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一类偏积分微分方程的数值解法

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本 文研究 一类 线性 偏积 分微 分方 程 ：
Ｉ（， 一 （一 ）／ ｚｓｓ 厂 ， ， ｚ￡ Ｉ￡ ｓ１‘ ，ｄ＝ （ ￡ Ｕ ） ｔ － （ ） ２ ｚ ｚ）
１（￡ ｚ ， ：， ≤ ≤Ｔ ０） ‘ ￡ ０ ０ ￡ ， ｚ， ： （ ） ‘ １
【（， ： ｚ，０ ≤１ Ｈｚ０ （） ≤ｚ ． ）
Ｊ ｎ
方 向采 用 线性 有 限元 离散 ， 间 ｔ 向采 用 Ｌ ｂ ｈ的拉 普 拉 斯 变换 数 值 逆 ， 出数 值 解 的精 度 较 高 ， 算 也 比 较 时 方 ｕｉ ｃ 得 计
简便 ．
关 键 词 ： 微 分 方 程 ； 限元 ； 普拉 斯 变换 ； 偏 有 拉 数
中 图分 类 号 ： ２ １８ Ｏ ４ ． 文献 标 识 码 ： Ａ
由 罗 朗 定 理 ［ 有 ４ 】
（ ．） １ ４
收 稿 日期 ： ０ ７０ ． ５ ２ ０ —１１ 基 金 项 目 ： 家 自然 科学 基 金 资 助 项 目（ ０７ ０ ６ 国 １２ １４ ） 作 者 简 介 ： 丽 梅 （９ ４ ）女 ， 师 ， 士 ， 黎 １７ － ， 讲 硕 主要 从 事计 算 数 学 研 究
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第 ８卷 第 ３期
２０ ０ ７年 ６月
北 华 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＵＲ ＡＬ Ｏ Ｅ ＨＵ Ｏ Ｎ Ｆ Ｂ Ｉ Ａ ＵＮＩ Ｅ Ｓ Ｔ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｅ
Ｌ ｂｃ ｕｉ ｈ的拉 普 拉斯 变换数 值逆 ．
１ Ｌ ｂｃ ｕ ｉｈ的拉 普 拉 斯 变 换 数 值 逆
给 出网格 ￡＝ ０ ｈ，ｈ， ， ， ２ … Ｎｈ， 卷积
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（．） １１
可 以离散 为
０ ≤ ≤
ＶＯ ． ． １８ ＮＯ ３
Ｊ ｎ．０ ７ ｕ ２ ０
文 章 编 号 ：０ ９４２ （０ ７ ０ ．２ １０ １ ０ ．８ ２ ２ ０ ）３０ ０ ．５
一
类 偏 积 分 微分 方 程 的数 值解 法
黎 丽梅
（ 湖南理 工学 院 数学 系 ， 南 岳 阳 湖 ４４ ０ ） １ ０６
摘要： 一种求一类线性偏积分微分方程 Ｕ ｚ ￡ 一Ｉ （ 一ｓＵ （ ，） ＝ｆｘ ￡ 数值解的方法， 给出 ｔ ，） 卢￡ ）ａ ｚ ｓｄ （ ｚ ｓ （， ） 空间ｚ
（） ３ （ ） ｅ １＋ ｏ ＾ ） 当 Ｐ≥ １ （ ， ．
（ ．ｂ １６ ）பைடு நூலகம்
（ ．ｃ １６）
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（ ）
此 问题 常出现 在带 有粘 弹性 流体模 型及 带 有记忆 功 能的 热传 导物 质 ， 此讨论 这 类 偏 积分 微 分方 程 的 求 因 解具 有非 常重 要 的意义 ． 但这 类方 程 中的 大部分方 程 的数学 精确解 不 易求 出 ， 以有必 要研究 它们 的数值 所 解． 研究数 值解 的传 统方 法有差 分 法 、 限元 法 、 方法 等 ， 文 将 在 时 间 ￡ 向采 用 一种 新 的方 法—— 有 谱 本 方
ｊ（ ）ｊ 一－Ｕｚ） （ ） “ 一 ｓ／ｘ ｄ ｚ ＇ ｔ 。 ） ｘ ｓ ｚ １ （ ， ２
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为 了获得精 确解
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（ 满 足 条件 ： ）
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（ ．） １５
（ ．ａ １６）
（ ） 在闭单位圆 Ｉ Ｉ １ １ （ ） ≤ 的某个邻域内解析且没有零点 ， 除在 ＝ １ 的一个零点外 ，
（ ）Ｉｒ３ Ｉ ｃ ， Ｉ １ 口＞ ， ２ ｇ （）≤ ７ ａ 一口 Ｉ ＜ ，
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其 中 （ ）由幂级 数 ＾
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给出， 这里Ｆ是厂 拉 的 普拉斯 换，（） 变 ＝∑ 是生 线性多 法多 式的 ． 成 步 项 商数 － 引
ｊ ＝ｏ
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ｉ＝ １
我们 定义 （ ， ＾） 由
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ｊ＝０
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，
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．
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（ ） ＾． ＾ ／
（ ．） １ ８
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２２ ０
北 华大学学报（ 自然 科 学 版 ）
第 ８卷
设 Ｆｓ在区 ｇｓ ）＜７ ， ＜詈， ∈Ｒ 解析， 且满足 （ ） 域Ｉ （—ｃＩ ｃ ａ ｒ 一 ｃ 内 并
ｓＩ Ｉ （ ） ≤ Ｍ ・Ｉ Ｉ ， Ｍ ＜ 。 ， Ｆ ～ ｓ ｏ
Ｉ （） ｆｊ）≤ Ｃ・ ・ （ ＝ｊ） ｈ一 （ Ｉ ｆ ｊ ｈ ｔ卜 ｈ， ｔ ｈ，
其 中常数 Ｃ与 ＾∈ （ ， 和 ｔ∈ ［ ］ 关 ， ０ ］ ＾， 无 且 ＜ ＋。 ． ｏ 定 理 的证 明见文献 ［ ］ １．
（． １） ９
２ 数 值 例 子
例 １ 解 方程

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偏微分方程的数值方法

偏微分方程的数值方法

偏微分方程的数值方法偏微分方程是描述自然界许多现象的一种数学模型，它包含多个独立变量，并且方程中的未知函数同时取决于这些变量。

偏微分方程的数值方法是一种求解这类方程的途径，它通过将连续的方程转化为离散的方程，从而使得问题成为一个适用于计算机求解的形式。

本文将介绍几种常用的偏微分方程数值方法。

1. 有限差分法 (Finite Difference Method)有限差分法是最常用的偏微分方程数值方法之一、它将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，通过计算差分方程的近似解来获得原方程的数值解。

在有限差分法中，首先将空间域离散化成网格，再将时间域离散化成步长。

通过近似替代偏微分方程中的导数，将方程转化为差分方程。

通过求解差分方程的解，可以得到偏微分方程的数值解。

2. 有限元法 (Finite Element Method)有限元法是另一种常用的偏微分方程数值方法。

它将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过求解代数方程来获得原方程的数值解。

在有限元法中，首先将空间域离散化成有限个小区域，称为有限元。

然后通过选取适当的试探函数和权重函数在每个有限元内部进行插值。

通过将插值函数带入原方程，使用变分原理和加权残差法推导出离散的代数方程。

再通过求解代数方程组的解来得到偏微分方程的数值解。

3. 边界元法 (Boundary Element Method)边界元法也是一种常用的偏微分方程数值方法。

它将连续的偏微分方程转化为边界上的积分方程，通过求解积分方程来获得原方程的数值解。

在边界元法中，将问题的物理域分为两个区域：内域和外域。

通过在内域内求解偏微分方程，得到内域的数值解。

然后通过边界条件将内域的解扩展到整个物理域的边界上。

最后将边界上的积分方程转化为代数方程组，并求解之得到最终的数值解。

4. 谱方法 (Spectral Method)谱方法是一种高精度的偏微分方程数值方法，它同时利用了空间域和频率域的特性。

一阶偏微分方程的解法和特解

一阶偏微分方程的解法和特解

一阶偏微分方程的解法和特解在数学领域中，一阶偏微分方程是一种常见的数学模型，广泛应用于物理、工程和经济等领域。

解一阶偏微分方程的方法主要包括分离变量法、变换法和常数变易法等。

本文将介绍这些解法，并且通过实例来说明如何找到一阶偏微分方程的特解。

一、分离变量法分离变量法是解一阶偏微分方程最常用的方法之一。

它的基本思想是将方程中的未知函数表示为两个独立变量的乘积，然后将方程两边同时除以未知函数的乘积，使方程能够分离成两个只含有一个变量的方程。

具体步骤如下：1. 假设所给方程为F(x,y,y')=0，其中y'表示y关于x的导数。

2. 将方程中的未知函数表示为 y(x)=X(x)Y(y)，其中X和Y是只含有x和y的函数。

3. 将y(x)和y'(x)代入方程 F(x,y,y')=0，并将等式整理得到X(x)Y'(y)= - X'(x)Y(y)。

4. 分离变量并整理，得到两个只含有一个变量的方程 X'(x)/X(x)= - Y'(y)/Y(y)。

5. 分别对两个方程进行积分，得到X(x)和Y(y)的表达式。

6. 将X(x)和Y(y)的表达式代回 y(x)=X(x)Y(y) 中，即得到方程的通解。

二、变换法变换法是解一阶偏微分方程的另一种常用方法。

它的基本思想是通过合适的变量变换，将原方程转化为一个更容易求解的方程。

主要的变换方法有线性变换、齐次变换和伯努利变换等。

下面以线性变换为例来说明解法：1. 假设所给方程为F(x,y,y')=0，其中y'表示y关于x的导数。

2. 进行变量变换 y = ux + v，其中u和v是待定的常数。

3. 将y和y'分别代入方程 F(x,y,y')=0，得到关于x、u和v的方程。

4. 选取适当的u和v的值，使得方程可以化简为容易解的形式。

5. 求解化简后的方程，得到u和v的表达式。

6. 将u和v的表达式代入 y = ux + v 中，即得到方程的通解。

偏微分方程组数值解法

偏微分方程组数值解法

偏微分方程组数值解法
偏微分方程组是描述自然、科学和工程问题的重要数学工具。

由于解析解通常难以获得，因此需要使用数值方法来解决这些方程组。

本文将介绍偏微分方程组的一些数值解法，包括有限差分法、有限元法、谱方法和边界元法等。

有限差分法是一种基本的数值方法，将偏微分方程转化为差分方程，然后使用迭代算法求解。

该方法易于理解和实现，但对网格的选择和精度的控制要求较高。

有限元法是目前广泛使用的数值方法之一，它将偏微分方程转化为变分问题，并通过对函数空间的逼近来求解。

该方法对复杂几何形状和非线性问题有很好的适应性，但需要对网格进行精细的划分，计算量较大。

谱方法是一种高精度的数值方法，它将偏微分方程转化为特征值问题，并使用级数逼近来求解。

该方法在高精度求解、解析性质研究和数值计算效率方面具有优势，但需要对函数的光滑性和周期性有较高的要求。

边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，并使用离散化方法求解。

该方法适用于求解边界问题和无穷域问题，但对边界的光滑性和边界积分算子的性质有较高的要求。

总之，在实际问题中选择合适的数值方法需要综合考虑问题的性质、计算资源、精度要求等因素。

偏微分方程数值求解方法

偏微分方程数值求解方法

偏微分方程数值求解方法偏微分方程数值求解方法是使用计算机算法来近似求解偏微分方程的过程。

偏微分方程是描述物理现象和自然现象的主要工具，但大多数偏微分方程不能通过解析方式求解，因此需要使用数值方法进行近似求解。

常用的偏微分方程数值求解方法包括有限差分法、有限元法、谱方法、边界元法和逆时空方法等。

1. 有限差分法有限差分法是一种最简单的数值求解方法，它将偏微分方程中的导数离散化为差分的形式，然后通过有限差分公式求解。

在有限差分法中，将求解区域离散化为网格，然后在每个节点上求解方程，通过节点之间的连通关系建立系数矩阵，最终利用线性代数方法求解线性方程组。

2. 有限元法有限元法是一种广泛运用的数值求解方法，它将求解区域离散化为有限个子域，然后在每个子域内近似求解方程。

有限元法是一种基于变分原理的方法，通过将偏微分方程转化为变分问题，然后在有限维的函数空间中建立逼近函数，最终利用变分方法求解方程。

3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶变换的数值求解方法，它将求解域上的函数表示为傅里叶级数的形式，然后通过求解系数来近似求解方程。

谱方法具有高精度、高效率的优点，但对于非周期边界和奇异性问题可能不适用。

4. 边界元法边界元法是一种基于积分方程的数值求解方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，然后在求解区域表面上求解方程。

边界元法不需要离散化求解区域，仅需在求解区域表面上采集节点，并通过节点之间的关系建立系数矩阵。

5. 逆时空方法逆时空方法是一种利用观测数据反演偏微分方程的数值求解方法，它通过最优化算法将观测数据反演为偏微分方程的参数。

逆时空方法对模型假设和观测数据的噪声较为敏感，但可以应用于各种偏微分方程的求解。