质数、合数和分解质因数

典型例题例1．从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．分析：首先要熟悉100以内的质数，在这些质数中考虑哪些数之差为12．解：5、17、29、41、53．例2．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有多少个？分析：在大于80的9个连续自然数中，至多有5个连续的奇数．而大于80的质数必为奇数（偶质数只有一个是2）．所以质数只能出现在这5个连续的奇数中．而“在这5个连续的奇数中一定至少有一个是3的倍数．”我们分三种情况讨论这个结论．（1）当第一个奇数恰好是3的倍数时，结论显然正确．（2）当第一个奇数被3除余1时，因为第二个奇数比第一个奇数大2，则第二个奇数恰好是3的倍数．（3）当第一个奇数被3除余2时，因为第三个奇数比第一个奇数大4，则第三个奇数是3的倍数．这个结论说明在5个连续的奇数中一定至少有一个是3的倍数，而这样的数是合数，所以在这5个连续的奇数之中至多有4个是质数．我们可看到在101至109这9个连续自然数中，有101、103、107、109这四个质数．解：在9个连续的自然数中至多可以有4个质数．例3．P为质数，＋1也是质数，那么＋1961是多少？分析：已知＋1是质数，若是奇数，则＋1为偶数，并且大于2，必为合数，因此必为偶数，由P为质数可知P＝2．解：＋1961＝32＋1961＝1993例4．有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大1岁．又知他们年龄的乘积是360．问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？分析：360是年龄的乘积，故可将360分解质因数，再将这些质因数依据题意，组合成4个连续自然数的乘积．再经比较、分析．便可找到年龄最大的小朋友的年龄数．解：360－2×2×2×3×3×5＝3×（2×2）×5×（2×3）＝3×4×5×6答：年龄最大的小朋友是6岁．例5．用614除以一个两位数，商是一个一位数，余数是61．问：这个两位数是多少？分析：被除数614减去余数61所得的差，等于商与除数的乘积．只要将这个差分解质因数，然后分析各质因数的情况，找出一个大于61的两位数，便是题目的答案．解：614－61＝553 553＝7×79显然，质因数7是商，质因数79大于61，它就是要求的两位数．答：这个两位数是79．验算：614÷79＝7…………余61．完全符合题意．。

分解质因数知识点总结一、质数与合数的概念1. 质数的定义：质数是指大于1的自然数，除了1和自身外没有其他的因数的数。

例如，2、3、5、7、11、13等都是质数。

2. 合数的定义：合数是指大于1的自然数，除了1和自身外还有其他的因数的数。

例如，4、6、8、9、10等都是合数。

3. 1既不是质数也不是合数。

二、分解质因数的基本概念1. 质因数的定义：一个大于1的自然数，如果它除了1和自身之外没有其他的因数，那么就称为这个数的质因数。

2. 分解质因数的概念：任何一个大于1的自然数都可以被分解成一些质数的乘积，这种分解的过程就是分解质因数。

三、分解质因数的方法1. 分解质因数的主要方法：不断地用最小的质因数去除给定的数，直到剩下的商是一个质数为止。

2. 举例说明：例如，要分解120的质因数，首先用最小的质数2去除，得60，再用2去除，得30，然后用2去除，得15，再用3去除，得5，所以120=2×2×2×3×5。

四、分解质因数的基本定理1. 分解质因数的基本定理：任何一个大于1的合数，都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，而且这种分解只有一种方式。

2. 定理的说明：这个定理表明，任何一个合数都可以被唯一地分解成一些质数的乘积，而且这种分解方法是唯一的。

五、分解质因数的实际问题1. 在数学中的应用：分解质因数是数学中的一个基本技能，它应用广泛，比如在约分分数、求最大公因数和最小公倍数、解方程和解不定方程组等问题中都会用到分解质因数的知识。

2. 在实际生活中的应用：分解质因数在实际生活中也有着广泛的应用，比如在化简分式、计算最优组合、分配资源和解决排队等问题中都可以用到分解质因数的知识。

六、分解质因数的拓展应用1. 在素因子分解定理中的应用：素因子分解定理是分解质因数的一个重要拓展，它进一步说明了任何一个合数都可以被分解成有限个质数的乘积，且这种分解方法是唯一的。

2. 在公因数和公倍数中的应用：分解质因数可以帮助我们求最大公因数和最小公倍数，这些问题经常出现在实际生活和数学中。

第五讲数的整除素数、合数与分解质因数【知识点】一、素数和合数1.一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数，合数总可以写成几个素数相乘的形式。

2.“1”为什么既不是质数？也不是合数？按合数定义“1”不是合数。

“1”不是质数，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。

如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。

因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数3. 100以内的素数熟记20以内的全部素数二、分解质因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。

分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。

把一个合数分解质因数有两种方法。

1 / 7一种是利用乘法口诀分解质因数。

另一种是用短除法分解质因数【典型例题】一、质数和合数例1．说出下面各数的约数，哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？1、2、3、4、5、6、7、8…19、20只有1个约数的自然数有：有两个约数（1和它本身）自然数有：有两个以上约数的自然数有：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

例2.下面哪些数是质数？哪些是合数？19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54例3. 自然数中第一个数是1，它既不是质数也不是合数，把它除外。

第二个数是2，它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。

紧靠2后面没被划掉的是3，3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。

紧靠3后面的是5，5是质2 / 7数，把它保留，并且把5的倍数都划掉……用这样的筛法，把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。

请同学们按上面介绍的方法制作一个100以内的质数表。

质数、合数、分解质因数练习题学生姓名：1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。

1、13、24、29、41、57、63、79、87合数有：质数有：2. 写出两个都是质数的连续自然数。

3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。

4. 判断：（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。

（）（2）偶数都是合数，奇数都是质数。

（）（3）7的倍数都是合数。

（）（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。

（）（5）只有两个约数的数，一定是质数。

（）（6）两个质数的积，一定是质数。

（）（7）2是偶数也是合数。

（）（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。

（）（9）除2以外，所有的偶数都是合数。

（）（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。

（）5. 在（）内填入适当的质数。

10＝（）＋（）10＝（）×（）20＝（）＋（）＋（）8＝（）×（）×（）6. 分解质因数。

65 56 94 76 135 105 87 937.两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少8.一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（）。

9.用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（），最大是（）。

五年级数学计算应用题能力检测一、解方程。

X = X－= X÷8=二、简便计算。

×× ××××－××99 ×101－三、应用题。

（33分）1、教室地板面积平方米，边长是米的方砖铺这个教室地面，最少要用多少块这样的地砖2、妈妈买了千克苹果和4千克雪梨，一共付了元，苹果和雪梨的单价相同，苹果和雪梨的单价是多少元试题答案1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。

1、13、24、29、41、57、63、79、87合数有：24、57、63、87质数有：13、29、41、792. 写出两个都是质数的连续自然数。

质数合数与分解质因数例1、判断下列各数中哪些是素数？哪些是合数？分别填入指定的圈里。

27 56 23 61 75 79 97 83 29素数合数例2、A、试求所有满足要求的素数A是多少？例3、分解质因数：252 1001例4、3个素数的和是80，这3个素数的乘积最大是多少？例5、一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于多少？例6、a、b、c为三个不同的质数，已知3a+2b+c=20。

求a、b、c。

练习1、判断下列各数中哪些是素数？哪些是合数？分别填入指定的圈里。

58 62 75 73 11 13 31素数合数2、a3、分解质因数：105 4624、有4个连续的自然数，它们的积是11880，求这四个数。

5、一个数是30以内所有质数的和，这个数是多少？6、把144分解成两个因数相乘的积。

如果这两个因数的和是25，这两个因数各是多少？7、4个素数的和是23，这4个素数的乘积最大是多少？8、一个质数的2倍与另一个质数的3倍之和是100，这两个质数的积是多少？9、把数字1、2、3、6、7分别写在5张卡片上，从中任取两张卡片拼成两位数，6的卡片可当9用，在这些两位数中，质数有多少个？10、31÷（）=（）余7，要在算式的括号内填入适当的数使等式成立，共有几种不同的填法？11、用1155个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？质数合数与分解质因数（二）例1、3个连续自然数的乘积是120，求这3个数。

例2、小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910”。

你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗？例3、将37、42、57、65、74、95、105、195分成两组，使它们的乘积相等。

想一想怎样分？例4、班主任王老师领一班学生去种树，学生恰好平均分成3组，如果老师与学生每人种树一样多，则共种了572棵。

五年级数学下册质数和合数一、质数与合数的定义。

1. 质数（素数）- 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。

例如，2的因数只有1和2，3的因数只有1和3，5的因数只有1和5，7的因数只有1和7等，所以2、3、5、7都是质数。

- 最小的质数是2，并且2是唯一的偶质数。

2. 合数。

- 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

例如，4的因数有1、2、4；6的因数有1、2、3、6；8的因数有1、2、4、8等，所以4、6、8都是合数。

- 1既不是质数也不是合数。

因为1只有1这一个因数，不符合质数的定义（需要有两个因数），也不符合合数的定义（需要有三个或更多因数）。

- 最小的合数是4。

二、100以内的质数。

1. 100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

2. 可以通过简单的方法来记忆，例如：先记住2、3、5、7这几个较小的质数，然后对于两位数的质数，其个位数字一般是1、3、7、9（除了个位是5的数，因为个位是5的数除了1和它本身还有5这个因数，是合数）。

三、质数与合数的判断方法。

1. 分解因数法。

- 对于一个数，将其分解因数。

如果分解后只有1和它本身两个因数，就是质数；如果有其他因数，就是合数。

例如，判断17，因为17 = 1×17，只有1和17两个因数，所以17是质数；判断18，18=1×18 = 2×9=3×6，除了1和18还有其他因数，所以18是合数。

2. 试除法。

- 用比这个数小的质数依次去除这个数，如果都不能整除，这个数就是质数；如果能被其中一个质数整除，这个数就是合数。

例如，判断29，用2、3、5、7、11、13、17、19、23去试除29，都不能整除，所以29是质数。

四、质数与合数在数学中的应用。

1. 分解质因数。

分解质因数的方法问题导入把84分解质因数。

方法讲解方法一枝状图分解法(1)方法分析。

先把84分解成两个数（1除外）相乘的形式。

如把84分解成2×42，2是质数，不需再分解；42是合数，需要再分解，42可以分解成2×21……直到所有的因数都是质数为止。

(2)分解过程。

84=2×2×3×7(3)表现形式。

写分解结果时，先写合数，再在合数右边写等号，最后把分解的质数用连乘的形式写在等号的右边，即84=2×2×3×7。

(4)也可以先把84分解成4×21或6×14，再依次分解。

分解过程如下：84=2X2X3X7 84=3X2X7X2小结：从把84分解质因数的过程中可以看出，84的质因数是2，3，2，7这四个数，分解结果中只是这四个数的顺序有所不同。

方法二短除法(1)方法分析。

①先把要分解的数84写在短除号“”里。

②再用84的质因数依次去除，一般从最小的质数开始，直到商是质数为止。

③最后把每个除数和最后的商写成连乘的形式。

(2)分解过程。

84=2×2×3×7把84分解质因数也可按如下方式进行分解。

84=7×3×2×284=3×2×7×2 84=7×2×3×2……归纳总结1．分解质因数的方法：(1)枝状图分解法；(2)短除法。

2．分解质因数的书写方法：把要分解的数写在等号的左边，把分解的质数用连乘的形式写在等号的右边。

五下思训5.质数、合数、分解质因数班级姓名例1.50以内的质数中，有哪些质数减上2以后，结果仍是质数？1.30以内的质数中，有哪些质数加上2以后，结果仍是质数？2.一个质数，它是两位数，它的个位数上的数字与十位上的数字交换后，仍是一个质数，这样的质数有哪些？★3.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？例2.自然数23173具有下面的性质：（1）每相邻两个数字都构成一个质数，即23、31、17、73都是质数;（2）这些质数都是不同的。

满足这两个条件的最大自然数是多少？4.从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？5.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.★6.有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.例3. 如果a，b均为质数，且3a+7 b =41，则a+b的和是多少？7.a，b，c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。

8.a、b、c都是质数，c是一位数，且a×b＋c＝1993，那么a、b、c的和是多少？9.已知p·q＋1＝x，其中p、q为质数，且p、q均小于1000，x是奇数，求x 的最大值。

例4.将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？10.将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？11.A、B、C均为质数，且A+B+C=62，则A×B×C的值最大是多少？最小是多少？★12.将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？例5.在1、2、3、……N，这N个自然数中，共有P个质数，Q个合数，A个奇数，B个偶数，求（A－P）+（B－Q）的值。

例1：在三张卡片上分别写上1、3、5,如果随意从其中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？将它们写出来。

3, 5, 13, 31, 53
练习
1.从1、4、7这3个数字中选出1个、2个、3个，按任意次序排列，可得到不同的一位数、两位数、三位数，将其中的质数都写出来。

2.三张卡片上分别写上1、2、3,从中任意抽出一张、两张或三张，分别组成一位数、两位数、三位数，其中哪些是质数？哪些是合数？例2：分别把100和119分解质因数。

练习
1.把60分解质因数。

2.把221分解质因数。

例3：如果两个质数的和是26,这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。

练习
1.如果两个质数的和是36,这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。

2.两个质数的和是25,这两个质数的乘积是多少？请全部写出来。

例4：三个不同的质数相加，和为40,这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。

练习
1.三个不同的质数相加和为28,这三个质数可能是多少？请全部写出
来。

2.三个不同质数相加和为52,这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出来。

例5：A是质数，B是奇数，且A×A+B=2007,那么B×10001的积是多少？
练习：A是质数，B是奇数，且A×A+B=2009,则A+B=？。

五年级数学上册分解质因数一、分解质因数的概念。

1. 定义。

- 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。

例如，12 = 2×2×3，2、3都是质数，所以把12写成2×2×3就是12的分解质因数。

2. 质数与合数的回顾。

- 质数是指一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。

例如2、3、5、7、11等都是质数。

- 合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。

例如4、6、8、9、10等都是合数。

二、分解质因数的方法。

1. 短除法。

- 步骤：- 例如分解24的质因数。

先用最小的质数2去除24，得到12；再用2去除12，得到6；继续用2去除6，得到3。

此时3是质数，不能再继续除下去。

- 所以24 = 2×2×2×3。

- 注意事项：- 除数必须是质数。

- 一直除到商是质数为止。

2. 塔式分解法（逐步分解法）- 步骤：- 以36为例，先把36写成两个因数相乘的形式，如36 = 4×9。

- 然后再把4和9分别分解，4 = 2×2，9 = 3×3。

- 最后得到36 = 2×2×3×3。

三、分解质因数的应用。

1. 求最大公因数。

- 例如求18和24的最大公因数。

- 先分解质因数，18 = 2×3×3，24 = 2×2×2×3。

- 18和24公有的质因数是2和3。

- 最大公因数就是把公有的质因数相乘，2×3 = 6。

2. 求最小公倍数。

- 例如求15和20的最小公倍数。

- 分解质因数，15 = 3×5，20 = 2×2×5。

- 最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（相同的质因数只取最多的个数），即2×2×3×5 = 60。

五年级数学培优：质数、合数、分解质因数１、按照约数个数的多少可以把自然数分为、、。

２、4×7=28，4是28的，7是28的，也是28的。

３、91、25、1、87、61、54、97中，质数有，合数有。

把合数分解质因数：１、一个长方形的面积是130平方厘米，它的长和宽是互质数。

这个长方形的长和宽可能是多少？２、用2520个棱长是1厘米的正方体堆成一个长方体，它的高是12厘米，长和宽都大于高。

它的长和宽各是多少厘米？３、26÷（）=（）……2，在括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？４、在3张牌上分别写上3个最小的连续奇数，如果随意从其中取出至少一张组成一个数，其中有几个是质数？将它们写出来。

５、小聪的姐姐参加了今年的中学数学竞赛，小聪问姐姐：“这次竞赛你得了多少分？获第几名？”姐姐告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？”６、⑴两个质数的和是30，这两个质数的乘积的最小值是多少？⑵两个合数的和是30，这两个合数的乘积的最大值是多少？７、把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等，应该怎样分？通过本次学习，我的收获是。

第一部分必做题１、(☆)两个质数的和是16，这两个质数的积可能是（）或（）。

２、(☆)前1000个自然数（不包括0）中有168个质数，那么合数的个数有（）个。

３、(☆)一个长方体的体积是105立方厘米，它的长、宽、高是三个不同的质数，这个长方体的表面积是（）平方厘米。

４、(☆)判断。

⑴一个质数的约数都是质数。

（）⑵两个质数相乘的积一定是合数。

（）⑶只有合数有质因数，质数没有质因数。

（）⑷一个质数加上2以后，结果还是质数，20以内这样的质数有5个。

（）⑸质数与质数的和一定是合数。

（）５、(☆)有两个合数，这两个合数又是互质数，这样的数有很多个，如果这两个合数的积是一个最大的四位数，这两个合数是（）和（）。