质数合数分解质因数在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是全部质数中最小的一个．除2以外全部的偶数都是合数，除2以外全部的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2&215;5&215;7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2&215;2&215;3&215;5=22&215;3&215;5，把60这个合数用2&215;2&215;3&215;5或22&215;3&215;5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很简单得出其它的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46&247;2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后依据质数的推断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的推断方法是，当一个数比拟小时，用定义直接推断，但这个数比拟大时，通常采纳查质数表，最好记住100以内的全部质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数肯定是质数．例如，推断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数肯定是质数，否则不是质数．推断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的全部的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就肯定不能被4，6，8，9，10等数〔分别为2，3，5的倍数〕整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97&247;11=8…9，97&247;13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此推断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．推断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；推断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；推断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；推断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何推断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采纳观察、计算调整的方法是比拟麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，依据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．解：将八个数分解成质因数：40=23&215;5 44=22&215;1145=32&215;5 63=32&215;765=5&215;13 78=2&215;3&215;1399=32&215;11 105=3&215;5&215;7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的全部约数，再数出它们的个数，显然比拟麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23&215;32&215;5，360的任意一个约数均由假设干个2或3或5组成，我们将360的全部约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2&215;3 22&215;3 23&215;332 2&215;32 22&215;32 23&215;325 2&215;5 22&215;5 23&215;53&215;5 2&215;3&215;5 22&215;3&215;5 23&215;3&215;532&215;52&215;32&215;522&215;32&215;5 23&215;32&215;5这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4&215;6=24个，而24=〔3+1〕&215;〔2+1〕&215;〔1+1〕，这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：如果A分解质因数为：则A的全体约数的个数为：〔r1+1〕&215;〔r2+1〕&215;…&215;〔rn+1〕例5 有30个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30= 30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为以下形式：其中a1，a2，a3为互不相同的质数．要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24&215;32&215;5=720解：因为30=30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，而且题中要求a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24&215;32&215;5=720．例6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按照上述方法找出后，再依据质数的推断方法去筛选就可得出结果．首先简单得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，193，195，197，199；依据质数的推断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．解：200以内其它五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．。
第一讲质数和合数例1 两个质数的和是39，这两个质数的积是多少?例2 数d是质数，且a+10、a+14的和也都是质数，数a是多少?例3 三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少?练习：1.在20个连续自然数中最多有多少个质数?最少有几个质数?2.两个质数的和是1995，这两个质数的乘积是多少?3.两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少?4.两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少?5.两个质数的和是99，这两个质数的积是多少?第二讲分解质因数例1 三个连续自然数的乘积是120，求这三个数。
例2 小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910。
”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗?例3 学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁，四人年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少?例4 下面算式中，不同的字母代表不同的数字。
求这个算式。
例5 1512乘以自然数a得到一个平方数，求a的最小值。
例6 有三个自然数，它们的和是338，积是1986，求这三个数。
例7 有24盆花，分成几堆(至少分2堆)，使每堆的盆数都相等，可以怎样分？例8 自然数151200的约数中有许多两位数，其中最大的是几？例9 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。
例10 有3个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10，贝a×b×c=?例11 用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。
如果每支钢笔便宜1元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。
共买了多少支钢笔?例12 将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。
例13 自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少?例14 在射箭运动中，每射一箭的环数是O(脱靶)或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少?练习：1.相邻两个自然数的乘积是756，这两个自然数分别是多少?2.下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母的和，3.三个自然数的和是160，三个自然数的积是32118，这三个数是哪几个数?4.自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值。
3.3：质数、合数及分解质因数【学习目标】:1、理解质因数和分解质因数的意义。
2、会把一个合数分解质因数。
3、在探索发现的过程中体验成功的乐趣，增强自己学好数学的信心学习重点:理解质因数和分解质因数的意义。
【学习重难】:会用短除法分解质因数。
【学习方法】:学习方法:独立思考与小组交流相结合【知识点1】质数和合数一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫质数．一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．质因数是指：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，也叫做这个合数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数【考点分析】对于质数与合数的考查主要放在概念的理解上，主要以填空、选择的形式出现，一种是文字描述的形式出现，另一种是给定某数让你判别它是质数还是合数；而对于质因数考查的一般是判别给定的数是否为某数的质因数（或者说求某数的质因数），还有一种考法是对给定的数进行质因数的分解。
【典型例题】1、填空：在正整数中，既不是质数也不是合数的数是_____，既是质数又是偶数的数是______，最小的合数是分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是质数，也不是合数。
而2是唯一一个属于质数的偶数，且2是最小的质数。
4是最小的合数（背会）2、39、47、57、83中为质数的有（）（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。
3、下列说法中正确的是（）（A）自然数包括质数和合数两类 (B）不存在最小的质数（C）1既不是质数，也不是合数（D）2是最小的合数分析：记住1这个特殊情况。
4、两个质数相乘的积一定是（）（A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个质数相乘所得来的数，除了含有这两个质数作它的因数外，至少还有1。
