2020年河南省开封市高考数学三模试卷(文科) (含解析)

2020年河南省开封市高考数学三模试卷(文科)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥+1>0}，𝐵={−2,−1,0,1}，则(𝐶𝑅𝐴)∩𝐵等于( )

A. {−2,−1} B. {−2} C. {−1,0,−1} D. {0,1}

2. 复数𝑧=1−𝑖1+𝑖，则z的虚部是( )

A. 1 B. −1 C. i D. −𝑖

3. 已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛，若𝑎2+𝑎3+𝑎10=9，则𝑆9=( )

A. 27 B. 18 C. 9 D. 3

4. 设a，𝑏∈𝑅，则“𝑎>𝑏”是“𝑎|𝑎|>𝑏|𝑏|”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

5. 随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是

A. 2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加

B. 2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加

C. 2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

D. 2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%

6. 执行如图所示的程序框图，若输入𝑥=2，则输出y的值为( ) A. 23 B. 11 C. 5 D. 2

7. 在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，直线𝐵𝐶1与平面𝐴1𝐵𝐷夹角的余弦值是( )

A. √24

B.

√23

C.

√33

D.

√32

8.

二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”.当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”.随机取出1个不小于(100000)2，且不超过(111111)2的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是

A. 932 B. 931 C. 1031 D. 516

9. 若函数𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥−𝑐)2在𝑥=3处有极大值，则𝑐=( )

A. 9 B. 3 C. 3或9 D. 以上都不对

10. 若𝜃是△𝐴𝐵𝐶的一个内角，且sin𝜃⋅cos𝜃=−18，则sin𝜃−cos𝜃的值为( )

A. 54 B. ±√52 C. √52 D. −√52

11. 如图，在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中，点E ，F 分别是棱BC ，𝐶𝐶1 的中点，P 是侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1 内一点，若𝐴1𝑃//平面𝐴𝐸𝐹 ，则线段𝐴1𝑃 长度的取值范围是( )

A. (3√24,√52)

B. [3√24,√52]

C. [1,√52]

D. [0,√52]

12. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−(1𝑒)𝑥，则下列判断正确的是( )

A. 函数𝑓(𝑥)是奇函数，且在R上是增函数

B. 函数𝑓(𝑥)是偶函数，且在R上是增函数 C. 函数𝑓(𝑥)是奇函数，且在R上是减函数

D. 函数𝑓(𝑥)是偶函数，且在R上是减函数

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若实数x，y满足约束条件{𝑥+𝑦−1≥0𝑥−3𝑦+3≥0𝑥≤3，则𝑧=2𝑥−𝑦的最大值为______．

14. 已知向量𝑎⃗ =(𝑚,8)，𝑏⃗ =(3,−2)，且(𝑎⃗ +𝑏⃗ )⊥𝑏⃗ ，则实数𝑚=______．

15. 若数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛=23𝑎𝑛+13，则𝑎4= ______ ．

16. 已知F是椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的一个焦点，P为C上一点，O为坐标原点，若△𝑃𝑂𝐹为等边三角形，则C的离心率为_______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D在边BC上，∠𝐶𝐴𝐷=𝜋4，𝐴𝐶=72，cos∠𝐴𝐷𝐵=−√210

(1)求sinC的值；

(2)若△𝐴𝐵𝐷的面积为7，求AB的长．

18. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是边长为2的正方形，△𝑃𝐴𝐷为等边三角形，E，M分别是AD，PD的中点，𝑃𝐵=2√2．

(Ⅰ)求证：平面𝑃𝐵𝐸⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求点P到平面ACM的距离．

19. 已知抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为F，抛物线C与直线𝑙1：𝑦=−𝑥的一个交点的横坐标为8．

(1)求抛物线C的方程；

(2)不过原点的直线𝑙2与𝑙1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|𝑂𝑃|=|𝑃𝐵|，求△𝐹𝐴𝐵的面积．

20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费𝑥(单位：千元)对年销售量𝑦(单位：𝑡)和年利润𝑧(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费𝑥𝑖和年销售量𝑦𝑖(𝑖=1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

𝑥 𝑦

𝑤

∑(8𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)2 ∑(8𝑖=1𝑤𝑖−𝑤)2 ∑(8𝑖=1𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦) ∑(8𝑖=1𝑤𝑖−𝑤)(𝑦𝑖−𝑦)

46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8

表中𝑤𝑖=√𝑥𝑖，𝑤=18∑𝑤𝑖8𝑖=1．

(1)根据散点图判断，𝑦=𝑎+𝑏𝑥与𝑦=𝑐+𝑑√𝑥哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为𝑧=0.2𝑦−𝑥.根据(2)的结果回答下列问题：

(ⅰ)年宣传费𝑥=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

(ⅰ)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(𝑢1,𝑣1)，(𝑢2,𝑣2)，…，(𝑢𝑛,𝑣𝑛)，其回归直线𝑣=𝛼+𝛽𝑢的斜率和截距的最小二乘法公式分别为𝛽̂=∑(𝑛𝑖=1𝑢𝑖−𝑢)(𝑣𝑖−𝑣)∑(𝑛𝑖=1𝑢𝑖−𝑢)2，𝛼̂=𝑣−𝛽̂𝑢．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑙𝑛𝑥+𝑏𝑒𝑥(𝑒是自然对数的底数，其中常数a，b满足𝑎>𝑏，且𝑎+𝑏=1，函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象在点(1,𝑓(1))处的切线斜率是2−1𝑎．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)求函数𝑓(𝑥)的单调区间．

22. 在平面直角坐标系xOy中，直线𝑙1：{𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(𝑡为参数，0<𝛼<𝜋2)，曲线𝐶1：{𝑥=2cos𝛽,𝑦=4+2sin𝛽(𝛽为参数)，𝑙1与𝐶1相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求𝐶1的极坐标方程及点A的极坐标；

(2)已知直线𝑙2：𝜃=𝜋6(𝜌∈𝐑)与圆𝐶2：𝜌2−4√3𝜌cos𝜃+2=0交于B，C两点，记△𝐴𝑂𝐵的面积为𝑆1，△𝐶𝑂𝐶2的面积为𝑆2，求𝑆1𝑆2+𝑆2𝑆1的值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−2|−|𝑥−5|．

(1)解不等式𝑓(𝑥)≥1；

(2)若函数𝑓(𝑥)的最大值为m，且𝑎+𝑏+𝑐=𝑚，a，b，c均为正实数，求√𝑎+𝑐+√𝑏+1的最大值．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：

本题考查集合的交集补集运算．

解：∵集合𝐴={𝑥|𝑥+1>0}={𝑥|𝑥>−1}，

∴𝐶𝑅𝐴={𝑥|𝑥≤−1}，

∴(𝐶𝑅𝐴)∩𝐵={−2,−1}．

故选A．

2.答案：B

解析：解：复数𝑧=1−𝑖1+𝑖=(1−𝑖)2(1+𝑖)(1−𝑖)=−2𝑖2=−𝑖，则z的虚部为−1．

故选：B．

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.答案：A

解析：解：设公差为d，则3𝑎1+12𝑑=9，

∴𝑎1+4𝑑=𝑎5=3

∴𝑆9=9𝑎5=27，

故选：A．

根据通项公式和求和公式即可求出．

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．

4.答案：C

解析：

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键，属于基础题目．