2020届河南省开封市高考数学一模试卷(理科 )(解析版)

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2020年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）

题号 一 二 三 总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合A={x|x2-x-6＜0}，B=N，则A∩B=（ ）

A. {-1，0，1，2} B. {0，1，2}

C. {-2，-1，0，1} D. {0，1}

2. 在复平面内，复数对应的点位于直线y=x的左上方，则实数a的取值范围是（ ）

A. （-∞，0） B. （-∞，1） C. （0，+∞） D. （1，+∞）

3. 设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则tan2α=（ ）

A. B. C. D.

5. 已知定义在[m-5，1-2m]上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）=2x-1，则f（m）的值为（ ）

A. -15 B. -7 C. 3 D. 15

6. 某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%．其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（ ）

A. 45人 B. 660人 C. 880人 D. 900人

7. 国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为（ ） 第2页，共15页

A. 17米 B. 22米 C. 3l米 D. 35米

8. 已知{Fn}是斐波那契数列，则F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n∈N*且n≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则n=（ ）

A. 10

B. 18

C. 20

D. 22

9. 设m=ln2，n=lg2，则（ ）

A. m-n＞mn＞m+n B. m-n＞m+n＞mn C. m+n＞mn＞m-n D. m+n＞m-n＞mn

10. 已知F为双曲线C：的右焦点，圆O：x2+y2=a2+b2与C在第一象限、第三象限的交点分别为M，N，若△MNF的面积为ab，则双曲线C的离心率为（ ）

A. B. C. 2 D.

11. 将函数f（x）=asinx+bcosx的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，若g（x）的对称中心为坐标原点，则关于函数f（x）有下述四个结论：

①f（x）的最小正周期为2π

②若f（x）的最大值为2，则a=1

③f（x）在[-π，π]有两个零点

④f（x）在区间[-，]上单调

其中所有正确结论的标号是（ ）

A. ①③④ B. ①②④ C. ②④ D. ①③

12. 已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（ ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量，，若，则m=______． 第3页，共15页 14. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______．

15. 设点P为函数f（x）=lnx-x3上任意一点，点Q为直线2x+y-2=0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为______．

16. 若数列{an}满足，则称数列{an}为“差半递增”数列．若数列{an}为“差半递增”数列，且其通项an与前n项和Sn满足，则实数t的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知等差数列{an}满足an+1+n=2an+1．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．

18. 底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．

（1）求证：EG⊥DF；

（2）求二面角A-HF-C的正弦值．

19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l．

（1）求动点Q的轨迹方程E；

（2）若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求的最大值．

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20. 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，列需要检验n次；②混合检验，将其k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．

（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．

（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．

（Ⅰ）运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2，试求p关于k的函数关系式p=f（k）；

（Ⅱ）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．

参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．

21. 已知函数f（x）=a•e-x+sinx，a∈R，e为自然对数的底数．

（1）当a=1时，证明：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；

（2）若函数f（x）在（0，）上存在两个极值点，求实数a的取值范围．

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=

（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

（2）设P是曲线C1上一点，此时参数φ=，将射线OP绕原点O逆时针旋转交曲线C2于点Q，记曲线C1的上顶点为点T，求△OTQ的面积．

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23. 已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：

（1）++≥3；

（2）＞2．

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵A={x|x2-x-6＜0}=[-2，3]，B=N，

则A∩B={0，1，2}．

故选：B．

解不等式先求出集合A，即可求解．

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键

2.【答案】A

【解析】解：∵=，

∴复数对应的点的坐标为（），

由复数对应的点位于直线y=x的左上方，得

＞0，即a＜0．

∴实数a的取值范围是（-∞，0）．

故选：A．

利用复数代数形式的乘除运算化简求得复数对应的点的坐标，再由线性规划知识列式求解．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3.【答案】B

【解析】解：与 都是非零向量，则“向量与 夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，可能同向共线．

因此“”是“向量与 夹角为锐角”的必要不充分条件．

故选：B．

与 都是非零向量，则“向量与 夹角为锐角”⇒“”，反之不成立，即可判断出结论．

本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.【答案】D

【解析】解：由三角函数的定义可知，tanα=-2，

tan2α===．

故选：D．

由三角函数的定义可求tanα，然后再由二倍角正切公式an2α=即可求解．

本题主要考查了三角函数的定义及二倍角的正切公式的简单应用，属于基础试题． 第7页，共15页 5.【答案】A

【解析】解：由奇函数的对称性可知，m-5+1-2m=0，

∴m=-4，

∵x＞0时，f（x）=2x-1，

则f（m）=f（-4）=-f（4）=-15．

故选：A．

先根据奇函数定义域关于原点对称求出m，然后代入即可求解

本题考查奇函数的性质，转化思想，正确转化是关键．

6.【答案】D

【解析】解：根据图形，抽取的总人数10÷20%=50，其中C所占的百分比为：12÷50=0.24，

故1000×（0.24+0.2+0.46）=1000×0.9=900，

故选：D．

利用图形，先算出抽取的总人数，求出C的百分比，最后算出结论．

考查直方图，扇形统计图，样本估计总体问题等，基础题．

7.【答案】C

【解析】解：如图所示，依题意可知∠ADC=45°，∠ACD=180°-60°-15°=105°，

∴∠DAC=180°-45°-105°=30°，

由正弦定理可知，

∴AC==25米．

∴在Rt△ABC中，

AB=AC•sin∠ACB=25×=≈31米．

∴旗杆的高度为31米．

故选：C．

先求得∠ADC和∠ACD，则∠DAC可求，再利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC•sin∠ACB求得AB的长．

本题主要考查了解三角形的实际应用，此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题解决，是中档题．

8.【答案】B

【解析】解：模拟程序的运行，可得

i=1，a=1，b=1，

满足条件i＜10，执行循环，输出斐波那契数列的前2项，a=2，b=3，i=2

满足条件i＜10，执行循环，输出斐波那契数列的第3，第4项，a=5，b=8，i=3

…

每经过一次循环，输出了斐波那契数列的2项，i=9时，共输出了斐波那契数列的前18项，

此时i=10，不满足条件，退出循环体．

故程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，n=18．

故选：B．

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a，b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．