等腰三角形(第二课时)学案

《等腰三角形》教学设计第2课时一、教学目标1.通过活动探究，掌握等腰三角形的判定方法.2.理解等腰三角形性质与判定的区别，并会运用其进行推理和证明.二、教学重点及难点重点：理解和运用等腰三角形的判定方法.难点：学生能够理解等腰三角形性质与判定的区别，能够综合运用等腰三角形的性质与判定解决问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、直尺、刻度尺四、相关资源长方形纸片折叠动态演示，与教案一致五、教学过程(-)新课导入：1.上Ti课我们学习了等腰三角形的性质.现在大家来回忆一下，等腰三角形有哪些性质？性质1等腰三角形的两个底角相等.性质2等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.2.“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的条件和结论分别是什么？条件：一个三角形中有两条边相等.结论：这两条边所对的角相等.(二)探究新知1.写出“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.2.等腰三角形性质的证明方法是什么？作顶角的平分线或底边上的高线或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等.3.类比等腰三角形性质的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？已知：如图，在AAB C中，ZB=ZC.求证：A8=AC・证明：过A点作AE1BC.垂足为£A ZAEB=ZAEC=90a.在zMBE和MCE中，<AAEB=ZAEC.AE=AE,Z.AABE^/^ACE(AA5)..L A8=AC・4.你还有其他证明方法吗？能作底边8C上的中线吗？仿照等腰三角形性质的还明方法还可以作ZBAC的平分线进行还明•但不能作底边8C上的中线进行证明（找到的证明三角形全等的条件是SSA）.由上而的推理证明，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角所对的边也相等（简与成“等角对等边”）.几何语言表示：在zMBC中，VZB=ZC•L AB=AC・（三）例题解析【例1】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边.那么这个三角形是等腰三角形.此题是文字叙述的证明题，我们首先将文字语言转化成相应的几何语言，再根据题意画出相应的几何图形.己知：AO是△ABC的外角的平分线，AD//BC（如图）.求证：AB=AC.学生先思考.再分析.要证明AB=AC,可先证明ZB=ZC.接下来，可以找/B,ZC与/EAD,NCA。

13.3 等腰三角形（第2课时）教学内容等腰三角形的性质．教学过程一、导入新课思考：我们知道，如果一个三角形中有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？二、探究新知1．等腰三角形的判定定理让学生思考如何证明刚才的猜想，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤．证明：在△ABC中，∠B＝∠C（如图）．作∠BAC的平分线AD．在△BAD和△CAD中，∠1＝∠2，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（AAS）．∴AB＝AC．由此，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．2．判定定理的应用例2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC（如图）．求证：AB＝AC．分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C．∴AB＝AC（等角对等边）．3．作等腰三角形例3 已知等腰三角形底边边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法:（1）作线段AB＝a．（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．三、课堂小结1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解等腰三角形的尺规作图．四、课后作业习题13.3第2题．教学反思：。

《等腰三角形（第二课时）》教案对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.现在我们将学习另一种判定方法.问题1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？探究发现：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

问题2：探究所得结论中命题的题设和结论又分别是什么呢？ 如何证明这个命题？题设：一个三角形有两个角相等. 结论：这两个角所对的边相等.已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C. 求证：AB =AC.证法1：如图，作△ABC 的角平分线AD.在△BAD 和△CAD 中，{∠1=∠2,∠B =∠C,AD =AD,∴ △BAD ≌△CAD(AAS).∴ AB=AC.证法2：如图，作△ABC 的边BC 上的高AD. ∵ AD 是BC 边上的高， ∴ ∠ADB=∠ADC.在△BAD 和△CAD 中，{∠ADB =∠ADC,∠B =∠C,AD =AD, ∴ △BAD ≌△CAD(AAS). ∴ AB=AC.证法3：如图，作△ABC 的中线AD ，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E,F.在△DBE 和△DCF 中， {BD =DC,∠B =∠C,∠BED =∠CFD,∴ △DBE ≌△DCF(AAS), ∴ DE=DF.又DE ⊥AB,DF ⊥AC ，∴ ∠1＝∠2. 由∠B ＝∠C ，∠1=∠2,BD=CD, 得△ABD ≌△ACD(AAS), ∴ AB=AC. 总结：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).符号语言：∵ 在△ABC 中，∠B=∠C, ∴ AB=AC.思考：与等腰三角形的性质进行比较看有什么区别？ 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC. 求证：AB=AC. 证明：∵ AD ∥BC ，∴ ∠1=∠B( )， ∠2=∠C( ). 而已知∠1=∠2， ∴ ∠B=∠C.∴ AB=AC( ).例2 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高为h ，求作这个等腰三角形.思考作图步骤，教师再讲解规范作图方法.作法： 如图，2分钟2分钟2分钟课堂练习课堂小结布置作业(1)作线段AB=a；(2)作线段AB 的垂直平分线MN，与AB相交于点D；(3)在MN上取一点C，使DC=h；(4)连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.练习：已知：如图所示，AD∥BC，BD平分∠ABC，试判断△ABD的形状，并说明理由.解：△ABD是等腰三角形.理由：∵ AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.又∵ BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ADB=∠ABD，∴ AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.知识内容：等腰三角形的判定：定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).使用时注意是指同一个三角形中数学方法：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.比较等腰三角形的性质与判定：“等边对等角”与“等角对等边”，条件与结论是对调的，运用逆向思维观察和思考，可以提升自己的理性思维.1.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ C ）A．钝角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.36°，72°，△ABC、△DBA、△BCD.3.已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,∴AE=DE(等角对等边）,∴ △AED是等腰三角形.4.如图,上午10 时，一条船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°. 求从B处到灯塔C的距离.解：∵∠NBC=∠A+∠C，∴∠C=80°−40°= 40°，∴∠C = ∠A，∴ BA=BC（等角对等边）.∵AB=20×（12−10）=40(海里),∴BC=40 海里.答：B 处距离灯塔C 40海里.知能演练提升一、能力提升1.下列说法正确的是()A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.等腰三角形一边不可以是另一边的2倍D.等腰三角形的两个底角相等2.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=50°,则∠CAD的大小为()A.50°B.65°C.80°D.60°3.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE4.如图,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,若∠C=65°,则∠DBC的度数是()A.25°B.20°C.30°D.15°5.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1,l2于点B,C,连接AC,BC.若∠ABC=67°,则∠1的度数为.★6.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线l与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°,则∠B的度数是.7.如图,点D在△ABC的边AB上,且DC=DA=DB.求证:△ABC是直角三角形.二、创新应用★8.数学课上,张老师举了下面的例题:例1在等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2在等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°,70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一道题:变式在等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.知能演练·提升一、能力提升1.D2.B3.C4.D∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠C=50°.∵MN垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°.5.46°6.70°或20°分两种情况,如图.7.证明∵DC=DA,∴∠A=∠ACD.∵DC=DB,∴∠B=∠BCD.∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°,∴∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.二、创新应用8.解(1)当∠A为顶角时,∠B=50°;当∠A为底角时,若∠B为顶角,则∠B=20°,若∠B为底角,则∠B=80°.综上可知,∠B=50°,20°或80°.(2)分两种情况.①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,∠B的度数只有一个.②当0<x<90时,若∠A为顶角,则∠B=180°-x°2;若∠A为底角,则∠B=x°或180°-2x°,当180-x2≠180-2x,且180-x2≠x,且180-2x≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数.综合①②,知当0<x<90,且x≠60时,∠B有三个不同的度数.。

13.3.1等腰三角形（2）学习目标：1、知道等腰三角形的判定定理；2、能运用等腰三角形的判定定理进行简单的计算与证明学习重点：等腰三角形的判定方法学习难点：等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。

学习过程一、温故知新1．等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为20或222．等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为4,4或6,23．等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是70°，40°或55°，,55°4．等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是30°，,30°5．如图，在△ABC中，AB=AC，（1）若AD平分∠BAC，那么AD ⊥BC ，BD ＝CD（2）若BD＝CD，那么AD ⊥BC，∠BAD＝∠CAD（3）若AD⊥BC,那么BD ＝CD，∠BAD＝∠CAD6、思考：（1）如图，位于在海上A．B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）．简要说明理由。

【答案】能。

二、自主探究合作展示探究：等腰三角形的判定我们把上边的思考问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？1、用刻度尺量一量线段AO、BO的长，你有什么发现？2、猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等3、你能验证你的猜想吗？已知：在△AOB中，∠A=∠B求证：AO=BO证明：因为在△ABO中，∠A=∠B所以△ABO是等腰直角三角形所以AO=BO4、总结：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成：“等角对等边”）。

5、跟在训练：（1）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．6、小组讨论：等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？区别：联系：三、新知应用1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．（1）、已知：如图（2），∠ECA是△ABC的外角，∠1= ∠2 ，AD∥BC 求证：△ABC是等腰三角形．分析：要证明AB=AC，可先证明∠B= ∠A ，因为∠1= ∠2 ，所以可设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系．（2）、请同学们完整的写出解题过程证明：2、已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作这个等腰三角形.四、学习反思五、课堂检测1．已知三角形两角为50°和80°，则这个三角形是_______．2．下列命题为真命题的是（）．A.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行;B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C.顶角相等的两个等腰三角形全等D.等腰三角形是锐角三角形3．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）．A．顶角B．顶角的一半C．底角的一半D．底角的2倍参考答案：1.等腰三角形 2.A 3.B。

12.3.1等腰三角形（二）教学设计一、教材分析本课是人教版数学八年级上册第十二章第三节第二课时的内容，是学生在已有的全等的证明、命题、轴对称以及等腰三角形的性质基础上的进一步探究，等腰三角形的判定揭示了同一个三角形的边、角关系，与等腰三角形的性质定理互为逆定理，它为我们提供了证明两条线段相等的新方法，为以后的学习提供了新的证明和计算依据，是解题论证的必备知识，因此，本节内容至关重要。

二、学情分析学生在学习了全等的证明，轴对称及等腰三角形的性质的基础上，对等腰三角形已有了一定的了解和认识，会利用全等来证明边、角相等，为验证判定定理奠定了基础。

八年级学生观察、操作、猜想能力较强，但推理、归纳、运用数学的意识和思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、严密性、灵活性比较缺乏，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步的加强和引导。

三、教学目标（一）知识与能力：1、会阐述、推证等腰三角形的判定定理。

2、学会比较等腰三角形的性质定理与判定定理的联系与区别。

（二）过程与方法：通过学习等腰三角形的判定，进一步发展学生的抽象概括能力。

（三）情感、态度与价值观：经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值。

四、教学重点重点：等腰三角形的判定定理的探索和应用。

五、教学过程（一）情景导入（出示幻灯片）如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？AB在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边是什么关系？设计意图：由现实中的实际问题入手，设置问题情境，导入本课的主题，为学生提供参与活动的时间和空间，调动学生的主观能动性。

（二）出示学习目标（出示幻灯片）1、知道等腰三角形的判定方法并能简单运用。

2、通过探索等腰三角形的判定定理，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念。

重点：等腰三角形的判定定理及应用。

双塔初中 八 年级 数学 科 导学案 课题 《等腰三角形》第二课时 时间： 月 日 班 姓名：学习目标： 会证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式. 重难点：【教学重点】证明有关等腰三角形中相等的线段。

【教学难点】得出合作探究三的两个结论。

一、知识回顾（3分钟，提问3、4号学生,学法指导：学生独立完成，组长组织交流）等腰三角形的性质1、等腰三角形的两底角 。

简述为：____________________________.2、等腰三角形的顶角的_________、底边上的 、底边上的 互相重合。

(简称___________) 二、自主学习（用时10分钟,提问3号学生。

学法指导：独立完成，小组合作交流） 探究一 证明：等腰三角形两底角的平分线相等已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD=CE ． 证明：∵AB =AC ，∴∠ =∠ACB(等边对等角)． ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ABC， ∴∠1=∠2．在△BDC 和△CEB 中，∠ACB=∠ABC，BC= ，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)探究二 等腰三角形两腰上的中线相等吗？高相等吗？(如果相等，证明一个即可)三、合作探究（用时20分钟,学法指导：2号学生展示，其他人独立完成，小组合作交流） 探究三：在△ABC 中，AB==AC,点D ，E 分别在边AB 、AC 上.(1) 如果∠ABD = 31∠ABC ，∠ACE =31∠ACB ，那么BD=CE 吗?（如果相等，写出证明过程）(2) 如果∠ABD =41∠ABC ，∠ACE =41∠ACB 呢?（猜想）(3) 如果AD=12 AC ，AE=12 AB ，那么BD=CE 吗?（如果相等，写出证明过程） 如果AD=13 AC ，AE=13AB 呢?（猜想）结论(1)：___________________________________________________________________ 结论(2)：___________________________________________________________________ 探究四：证明定理：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.四、课堂小结(2分钟，提问3、4号学生) 五、当堂检测（15分钟，学法指导：写在学案背面，独立完成，教师批改1，2号，学生交流改正） 1、随堂练习12、练习册P5第11题 六、拓展提升（学法指导：课下小组合作交流完成。

等腰三角形第2课时导学案一、新课导入1.导入课题：上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题．2.学习目标：（1）会阐述、推证等腰三角形的判定定理．（2）会运用判定定理解决问题。

3.学习重、难点：重点：等腰三角形判定定理的灵活运用。

难点：会证明等腰三角形的判定定理。

二、分层学习第一层次学习1.自学指导（1）自学内容：P77页思考栏目到P78页例3上面部分。

（2）自学时间：5分钟。

（3）自学方法：经历“操作——猜想——归纳——结论”过程，熟练掌握等腰三角形的判定定理，并会运用定理解决问题。

（4）自学参考提纲：①在一个三角形中，如果具备两个角相等这个条件，那么它们所对的边有什么关系？结论：___________________________________________________________________。

②你能证明“等角对等边”这一结论吗？注意书写规范。

③将上述结论的文字语言改写成几何语言。

几何语言：2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：师助生：（1）明了学情：等腰三角形的知识，学生在小学已经接触过，理解起来并不是很难，重点了解学生是否掌握等腰三角形的系统知识。

（2）差异指导：引导学生回忆证明等量的常用方法是证明三角形全等，把今天的知识转化成已经学习过的知识。

生助生：学生间相互交流帮助解决认识疑难问题。

4. 强化：（1）交流学习成果：由学生代表回答问题，展示学习成果。

（2）总结：等腰三角形的判定方法：“等角对等边”；证明一个命题通常先根据这个命题画出图形，写出已知、求证，再进行证明。

实际解决问题时遇到三角形外角时，常常要考虑外角的两个特征：它与相邻的内角互补；它等于不相邻的两个内角的和。

第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：P78页例2、例3（2）自学时间：10分钟。

1.1 等腰三角形（二）
一、学习准备：
1. 请同学们作一个等腰三角形，在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？
(2)相等的线段有
(3) 你能证明你的结论吗？
二、学习目标：
1、掌握等腰三角形两腰上的三条重要线段之间的关系并能证明。

2、了解等边三角形的性质。

三、学习提示：阅读P5~6完成下列任务： 1，自主探究：
证明：等腰三角形两底角的平分线相等。

(图如右,) (1) 提问：你能结合图形写出已知、求证吗？并证明.
(2).上述过程证明等腰三角形两底角的平分线相等，等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？请你证明其中一种，并与同伴交流。

2，合作探究：
等边三角形是等腰三角形吗？ 。

那么等边三角形三个内角有有什么特征呢？ 定理：等边三角形的三个内角都 ，并且每个内角都等于 。

自己画图、写出已知、求证并证明。

C
3、练习
1.课本P6随堂练习1、2
四、学习小结：你有哪些收获？
五、夯实基础：
1，等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍，那么，它的底角的 度数是 。

2、如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，
求证：AE=CD
六、能力提升 1、如图，已知：在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，CE=CD ，DM ⊥BC 于M 。

求证：M 是BE 的中点。

作业：P4习题1.2---1、2、3 【评价反思】 ：
C M E。