Δ
π
（ ） ６
Ｅ， 平面应力 烄 Ｈ ＝烅 ２ ／ （ ） ， Ｅ １－ν 平面应变 烆
式中 Ｅ 为弹性模量 ， ν 为泊松比 。
（ ） ３
，可 以 得 到 以 变 分 形 式 表 示 的 将它 们 代 入 式 （ ２ ′） ） ： 三维通用权函数法基本方程 （ 形式 １
（ １） （ ２）
ｊ＝１ （ １ ｉ ＝ｊ） Ｎ 烄 ）＝ １ （ ） Ｎｊ（ ｓ Ｎｊ（ ｓ １ １ ＝δ ＝ ｉ） ｉ ｊ 烅 （ ，∑ ０ ｉ ≠ｊ） 烆 ）和 局 部 变 分 函 数 Ｎ ）可 基本插值型函数 Ｎｊ（ ｓ ′ ｓ ｊ（
∫ｕ
Σ ｕ
２） ＊（
（） （ （） ２） · ｔ１ ｄ ｕ１ｄ Ｖ＋ δ Σ ＋ ｆ＊ · δ ｃ ｃ
ｃ
０ ） ａ（ ｓ δ ｃ
式中 α 为热膨胀系数 ， Ｓ 为裂纹面的面积 ， Ｓ 是虚 Δ 拟裂纹扩展面积 ， ａ 是与 Δ Ｓ 及当前裂尖位置相对 Δ 应的 ， 垂直 于 裂 纹 前 缘 的 虚 拟 裂 纹 扩 展 长 度 ， ρ是 所考虑的点到裂纹前缘的垂直距离 ， Σ 和Ｖ 是所求 解域的表面积和体 积 ， Σ ｔ 和Σ ｕ 分别对应于已知表 面力边界和 已 知 位 移 边 界 ， ｄ σ表示虚拟裂纹扩展 ）的 左 边 只 沿 裂 纹 面 的 一 个 面 （ 的微面 积 。 式（ 正 ２ 面 ）积分 ：
反原理和裂纹尖端 附 近 位 移 场 和 应 力 场 的 渐 近 展 ］推导出以下 的 三 维 通 用 权 函 数 法 开式 ， 文献 ［ ６， ７ 的普遍表达式 ： １ Ｓ Δ
（ １） （ ２）
∫ ｔ ∫
Σ ｔ
４ ＫⅠ ＫⅠ Ｓ Δ Ｈ π
２） ＊（
σ＝ 槡ρ ｄ ｕ ｔ · ｄ ｄ Σ－ ｕ Σ＋ Ｓ Ｓ ∫ ·
２ 以变分型积分方程表达的三维 通用权函数法基本方程
（ ）表示一个弹性体处在已知的Ｉ型基本 ａ 图 １ １） ＊（ ） ， 、 参考载荷 系 统 （ 即 已 知 表 面 力ｔ 已知体积 １
１） １） １） 、 力ｆ＊ （ 已知表面位移ｕ＊ （ 和已知盈余温度Θ＊ （ １ 的作用下 ， 它的裂纹尖端的 Ｓ Ｉ Ｆ 值 ＫＩ 也 是 已 知 （）
第２ ７卷第５期 ２ ０ １ ０年１ ０月
计 算 力 学 学 报 Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｍ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ｓ ｐ
Ｖ ｏ ｌ ． ２ ７， Ｎ ｏ． ５ Ｏ ｃ ｔ ｏ ｂ ｅ ｒ ２ ０ １ ０
） ， 现在 ， 引入一个变分记号δ 我们称它为物 · ｃ（ ）关于裂纹位置 （ · 裂纹扩展 ）的偏变分 ， 即把 理量 （ ）看 作 是 裂 纹 位 置 以 及 其 他 某 些 变 量 的 · 物理量 （ 函数 ， 但只有裂纹位 置 发 生 变 化 ， 而其他变量保持 不变时 ， 物理量（ 当裂纹位置产生 ·）的 一 阶 变 分 。 某个变分 Δ 即虚拟 裂 纹 扩 展 ， 可 以 用 裂 纹 面 积、 Ｓ（ 裂纹长度或其他物理量的变分来描述 ）时 ， 有 ）＝ · δ ｃ（ ） ， 代入式 （ 可以得到 ２ （ ） · Ｓ Δ Ｓ （ ） ４
（ ） 的。 图１ 表示同一个弹性系统处在另一组Ｉ型载 ｂ
２） ２） ＊（ ） ， 、 、 即已知表面力ｔ 已知体积力 ｆ＊ （ 荷系统 （ ２ ２） ２） 已知表面位移ｕ＊ （ 和盈余温度Θ＊ （ 的作用下 ， 它 （ ２） 的裂纹尖端的 Ｓ 是待求的 。 根据 Ｂ Ｉ Ｆ 值 ＫＩ ｅ ｔ ｔ ｉ相
