13质数合数和分解质因数

分解质因数⼀、分解质因数1、下⾯的数,哪些能写成⼏个质数相乘的形式？7, 9, 11, 122、在2、 7、 12、35、 4 、21、 13、 17这些数中, 质数有: 2 、7、13、17合数有: 12、35 、4 、213、 28和60可以写成哪⼏个质数相乘的形式?28 ＝ 2 X 2 X 760＝2X3X2X55每个合数都可以写成⼏个( )数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。

4、13X4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？5、什么是分解质因数呢?把⼀个合数⽤质因数相乘的形式表⽰出来，叫做分解质因数。

（1）⽤短除法把下⾯各数分解质因数.3×5（2）能⽤短除法把下⾯各数分解质因数.80 12 16 72练习：⼀、选⼀选。

(1)把10分解质因数是( )A.10=2×5B.10=1×2×5C.10=1×10(2)把27分解质因数是( )A.3×9=27B.3×3×3=27C.27=3×3×3（2）看谁是⼩判官①把35分解质因数是 35=1×5×7（）②把49分解质因数是7×7=49 ( )③把30分解质因数是30=2×3×5 ( )④51不能分解质因数. ( )⼆、⽤短除法找最⼤公因数1．⽤排列因数的⽅法求18和24的最⼤公因数。

2．⽤排列因数的⽅法求两个数的最⼤公约数⽅便吗？有没有⽐它简便的⽅法求最⼤公约数呢？今天我们就来研究求两个数的最⼤公因数简便⽅法。

．把18和24分解质因数。

如下：2 1 8 2 2 43 9 2 1 23 2 6318＝2×3×324＝2×2×2×3⑴18有哪⼏个质因数？24呢？⑵18和24相同的质因数有哪些？⑶它们相同的质因数叫做什么，给它们起⼀个名字：公有的质因数⑷18和24公有的质因数有哪⼏个？其它的2、2和3是公有的质因数吗？那这些质因数叫做什么质因数，给它们起⼀个名字：独有的质因数⑸你能根据18和24公有的质因数2和3计算出18和24所有的公因数吗？⑹怎么计算的？哪个最⼤？最⼤的是怎么计算出来的？⑺如果在2×3的后⾯再乘以⼀个质因数3，还是公约数吗？是最⼤公约数吗？多乘⼏个质因数呢？⑻如果在2×3的后⾯少乘以⼀个质因数3，还是公约数吗？是最⼤的公约数吗？⑼从这⾥可以看出：两个数的最⼤公因数是什么质因数的乘积？板书：所有的公有质因数的乘积＝最⼤公约数⑽“所有的公有质因数”是什么意思？你是怎么理解的？⑾从这⾥可以看出：⽤分解质因数的⽅法求两个数的最⼤公约数先⼲什么？然后⼲什么？最后⼲什么？18和24的最⼤公约数是：2×3＝6。

质数与合数 质数与合数是数论⾥最基本、最重要的概念之⼀，许多有趣的课题都与它紧密相关。

例如著名的哥德马赫猜想就是⼀个关于质数、合数的问题。

1.质数与合数 ⼀个⼤于1的⾃然数，如果除了1和它本⾝，再不能被其它⾃然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。

例如，100以内的质数共有25个，从⼩到⼤依次为：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

⼀个⼤于1的⾃然数，如果除了1和它本⾝，还能被其它⾃然数整除，那么它就叫做合数。

例如，4、6、8、9、10、12、14、……都是合数。

根据质数、合数的定义，每个素数只有两个约数：1和它本⾝；每个质数⾄少有三个约数：1、它本⾝、其它约数。

例如6的约数除了1和6外，还有2、3，所以6是合数。

要特别记住：1既不是质数，也不是合数。

质数有⽆限多个，合数也有⽆限多个。

最⼩的质数是2，最⼩的合数是4。

在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。

2.质因数与分解质因数 如果⼀个质数是某个⾃然数的约数，那么这个质数就叫做这个⾃然数的⼀个质因数。

例如，质数2和3都是36的约数，所以2和3都是36的质因数。

6是36的约数，但6不是质数，所以6不是36的质因数。

把⼀个⾃然数表⽰成因数相乘的形式，可以有多种⽅法。

例如，12＝2×6＝3×4＝2×2×3。

但把12表⽰成质因数相乘的形式，则只有⼀种⽅法：12＝2×2×3。

“算术基本定理”说的就是这⼀事实：任何⼀合数都可以表⽰成若⼲个素因数相乘的形式，如果不考虑素因数的顺序，这种表⽰⽅法是唯⼀的。

把⼀个合数表⽰成质因数相乘的形式，叫做把这个合数分解质因数。

在分解质因数时，相同质因数连乘可以写成乘⽅的形式。

例如， 600＝2×2×2×3×5×5＝23×3×52 3.约数的个数 我们利⽤分解质因数来解决求⼀个数的约数个数的问题。

第十三讲质数和合数1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。

（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。

（3）1：只有1个因数。

“1”既不是质数，也不是合数。

注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。

把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。

例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。

具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念。

第三单元：质数、合数和分解质因数自主检测答案1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。

1、13、24、29、41、57、63、79、87思考方法：判断100以内的数是不是质数，只要用这些数分别除以10以内的质数（2、3、5、7）如果是2、3、5、7的倍数一定是合数，不是2、3、5、7的倍数一定是质数，1既不是质数也不是合数。

合数有：24、57、63、87质数有：13、29、41、792. 写出两个都是质数的连续自然数。

2和33. 写出两个既是奇数，又是合数的数。

思考方法：写出20以内的奇数，排除质数，剩下两个合数。

9和154. 判断：（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。

（×）思考方法：1既不是质数也不是合数。

（2）偶数都是合数，奇数都是质数。

（×）思考方法：偶数中唯一的一个质数是：2（3）7的倍数都是合数。

（×）思考方法：7最小的倍数是7，是质数（4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。

（√）思考方法：19×9=171（5）只有两个因数的数，一定是质数。

（√）思考方法：只有1和本身（6）两个质数的积，一定是质数。

（×）思考方法：举例，2×3=6,6是合数（7）2是偶数也是合数。

（×）思考方法：2是质数（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。

（×）思考方法：1既不是质数也不是合数。

（9）除2以外，所有的偶数都是合数。

（√）思考方法：偶数中唯一的一个质数是：2，其余偶数都是2的倍数，所以除以1和本身两个因数外，至少还有一个因数是2。

（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。

（×）思考方法：0+2+4=6，最小的自然数是05. 在（）内填入适当的质数。

10＝（3）＋（7）10＝（2）×（5）20＝（2）＋（7）＋（11）8＝（2）×（2）×（2）6.分解质因数。

第十四讲质数、合数与分解质因数知识导航1. 质数:只有1和它本身两个因数的数，称为质数。

如:2, 3, 5. 7, 11,…合数:除了1和它本身两个因数以外，还有别的因数的数，称为合数。

如:4, 6,8，9, 10,..最小的质数是2，它也是质数中唯一一个偶数，其余的质数全是奇数;最小的合数是4，奇数中，最小的合数是9.奇数不一定都是质数，也有很多是合数。

如9, 15, 21, 25,…。

1既不是质数，也不是合数。

2. 通过一个顺口溜，熟记100以内的所有质数:2, 3, 5, 7和11; 13，17和19, 23连29; 31连37;41, 43带47; 53后59, 61后67 71; 73带79, 83; 89后973. 分解质因数:(1) 质因数:一个数，既是质数，同时又是一个合数的因数，我们称这个数为这个合数的质因数。

如2是28的质因数，7也是28的质因数，但4却不是28的质因数，仅仅是28的因数。

（2）把一个合数，写成几个质因数相乘的形式，叫做分解质因数。

分解质因数可以用短除法。

精典例题例1:把36和120分解质因数，并写成标准分解式。

[分析]用短除法分解质因数，再写成标准分解式。

36=2×2×3×3=22×32；120=2×2×2×3×5=23×31×51。

例2：把99折成19个质数的和，要求最大的质数尽可能大，那么，这个最大的质数是几？[分析]要使最大的质数尽可能大，则其余的质数应尽可能小，最小质数是2，最大质数：99-2×18=63，63为合数，要调整，最大的质数肯定是奇数，所以，63起码就减少2，就为61，则可以把其中的两个2调整为两个3；最大的质数=99-（2×16+3+3）=61答：最大的质数是61。

例3:三个小孩的年龄恰好是某三个连续的质数，且他们年龄的乘积是385，求这三个小孩的年龄依次是多少岁?[分析]三个连续质数的积是385，那这三个质数就是385的质因数，分解质因数就能找到。

（西师大版）五年级数学上册质数、合数、分解质因数及答案1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。

1、13、24、29、41、57、63、79、87合数有：质数有：2. 写出两个都是质数的连续自然数。

3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。

4. 判断：（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。

（）（2）偶数都是合数，奇数都是质数。

（）（3）7的倍数都是合数。

（）（4）20以最大的质数乘以10以最大的奇数，积是171。

（）（5）只有两个约数的数，一定是质数。

（）（6）两个质数的积，一定是质数。

（）（7）2是偶数也是合数。

（）（8）1是最小的自然数，也是最小的质数。

（）（9）除2以外，所有的偶数都是合数。

（）（10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。

（）5. 在（）填入适当的质数。

10＝（）＋（）10＝（）×（）20＝（）＋（）＋（）8＝（）×（）×（）6. 分解质因数。

65 56 94 76 135 105 87 937. *两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？8. **一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（）。

9. **用10以的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（），最大是（）。

参考答案1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。

1、13、24、29、41、57、63、79、87合数有：24、57、63、87质数有：13、29、41、792. 写出两个都是质数的连续自然数。

2和33. 写出两个既是奇数，又是合数的数。

9和154. 判断：（1）任何一个自然数，不是质数就是合数。

（×）（2）偶数都是合数，奇数都是质数。

（×）（3）7的倍数都是合数。

（×）（4）20以最大的质数乘以10以最大的奇数，积是171。

（√）（5）只有两个约数的数，一定是质数。

（√）（6）两个质数的积，一定是质数。

质数与合数基本知识1.质数与合数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。

考点：（1）值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点，例如:两个质数之和为39，求这两个质数的乘积。

分析：因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74。

我们要善于抓住此类题的突破口。

（2）除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9。

这也是很多题解题思路，需要大家注意2．质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如：30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝×3，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。

分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。

22例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：210分解质因数：210=2×3×5×7，可知这三个数是5、6和7。

数的整除（2）质数、合数、分解质因数及答案数的整除（2）质数、合数、分解质因数【知识要点】一、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。

（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。

（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。

）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。

二、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

因数个数定理：例如：1980=22×32×5×11所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：例如：1980=22×32×5×11所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111）=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。

例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。

解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。

任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。

例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。

.质数与合数1． 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例1. 在2、3、45、10、22、17、51、91、93、97中。

质数是： 合数是：同步1、 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。

互质数的特点互质数即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。

公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。

如：9和11的公约数只有1，则它们是互质数。

互质数的特点任何两个质数都是互质数。

例如:2与7互质。

互质的两个数不一定是质数。

如：6与25互质。

互质数规律判断法1.根据互质数的定义，可总结出一些规律，利用这些规律能迅速判断一组数是否互质。

2.两个不相同的质数一定是互质数。

如：7和11、17和31是互质数。

3.两个连续的自然数一定是互质数。

如：4和5、13和14是互质数。

4.相邻的两个奇数一定是互质数。

如：5和7、75和77是互质数。

5.1和其他所有的自然数一定是互质数。

如：1和4、1和13是互质数。

6.两个数中的较大一个是质数，这两个数一定是互质数。

如：3和19、16和97是互质数。

7.两个数中的较小一个是质数，而较大数是合数且不是较小数的倍数，这两个数一定是互质数。

如：2和15、7和54是互质数。

8.较大数比较小数的2倍多1或少1，这两个数一定是互质数。

如：13和27、13和25是互质数。

质数，互质数，分解质因数，合数一个数只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这样的数叫合数。

1既不是质数也不是合数。

公约数只有1的两个数叫做互质数。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。

把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法分解质因数。

分解质因数的三种方法分解质因数的三种方法：因式分解法、提取公因式法、十字相乘法因式分解法：数学中用以求解高次一元方程的一种方法。

把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。

提取公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

质数和合数的初步认识质数和合数是数学中的两个重要概念。

本文将对质数和合数进行初步的认识和解释。

一、质数的概念和特点质数又称素数，是指大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数。

简单来说，质数只能被1和自身整除，不能被其他数整除。

举例来说，2、3、5、7、11、13等都是质数。

这些数无法被其他数整除，因此可以确定它们是质数。

特点：1. 质数必须大于1。

2. 质数只能被1和自身整除。

3. 质数没有其他因数。

二、合数的概念和特点合数是除了1和自身之外，还可以被其他数整除的数。

简单来说，合数是至少有一个除了1和自身以外的因数的整数。

举例来说，4、6、8、9、10等都是合数。

这些数除了能被1和自身整除外，还可以被其他数整除。

特点：1. 合数至少有一个除了1和自身的因数。

2. 合数可以被多个数整除。

三、质数和合数的关系质数和合数是两个互补的概念。

一个数要么是质数，要么是合数，两者不可同时成立。

例如，7是质数，因为它只能被1和7整除；而8是合数，因为它可以被1、2、4和8整除。

质数和合数是互相排斥的。

四、如何判断一个数是质数还是合数方法一：试除法试除法是一种简单有效的方法来判断一个数是质数还是合数。

即通过逐个尝试除数，判断能否整除给定的数。

例如，判断一个数n是否为质数，可以尝试将n除以2、3、4、5、6、...sqrt(n)等，如果能整除，则n为合数；如果都不能整除，则n为质数。

方法二：埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法是一种高效的筛选质数的方法。

通过遍历从2开始的整数，将能整除当前数的数剔除，剩余的数即为质数。

五、质数和合数在数学和实际中的应用1. 加密算法中的应用：质数在加密算法中担任重要角色，如RSA 算法、椭圆曲线加密算法等。

2. 分解质因数：质数和合数在分解质因数中起到关键作用，可以将一个数分解成一系列的质因数相乘，帮助我们理解数的结构和性质。

3. 素数表和质因数分解在数论和代数中的应用。

六、质数和合数的总结质数是只能被1和自身整除的整数，合数是除了1和自身以外还可以被其他数整除的整数。

质因数和分解质因数的特征质因数和分解质因数的特征质因数是数学中一个重要而基础的概念，质因数分解则是数论中一个重要的方法和思想。

质因数与分解质因数的特征可以说明它们的重要性和应用价值。

本文将从质因数和分解质因数的定义、性质和应用等方面来阐述它们的特征。

一、质因数1.定义：为了说明质因数，我们先定义因子的概念。

某一数 a 能够被另一个数 b 整除，则称 b 是 a 的因子，而 a 是 b 的倍数，如24 = 2 × 2 × 2 × 3 。

其中，2 和 3 就是因子，24 是倍数。

质因数又称素数，指在自然数中，只有 1 和它本身两个因数的自然数叫做质数。

例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是质数。

其中，1 既不是质数也不是合数。

2.性质：质因数具有以下几个性质：（1）只有质数才有质因数，合数不是质因数。

（2）任何一个数都可以被唯一分解成若干个质因子之积。

（3）如果一个数 a 的某一个因子 d 是质数，则称该质数 d 是 a 的质因数。

二、分解质因数1.定义：在数论中，质因数分解（prime factorization）、因数分解（factorization）或唯一分解定理（unique factorization theorem）是指将一个正整数分解成若干个质因数的积的过程，也称作素因数和分解。

2.性质：分解质因数具有以下几个性质：（1）若a 是质数，则 a 的质因数分解是 a 本身。

（2）若 a 是合数，则 a 的质因数分解可以由其所有质因数的乘积得到，此时每个质因数只取一次，即唯一分解定理。

（3）分解质因数的意义在于，能帮助我们找到一个数分解的质因数，从而更好地了解其性质、特征和规律。

三、应用1.在数学中，质因数和分解质因数有着广泛而重要的应用。

它们能帮助我们：（1）解决一些有趣和重要的数论问题，如哥德巴赫猜想和费马大定理等。

（2）分解出多个数的公因数和最小公倍数，例如：若a = 2 × 2 × 5 × 7 × 11，b = 2 × 5 × 5 × 7 × 13，c = 3 × 3 × 7 × 11 × 13 则gcd(a,b,c) = 5 × 7。