1.3.2函数的极值与导数(完美版)ppt课件

3 (a (2) f ( x）＝ ax + 2bx + c ≠ 0)
/ 2
f (1) = a + b + c = 5
{
.
f / (1) = 3a + 2b + c = 0 f / (2) = 12a + 4b + c＝0
a = 2, b = −9, c = 12
注意： 注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
1 3 x -4x+4 3
+
-
28 3
o -2
4 − 3
2 + x
求可导函数f(x)极值的 步骤： 极值的 步骤： 求可导函数
(1) 确定函数的定义域； 确定函数的定义域 (2)求导数 ’(x)； 求导数f 求导数 ； (3)求方程 ’(x）=0的根； 求方程f 的根； 求方程 ） 的根 (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 把定义域划分为部分区间 把定义域划分为部分区间， 检查f 在方程根左右的符号—— 检查 ’(x)在方程根左右的符号 在方程根左右的符号 •如果左正右负（+ ~ -）， 如果左正右负 如果左正右负（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 在这个根处取得极大 那么 在这个根处取得极 •如果左负右正（- ~ +）， 如果左负右正 如果左负右正（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； 在这个根处取得极小 那么 在这个根处取得极
28 3
(-2,2) ↘
2 0
极小值 − 4
3
(2,+∞) ∞ + ↗
28 因此,当 时有极大值,并且 因此 当x=-2时有极大值 并且 极大值= 3 ; 时有极大值 并且,y 4 时有极小值,并且 而,当x=2时有极小值 并且 极小值= − 3 . 当 时有极小值 并且,y

不是该函数的极值点.
Ox f (x)x3
f(x0) =0
x0 是可导函数f(x)的极值点
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的（必要不充分）条件
f(x0) =0
x0左右侧导数异号
x0 是函数f(x) 的极值点
判断下面4个命题，其中是真命题序号为
。
①可导函数必有极值；
②可导函数在极值点的导数一定等于零；
问题2：极大值一定大于极小值吗？ 问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具 有唯一性吗？
问题4：区间的端点能成为极值点吗？ 问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？
【极值点、极值概念的理解】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况;
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值； 若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。
下图是函数y=f (x)的图象,试找出它的极值点,并指出哪些是极大 值点,哪些是极小值点.
若上图是导函数y=f (x)的图象,试找出函数y=f(x)的极大值点和 极小值点.
③函数的极小值一定小于极大值
（设极小值、极大值都存在）；
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。
题型一 不含参数的函数求极值
求函数f ( x) 1 x3 4x 4 的极值． 3 令 ，解得
当x变化时，y, y 的变化情况如下表：
x
y
y
28
4
3
3
当x 当x
时，y有极大值，并且 y极大值 时，y有极小值，并且 y极小值

• 解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0， • 当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，
因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极 值．
• [点评] (1)f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处 有极值的必要条件而不是充分条件，如果 再加上x0附近导数的符号相反，才能判定 在x＝x0处取得极值．
• [解析] (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， • 当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0， • ∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋
∞)．
当 a>0 时，由 f′(x)>0 解得 x<－ a或 x> a；
由 f′(x)<0 解得－ a<x< a，
∴当 a>0 时，f(x)的单调增区间为(－∞，－ a)，( a，
＝－2，无极小值； • 当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值； • 当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)
＝－6，无极大值； • 当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． • 综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小
值；
• 当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值； • 当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．
• [解析] f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)． • 由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b， • 于是f′(x)＝5ax2(x2－1) • (1)当a＞0时，
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
y ′
＋

知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：

复习课件
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C

课后课时精练
[解] (1)函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1，
令 f′(x)＝0 得 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x) －
0
＋
f(x)
极小值 3
因此当 x＝1 时，f(x)有极小值，并且 f(1)＝3.
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答案
拓展提升 求函数极值的方法
一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法是：解方程 f′(x)＝0，设解为 x0， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．
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Hale Waihona Puke 随堂达标自测课后课时精练
注意：如果在 x0 附近的两侧 f′(x)符号相同，则 x0 不是函数 f(x)的极值 点．例如，对于函数 f(x)＝x3，我们有 f′(x)＝3x2.虽然 f′(0)＝0，但由于无 论是 x>0，还是 x<0，恒有 f′(x)>0，即函数 f(x)＝x3 是单调递增的，所以 x ＝0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点．一般地，函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0 是 函数 y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．
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答案
[条件探究] 若将本例(2)中 a>0 改为 a<0，结果会怎样？

一般地, 求函数y = f x 的极值的方法是:
解方程f x = 0.当f x 0 = 0 时 : （1 ） 如果在x 0附近的左侧f x > 0,右侧f x < 0, 那么f x 0 是极大值;
还记得高台跳水的例子吗？
h
最高点
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
o
a
t
2.跳水运动员在最高处附近的情况： 在 t=a 附近， h(t) 先增后减， ′(t)先正后负， 那么下面图象的最高点 h（h a）代表什么意义呢？ (1) 当 t=a 时运动员距水面高度最大， (2) 当 t<a 时 h(t) 的单调性是怎样的呢？ 导数的符号有什么变化规律？ (3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢？ h这就是本节课研究的重点 ′(t)连续变化，于是有 h ′(a)=0,f(a) 最大. ——函数的极值 h(t) 在此点的导数是多少呢？
y
y f x
y
y f x
a o b
x
c d
e
o
f
g
h
x
图3.3 -10
图3.3 - 11
以a,b两点为例,我们可以发现, 函数 y = f x 在 点x = a的函数值f a 比它在点 x = a 附近其他 点的函数值都小 , f a = 0;而且在点 x = a 附 近的左侧f x < 0,右侧f x > 0.
2 当 f ' x < 0 ,即 - 2 < x < 2 时 .
当 x 变 化 时 ,f ' x ,f x 的 变 化 情 况 如 下 表 :

极大值和极小值是极值的 两种分类，取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！

重难聚焦
(6)若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数, 即在某区间内单调的函数没有极值.
(7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的散布是有规 律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极 小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且 有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交 替出现的.
错因分析:函数在一点处的导数值为0是函数在这点取得极值的 必要条件,而非充分条件.错解中忽略了对得出的两组解进行检验 而出错.一般地,根据极值条件求参数值的问题时,在得到参数的两 组解后,应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验, 考察每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值,从而进行取 舍.
知识梳理
【做一做 2-2】 函数 y=2-x2-x3 的极值情况是( )
A.有极大值,没有极小值
B.有极小值,没有极大值
C.既无极大值也无极小值
D.既有极大值也有极小值
解析:y'=-2x-3x2,令 y'=0,
得
x1=−
2 3
,
x2
=
0.
当x<−
2 3
时,y'<0;
当
−
2 3
<
x
<
0
时,y'>0;当
重难聚焦
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值 也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也 不一定比极大值小.如图所示.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极 值点.

A、a 3, b 3或a 4, b 11 B、a 4, b 1或a 4, b 11
C、a 4, b 11
D、以上 都不 对
解:由题设条件得：
f f
(1) 10 '(1) 0
1 a b a2 10
3 2a b 0
解之得
a3 b 3
或， ab
4 11
注意代
f'(x) +
0
-
f(x) ↗ 极大值-2a ↘
-
0
+
↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x) 有极小值f(a)=2a.
练习2、求函数y 6x 的极值 1 x2
解：
y
1
6x x2
，
y
6(1 x2 ) (1 x 2 )2
.
令y 0，解得x1 1，x2 1
因此，当x=-1时函数取得极大值，且极大值为f(-1)=10;当 x=3时函数取得极小值，且极小值为f(3)=-22
(2)函数f ( x) ln x 的定义域为(0, )，且f '( x) 1 ln x
x
x2
令f '( x) 0，得x e
当x变化时，f '( x)与f ( x)的变化情况如下表：
故f(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上递增，在(1,2)上递 减，因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1
O
1
(2)∵ f '( x)＝3ax2 2bx c
2x
由f '(1) 0，f '(2) 0，f (1) 5得
3a 2b c 0
12a 4b c 0,解得a 2,b 9,c 12