2019年高考数学一轮复习 专题07 二次函数与幂函数押题专练 理

2019年高考数学（理）一轮复习精品课时练习课时达标检测（七） 二次函数与幂函数[小题对点练——点点落实]对点练(一) 幂函数1．函数y ＝x 13的图象是( )解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0<α<1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ，又其图象上凸，则排除C ，故选B.2.图中C 1，C 2，C 3为三个幂函数y ＝x k 在第一象限内的图象，则解析式中指数k 的值依次可以是( )A ．－1，12，3B ．－1,3，12C.12，－1,3 D.12，3，－1 解析：选A 根据幂函数图象的规律知，选A.3．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－5m ＋7)x m 的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－5m ＋7)x m 的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋7＝1，2m ＝4，解得m ＝2.故选D.4．(2018·云南曲靖一中月考)已知幂函数f (x )＝x n 的图象过点⎝⎛⎭⎫8，14，且f (a ＋1)<f (2)，则a 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选B 因为幂函数f (x )＝x n 的图象过点⎝⎛⎭⎫8，14，所以8n ＝14，即23n ＝2－2，解得n ＝－23.因此f (x )＝x －23是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f (a＋1)<f (2)得|a ＋1|>2，解得a <－3或a >1.故选B.5．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D ∵y ＝x 23(x >0)是增函数，∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523.∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数， ∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，∴b <a <c . 6．(2018·陕西黄陵中学月考)若幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x 2--2m m 的图象不经过坐标原点，则实数m 的值为________．解析：由于函数f (x )为幂函数，故m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x 0不经过原点；当m ＝1时，f (x )＝x －2不经过原点，故m ＝1或m ＝2.答案：1或2对点练(二) 二次函数1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝12(x －3)2C ．y ＝12(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y＝14(x－3)2.2．(2018·郑州模拟)若函数f(x)＝dax2＋bx＋c(a，b，c，d∈R)的图象如图所示，则a∶b∶c∶d＝()A．1∶6∶5∶8 B．1∶6∶5∶(－8)C．1∶(－6)∶5∶8 D．1∶(－6)∶5∶(－8)解析：选D由图象可知，x≠1,5，所以ax2＋bx＋c＝k(x－1)(x－5)，所以a＝k，b＝－6k，c＝5k，根据图象可得当x＝3时，y＝2，所以d＝－8k，所以a∶b∶c∶d＝1∶(－6)∶5∶(－8)．3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1,11)，且其对称轴是x＝1，则a＋b的值是()A．－2 B．0C．1 D．2解析：选A因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是x＝1，所以－b2a＝1，又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A.4.(2018·山东济南模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则()A．p>qB．p＝qC．p<qD．以上都有可能解析：选C因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，经过原点且对称轴在x＝1的右侧，故a<0，－b2a>1，c＝0，所以b>0,2a＋b>0,2a－b<0.又当x＝－1时，y＝a －b＋c<0，当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，所以p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|＝－a＋b－c＋2a＋b＝a＋2b －c ，q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |＝a ＋b ＋c －2a ＋b ＝－a ＋2b ＋c ，所以p －q ＝2(a －c )＝2a <0，所以p <q .5．已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ，若对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，则f (－2)，f (4)，f (5)的大小关系为( )A ．f (5)>f (－2)>f (4)B ．f (4)>f (5)>f (－2)C ．f (4)>f (－2)>f (5)D ．f (－2)>f (4)>f (5)解析：选B 因为对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t )，所以函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象关于直线x ＝4对称，所以f (－2)＝f (10)，又函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象开口向下，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f (4)>f (5)>f (10)，即f (4)>f (5)>f (－2)．6．(2018·西安八校联考)若函数f (x )＝x 2－2x ＋m (x ∈R )有两个不同的零点，且f (1－x )≥－1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选B 因为函数f (x )＝x 2－2x ＋m (x ∈R )有两个不同的零点，所以方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不同的实根，所以Δ>0,4－4m >0，m <1.因为f (1－x )≥－1恒成立，所以(1－x )2－2(1－x )＋m ≥－1恒成立，所以x 2＋m ≥0恒成立，所以m ≥0，所以m ∈[0,1)．7．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其中b >0，若f (x )的值域为[0，＋∞)，则f (1)b 的最小值为________．解析：∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ＝0，∴c ＝b 24a .∵f (1)＝a ＋b ＋c ，∴f (1)b ＝1＋a ＋c b ＝1＋a ＋b 24a b ＝1＋4a 2＋b 24ab ≥1＋24a 2b 24ab ＝2，当且仅当4a 2＝b 2时等号成立， ∴f (1)b 的最小值为2.答案：28．(2018·福建莆田模拟)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1满足f (－x )＝f (x ＋1)，若存在实数t ，使得对任意实数x ∈[1，m ]，都有f (x ＋t )≤x 成立，则实数m 的最大值为________．解析：函数f (x )＝x 2＋bx ＋1满足f (－x )＝f (x ＋1)，则f (x )图象的对称轴为x ＝12，则－b 2＝12，解得b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1，由f (x ＋t )≤x 得(x ＋t )2－(x ＋t )＋1≤x ，即(x ＋t －1)2≤－t (t ≤0)，∴1－t －－t ≤x ≤1－t ＋－t ，由题意可得1－t －－t ≤1，解得－1≤t ≤0，令y ＝1－t ＋－t ＝⎝⎛⎭⎫－t ＋122＋34，可得1≤y ≤3，∴m ≤3，可得m 的最大值为3.答案：3[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围． 解：(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调递减区间为(－∞，－1]，单调递增区间为[－1，＋∞)． (2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．3．(2018·宁夏育才中学月考)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R . (1)若函数f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[a ，a ＋1]上的最大值为3，求a 的值． 解：(1)由Δ＝16－4(a ＋3)≥0，得a ≤1. 故实数a 的取值范围是(－∞，1]． (2)f (x )＝(x －2)2＋a －1.当a ＋1<2，即a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3， 解得a ＝0，a ＝3(舍去)； 当a ＋1>2，a ＋a ＋12≤2，即1≤a ≤32时，f (x )max ＝f (a )＝3，解得a ＝0或3(均舍)；当a ≤2，a ＋a ＋12>2，即32<a ≤2时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3， 解得a ＝1±132(均舍)．当a >2时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3， 解得a ＝1＋132，a ＝1－132(舍去)．综上，a ＝0或a ＝1＋132.。

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。

专题二次函数与幂函数（押题专练）年高考数学（理）一轮复习精品资料．如果函数()＝－－在区间(－∞，]上单调递减，则实数满足的条件是( )．≤．≥．≥－．≥答案解析函数图象的对称轴为＝，由题意得≥，解得≥.．函数()＝(－－)是幂函数，且在∈(，＋∞)上为增函数，则实数的值是( )．－．．－或．答案解析()＝ (－－)是幂函数⇒－－＝⇒＝－或＝.又在∈(，＋∞)上是增函数，所以＝.．设函数()＝＋＋(>)，且()<，则( )．(＋)≤．(＋)≥．(＋)<．(＋)>答案．若函数()＝－－在区间上的最大值为，则实数等于( )．．－．．－答案．二次函数()的图象经过点，且′()＝－－，则不等式()>的解集为( )．(－)．(－)．(－∞，)答案解析由题意设()＝＋＋(≠)，则′()＝＋，∵′()＝－－，∴(\\(＝－，＝－，))∴(\\(＝－()，＝－，))∴()＝－－＋，令()>，得－<<，∵>，∴不等式()>可化为<<，∴<，故选.．对于任意实数，函数()＝(－)－＋＋恒为正值，则的取值范围是．答案(－)解析由题意得(\\(－>，－－((＋<，))解得－<<.．当<<时，函数()＝，()＝，()＝－的大小关系是．答案()>()>()解析如图所示为函数()，()，()在()上的图象，由此可知，()>()>()．．已知函数()＝－＋＋的定义域为，值域为时，()＝()－是单调函数，求实数的取值范围．。

专题07 二次函数与幂函数1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2解析 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f (2)＝2－12＝22.答案C2．若函数f (x )是幂函数，且满足ff ＝3，则f (12)的值为( )A ．－3B ．－13C ．3D.13解析 设f (x )＝x α，则由ff＝3，得4α2α＝3.∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝13.答案D3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a－1＝－b 2＋4b －3⇔e a＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2. 答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3. 答案 A5 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b2a对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642. 答案 D6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．67．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________．解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案 ①②⑤⑥8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案 a >0，ac ＝49．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数， ∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，5210．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________．解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0，2m <－m ＋，2m <－4，－m ＋或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－m ＋m ，2m <1，－m ＋－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2)11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )． 12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 解(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．解 不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2x2，设g (x )＝2x －2x2，x ∈(1,4)，则g ′(x )＝2x 2－x －xx 4＝－2x 2＋4x x4＝－2x x －x4，当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，g (x )≤g (2)＝12，由已知条件a >12，因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2. (2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q－(2－3q )＝q －24q≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．。

课时达标 第7讲[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等．一、选择题1．(2018·河南南阳模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x a 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋a ＝( C )A ．12B ．1C ．32D ．2解析 因为f (x )＝k ·x a 是幂函数，所以k ＝1．又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12a ＝22，所以a ＝12，所以k ＋a ＝1＋12＝32.2．(2018·天津模拟)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的符号为( B )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0解析 由题意知，抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac <0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b2a>0，所以b >0.3．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，3] C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ，所以3－a ≤0，解得a ≥3，故选D ．4．对于幂函数f (x )＝x 4，若0<x 1<x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22和f (x 1)＋f (x 2)2的大小关系是( B ) A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2 B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2 C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2 D ．无法确定解析 根据幂函数的性质：当0<x <1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B 项正确．5．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( C )A ．f (m ＋1)≥0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0解析 因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0，故选C ．6．(2017·山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( B )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝ m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B ． 二、填空题7．已知函数f (x )＝x 34，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ . 解析 f (x )＝x 34在定义域[0，＋∞)上是递增的， 由f (2x －1)<f (3x )，得0≤2x －1<3x ，所以x ≥12.8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为 f (x )＝12(x －2)2－1 .解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，又其图象过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12，∴f (x )＝12(x －2)2－1．9．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是__[－5，－2]__.解析 由题意得函数f (x )在[－2,2]上的值域A 为函数g (x )在[－2,2]上的值域B 的子集，又当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]，所以当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3,0)，而f (0)＝0，因此A ＝[－3,3]．由二次函数性质知B ＝[m －1,8＋m ]，从而⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤－3，8＋m ≥3，解得－5≤m ≤－2. 三、解答题10．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．解析 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2， ∴可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b . ∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4， ∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)． 又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，2a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴f (x )＝12(x ＋2)2－2.11．(2018·山东德州月考)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．12．(2018·河北唐山调研)设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，x ∈R .求f (x )的最小值． 解析 (1)①当x ≤a 时，函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34. 若a ≤12，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1；若a >12，则函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a ，且f ⎝⎛⎭⎫12≤f (a )． ②当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34. 若a ≤－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a ，且f ⎝⎛⎭⎫－12≤f (a )； 若a >－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1．综上，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧34－a ，a ≤－12，a 2＋1，－12<a ≤12，a ＋34，a >12.。

第四节二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a .( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.3B.±3 C ．±9D.9D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝12.所以f (x )＝x ＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 C [由题意知⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0，即⎩⎨⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.]4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R )零点的个数是( )A ．0 B.1 C.2D.4C [因为判别式Δ＝b 2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.] 5．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________.【导学号：01772037】y ＝－x 2＋2x ＋8 [设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1， 当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8.]f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【导学号：01772038】[解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). 2分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，8分解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 12分 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. 3分∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 8分∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 12分法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，2分 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 6分又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 12分[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下[变式训练1] 已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．[解] ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2. 2分 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3. 6分设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1. 10分∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 12分☞角度(1)设abc ＞0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )A B C D(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错误．(2)作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎨⎧f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎨⎧m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0.] ☞角度2 二次函数的最值问题(1)(2017·广西一模)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4 B.－3 C ．－1D.0(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( )【导学号：01772039】A ．2 B.－1或－3 C ．2或－3D.－1或2(1)A (2)D [(1)x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 55－1⇒2x ≥15， 令t ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，当t ＝1≥15，即x ＝0时，f (x )取得最小值－4.故选A.(2)函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0＜a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52.∵0＜a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a ＞1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.] ☞角度3 二次函数中的恒成立问题已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．[解] 由题意知2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3＜0，适合； 当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16. 4分因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12. 10分 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 12分 [规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )A B C D(2)已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m 的值为________．(1)C (2)1 [(1)令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12， ∴f (x )＝x 12.(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. 又m ∈N *，∴m ＝1或m ＝2. 由于f (x )的图象关于y 轴对称． ∴m 2－2m －3的值应为偶数， 又当m ＝2时，m 2－2m －3为奇数， ∴m ＝2舍去．因此m ＝1.][规律方法] 1.幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.[变式训练2] (1)设a ＝0.5，b ＝0.9，c ＝log 50.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞b B.c ＞a ＞b C ．a ＞b ＞cD.b ＞a ＞c(2)若(a ＋1) ＜(3－2a ) ，则实数a 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [(1)a ＝0.5＝0.25，b ＝0.9，所以根据幂函数的性质知b ＞a ＞0，而c ＝log 50.3＜0，所以b ＞a ＞c .(2)易知函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.][思想与方法]1．二次函数的三种形式的选法 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便．2．研究二次函数的性质要注意 (1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论． 3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．4．幂函数y ＝x α(α∈R )图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． [易错与防范]1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要分a ＝0，a ≠0两种情况讨论．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．第五节 指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a .(3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)(－1)＝(－1)＝－1.()(3)函数y＝2x－1是指数函数．()(4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为()A．－9 B.7C．－10 D.9B[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]3．函数y＝a x－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是()【导学号：01772044】A B C DC[法一：令y＝a x－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a＞1时，y＝a x－a是由y＝a x向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D都不合适；当0＜a＜1时，y＝a x－a是由y＝a x向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.]4．(教材改编)已知0.2m＜0.2n，则m________n(填“＞”或“＜”)．＞[设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)＜f(n)，∴m＞n.]5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．(1,2)[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]化简求值：[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [变式训练1] 化简求值：[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45. 6分(1)(2017·郑州模拟)定义运算a b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则函数f (x )＝12x 的图象是( )(2)若曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围． (1)A [因为当x ≤0时，2x ≤1； 当x ＞0时，2x ＞1.则f (x )＝1 2x＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x ＞0，故选A.](2)曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，8分则b 的取值范围是(0,1).12分[规律方法] 指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.图2-5-1[变式训练2] (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图2-5-1，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()【导学号：01772045】A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．(1)D(2)1[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]☞角度1(2)(2016·浙江高考)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()A．若f(a)≤|b|，则a≤bB．若f(a)≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b|，则a≥bD．若f(a)≥2b，则a≥b(1)A(2)B∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .(2)∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .若f (a )≤2b ，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a ，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.]☞角度2 解简单的指数方程或不等式(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______．{x |－1＜x ＜2}()或(－1，2) [∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.] ☞角度3 探究指数型函数的性质已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 则g (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，2分在区间[－2，＋∞)上单调递减，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，因此f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).4分 (2)由f (x )有最大值3知，ax 2－4x ＋3有最小值－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1. 8分(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 12分[规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．[思想与方法]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．[易错与防范]1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况分类讨论．2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．。

专题07二次函数与幂函数一、【知识精讲】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，此中x是自变量，α为常数.(2)常有的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递加；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数分析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).极点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，极点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)( (2)二次函数的图象和性质函数图象(抛物线)定义域值域对称轴x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R4ac－b2，＋∞－∞，4ac－b2 4a 4abx＝－2ab 4ac －b 2极点坐标－ 2 ， 4aa奇偶性当b ＝0时是偶函数，当 b ≠0时是非奇非偶函数bb单调性在－∞，－2a 上是减函数；在－∞，－2a 上是增函数；bb在－2a ，＋∞上是增函数在－2a ，＋∞上是减函数[微点提示]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的张口方向和对称轴及给定区间的范围相关.2. 若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当a >0，<0二、【典例精练】考点一幂函数的图象和性质【例1】(1)幂函数y ＝f (x )的图象经过点A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数a <0，时恒有f (x )>0，当时，恒有f (x )<0.<03(3，3)，则f (x )是( )B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数22113 13 13(2)若a ＝2，b ＝ 5，c ＝2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.<<B. <<abccabC.<<aD.<<bcbac【答案】(1)C(2)D(1)设f (x )＝x α，将点(3，31【分析】(1)3)代入f (x )＝x α，解得α＝1，所以f (x )＝x 3，可知函数f (x )3是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，应选C.22x21 1 1(2)因为y ＝x 在第一象限内是增函数，所以a ＝ 3>b ＝ 是减函数，2 3，因为y ＝235211所以a ＝13，所以b <a <c .3<c ＝2 2【解法小结】1.关于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个地域，即x ＝1， y ＝1，y ＝x 所分地域.依据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确立地址后，其他象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，一定结合幂值的特色，选择合适的函数，借助其单调性进行比较.考点二二次函数的分析式【例2】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确立该二次函数的解 析式.【分析】法一(利用“一般式”解题)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).4a ＋2b ＋c ＝－1，a －＋ ＝－1，a ＝－4，解得b ＝4，由题意得4ac －b 2c ＝7.＝8，4a∴所求二次函数的分析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二 (利用“极点式”解题 )设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2) ＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为 x ＝ 2＋（－1） 1 12＝，所以 ＝.2 m 2又依据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，12所以y ＝f (x )＝ax －＋8. 212因为f (2) ＝－1，所以a＋8＝－1，解得a ＝－4，2－2x －1 2所以f (x ) ＝－ 4 ＋＝－ 4x 2＋ 4x ＋7.28法三 (利用“零点式”解题 )由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.4(－2 a －1)－(－)2又函数有最大值8，即 4a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的分析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解法小结】求二次函数的分析式，一般用待定系数法，其要点是依据已知条件恰当选择二次函数分析 式的形式，一般选择规律以下：考点三二次函数的图象及应用【例3】(1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )(2)(2017·浙江卷)若函数f (x)＝x2＋＋b在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则－( ) ax M m MmA.与a相关，且与b相关B.与a相关，但与b没关C.与a没关，且与b没关D.与a没关，但与b相关【答案】(1)A(2)B【分析】(1)若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x张口向下，其图象的对称轴在y轴左边，消除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象张口向上，且对称轴在y轴右边，所以B项不正确，只有选项A满足.(2)设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则2 2＋ax2＋b. m＝x1＋ax1 ＋b，M＝x22 2∴M－m＝x2－x1＋a(x2－x1)，明显此值与a相关，与b没关.【解法小结】1.研究二次函数图象应从“三点一线一张口”进行分析，“三点”中有一个点是极点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的张口方向.2.求解与二次函数相关的不等式问题，可借助二次函数的图象特色，分析不等关系成立的条件.考点四二次函数的性质角度1二次函数的单调性与最值【例4－1】(1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2) 设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．【答案】 (1)－1或2(2)[0,2]【分析】(1)函数 f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )2max＝a －a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2 －a －1＝0，所以a ＝1±5(舍去)．2当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.(2)依题意a ≠0，二次函数 f (x )＝ax 2－2ax ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，因为函数f (x )在区间[0,1] 上单调递减，所以>0，即函数图象的张口向上，所以f(0)＝ (2)，则当f ( )≤(0)时，有0≤≤2.afm fm角度2 二次函数的恒成立问题【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若关于任意 x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数 m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则 k 的取值范围为________．【答案】(1)2(2)( －∞，1)－2，0【分析】 (1)作出二次函数f ( x )的草图以以下图，关于任意x∈[，＋1] ，都有 f (x )<0，mm则有1 0 0221 0即211 0 12解得－2<m <0.(2) 由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)．【解法小结】1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点， 一轴指的是对称轴，结合配方法，依据函数的单调性及分类谈论的思想求解. 2. 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及要点(1) 一般有两个解题思路：一是分别参数；二是不分别参数.(2) 两种思路都是将问题归纳为求函数的最值，至于用哪一种方法，要点是看参数能否已分别.这两个思路的依照是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.【思想升华】1.幂函数y＝xα的性质和图象，因为α的取值不一样而比较复杂，一般可从三方面观察：(1)α的正负：α>0时图象经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时图象但是(0，0)点，经过(1，1)点，在第一象限的部分“降落”；(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再依据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2.求二次函数的分析式就是确立函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应依据题设条件采纳合适的表达形式，用待定系数法确立相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式亲近相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式相关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴密切相连，二次函数的最值问题要依据其图象以及所给区间与对称轴的关系确立.【易错注意点】1.幂函数的图象必定会出此刻第一象限内，必定不会出此刻第四象限，至于能否出此刻第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只好同时出此刻两个象限内；假如幂函数图象与坐标轴订交，则交点必定是原点.2.关于函数y＝ax2＋bx＋c，要以为它是二次函数，就一定满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要谈论a＝0和a≠0两种状况.三、【名校新题】1.(2019( )·济宁联考)以下命题正确的选项是A.y＝x0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数D.幂函数的图象不行能出此刻第四象限【答案】D【分析】A中，点(0，1)不在直线上，A错；B中，y＝xα，当α<0时，图象但是原点，B错；C中，当α<0时，y ＝x α在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，C 错.幂函数图象必定过第一象限，必定但是第四象限，D 正确.2.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数 a ，使得 f ( x )＝ ( － )对定义域上任意的 x 恒成立，则函数 f ( x )f ax可能是()A.f (x )＝x 2－2x ＋1B.f (x )＝x 2－1xD.f (x )＝2x ＋1C.f (x )＝2 【答案】A【分析】由存在非零的实数 ，使得 f ( x )＝ f ( a － )对定义域上任意的 x 恒成立，可得函数图象的对称轴a x为xaf ( x )＝x 2－2 ＋1 关于 x ＝1 对称.＝≠0.只有选项A 中，2x3.(2019·杭州模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( )55A.4B ．1或455C ．－1或4D ．－5或4【答案】D【分析】 f ( x)＝－4x －a 2－4 ，对称轴为直线x ＝a.2a2a①当2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递加， ∴ f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．aa②当0<2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f 2＝－4a .5令－4a ＝－5，得a ＝4.a③当2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上单调递减， ∴ f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，得a ＝－5或a ＝1(舍去)．5综上所述，a ＝4或－5.4.(2019·安阳模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为 ( )A.1B.0C.－1D.2【答案】A【分析】f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4， ∴函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递加， ∴当x ＝0时，f (x )获得最小值，当 x ＝1时，f (x )获得最大值，∴f (0)＝a ＝－2，f (1)＝3＋a ＝3－2＝1.5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x3m －m 2(m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3【答案】C|m －1|>0，【分析】由题意可得2解得＝3m －m >0，m 2.∈Z ，m2m6.(2019·巢湖月考 x 在(0 ，＋∞)上单调递减，则p 是q 的())已知p ：|m ＋1|<1，q ：幂函数y ＝(m －m －1) A.充分不用要条件 B.必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件【答案】B【分析】 p ：由|m ＋1|<1得－2<m <0，∵幂函数 y ＝(2－－1)m在(0，＋∞)上单调递减，m mx∴2－－1＝1，且<0，解得＝－1.mm mm∴p 是q 的必需不充分条件.7.(2019·武汉模拟)幂函数y ＝x α，当α取不一样的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组漂亮的曲线 (如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被此中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三均分，即1有BM ＝MN ＝NA ，那么a －b ＝()1A.0B.1C.2D.2【答案】【分析】BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1) ，122 1所以M 3，3，N 3，3，将两点坐标分别代入＝a，＝ b2 11 21＝0.y x x ，得＝log 1， b＝log 2，∴a －＝log1－ya33b1log 2338.（2019济南统考）若函数 y=2的定义域为0，值域为2，则m 的取值范围是（）A.0B.2C.2∞D.2【答案】D【分析】y=22 2,函数在0，∞单调增，且x=时，2 ,x=0时，2 2 内单调减，在22y=-4, 由二次函数的对称性知： x=3时，y=-4. 故依据已知函数值域，所求219.(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x 2 ，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．【答案】(3,5)1【分析】由题意得，幂函数f (x )＝x －2的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (aa ＋1>10－2a ，＋1)<f (10－2a )，得a ＋1>0，解得3<a <5.10－2>0，a10.(2019·泉州质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为 0，则a ＋4b 的取值范围是________.【答案】[2，＋∞)【分析】 依题意，知a >0，且 ＝1－4ab ＝0，∴ab ＝1，且b >0.故 ＋4≥24＝2，abab1当且仅当a ＝4b ，即a ＝1，b ＝4时等号成立. 所以 a ＋4 的取值范围是[2，＋∞).b11.(2018 ·浙江名校协作体考试 )y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．【答案】[0,2]【分析】当a ＝0时， y ＝ 4－1，值域为[0，＋∞)，满足条件；当 ≠0时，要使 y ＝ 22 ＋4 ＋ －1的xa ax x a值域为[0，＋∞)，只要2a>0，a ≤2.解得0<≤2.综上，0≤＝16－8aa－1≥0，12.已知奇函数y＝f(x)定义域是R，当x≥0时，f(x)＝x(1－x).(1)求出函数y＝f(x)的分析式；(2)写出函数y＝f(x)的单调递加区间.(不用证明，只要直接写出递加区间即可) 【分析】(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－x(1＋x).又因为y＝f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).x（1－x），x≥0，综上f(x)＝x（1＋x），x<0.(2)函数y＝f(x)的单调递加区间是11 －2，2.13.已知幂函数f ( )＝( －1)2 2－4＋2在(0，＋∞)上单调递加，函数( )＝2x－. x m xmm gx k(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为会集A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必需条件，务实数k的取值范围.【分析】(1)依题意得：(m－1)2＝1?m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)，因p是q成立的必需条件，则B?A，则2－k≥1，k≤1，即得0≤k≤1. 4－k≤，k≥0，故实数k的取值范围是[0，1].14.已知二次函数f (x)满足f(x＋1) －(x)＝2，且f(0)＝1.f x(1)求f(x)的分析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，务实数m的取值范围. 【分析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，则f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，又f(0)＝1，所以c＝1.所以f(x)的分析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.所以令g(x) ＝x23x＋＝x－3 2 5g(x)在－，1]上的最小值为g(1)＝－，－－，因为1 2 4 [ 1 1所以m<－1. 故实数m的取值范围为(－∞，－1).。

第7讲二次函数与幂函数考试说明 1.二次函数(1)掌握二次函数的图像与性质(单调性、对称性、顶点、最值).(2)了解二次函数的广泛应用.2.幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图像,了解它们的变化情况.考情分析考点考查方向考例考查热度二次函数解析式求二次函数解析式★☆☆二次函数性质单调性、最值、分段函数★☆☆幂函数图像与性质图像与性质的应用★☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·浙江卷]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关[解析] B由题意,得f(x)=x2+ax+b=x+2+b-.因此函数f(x)的图像的对称轴为直线x=-.当-≤0,即a≥0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的最大值M=f(1)=1+a+b,最小值m=f(0)=b,所以M-m=1+a;当-≥1,即a≤-2时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以函数f(x)的最大值M=f(0)=b,最小值m=f(1)=1+a+b,所以M-m=-1-a;当0<-≤,即-1≤a<0时,函数f(x)在[0,1]上的最小值m=f=b-,最大值M=f(1)=1+a+b,所以M-m=1+a+;当<-<1,即-2<a<-1时,函数f(x)在[0,1]上的最小值m=f=b-,最大值M=f(0)=b,所以M-m=.结合各选项,可得B正确,A,C,D错误.因此选B.2.[2017·天津卷]已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥+a在R上恒成立,则a的取值范围是()A. B.C.[-2,2]D.[解析] A由已知可得f(x)>0.不等式f(x)≥a+可转化为-f(x)≤+a≤f(x).当x≤1时,有-x2+x-3≤+a≤x2-x+3,即-x2+-3≤a≤x2-x+3,又∵-x2+x-3=-x-2-≤-,x2-x+3=x-2+≥,∴-≤a≤.当x>1时,-x-≤+a≤x+,即-x-≤a≤x+,又∵-x-≤-2,x+≥2,∴-2≤a≤2.故-≤a≤2.【课前双基巩固】知识聚焦1.b=02.{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇(-∞,0](0,+∞)[0,+∞)(-∞,0)(0,+∞)(1,1)对点演练1.(-∞,40]∪[160,+∞)[解析] 二次函数的对称轴方程是x=,故只需≤5或≥20,即k≤40或k≥160,故所求实数k的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞).2.[解析] 设f(x)=xα,则=2α,所以α=,故函数f(x)=.3.[1,2][解析] 通过二次函数的图像知m∈[1,2].4.6[解析] 二次函数y=x2+(a+2)x+3的图像关于直线x=1对称,说明二次函数图像的对称轴为直线x=1,即-=1,∴a=-4.又f(x)是定义在[a,b]上的,即a,b关于直线x=1也是对称的,∴=1,∴b=6.5.③[解析] 函数图像的开口向下,对称轴方程为x=->0,且过原点,故大致图像是③．6.> [解析] f(x)=x2-x+a图像的对称轴为直线x=,且f(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴ｍ∈(0,1),∴ｍ-1<0,∴ｆ(m-1)>0.7.0≤m≤[解析] 当m=0时,函数在给定区间上是增函数;当m≠0时,函数是二次函数,图像对称轴为x=-≤-2,得m≤,又m>0,因此0<m≤.综上,0≤m≤.8.(-∞,1)[解析] 当p>0时,根据题意知p<1,所以0<p<1;当p=0时,函数为y=1(x≠0),符合题意;当p<0时,函数y=x p的图像过点(1,1),在(0,+∞)上函数为减函数,符合题意.综上所述,p的取值范围是(-∞,1).【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据幂函数图像所经过的点确定幂函数,再进行图像判断;(2)根据幂函数的定义及其单调性确定m的值,得出其解析式再判断.(1)C (2)A[解析] (1)令f(x)=xα,则4α=2,所以α=,所以f(x)=.故选C.(2)根据题意,得f(x)=(m2-m-1)是幂函数,∴ｍ2-m-1=1,解得m=2或m=-1.又f(x)在第一象限内是增函数,且当m=2时,指数4×29-25-1=2015>0,满足题意;当m=-1时,指数4×(-1)9-(-1)5-1=-4<0,不满足题意.∴幂函数f(x)=x2015是定义在R上的奇函数,且是增函数.又∵ａ,b∈R且a+b>0,∴a>-b,又ab<0,不妨设b<0,即a>-b>0,∴ｆ(a)>f(-b)>0,又f(-b)=-f(b),∴ｆ(a)+f(b)>0.故选A.变式题D[解析] 设f(x)=xα,则2α=,α=-2,即f(x)=x-2,它是偶函数,单调递增区间是(-∞,0).故选D.例2[思路点拨] (1)设所求函数的解析式为顶点式,与已知解析式比较对应项系数即可求出参数;(2)找出对称轴,设函数的解析式为零点式,再利用图像过定点可求出参数.(1)x2+2x+1(2)x2-4x+3[解析] (1)设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.(2)因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图像的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图像被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),又f(x)的图像过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.变式题(1)x2+2x (2)-2x2+4[解析] (1)设函数的解析式为f(x)=ax(x+2),所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由f(x)是偶函数知f(x)的图像关于y轴对称,所以-a=-,即b=-2,所以f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.例3[思路点拨] (1)找出函数图像的对称轴,确定单调区间,将函数值转化到同一个单调区间上比较大小;(2)先根据单调性和对称轴确定a的符号,再结合图像找出关于m的不等式.(1)A (2)D[解析] (1)由题意知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,则b x=2x,c x=3x.易知f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴ｆ(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,∴ｆ(3x)>f(2x).∴ｆ(3x)≥f(2x),即f(b x)≤f(c x).故选A.(2)依题意a≠0,二次函数f(x)=ax2-2ax+c图像的对称轴是直线x=1,因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以a>0,即函数图像的开口向上,所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.故选D.例4[思路点拨] 求出二次函数图像的对称轴,根据对称轴与指定区间的位置关系讨论最小值的情况.解:因为a>0,所以f(x)=ax2-2x的图像的开口方向向上,且对称轴为直线x=.(1)当<2,即a>时,∈(0,2),所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f=-=-.(2)当≥2,即0<a≤时,f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=4a-4.综上所述,f(x)min=例5[思路点拨] (1)用待定系数法求出函数f(x),构建函数g(x)=f(x)-2x-m,则函数g(x)在区间[-1,1]上的最小值大于零即可;(2)设a x=t,将函数转化为关于t的二次函数,再根据不等式恒成立求解.(1)m<-1(2)2[解析] (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,又f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x,所以a=1,b=-1,所以f(x)=x2-x+1.f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,令g(x)=x2-3x+1-m=x-2--m,g(x)在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0,所以m<-1.(2)令a x=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以≤t≤a,原函数化为g(t)=t2+3t-2,显然g(t)在,a上单调递增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值为2.强化演练1.B[解析] 函数f(x)=2x2-mx+3图像的对称轴为直线x=,由函数f(x)的增减区间可知=-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3,∴ｆ(1)=2+8+3=13.2.C[解析] 函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,其图像的对称轴方程为x=1.∵ｆ(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,∴当1≤a时,f(x)min=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3;当a+2≤1,即a≤-1时,f(x)min=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3;当a<1<a+2时,f(x)min=f(1)=0≠4.故a的取值集合为{-3,3}.3.1[解析] 函数的图像是开口向上的抛物线,所以函数f(x)的最大值在区间的端点处取得.因为f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以或解得a=1.4.1[解析] 当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,∵ｘ∈-2,-,∴ｆ(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1,∴ｍ≥1,n≤0,∴ｍ-n≥1.∴ｍ-n的最小值是1.5.-∞,[解析] 由题意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,符合;当x≠0时,a<-2-恒成立.因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,y=-2-取得最小值,所以a<.综上,实数a的取值范围是-∞,.【备选理由】例1考查二次函数的解析式的求法,本例给出了三种不同的方法,均是在待定系数法的基础上进行求解的;例2为由指定区间上的单调性确定参数的范围的问题;例3为函数在指定区间上的最值问题,需要进行分类讨论求解.1[配合例2使用] 已知二次函数图像的顶点坐标是(-2,-1),图像经过点(1,0),求这个二次函数的解析式.解:方法一:设所求解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),由已知得解得所以所求解析式为y=x2+x-.方法二:设所求解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),依题意得解得所以所求解析式为y=x2+x-.方法三:设所求解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0),由已知得y=a(x+2)2-1,将点(1,0)的坐标代入得a=,所以y=-1,即y=x2+x-.2[配合例3使用] 若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是.[答案] (0,1][解析] 由f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a,+∞),∴ａ≤1.∵y=在(-1,+∞)上为减函数,∴由g(x)=在[1,2]上是减函数,可得a>0.故0<a≤1.3[配合例4使用] 已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,且当x∈时,f(x)≥,求a的值.解:f(x)=-+a2,由题知a2≤,得-1≤a≤1,函数f图像的对称轴方程为x=.当-1≤a<时,f(x)在上单调递减,而f(x)≥,即f(x)min=f=-≥,得a≥1,与-1≤a<矛盾,故不存在这样的a值;当≤a≤1时,≤≤,结合函数图像知f(x)min=f=-≥,得a≥1,而≤a≤1,故a=1.所以a=1.。

全国卷一专用2019年高考理科数学总复习幕函数与二次函数一、基础巩固组1. 已知幕函数f (x )=k ・x "的图象经过点,则k+a =()13A. B.1C.D.22. (2017河北沧州质检)如果函数f (x )=x 2+bx+c 对任意的x 都有f (x+1)=f (-X ),那么( )A.f (-2) <f (0) <f (2)B. f (0) <f (-2) <f (2)C.f (2) <f (0) <f (-2)D. f (0) <f (2) <f (-2)23. (2017浙江,5)若函数f (x ) =x +ax+b 在区间［0,1］上的最大值是 M 最小值是m ,则M-锁 ) A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,但与 b 无关 C.与a 无关,且与b 无关4.若函数f (x ) =x 2-|x|- 6,则f (x )的零点个数为( A.1 B.2 C.35.若a<0,则0. 5a ,5 a ,5 -a 的大小关系是( )-a aaaa -aA.5 <5 <0.5B.5 <0.5 <5a-aa a -a. a C.0. 5 <5 <5 D.5 <5 <0. 510. (2017宁夏石嘴山第三中学模拟 )已知f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (2+x )=f (2-x ),当x €2［0,2］时,f (x )=x-2x ,则 f (-5) = ______/W13.若函数f (x ) =x 2+^T I 在［0, )内单调递增，则实数a 的取值范围是( )4^1A.a wiB. a >1C.a >D.与a 无关,但与b 有关 ) D.46. (2017甘肃兰州模拟)已知幕函数f (x )的图象经过点 上不同的任意两点，给出以下结论：①X 1f (X 1)>X 2f ( X 2)；②X 1f ( X 1)<X 2f (X 2)；③；④其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.②③,P ( X 1, y", Qx 2, y 2)( X 1VX 2)是函数图象7. (2017山东济宁模拟)若函数 ( )y=x 2- 3x- 4的定义域为 ［0, m ,值域为I '<■ I ,则m 的取值范围是c 」〒)8. 若关于x 的不等式x 2+ax+1 >0在区间•-上恒成立，则a 的最小值是(sA.0B.2C.-72 29. 已知x >0, y > 0,且x+y=1,则x+y 的取值范围是A.[ 0,4] D.：- D.-311. ________________________________________________ 若函数f (x )是幕函数，且满足.=3,则fl = _____________________ .112. 已知幕函数f (x ) = .「若f (a+1) <f (10-2a ),则a 的取值范围是A.[ -2,0]B.[ -4,0]C.[ -1,0]14.(2017 福建龙岩一模)已知 f (x ) =x 3,若 x € [1,2] ( ) D. 时,f (x 2-ax ) +f (1 -x ) w 0,则a 的取值范围是D. a <x € [-1,1],都有|f (x )| <1成立,则ab 的最大值15. 已知函数f (x)=2ax2+3b(a, b€ R).若对于任意是__________ .16. 已知关于x 的二次函数f (x)=x +(2 t- 1)x+1-2t.(1)求证：对于任意t € R方程f(x) =1必有实数根；⑵ 若<t< ,求证：函数f (x )在区间(-1,0)及…匚内各有一个零点三、创新应用组鼻217.(2017河南豫东联考)若方程x 2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则二的取值 范围是 _________________ .幕函数与二次函数1. C 由幕函数的定义知 k=1.因为f ‘；耳__, 仁迴 2J 2 ,3f 笛 25e[J 7. D 二次函数图象的对称轴的方程为 x=_,且f=-~T ,f (3) =f (0) =-4,结合图象可得 m&C 由 x 2+ax+1 >0,得 a > -八一‘ +孑),因为g ( x )在所以 解得a-,从而k+ a32'2. D2).由f (1 +x ) =f (-x )知f (x )的图象关于直线 1x=_对称.V f (x )的图象开口向上，二 f (0) <f (2) <f (-因为最值在f (0) =b , f (1) =1+a+b, f =b 「中取，所以最值之差一定与 a 有关，与b 无关，故选 3. B B.4. Bx=2或x=-3,所以x=-3.故f (x )的零点个数为2.故选B.5. B 因为5-a =」，又因为当a<0时，函数y=x a 在(0, +8)内单调递减， 1且7<0. 5<5,所以 5a <0. 5a <5-a .6.D 设函数f (X )=X “,由点一.在函数图象上得一 一，解得a2 2当 x>0 时，由 f (x ) =x -x- 6=0,解得 x=-2 或 x=3,所以 x=3;当 x<0 时,由 f (x ) =x +x-6=0,解得 =_,即f (x ) =「因为g (x )=xf (x )=FH 为(0, +s )内的增函数，所以①错误，②正确；因为h (x )=. 数,所以③正确，④错误.为(0, +8)内的减函令 g (x )=- [^上恒成立. 「」上为增函数5-=- -,所以a》-所以g(x)ma>=g• f (x )=1? (x+2t )( x- 1)=0,( *)• x=1是方程(*)的根，即f (1) =1.因此x=1是f (x ) =1的实根，即方程f (x ) =1必有实根.(2)当 Ivtv 「时,f (-1)=3-4t>0,f (0) =1- 2t= 29"金丄_| 因为 x 2+y 2=x 2+(1 -x ) 2=2x 2-2x+1, x € [0,1],所以当 x=0 或 1 时,x 2+y 2取最大值 1;当 x=时,x 2+y 2取最小值一因此x 2+y 2的取值范围为 'I10.-1 由题意得,f (x+4)=f [( x+2) +2] =f [2 -(x+2)] =f (-x )=f (x ),即 f (x )是以 4 为周期的偶函数,所 以 f (-5) =f (5) =f (1) =12-2 X 仁-1.111 一 设 f (X )=x " ( a€ R),由题意知—=3，即 2 "=3,解得 a =log 23,所以 f (x )= - =-：于是fx'T- —12.(3,5) T f (x )= (x>0),•••f(x )是定义在(0, +R )内的减函数, 又 f (a+1)<f (10-2a ),a+1 > 0,10-2a >0, a+1 > 102a,解得 a > -1T a < 5, A fl > 3, 3<a<5.213.Cf (x )=x+p 2 4-ax-ia^ >|s |^-ax +|aA <U ~ °T解得-1<a<0. 要使f (x )在[0, +R )内单调递增，应有 故实数a 的取值范围是[-1,0].14. C •/f (-x )=-f (x ), f' (x ) =3x 2>0, • f (x )在(-)内为奇函数且单调递增 由 f (x 2-ax )+f (1-x ) w 0,得 f (x 2-ax ) < f (x-1),22• x -ax w x-1,即 x -(a+1) x+1 w0.=1-a 0a3h'「窕解得a '-故选C设 g (x ) =x 2-( a+1)x+1,则有15 一.(方法一)由 |f (x )| w 1, 得|f (1) |=| 2a+3b| wi .fhi+3b\2 = 1 2-i 工 / 已(2 a+3b)— 1 [时,等号成立.所以 6ab=2a • 3b当且仅当2a=3b=± 所以ab 的最大值为 (方法二)由题意得 故匸矽 -----1因此 ab=；(f (1) 24dtf(Q)=3b 1 (/(l)=2a + 3&,故ab 的最大值为216.证明(1) •/f (x ) =x +(2 t- 1) x+1-2t ,-f (0)) f (0)―「二-■1亦.又函数f (x )的图象连续不间断，且对称轴x= --t 满足内各有一个零点2 2令 f (x ) =x+ax+2b , ■/ 方程 x +ax+2b=0 的一个根在(0,1) 7(0) =2& >0, =1+ fl + 2&<0. f(2) =44-2a+2b>0.作出上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 (不含边界),其中A (-3,1),设点E (a , b )为区域内的任意一点，则厂表示点E (a , b )与点D (1,2)连线的斜率2-1 _ 1T k AD = |— r , k cD=内,另一个根在(1,2)-2,0), C (-1,0)At的取值范围是42由图可知k AD<k<k cn故。

配餐作业(七) 二次函数与幂函数(时间：40分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．±9D ．9解析 由函数f (x )＝x α过点(4,2)，可得4α＝22α＝2，所以α＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m＝9。

故选D 。

答案 D2．如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－4解析 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8。

故选A 。

答案 A3．(2017·哈尔滨模拟)已知f (x )＝ax 2－x －c ，若f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的大致图象是( )解析 解法一：由f (x )>0的解集为(－2,1)，可得a ＝－1，c ＝－2，所以f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，故选C 。

解法二：由f (x )>0的解集为(－2,1)，可知函数f (x )的大致图象为选项D ，又函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，所以f (－x )的大致图象为选项C 。

答案 C4．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析 由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4。