等腰三角形问题综合专项练习（解析版）一、单选题1．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于（ ）A ．腰上的高B ．腰上的中线C ．底角的平分线D ．顶角的平分线【标准答案】A【思路点拨】画出图形，利用等积法证明可得等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．【精准解析】解：如图：中，，为上任意一点，，，垂足ABC ∆AB AC =D BC DE AB ⊥DF AC ⊥为、，于，连接AD ，E F CG AB ⊥G ，ED AB ⊥ ；12ABD S AB ED ∆∴=A ，DF AC ⊥ ；12ACD S AC DF ∆∴=⋅，CG AB ⊥ ；12ABC S AB CG ∆∴=⋅∵111222AB CG AB ED AC DF=+A A A 又，AB AC = ．CG DE DF ∴=+等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，∴故选：．A【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等积法证明垂线段之间的关系．2．（2021·广东白云·八年级期末）如图，∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，则下列结论正确的有（ ）①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE ；④CD ＝BE．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【标准答案】D【思路点拨】由∠ABE ＝∠ACD ，∠E BC ＝∠DC B ，可得出∠ABC ＝∠ACB ，再利用等角对等边可得出AB ＝AC ，可判断①；由∠A ＝∠A ，AB ＝AC 及∠ABE ＝∠ACD ，可证出△ABE ≌△ACD （ASA ），再利用全等三角形的性质可得出AD ＝AE ，CD ＝BE ，可判断②④；由AB ＝AC ，AD ＝AE ，可得出BD ＝CE 可判断③即可．【精准解析】解：∵∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，∴∠ABE +∠EBC ＝∠ACD +∠DCB ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，结论①正确；在△ABE 和△ACD 中，，A A AB ACABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AD ＝AE ，CD ＝BE ，结论②④正确；∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，∴BD ＝CE ，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D ．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·广东高州·八年级期中）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，则下列结论中，①∠ABE ＝∠ACD ；②BE ＝CD ；③OC ＝OB ；④CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③④【标准答案】C【思路点拨】由AB =AC 得∠AB C =∠ACB ，由两个平分条件，则可得∠ABE =∠ACD ，即①成立；且∠OBC =∠OCB ，从而可得OC =OB ，即③正确；易证△ABE ≌△ACD ，BE =CD ，故可得②正确；由AB =AC 得∠ABC =∠ACB ，由两个平分条件，则可得∠OBC =∠OCB ，从而可得OC =OB ，即③正确；若④成立，则可得△ABC 是等边三角形，显然与已知矛盾．【精准解析】∵AB =AC∴∠ABC =∠ACBBE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线∴∠ABE =∠OBC =，∠ACD =∠OCB = 12ABC 12ACB ∴∠ABE =∠ACD =∠OBC =∠OCB即①成立∵∠OBC =∠OCB∴OC =OB即③正确在△ABE 和△ACD 中A A AB ACABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACD (ASA )∴BE =CD即②正确若④成立，则∠ABC +∠OCB =90゜∵∠ABE =∠OBC =∠OCB∴∠ABE =∠OBC =∠OCB =30゜∴∠ABC =2∠ABE =60゜∵AB =AC∴△ABC 是等边三角形显然与已知△ABC 是等腰三角形矛盾故④错误所以正确的结论为①②③故选：C ．【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定等知识，熟练运用三角形全等的判定与性质是本题的关键．4．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD =BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ．下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =120°；③△ADF 是等腰三角形；④，其中正确的结论是12FGAG =（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④【标准答案】A【思路点拨】根据等边三角形的性质可得AB =AC ，∠BAC =∠B =60°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△CAD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE =CD ，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD =∠BAE ，求出∠CAF +∠ACD =60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC =120°，判定②正确；求出∠ADF ＞60°，∠FAD ＜60°，∠AFD =60°，判定△ADF 不是等腰三角形；求出∠AFG =60°，再求出∠FAG =30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得FG =AF ，然后判断④．12【精准解析】解：在等边△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =∠B =60°，在△ABE 和△CAD 中，，60AB AC BAC B AD BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAD （SAS ），∴AE =CD ，故①正确；∵∠ACD =∠BAE ，∴∠CAF +∠ACD =∠CAF +∠BCE =∠BAC =60°，在△ACF 中，∠AFC =180°﹣（∠CAF +∠ACD ）=180°﹣60°=120°，故②正确；∵∠FAD ＜∠BAC ，∠BAC =∠B =60°，∴∠ADF ＞60°，∠FAD ＜60°，∠AFD =60°，∴△ADF 不是等腰三角形，故③错误；∵∠AFG =180°﹣∠AFC =180°﹣120°=60°，AG ⊥CD ，∴∠FAG =90°﹣60°=30°，∴FG =AF ，∴，故④错误，12FG AF =综上所述，正确的有①②．故选：A ．【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．5．（2021·广东·西关外国语学校八年级期中）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE，AC与CD，BD分别交于点F、G．连接GF，下列结论：①AE＝BD；②AG＝DF；③GF∥BE，④CF＝GF，其中正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【标准答案】C【思路点拨】根据等边三角形性质，利用SAS证明△BCD≌△ACE，可证结论①；证明△DGC≌△EFC，得△GFC是等边三角形，则CF＝FG，可得结论④；∠GFC＝60°，根据∠GFC ＝∠DCE＝60°，所以GF∥BE，可得结论③；由CG＝CF，AC≠DC，可知：AC−CG≠DC−CF，即AG≠DF，可得结论②．【精准解析】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴AE＝BD，故①正确；∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠DCE＝60°，由①得△BCD≌△ACE，∴∠GDC＝∠AEC，∵DC＝EC，∴△DGC≌△EFC，∴CF＝CG，∴△GFC是等边三角形，∴CF ＝FG ，∠GFC ＝60°，∴∠GFC ＝∠DCE ＝60°，∴GF ∥BE ，故③④正确；∵CG ＝CF ，而AC 与CD 不相等，所以AG 与DF 不相等，故②不正确；正确的有：①③④，一共3个，故选：C ．【名师指路】本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定，属于常考点型，难度适中；准确地在图形中找到全等三角形并进行证明是本题的关键．6．（2021·广东·南山实验教育集团南海中学八年级开学考试）如图，，点45AOB ∠=︒、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动M N OA OB 6MN =OMN A 12P MN 点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动P OA 1P P OB 2P P NM 时，的面积最小值为（ ）12OPP AA ．B ．C ．D ．681218【标准答案】B【思路点拨】连接OP ，过点O 作OH ⊥MN 交NM 的延长线于点H ．利用三角形的面积公式求出OH ，再证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，OP 最小时，△OP 1P 2的面积最小．【精准解析】连接OP ，过点O 作OH ⊥MN 交NM 的延长线于点H ，如图∵，MN =61122OMN S MN OH =⨯=△∴OH =4∵点关于对称的点为，点关于对称点为P OA 1P P OB 2P ∴∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，OP =OP 1=OP 2∵∠AOB =45°∴∠P 1OP 2=2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°∴△OP 1P 2是等腰直角三角形∴当OP 1最小，△OP 1P 2的面积最小根据垂线段最短知，OP 的最小值为线段OH 的长，即为4∴△OP 1P 2的面积最小值为14482⨯⨯=故选：B ．【名师指路】本题考查了轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，关键是证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，把求面积的最小值转化为线段的最小值，也体现了数学上的转化思想．7．（2021·广东实验中学越秀学校八年级期中）如图所示，，点是60AOB ∠=︒P 内一定点，并且，点、分别是射线，上异于点的动点，AOB ∠2OP =M N OA OB O 当的周长取最小值时，点到线段的距离为（ ）PMN A O MNA ．1B ．2C ．4D ．1．5【标准答案】A【思路点拨】分别作点P 关于OB 和OA 的对称点P '和P ''，连接OP '、OP ''、P 'P ''，则P 'P ''与OB 的交点为点N '，P 'P ''与OA 的交点为点M '，连接PN '、PM '，则此时P 'P ''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O 作OC ⊥P 'P ''于点C ，求得∠OP 'P ''的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．【精准解析】解：分别作点P 关于O B 和OA 的对称点P '和P ''，连接OP '、OP ''、P 'P ''，则P 'P ''与OB 的交点为点N '，P 'P ''与OA 的交点为点M '，连接PN '、PM '，则此时P 'P ''的值即为△PMN 的周长的最小值，过点O 作OC ⊥P 'P ''于点C ，如图所示：由对称性可知OP ＝OP '＝OP ''，∵∠AOB ＝60°，∴∠P 'OP ''＝2×60°＝120°，∴∠OP 'P ''＝∠OP ''P '＝30°，∵OP ＝2，OC ⊥P 'P ''，∴OC ＝OP '＝1．12故选：A ．【名师指路】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．8．（2021·广东·深圳市高级中学八年级开学考试）如图，在ABC 中，BD 、CE 分别A 是∠ABC 和∠ACB 的平分线，AM ⊥CE 于P ，交BC 于M ，AN ⊥BD 于Q ，交BC 于N ，∠BAC ＝110°，AB ＝6，AC ＝5，MN ＝2，结论①AP ＝MP ；②BC ＝9；③∠MAN ＝30°； ④AM ＝AN ．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【标准答案】C【思路点拨】先证明ACP ≌MCP ，根据全等三角形的性质得到AP ＝MP ，判断①；再证明ABQ A A A ≌NBQ ，根据全等三角形的性质得到CM ＝AC ＝5，BN ＝AB ＝6，结合图形计算，判A 断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【精准解析】解：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACP ＝∠NCP ，∵AM ⊥CE ，∴，90CPA CPM ∠=∠=︒在ACP 和MCP 中，A A ，ACP MCP CP CP CPA CPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ACP ≌MCP （ASA ），A A ∴AP ＝MP ，∠CMA ＝∠CAM ，①结论正确；∵ACP ≌MCP ，A A ∴CM ＝AC ＝5，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABQ ＝∠NBQ ，∵AN ⊥BD ，∴，90BQA BQN ∠=∠=︒在ABQ 和NBQ 中，A A ，ABQ NBQ BQ BQBQA BQN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABQ ≌NBQ （ASA ），A A ∴BN ＝AB ＝6，∠BNA ＝∠BAN ，∴BC ＝BN +CM ﹣MN ＝5+6﹣2＝9，②结论正确；∵∠BAC ＝110°，∴∠MAC +∠BAN ﹣∠MAN ＝110°，∵∠CMA ＝∠CAM ，∠BNA ＝∠BAN ，∴∠CMA+∠BNA﹣∠MAN＝110°，A又∵在AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③结论错误；④∵AB＝6，AC＝5，∴AB≠AC，∴∠ABC≠∠ACB，∵∠ABC＋2∠ANM＝180°，∠ACC＋2∠AMN＝180°，∴180°－2∠ANM≠180°－2∠AMN，∴∠AMN≠∠ANM，∴AM≠AN，④结论错误，∴正确的结论有①②，故选：C．【名师指路】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了等腰三角形的判定．9．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级开学考试）如图，D是AB边上的中点，A将ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF的大小为（）A．50°B．80°C．90°D．100°【标准答案】B【思路点拨】由折叠的性质，即可求得AD＝DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB＝DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB＝∠B＝50°，再由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数．【精准解析】解：∵折叠，∴AD ＝DF ，∵D 是AB 边上的中点，∴AD ＝BD ，∴BD ＝DF ，∵∠B ＝50°，∴∠DFB ＝∠B ＝50°，∴∠BDF ＝180°﹣∠B ﹣∠DFB ＝80°．故选：B ．【名师指路】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．10．（2021·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级期中）如图，在中，ABC ∆AB BC =，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB ．下列结论中，正确的个数是（） ①∠1=∠EFD ；②BE =EC ；③BF =DF =CD ；④FD BC//A ．B ．C ．D ．1234【标准答案】C【思路点拨】根据等腰直角三角形的“三合一”性质、角平分线的性质、全等三角形ABC 的性质对以下选项进行一一验证即可．ADF ABF ∆≅∆【精准解析】解：在中，，，，ABC ∆AB BC =AB BC ⊥BE AC ⊥；AE CE BE ∴==故②正确；在和中，ADF ∆ABF ∆，()12AD AB AF AF ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩公共边，()ADF ABF SAS ∴∆≅∆，ADF ABF ∴∠=∠，,AB BC AB BC ⊥= 为等腰直角三角形，ABC ∴A ，BE AC ⊥ ，90CEB AEB ∴∠=∠=︒，45ABF CBE ∴∠=∠=︒45ADF ABF ∴∠=∠=︒，45C ∠=︒ ，45ADF ABE ∴∠=∠=︒，45ADF C ∴∠=∠=︒（同位角相等，两直线平行），//DF BC ∴故④正确；，ADF ABF ∆≅∆ （全等三角形的对应边相等）．DF BF ∴=又，，//DF BC BE EC =，EF DF ∴=，CD BF DF ∴==故③正确；，，．45EAB ∠=︒ 12∠=∠1122.52EAB ∴∠=∠=︒又，//DF BC ，45EFD EBC ∴∠=∠=︒；1EFD ∴∠≠∠故①错误；综上所述，正确的说法有②③④三种；故选：C ．【名师指路】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是充分利用了等腰三角形的“三合一”的性质．二、填空题11．（2021·广东·广州市第十六中学八年级开学考试）已知等腰中，一腰上ABC A AC 的中线将的周长分成和两部分，则这个三角形的腰长和底边长分BD ABC A 9cm 15cm 别为_______．【标准答案】10cm ，4cm【思路点拨】将腰长与腰长的一半分为9cm 和15cm 两种情况，分别求出腰长，再求出底边，然后根据三角形的任意两边之和不能大于第三边进行判断即可.【精准解析】解：设腰长为x cm ，腰长与腰长的一半是9cm 时，x +x =9，12解得x =6，所以，底边=15﹣×6=12，12∵6+6=12，∴6cm 、6cm 、12cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm 时，x +x =15，12解得x =10，所以，底边=9﹣×10=4，12所以，三角形的三边为10cm 、10cm 、4cm ，能组成三角形，故答案为： 10cm ， 4cm ．【名师指路】本题主要考查了中线的定义以及三角形两边之和不能大于第三边，正确理解等腰三角形以及中线的定义并熟练掌握三角形的两边之和不能大于第三边是解答本题的关键.12．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级期末）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =36°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =36°，DE 交线段AC 于点E ，点D 在运动过程中，若△ADE 是等腰三角形，则∠BDA 的度数为_________．【标准答案】72°或108°【思路点拨】利用外角的性质判断出，分类讨论当时和AED ADE ≠∠∠AED DAE =∠时，两种情况，利外角的性质和角的等量代换运算即可．36ADE DAE ==︒∠∠【精准解析】解：∵AB AC=∴36B C ∠=∠=︒∵36AED EDC C EDC =+=+︒∠∠∠∠∴AED ADE≠∠∠∴当时，则AED DAE =∠180180367222ADE AED DAE ︒-︒-︒====︒∠∠∴7236108ADB DAE C =+=︒+︒=︒∠∠∠当时，则36ADE DAE ==︒∠∠363672ADB DAE C =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为：或72︒108︒【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，外角的性质，灵活运用外角的性质是解题的关键．13．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，△ABC 的面积为12，AB ＝AC ，BC ＝4，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F ，若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上一动点，则△PCD 周长的最小值为 ___．【标准答案】8【思路点拨】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角AD ABC ∆D BC AD BC ⊥形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线AD EF AC C的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．EF A AD CP PD +【精准解析】解：连接，AD是等腰三角形，点是边的中点，ABC ∆ D BC ，AD BC ∴⊥，1141222ABC S BC AD AD ∆∴==⨯⨯=A 解得：，6AD =是线段的垂直平分线，EF AC 点关于直线的对称点为点，∴C EF A 的长为的最小值，AD ∴CP PD +的周长最短．CDP ∴∆11()6462822CP PD CD AD BC =++=+=+⨯=+=故答案为：8．【名师指路】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角-形三线合一的性质．14．（2021·广东·广州市越秀区育才实验学校八年级期中）△ABC 中，AB ＝AC ＝12厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，若点Q 的运动速度为 ___米/秒，△BPD 能够与△CQP 全等．【标准答案】3或4.5．【思路点拨】根据等腰三角形的性质得出∠B ＝∠C ，根据全等三角形的判定得出两种情况：①BD ＝CP ，BP ＝CQ ，②BD ＝CQ ，BP ＝PC ，设运动时间为t 秒，列出方程，再求出答案即可．【精准解析】解：设运动时间为t 秒，∵AB ＝12厘米，点D 为AB 的中点，∴BD ＝AB ＝6（cm ），12∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴要使，△BPD 能够与△CQP 全等，有两种情况：①BD ＝CP ，BP ＝CQ ，8﹣3t ＝6，解得：t ＝，23∴CQ ＝BP ＝3×＝2，23∴点Q 的运动速度为2÷＝3（厘米/秒）；23②BD ＝CQ ，BP ＝PC ，∵BC ＝8厘米，∴BP ＝CP ＝BC ＝4（厘米），12即3t ＝4，解得：t ＝，43∴CQ ＝BD ＝6厘米，∴点Q 的运动速度为6÷＝4.5（厘米/秒），43故答案为：3或4.5．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．15．（2020·广东·广州外国语学校附属学校八年级期末）已知：如图，△ABC 是等边三角形，延长AC 到E ，C 为线段AE 上的一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ,OC ．以下五个结论：①AD=BE ；②AP=BO ；③PQ//AE ；④∠AOB=60°；⑤OC 平分∠AOE ；结论正确的有_________（把你认为正确的序号都填上）【标准答案】①③④⑤【思路点拨】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD △BCE ，根据全等≅三角形对应边相等可得AD=BE ，所以①正确；由△ACD △BCE 得∠CAD=∠CBE ，加上∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC ，得到△ACP ≅△BCQ （ASA ），所以AP=BO ，故②错误；≅根据△ACP △BCQ ，再根据PC=QC ，推出△PCQ 是等边三角形，又由∠ACB=∠≅CPQ ，根据内错角相等，两直线平行，故③正确；利用等边三角形的性质，BC //DE ，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO ，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确；根据三角形面积公式求出CN=CM ，根据角平分线性质即可判断⑤.【精准解析】①∵正三角形ABC 和正三角形CDE ，∴BC=AC ，DE=DC=CE ，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，，=∠=∠⎨⎪=⎧⎪⎩AC BC ACD BCE DC CE ∴△ACD △BCE （SAS ），≅∴AD=BE ；故①正确.②∵△ACD △BCE （已证），≅∴∠CAD=∠CBE ，∵∠BCA=∠DCE=60°（已证），∴=60°，180602∠=︒-⨯︒BCQ ∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP 和△BCQ 中，，=∠=∠∠⎧⎪⎨⎩=∠⎪AC BC CAD CBE ACB BCQ ∴△ACP △BCQ （ASA ），≅∴AP=BO ，故②错误.③∵△ACP △BCQ （已证），≅∴PC=QC ，∴△PCQ 是等边三角形.∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ ，∴PQ//AE ，故③正确.④∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，在正三角形CDE 中，∠DEC =60°=∠BCD ，∴ BC//DE ，∴∠CBE=∠DEO ，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确.⑤过C 作于M ，于N ，CM BE ⊥CN AD⊥∵△ACD △BCE ，≅∴，BE=AD ，∆∆=BCE ACD S S ∴1122⨯⨯=⨯⨯，BE CM AD CN ∴CM=CN ，∴OC 平分∠AOE ，故⑤正确；故答案为①③④⑤.【名师指路】本题主要考查了三角形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定、等边三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的判定.16．（2020·广东福田·八年级期中）如图，已知等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面结论：①∠APO=∠ACO ；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO ；④AO+AP=AC ；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)【标准答案】①②③④【思路点拨】连接，证明，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的OB OP OB =性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO 与∠DCO 的和等于30°，再证明是等边三角形，可判断结论②，③；, 在线段AC POC ∆上截取AE=AP ，连接PE ，证明△APO ≌△EPC 可判断结论④．【精准解析】解：如图，连接,OB∵AD ⊥BC ，,AB AC =是的中垂线，，AD ∴BC A ABC CB =∠∠,OB OC ∴=,OBC OCB ∴∠=∠,ABO ACO ∴∠=∠,OP OC = ,OP OB ∴=,OBP OPB ∴∠=∠ 即结论①正确；,APO ACO ∠=∠ 连接BO ，如图1所示：,120,AB AC BAC =∠=︒30,ABC ACB ∴∠=∠=︒由,APO ACO ∠=∠30,APO DCO ACO DCO ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒1803030120,OPC OCP ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒60,POC ∠=︒,OP OC = 是等边三角形，POC ∴∆60,PCO ∴∠=︒ 60603090,PCB APO PCO DCO APO DBO ABO ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒+︒=︒即结论②正确；是等边三角形，POC ∆,PC PO ∴=即结论③正确；在线段AC 上截取AE=AP ，连接PE ，如图所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE 是等边三角形，∴AP=EP ，又∵△OPC 是等边三角形，∴OP=CP ，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC ，在△APO 和△EPC 中，， AP EP APO EPC OP CP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△APO ≌△EPC （SAS ），∴AO=EC ，又∵AC=AE+EC ，AE=AP ，∴AC=AO+AP ， 即结论④正确；综合所述，①，②，③，④都正确，故答案为：①，②，③，④．【名师指路】本题综合考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，线段的和差，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形，等边三角形，全等三角形．17．（2020·广东·广州市育才中学八年级期中）如图，在等腰中，ABC ∆是的高，分别是上一动点，则 5AB AC AD ==，ABC ∆4,3,AD BD E F ==、AB AD 、的最小值为__________．BF EF+【标准答案】245【思路点拨】利用等腰三角形的对称性找到点B 的对称点C ，连接CE ，当CE ⊥AB 时，线段的和最小，再运用等面积法求CE 的长度即可．【精准解析】如图所示：点B 关于AD 的对称点是点C ，∴BF ＝CF ，∴BF ＋EF ＝CF ＋EF ＝CE ，当CE ⊥AB 时，线段的长度有最小值，利用△ABC 面积的两种表示方法，得：，11BC AD=AB CE 22⋅⋅∵BC ＝2BD ＝6，AD ＝4，AB ＝5，∴，1164=5CE 22⨯⨯⨯⋅解得：．24CE=5【名师指路】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键．18．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，已知∠AOB ＝a ，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B ＝B 1A 2，连接A 2B 2，…，按此规律，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n +1B n B n +1＝θn ，则θ2021﹣θ2020的值为__．【标准答案】．20211802α︒-【思路点拨】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 1B 1O ，再根据平角等于180°列式用α表示出θ1，再用θ1表示出θ2，并求出θ2﹣θ1，依此类推求出θ3﹣θ2，…，θ2021﹣θ2020，即可得解．【精准解析】解：∵OA 1＝OB 1，∠AOB ＝α，∴∠A 1B 1O ＝（180°﹣α）．12∴（180°﹣α）+θ1＝180°．12∴θ1＝．o 1802α+∵B 1B 2＝B 1A 2，∠A 2B 1B 2＝θ1，∴，o 12211802A B B θ-=∠∵o2212=180A B B θ+∠∴，o o 12180=1802θθ-+整理得：，o 2540=4αθ+∴．o o o 21540180180==424αααθθ++---同理可求：，o o 231801260==28θαθ++∴o o o 321260540180==848αααθθ++---•••以此类推， o 202120202021180=2αθθ--故答案为：．o 20211802α-【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于能够准确找到规律求解.19．（2021·广东·广州市培正中学八年级期中）如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【标准答案】12⎛ ⎝【思路点拨】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可．【精准解析】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D 点作x 轴的垂线交于x 2处，∵△OAB 是等边三角形，且OA =2，∴在Rt △AD x 2中，∠DA x 2=60°，AD =1，∴，212Ax =2Dx =故D 点的坐标为，即P 3;32⎛ ⎝32⎛ ⎝第4秒结束时P 点运动到了点B 的位置，同理过B 点向x 轴作垂线恰好交于点C ，在Rt △OBC 中，∠BOC =60°，，,2OB =1OC =，BC故B 点的坐标为（1P 4（1第5秒结束时P 点运动到了线段OB 的中点E 的位置，根据点D 即可得出E 点的坐标为，即 P 5；12⎛ ⎝12⎛ ⎝第6秒结束时运动到了点O 的位置，所以P 6的坐标为P 6（0，0）；第7秒结束时P 点的坐标为P 7（1，0），与P 1相同；……由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环，∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为，12⎛ ⎝故答案为：．12⎛ ⎝【名师指路】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．20．（2020·广东·广州大学附属中学八年级期中）在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是边BC 上一点，连接AD ，若∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，DC ＝a ，BD ＝b ，则AB ＝________. （用含a ，b 的式子表示）【标准答案】2a+b.【思路点拨】延长BC 至点E ，使CE=CD=a ，连接AE ，利用∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，∠CAB+∠B ＝90°，证得∠B=2∠CAD ，再利用CE=CD,AC ⊥CD,证得△AED 是等腰三角形，推出∠E=∠EAB,由此得到AB=EB=2a+b.【精准解析】如图，延长BC 至点E ，使CE=CD ，连接AE ，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，AC⊥CD,∵∠BAD＋3∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD=∠BAC,∴∠B=2∠CAD,∵CE=CD,AC⊥CD,∴AC垂直平分ED,∴AE=AD,即△AED是等腰三角形，∴∠EAC=∠CAD,∴∠EAD=2∠CAD=∠B,∴∠EAB=∠B+∠BAD,∵∠E=∠ADE=∠B+∠BAD,∴∠E=∠EAB,∴AB=EB,∵EB=EC+CD+BD=a+a+b=2a+b，∴AB=2a+b.故填：2a+b.【名师指路】此题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，延长BC至点E，使CE=CD是关键的辅助线，由此将直角三角形转化为等腰三角形来证明.三、解答题21．（2020·广东·龙华新区实验学校八年级期中）解答下列问题：（1）模型建立：如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C 位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为_________（用含a，b的式子表示）；（2）模型运用：如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）灵活运用：如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．【标准答案】（1）a＋b；（2）①见解析；②13；（3）6＋【思路点拨】（1）根据点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到CD=AC，EC=CB，∠ACD=∠BCE=60°，推出△DCB≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AE=BD；②由于线段AE长的最大值=线段BD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）如图3中，连接BN，将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，易知PA AN长的最大值=线段BP长的最大值，当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值，由此即可解决问题．【精准解析】解：（1）∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC＋AB＝a ＋b，故答案为：a＋b；（2）①证明：如图2中，∵△ACD 与△BCE 是等边三角形，∴CD ＝AC ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCB ＝∠ACE ，在△CBD 与△CEA 中，，CD CA DCB ACE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBD ≌△CEA （SAS ），∴AE ＝BD ；②∵线段AE 长的最大值＝线段BD 的最大值，由（1）知，当线段BD 的长取得最大值时，点D 在BA 的延长线上，∴最大值为AD ＋AB ＝3＋10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN 绕着点M 顺时针旋转90°得到△PBM ，连接AP ，则△APM 是等腰直角三角形，∴MA ＝MP ＝2，BP ＝AN ，∴PA ＝，∵AB ＝6，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值＝AB ＋AP ＝6＋【名师指路】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及旋转的性质的综合应用．注意等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．22．（2021·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，等边中，，关于轴ABC ∆A B y 对称，交轴负半轴于点，．AD AC ⊥y D ()0,6C （1）如图1，求点坐标；D （2）如图2，为轴负半轴上任一点，以为边作等边，的延长线交E x CE CEF ∆FA y 轴于点，求的长；G OG （3）如图3，在（1）的条件下，以为顶点作的角，它的两边分别与、交D 60︒CA BC 于点和，连接．探究线段、、之间的关系，并子以证明．M N MN AM MN NB【标准答案】（1）；（2）6；（3），证明详见解析()0,2D -MN NB AM =+【思路点拨】(1)先证∠ACO ＝30°，在Rr △ACO 中由勾股定理求出AC 的长，再在Rt △ACD 中求出CD 的长，即可求出OD 的长，进步写出点D 坐标；(2)证△FCA9≌△ECB ，求出∠GAO ＝60°，再证△CAO2△GAO ，即可得到OG ＝OC ＝6；(3)如图3，延长MA 至点H ，使AH ＝BN ，连接BD ，先证△DAH ≌△DBN ，再证△DMI ≌△DMN ，即可推出AM+BN ＝MN.【精准解析】（1）(1)△ABC 为等边三角形，A ，B 关于y 轴对称，C(0，6),∵6CO AB CO ⊥，＝，∴1302AO BO ACO BCO ACB ∠∠∠︒＝，＝＝＝在中设则，Rt ACO A AO x ＝，2AC x ＝∵，222AO CO AC =＋∴，()222x 2x =＋6解得，取正值)，∴AO AC ∵AD AC ⊥∴在中，设则，Rt ADC A AD a ＝，2CD a ＝∵222AD AC CD +=(()222a 2a +=解得，(取正值)a 4＝∴，=4=8AD CD ，∴，=2OD CDCO =﹣∴；()0,2D -（2）、均为等边三角形CEF DABC ∆，，CE CF ∴=AC BC =60ECF ACB ∠=∠=︒，即ECF ECA ACB ECA ∴∠+∠=∠+∠FCA ECB∠=∠在和中FCA ∆ECB ∆FC EC FCA ECBAC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FCA ECB SAS \D @D 60FAC EBC \Ð=Ð=°18060GAB CAB FAC \Ð=°-Ð-Ð=°，平分30AGC ACG \Ð=Ð=°AO CAG∠．6OG OC \==（3），证明如下：MN NB AM =+如图，延长至点，使，连接、，NB H BH AM =DH BD由题意得：，AD BD =BD BC⊥在和中AMD ∆BHD ∆90AM BH MAD HBD AD BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AMD BHD SAS \D@D ，DM DH \=MAD HDBÐ=Ð，60ACB ∠=︒ 90MAD HBD Ð=Ð=°120ADB \Ð=°又60MDN Ð=°60MDA NDB \Ð+Ð=°，即60HDB NDB \Ð+Ð=°60HDN Ð=°在和中MDN ∆HDN ∆60MD HD MDN HDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN HDN SAS \D@D MN HN\=HN NB BH NB AM=+=+ ．MN NB AM \=+【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题关键是证线段的和差关系时会用截长补短的作方法.23．（2021·广东·佛山市南海石门实验中学八年级月考）如图，在中，ABC A ，平分线交于点，点为上一动点，过作直线2ACB B ∠=∠BAC ∠AO BC D H AO H 于，分别交直线、、于点、、．l AO ⊥H AB AC BC N E M（1）当直线经过点时（如图2），求证：；l C BN CD （2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；M BC CE CD （3）请直接写出、和之间的数量关系．BN CE CD 【标准答案】（1）见解析；（2）CD=2CE ，证明见解析；（3）当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ；当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ；当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN ．【思路点拨】（1）连接ND ，先由已知条件证明DN=DC ，再证明BN=DN 即可；（2）当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE ，过点C 作CN'⊥AO 交AB 于N'．过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ，再证明△BNM ≌△CGM 问题得证；（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M 在线段BC 上时；②当点M 在BC 的延长线上时；③当点M 在CB 的延长线上时；由（2）即可得出结论．【精准解析】（1）证明：连接ND ，如图2所示：∵AO 平分∠B AC ，∴∠BAD=∠CAD ，∵直线l ⊥AO 于H ，。
