高中数学 3.3.2函数的极值与导数课件 新人教版选修11

4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.

易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学 选修1-1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学 选修1-1
教
学
易
教
错
法 分 析
易
1．函数在
x＝a
点的函数值与这点附近的函数值有什么大
误 辨
析
教 小关系？
学
当
方 案
【提示】
函数在点 x＝a 的函数值比它在点 的函数值都小 .
达
标
课
前
2．f′(a)为多少？在点 x＝a 附近，函数的导数的符号有什
课 时
导
作
学 的形式给予检查和纠正．
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 选修1-1
教
学
易
教
错
法
易
分 析
误
本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点” 辨
析
教 学
的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，
当
方
堂
案 设
让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 选修1-1
教
学
易
教
错
法

第十八页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高 效
只需 4＋k<0 或－4＋k>0(如图所示) 或
即 k<－4 或 k>4. ∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).
第十九页，共25页。
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成落 实处
1.“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这
第十七页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
跟踪训练 3 若函数 f(x)＝2x3－6x＋k 在 R 上只有一个零点， 求常数 k 的取值范围. 解 f(x)＝2x3－6x＋k， 则 f′(x)＝6x2－6， 令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1， 可知 f(x)在(－1,1)上是减函数， f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数. f(x)的极大值为 f(－1)＝4＋k， f(x)的极小值为 f(1)＝－4＋k. 要使函数 f(x)只有一个零点，
点取得极值”的
(B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，
不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之成立.故选 B.
第二十页，共25页。
练一练·当堂(dānɡ tánɡ)检测、目标达成 落实处
2.下列函数存在极值的是 A.y＝1x
为极值.
2.求函数 y＝f(x)的极值的方法
解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时： (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是 极大值 . (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，那么

单调递减↘ -4 单调递增↗
因此(yīncǐ)，当x=-2时，f(x)有极大值， 并且极大值为f(-2)=28
当x=2时，f(x)有极小值， 并且(bìngqiě)极小值为f(2)=-4
第十二页，共22页。
图象(tú xiànɡ)如右
第十三页，共22页。
练习(liànxí)1、求函数f(x)=6+12x-x3 =12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)
单调递增
h(t) 0
单调递减
h(t) 0
第四页，共22页。
y
ab c
o
def
第五页，共22页。
gh x
对于d点
函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附
近其他点的函数值都小， f (d )=0 。 我们把点d叫做(jiàozuò)函数y=f(x)的极小值 点，
f在(d)点叫x做=d(j附iào近zu的ò)左函侧数y=f(x)的<0极小值。
在点 x=e 附近的左侧
>0
在点 x=e 附近的右侧
<0
第八页，共22页。
y
ab c
o
def
第九页，共22页。
gh x
极小值点、极大值点统称(tǒngchēng)为 极 极小值值点、极大值统称(tǒngchēng)为极值
极大值一定(yīdìng)大于极小值 吗？
第十页，共22页。
例1、求函数f(x)= x3-12x+12的极值(jízhí)。
f (2) 0, f (1) 0
第十七页，共22页。
f(x)=ax3+bx2-2x
=3ax2+2bx-2
即
12a 4b 2 0

1 3 的极值. 例1 求函数 f (x) = x − 4x + 4的极值 3 解: 1 3 ′(x) = x2 − 4. 因为 f (x) = x − 4x + 4, 所以 f 3 令 f ′(x) = 0, 解得 x = 2, 或 x = −2. 当 f ′(x) > 0 , 即 x > 2 , 或 x < −2 ; 当 f ′(x) < 0 , 即 − 2 < x < 2 .
导数为0的点不一定是极值点 • 2．导数为 的点不一定是极值点 导数为 的点不一定是极值点．
练习1 练习
下图是导函数 y 的图象, y = f ′(x) 的图象 试找出函数 y = f (x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. 的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点
y = f ′(x)
+
求导—求极点 列表 求导 求极点—列表 求极值 求极点 列表—求极值
x0
练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值
(1) f (x) = 6x − x − 2; (2) f (x) = x − 27x; 3 3 (3) f (x) = 6 +12x − x ; (4) f (x) = 3x − x . 解: 1 列表: (1) f ′(x) =12x −1, 令 f ′(x) = 0, 解得 x = . 列表 12
2 3
x
f ′(x)
f (x)
1 (−∞, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,+∞) 12 +
单调递减
49 − 24
单调递增
1 49 1 所以, 所以 当 x = 时, f (x)有极小值 f

教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
3.3.2
利用导数研究函数的极值
课 后 知 能 检 测
教 师 备 课 资 源
●三维目标 1.知识与技能 了解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件， 会利用导数 求函数的极大值和极小值，以及闭区间上函数的最大(小)值． 2．过程与方法
14 ∴f(x)极大值＝ ，f(x)极小值＝－6. 3
3 (2)函数 f(x)＝ ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， x 3 3 3x－1 f′(x)＝－ 2＋ ＝ ， 2 x x x 令 f′(x)＝0 得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (0,1) － 1 0 极小值 3 (1，＋∞) ＋
导函数
，则 f(x0)是极大值； ，则 f(x0)是极小值； ，则 f(x0)不
③如果在 f′(x)＝0 的根 x＝x0 的左右侧 符号不变 是极值．
函数f(x)在区间[a，b]上的最值
【问题导思】 1．如图，观察区间[a，b]上函数 f(x)的图象，你能找出它的极 大值、极小值吗？
【提示】 f(x1)，f(x3)，f(x5)是极小值，f(x2)，f(x4)是极大值．
2．在上图中，你能找出 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值 吗？
【提示】 函数 f(x)在[a， b]上的最小值是 f(x3)， 最大值是 f(b)．
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 假设在区间 [a，b]上函数 y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲 线，该函数在[a，b]上一定能够取得 最大值 和 最小值 ，若函数在
8 求函数 y＝2x＋ 的极值． x

当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,0) (0,2)
f′(x)
＋
0
－
－
极大值－ f(x)
8
因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值－8；
当 x＝2 时，f(x)有极小值 8.
2 (2，＋∞)
0
＋
极小值 8
第十一页，共39页。
②函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1， 令 f′(x)＝0，得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
第十七页，共39页。
已知函数的极值求参数范围(值)
已知函数 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 处有极值 0，求 a，b
的值.
【导学号：26160087】
【精彩点拨】 f(x)在 x＝－1 处有极值 0 有两方面的含义：一方面 x＝－1
为极值点，另一方面极值为 0，由此可得 f′(－1)＝0，f(－1)＝0. 【自主解答】 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b 且函数 f(x)在 x＝－1 处有极值 0，
第二十一页，共39页。
(2)已知函数 f(x)＝ax3＋bx2，当 x＝1 时，有极大值 3. ①求 a，b 的值； ②求函数 f(x)的极小值． 【解】 ①∵当 x＝1 时，函数有极大值 3， ∴ff′1＝13＝，0， ∴3aa＋＋b2＝b＝ 3，0， 解之，得 a＝－6，b＝9. 经检验知 a＝－6，b＝9 符合题意．
x (－∞，－1) －1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0

五、课堂小结:
1、极值的定义。 2、判定极值的方法。 3、求极值的步骤。
思想方法总结： 观察、转化、数形结合。
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
心
安
；
书
一
笔
清
远
，
盈
一
抹
恬
淡
，
浮
华
三
千
，
只
做
自
己
；
人
间
有
情
，
心
中
有
爱
，
携
一
米
阳
光
，
微
笑
向
暖
。
口
罗
不
是
。
–
■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
正
式
给
人
一
种
威
严
感
。
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我

择决定命运，环境造就人生！

明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选

(3)如果f ′(x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函 数f(x)的极值．
第二十一页，共43页。
2．利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域． (2)求导数f ′(x)． (3)解方程f ′(x)＝0得方程的根． (4)利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列 表，判定导函数在各个小开区间的符号． (5)确定函数的极值，如果(rúguǒ)f ′(x)的符号在x0处由正(负) 变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
上)．
第三十二页，共43页。
[分析] 给出了y＝f′(x)的图象(tú xiànɡ)，应观察图象(tú xiànɡ)找出使f ′(x)>0与f ′(x)<0的x的取值范围，并区分f ′(x)的符 号由正到负和由负到正，再做判断．
[ 解 析 ] 由 f ′(x) 的 图 象 可 见 在 －∞，－32 和 (2,4) 上 f′(x)<0，f(x)单调减，在－32，2和(4，＋∞)上 f ′(x)>0，f(x) 单调增，∴只有③正确．
第二十页，共43页。
[方法规律总结(zǒngjié)] 1.当函数f(x)在点x0处连续时，判 断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是 极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是 极小值；
第二十四页，共43页。
(2)令 f′(x)＝0，得 x＝－3 或 x＝1.
当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)